2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学九年级（上）

开学数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.分式占有意义的条件是（）

A.x丰\B.%=1C.%。0D.x=0

2.下列各点中，位于第二象限的是（)

A.(-3,2)B.(2,5)(5,-2)D.(-5,-5)

3.如图，在四边形48co中，AB//CD,要使四边形/8CD是平

行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）

A

A.AD=BCB.AB=CDC.AD//BCD.Z.A-Z.C

4.一元二次方程（x+2）Q—4）=x-4的解是（）

A.x=-2B.%=-1C.x=-1,x=4D.%=-2,x=4

5.若直线2与直线y=2%-3关于y轴对称，则直线/的解析式是（（）

A.y=-2x+3B.y=-2x—3C.y=2x+3D.y=2%—3

6.如图，在△ABC中，点。在边AB上，过点。作DE//BC,交AC点E.

若2。=2,BD=3,则差的值是（）

A2

A-5

B1

C.l

D|

7.如图，矩形4BCD中，AB=6,AD=8,且有一点P从B点沿着

8。往。点移动，若过P点作48的垂线交48于E点，过P点作4。的垂

线交4D于F点，贝IJEF的长度最小为多少（）

A1424

A-TBRTC.5D.7

8.反比例函数y=((kHO)的图象如图所示，则k的值可能是

()

A.5

B.12

C.-5

D.-12

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

9.关于尤的方程合-5x+1=0的根的判别式的值为

10.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形

ABCD,若48=2,44=120。，则4,C两点间的距离为.

11.当-2<xS0时，y与x的函数解析式为y=-?x，则y的范围是

12.如图，在Rt△ABC中，AACB=90°,AB=10,BC=6.

点F是48中点，连接CF,把线段CF沿射线BC方向平移到OE,

点。在4c上厕线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形

CFDE的面积为.

13.如图，在矩形4BCD中，点E为B4延长线上一点，F为CE的中

点，以8为圆心，BF长为半径的圆弧过4。与CE的交点G,连接8G.

若4B=4,CE=10,贝IJAG=.

14.如图，点4(2,2)在双曲线、=!(>>0)上，将直线04向上平移若

干个单位长度交y轴于点5,交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标

是.

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题6.0分）

先化简,再求直+总'其中X=5^2-1.

16.（本小题6.0分）

如图，Q48CD的对角线AC,BC交于点0,分别以点B,C为圆心，长为半径画弧,

两弧交于点P，连接BP,CP.

（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；

（2）当口28CD的对角线满足时，四边形BPC。是菱形.

17.（本小题6.0分）

为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.己知力型充电

桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数

量相等,请问：4B两种型号充电桩的单价各是多少？

18.（本小题7.0分）

在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1,点4

B,C,。均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，

按要求画图，要求保留必要的作图痕迹，不写画法.

②

（1）在图①中，以线段4。为边画一个AaDE,使它与△ABC相似;

(2)如图②，在线段4B上找一个点P,使BP=3；

(3)如图③，在线段4C上找一点E,连接BE,DE,使△ZBE-ACDE.

19.(本小题7.0分)

如图，反比例函数了=!(卜力0)的图象与正比例函数3/=2%的图象相交于4(1,€1)、B两点，点

C在第四象限，BC〃x轴.

(1)求k的值；

(2)以48、BC为边作菱形ABCD,求。点坐标及菱形的面积.

20.(本小题7.0分)

如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,其中4B=30米，AD=20米.现

欲将其扩建成一个三角形花园HPQ，要求P在射线力M上，Q在射线4N上，且PQ经过点C.当

OQ=10米时，求A/IPQ的面积.

21.(本小题8.0分)

4B两地相距60km,甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发.图中。，。表示两人离A地

的距离s(km)与时间t(①的关系，请结合图象解答下列问题：

(1)表示乙离4地的距离与时间关系的图象是(填k或，2)；甲的速度是km/h,乙的速

度是km/h；

(2)甲出发多少小时两人恰好相距5/on?

22.(本小题9.0分)

在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质

——运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出

(ax—3(x<2)

函数图象.结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数y=>2)

(1)当x=l时，y=0；当x=3时，y=2；则。=,b=

(2)在(1)的条件下,

①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；

②若该分段函数图象上有两点8(4/2)，且乃<丫2，则m的取值范围;

③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点，

23.(本小题10.0分)

阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中，BE是4c边上的中线，点。在BC

边上，器=|，力。与BE相交于点P,求需的值.

DCorL)

小昊发现，过点C作CF〃4D,交BE的延长线于点F,通过构造ACEF,经过推理和计算能够

使问题得到解决(如图2).

请回答：需的值为.

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

⑴如图3,在△48C中，点。在BC的延长线上，翌=。，点E在AC上，且学=之求需的值；

DCLcCZrU

(2)如图4,在△ABC中，点。在BC的延长线上，臆=弓，点£在47上，且等=］直接写出霁的

DCZCCZrU

值为.

24.(本小题12.0分)

如图①，在正方形4BCD中，48=4.点P从点。出发，沿折线ZM-48以每秒2个单位长度的

速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.当点P不与

点D、B重合时，作点P关于直线DB的对称点P',连结PP'、P'Q、PQ.设点P的运动时间为t秒.

(1)当PQ〃/IB时，求t的值；

(2)当点P'与点Q重合时，求t的值;

(3)当P'Q=1时，t的值为

(4)如图②，点E为PQ中点，连接P'E,当P'E与正方形4BCD的边平行时，则t的值为

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由题意得：x-1*0,

解得：x力1,

故选:A.

根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案.

此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零.

2.【答案】A

【解析】解：4、（一3,2）在第二象限，符合题意；

B、（2,5）在第一象限，不符合题意；

C、（5,-2）在第四象限，不符合题意；

。、（―5,-5）在第三象限，不符合题意；

故选：A.

直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案.

此题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确掌握各象限内点的坐标特点.

3.【答案】A

【解析】解：D、^AB//CD,AD=BC时，四边形4BC。可能为等腰梯形，所以不能证明四边形48co

为平行四边形；

B、AB//CD,AB=DC,一组对边分别平行且相等，可证明四边形4BCD为平行四边形；

C、AB//CD,AD//BC,两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；

D.-：AB//CD,

/.A+Z.D=180°,

VZ.y4=Z.C,

•••NC+NO=180°,

.-.AD//BC,

四边形ABC。为平行四边形；

故选：A.

根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可.

本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：(%+2)(%-4)=%-4,

(x+2)(%-4)—(x-4)=0,

则(x—4)(x+1)=0,

x-4=0或x+1=0,

解得刀1=4,x2=-1,

故选：C.

利用因式分解法求解即可.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：与直线y=2%-3关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变，则

y=2(—x)-3,即y=-2x—3.

所以直线I的解析式为：y=-2x—3.

故选：B.

利用关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可.

此题主要考查了一次函数的图象与几何变换，利用轴对称变换的特点解答是解题关键.

6.【答案】4

【解析】解：VDE//BC,

.AE_AD_AD_2_2

==

"AC7BAD+BD=2+3=5"

故选：A.

由。E〃BC,利用平行线分线段成比例，可得出差=再代入AD=2,BD=3,AB^AD+BD,

即可求出结论.

本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),

所得的对应线段成比例”是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解:如图，连接4P、EF,

BC

••PE1AB,PF1AD,

Z.AEP=AAFP=90°.

•••四边形4BC0是矩形，

•••ABAD=90°.

•••四边形力EPF为矩形.

AP=EF.

・•・要求EF的最小值就是要求4P的最小值.

•••点P从B点沿着BD往。点移动，

.••当4P1BD时,4P取最小值.

下面求此时AP的值，

在Rt△BAD'V，

■■■乙BAD=90°,AB=6,AD=8,

•••BD=VAB2+AD2=762+82=<T00=10.

S^AB0=\AB-AD=\AP-BD,

.”=空坐一经=4

.♦.EF的长度最小为：y.

故本题选B.

连接力P、EF,依据PEJ.48,PF14。，乙4=90。，可得四边形4EPF为矩形，借助矩形的对角

线相等，将求EF的最小值转化成4P的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求取△84。斜

边上的高，利用面积法即可得解.

本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并

灵活运用.

8.【答案】C

【解析】解:如图所示：71(-3,3),B(2,-2)都不在反比例函数图象上，

则一3x3</c<2x(-2),

即—9<k<—4,

故k的值可能是-5.

故选：C.

直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案.

此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出k的取值范围是解题关键.

9.【答案】21

【解析】解：；a=1，b——5.c=1,

4=(-5)2-4x1x1=21.

故答案为：21.

直接计算川-4讹即可.

2

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=O(a^0)的根的判别式为4=b-4ac.

10.【答案】2

【解析】解：如图，连接4C,

••,将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形4BCD,

:.AB=BC,四边形4BCD是菱形，

1

^BAC=^BAD=60°,

ABC是等边三角形，

•••AC=AB=2,

即4C两点间的距离为2,

故答案为：2.

连接AC,证四边形ABCD是菱形，得NB4C=^484。=60°,再证△4BC是等边三角形，得4C=

AB=2,即可得出结论.

本题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题

的关键.

11.【答案】0Wy<3

【解析】解：当x-—2时，y=-1x(—2)=3；

当％—0时，y=一|xO=O,

.•.当一2<xW0时，y的范围是0<y<3.

故答案为：04y<3.

代入x=-2及x=0,求出y值，进而可得出y的范围.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“直线上任意一点的坐标

都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键.

12.【答案】12

【解析】解：1.•2LACB=90°,AB=10,BC=6,

AC=VAB2—BC2=V102—62=8>

由平移得：DF//EC,DF=EC,

四边形DFCE是平行四边形，

•••点尸是AB中点，

•••点。是AC的中点，

•••DF是AACB的中位线，

DF=；BC=3,

•:点。是AC的中点，

DC=24c=4,

二四边形CFDE的面积=DFCD=3x4=12,

故答案为：12.

先在Rt^ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再根据平移的性质可得：DF//EC,DF=EC,从

而可得四边形DFCE是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得点D是4C的中点，从而可得

DF是AACB的中位线，进而可得。尸=2BC=3,最后利用平行四边形的面积公式进行计算，即可

解答.

本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，平移的性质，熟练掌握三角形的中

位线定理，以及平移的性质是解题的关键.

13.【答案】3

【解析】解：•••四边形ABCD是矩形，

/.BAC=90。，

vCE=10,F为CE的中点，

BF=gcE-5,

•••BF=BG=5,

AG=VBG2-AB2=V25-16=3.

故答案为：3.

由直角三角形的性质可求BF=5,由勾股定理可求解.

本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关

键.

14.【答案】(「,2V"7)

【解析】解：,•,点4(2,2)在双曲线y=g(x>0)上，

•c*,2—k

:.k=4.

・••双曲线解析式为y=%

如图，作轴，CHlx轴，作BG1CH,垂足分别为0、H、G.

v4(2,2),

:.AD=OD.

・・・Z,AOD=45°.

・•・Z,AOB=45°.

vOA//BC,

・・・Z-CBO=180°-45°=135°.

:.(CBG=135°-90°=45°.

，乙CBG=乙BCG.

VBC=2,

・•・BG=CG=y/~~2-

・•.C点的横坐标为，天.

又C在双曲线丫=:上，

•••C（V-2,2。）.

故答案为：（，22H）.

由题意，点4（2,2）,则44。%=45°,同时可得双曲线解析式，再作CHlx轴，作BG1CH,可得

/.CBG=45°,又BC=2,再结合双曲线解析式可以得解.

本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解.

15.【答案】解:原式=去、品F=六,

当尤=1时,

原式=a=口二+1=?.

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案.

本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

16.【答案】AC=BD

【解析】解：（1）四边形BPC。为平行四边形.

理由：•••四边形4BCD为平行四边形，

0C=OA=1AC,OB=OD=&BD,

•••以点B,C为圆心，\AC,长为半径画弧，两弧交于点P,

OB=CP,BP=0C,

四边形BPC。为平行四边形；

(2)当AC=BC时，四边形BPC。为菱形.

vAC=BD,OB=：BD,OC=^AC,

.・.OB—OC,

•.•四边形BPCO为平行四边形,

二四边形BPCO为菱形.

故答案为：AC=BD.

(1)由平行四边形的性质得出OC=04=：4C,OB=OD=^BD,证出。B=CP,BP=OC,则

可得出结论；

(2)由菱形的判定可得出结论.

本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

17.【答案】解：设4型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少(x+0.3)万元，

根据题意得£=号，

xx+0.3

解得x=0.9,

经检验x=0.9是原方程的解，

x+0.3=1.2.

答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元.

【解析】设4型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少Q+0.3)万元，根据“用15万元购

买4型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可.

本题考查了分式的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

18.【答案】

解：(1)如

图①所

示，

,,AD——1

•A8―3

②

AE1

—,

AC3

Z.DAE=Z.BAC,

*'•△ADE^^ABCf

(2)如图②所示，

-AM//BN,

AMP~ABNP,

—AP-A-M=一2,

BPBN3

vAB=732+42=5，

BP=3；

(3)如图③所示，连接QD交AC于点E,连接BE,DE,点E即为所求,

•・,QE=BE,

:.乙EBQ=乙EQB,

•・・QB//CD,

••Z-Q=乙D=(EBQ,

又乙C=Z.EAB=90°,

・•.△ABE~ACDE.

【解析】(1)根据相似三角形的性质得出第=g，找到格点E,^=|,连接DE,即可求解；

(2)勾股定理求得4B=5,取格点M,N,AM=2,BN=3,则△AMP—BNP,根据相似比为|,

即可得出BP=3

(3)连接Q。交4c于点E,连接BE,DE,即可求解.

本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题，掌握相似三角形的性质与判定是解

题的关键.

19.【答案】解：(1)•••点A(l,a)在直线y=2x上，

a=2x1=2,

即点4的坐标为(1,2),

•・•点4(1,2)是反比例函数y=：(k丰0)的图象与正比例函数y=2x图象的交点，

・•・k=1x2=2,

即k的值是2；

(2)由题意得：-=2%,

解得：%=1或一1,

经检验％=1或-1是原方程的解，

B(—1,-2),

•・•点4(1,2),

AB=J(1++(2+2尸=2<3,

,•・菱形4BCD是以48、BC为边,且BC〃x轴,

AD=AB=2n，

•••D(1+2口,2).

二菱形的面积=2，飞X(2+2)=8n.

【解析】(1)根据点做l,a)在y=2x上，可以求得点4的坐标，再根据反比例函数y=；(k40)的

图象与正比例函数y=2x的图象相交于4(1,a),即可求得A的值；

(2)因为8是反比例函数y=［和正比例函数y=2》的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质

可确定点。的坐标：然后利用菱形的面积计算公式解答即可.

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

20.【答案】解：AQ=AD+DQ=20+10=30,

•.•矩形ABCD,

:.CD=AB,

vDC11AP,

QD_CD

••而一而'

e10_30

••五一Q'

・・・AP=90,

•••SAAPQ=^AQ-AP=1350米2；

【解析】由。C〃4P,得到黑=繇，代入数据求得4P=90,于是得到结论.

本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线

段成比例定理是解题的关键.

21.【答案】解：(1)/2；30：20；

(2)设甲出发x小时两人恰好相距5km.

由题意30x+20(%-0.5)+5=60或30x+20(x-0.5)-5=60

解得x=1.3或1.5,

答：甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km.

【解析】【分析】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关

系解决问题.

(1)观察图象即可知道乙的函数图象为"，根据速度=鬻，利用图中信息即可解决问题；

(2)分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题.

【解答】

解：(1)由题意可知，乙的函数图象是％,

甲的速度是竽=30km/h,乙的速度是与=20km/h.

故答案为30；20；

(2)见答案.

22.【答案】360<fc<2

【解析】解：(1)把x=l,y=0代入y=ax—3得，a—3=0,

・•・Q=3,

把x=3,y=2代入y=5得，b=3x2=6；

故答案为：3,6；

(3x—3(%<2)

⑵①”={/>2),

②•••B(4,y2)是函数图象上的点，

丫2=1.5,

•・•力<y2f

・•・yr<1.5,

由函数图象知，当yVl.5时，x<1.5,

,・•4(私力)在函数图象上，

，m<1.5,

故zn的取值范围为：m<1.5；

③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是0<k<3,

故答案为：0<k<3：

(1)将x=l,y=0；x=3,y=2分别代入函数y=ax—3和y=g得关于a和b的二元一次方程组，

解方程组得a和b的值；

(2)①根据解析式的特点画出函数的图象即可；

(②由①中函数图象可直接得出的取值范围.

③由①中函数图象可直接得出的取值范围.

本题考查了反比例函数的性质，一次函数性质与一元一次不等式及函数的性质与图象，数形结合

是解题的关键.

23.【答案】

【解析】解：如图2,过点C作C/7/4D,交BE的延长线于点F,力\

•••ZF=^APF,乙FCE=4EAP,尸丁

•••BE为4c边的中线，工

L)S

/.AE=CE,图2

AEP=^CEF,

：・AP=FC,

•・・PD//FC,

BPD三2BFCf

•*..—PD=_B—D=_一2«

FCBC3

AP3FA

故答案为：I；

(1)如图3,过4作AF〃BC,交BP延长线于点F,D,图3B

•••△AFE^LCBE,

AF_AE

~BC='EC1

AE3

FC=2

AF3

BC=2

设4F=3x>BC=2x,

,,_BD_——3

BC-2

・•・BD=3%,

:.AF=BD=3x,

,:AF”BD,

.•・△4FPjDBP,

APAF.4

••布=丽=1；

(2)如图4,过。作CF〃/P交PB于F,//X.

••・△BCFfBDP,/----

BC_CF_2尸尸E图4

•*.—=—=—,

BDPD3

设CF=2x,PD=3x,

•・•CF//AP,

ECF~AEAP,

*_EC__C_F__2

•,AE~AP~7

・•・AP=7%,AD=4%,

:•竺=L

PD3

故答案为：

如图2,证明AAEP三ACEF,可得4P=FC,再根据PD〃FC,得ABPD三ABFC,列比例式可得

结论；

(1)如图3,作辅助线，构建AAEF,根据ZF//BC,证明△AFEsACBE和△AFP-ADBP,歹U比例

式可得：4备1；

(2)如图4,作辅助线，构建AEFC,根据C尸〃4P证明ABCFSABDP和△ECF-AEAP,可得结论.

此题主要考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，三角形相似的性质和判定，

本题运用了类比的思想，作平行线，构建三角形，证明相似可解决问题.

24.【答案】例1或3.2

【解析】解：(1)由已知可得ts时，DP=2t,BQ=t,

vAD=4,

AP=AB-DP=4-23

•••在正方形ZBCD中，

.-.AD//CB,即4P//BQ,

当PQ//4B时，

四边形4PQB是平行四边形,

••・AP=BQ,

**•4—2t—t»

解得：t-gs,

当PQ〃4B时，t=g；

(2)•••点P从点。出发，沿折线48以每秒2个单位长度的速度向点B运动,

同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，

•••点P关于直线CB的对称点P'

故当点P'与点Q重合时，必在CD边上,

当时间为ts时,P点行程为AD+AP=2t,

AB=AD=4,

AP=2t—4,

BP=AB-AP=8-2t

••♦点P点关于正方形对角线DB的对称点P',

•••BP=BQ=8-2t,

又•.•点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,

ts时，BQ=t>

8—2t=t,

解得：t=l，

故当点P'与点Q重合时，t=|,

故答案为：I；

(3)当P'Q=1时，分两种情况：

当P'在CD上时，根据已知可知0<tW2,

由已知ts时，DP=2t,BQ=t,

如图所示：

•・•点P点关于正方形对角线DB的对称点P',

•••DP=DP'=2t

vCD=CB=4,

CP'=CD—DP'=4