2023高考一轮考点突破 09 导数和函数压轴小题归类一（解析版）

09导数和函数压轴小题归类(1)

目录

一、热点题型归纳...............................................................................1

【题型一】整数解..........................................................................1

【题型二】零点求参.......................................................................5

【题型三】同构............................................................................8

【题型四】恒成立求参：移项讨论型........................................................10

【题型五】恒成立求参：代入消参型(虚设根型)............................................14

【题型六】恒成立求参：构造函数型........................................................18

【题型七】恒成立求参：参变分离(常规型)................................................21

【题型八】恒成立求参：参变分离(洛必达法则型).........................................24

【题型九】恒成立求参：倍函数............................................................26

【题型十】恒成立求参：双函数最值型......................................................29

【题型十一】数列与导数型................................................................33

二、最新模考题组练............................................................................38

【题型一】整数解

【典例分析】

在关于x的不等式e42-(ae'+4e2)x+ae'+4e2>0(其中e=2.71828L为自然对数的底数)的解集中，有且

仅有两个大于2的整数，则实数。的取值范围为()

9O

「、

Cf164]94

-史威D.立司

【答案】D

【分析】将不等式转化为e2(x-2『>a(x-l)e)分别研究两个函数的性质，确定。的取值范围，构造函数，

利用放缩法进一步缩小"的取值范围，列出不等式组，求出结果.

【详解】由e，%2-(后+4/b+如*+4/>0,化简得：e2(x-2)2>a(x-l)e\

设〃力=d(尤-2)2,g(x)=«(x-l)e\则原不等式即为〃尤)>g(x).若aVO,则当x>2时，/(x)>0,

g(x)<0,

二原不等式的解集中有无数个大于2的整数，...a>0.："2)=0,8(2)=府>0,，〃2)<g(2).

当〃3)Vg⑶，即止:时，^/z(x)=/(x)-g(x)(x>4),贝酎(耳=2/(》-2)-依-4262"-2)-旦.

2e2e

15^(%)=2e2(%-2)--(x>4),则“⑺=2e?-1"十0'在艮内)单调递减,所以

2e2e

“(x)=2e2_(+l)e屋砥3)=0,所以夕(x)=2e?(》一2)-今在[4,+⑹单调递减，

0(x)<0(4)=2e2(2-e)<0,

.•.当x1时，〃(x)<0,，/?(无)在［4,+oo］上为减函数，即〃(x)V/i(4)=4e。Ve［4-■—l<0,

.•.当x"时，不等式〃x)<g(x)恒成立，，原不等式的解集中没有大于2的整数.

了⑶>g(3)2>2d3

2

二要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则上⑷>g⑷，gp)4e>3郎，解得

2

254e3e-

,/(5)<。(5)l9e<4ae

则实数。的取值范围为D

【提分秘籍】

基本规律

1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入

2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题

【变式演练】

1.已知函数7'(x)=4(x+l)e，-x,若存在唯一的正整数%,使得〃毛)<0,则实数。的取值范围是()

21

【答案】C

【分析】

题意等价于存在唯一的正整数X。使得不等式。+成立，求出函数g(x)=W的单调区间，直线

y=a(x+l)过定点(-1,0),作出函数g(x).和直线y=a(x+l)图像，结合图形列出不等式组化简即可.

解：函数〃x)=a(x+l)/-x,若存在唯一的正整数％,使得等价于存在唯一的正整数力,使

得不等式。(x+1)弓成立，令g(x)=；贝ijg'(无)=?，由g'(x)>0得尤<1,由g'(元)<0得x>l

所以函数g(x)=^在区间(3,1)上递增，在区间。,转)上递减。所以g(x)1nM=g(l)=L

ee

直线y=a(x+l)过定点(—1,0),作出函数g(x)=?和直线y=a(x+l)图像如下:

由图可得要使存在唯一的正整数与使得不等式a(x+1)<3成立

2a<—

必有Ie2所以实数。的取值范围是2

3e2'2eJ

(2+l)«>—

Ie

故选：c.

2.已知偶函数满足〃3+x)=〃3.x),且当xe［0,3］时，若关于工的不等式尸(x)-于(力>。

在［-150,150］上有且只有150个整数解，则实数f的取值范围是()

(J_A「二_3A/_3A<A

A.0,e2B.e2,3^2C.3e2,2exD.e2,2^-1

\7L7\7k7

【答案】B

【分析】

根据偶函数满足〃3+X)=〃3-X),得到函数〃x)是以6为周期的周期函数，由xe［0,3］时，〃彳)=加=，

用导数法结合偶函数，作出数“X)在(-3,3］上的图象，将不等式尸(%)-4力>0在［-150,150］上有且只有

150个整数解，转化为在一个周期(-3,3］上有3个整数解分别为-2,2,3求解.

【详解】因为偶函数/(0满足〃3+丈)=〃3-x),所以〃6-x)=〃x)=〃r),即〃6+x)=/(x),

所以函数/(尤)是以6为周期的周期函数，当xe［0,3］时，〃x)=/3,所以尸(x)=e2(『］),

当0«2时,r(x)>0,函数/(x)递增；当2<xW3时，r(x)<0,函数递减；

当当尤=2时，函数〃力取得极大值“力=：,作出函数在(-3,引上的图象，如图所示：

因为不等式f(力-犷(力>0在［-150,150］上有且只有150个整数解，

所以不等式/(同一步句>0在(-3,3］上有且只有3个整数解，

当〃x)=0时，不符合题意，故不等式〃x)〉t在(-3,引上有且只有3个整数解,

因为〃l)=eH〃3)=3e/，所以笳=工>1，即/⑴T⑶，

故不等式/(%)>。在(-3,3］上的3个整数解分别为-2,2,3,

所以，f(l)<f<f(3),即/</<3二，故选：B

7Y

3.已知对任意实数左＞1,关于x的不等式Mx-。）＞m在（0,+"）上恒成立，则。的最大整数值为

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】B

【详解】令/（尤）=宁（彳＞0）,依题意，对任意左＞1,当X＞o时，＞=/（%）图象在直线产人（彳-。）下方,

X(0.1)1(1.-H»)

••广（小幺户列表

r（x）+0—

2

/(x)T

e

y=/（x）得的大致图象

则当a=0时，•.,/'（0）=2,.,.当1〈后＜2时不成立；

当a=-1时，设y=%（x+l）与y=〃x）相切于点&J®））.

则原=町母=.=1一年=/，解得毛=，le（O,l）.

,_3-V51.

原=飞了＜仁＜1,故成立，，当aeZ时，。皿x=T.故选B.

e2

【题型二】零点

【典例分析】

已知函数/■（尤）=（x2-2x）e",若方程〃x）=a有3个不同的实根占，z，W（再＜马（尤3），则一^7的取

值范围是（）

【答案】B

【分析】对/（X）求导，利用〃力的图像求得3的范围，以及。与乙的关系，将问题转化为关于3的函数值

域的问题进行处理即可.

【详解】因为〃尤）=（必-2x）e",故可得尸（x）="（Y-2）,令/'（x）=0,解得》=±应，

故可得了（无）在区间卜单调递增，在卜单调递减，在单调递增.

又外-忘）=马芋，拒）=（2-2血,巴且当x趋近于负无穷时，〃x）趋近于零，故〃x）的图象如

下所示:

-4-3-2-101\1134

-1卜\I

-2卜\/

■3卜\/

(2+26、

故若方程〃x)=。有3个不同的实根，则ae0,—,又因为/'(%)=(只一2%)*=。，/4-夜,0)故

\eJ

黄工=,不妨令"x)=xe=xe(-72,0),贝I」砥x)=/(x+1),令〃(x)=0,解得x=一1,

容易知网尤)在区间(-A/2,-I)单调递减，在(-1,0)单调递增.故可得力⑺.=M-i)=4,又耳-志)=-专

＜人(0)=0故可得/i(x)＜0,则〃(x)e-即三工©J,。]故选：B

【提分秘籍】

基本规律

求零点或者讨论零点求参

1.函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

3.数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解.(常规题是函数与直线，较复杂的，就需要构造

需要借助求导来画图的函数了)

【变式演练】

1.已知〃力=加-3/+1,若/(尤)存在唯一的零点七,且%＞。，则。的取值范围是()

A.(2,+co)B.(-00,-2)C.(1,+℃)D.(—8,1)

【答案】B

【分析】

分类讨论：当。20时，容易判断出不符合题意；当。＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系

转化为求极小值/[l]＞。，解出即可.

解：当a=0时，f(x)=-3x2+l=0,解得＞±¥，函数”力有两个零点，不符合题意，应舍去；

当”＞0时，令/(x)=3亦2_6x=3ar(x_[]=0,解得尤=0或x=2＞0,歹!]表如下：

(-00,0)2,+oo

0BJ

Xa

f40-0+

\单调递极大单调递极小单调递

/(q曾

值减值增

xf—00,/(x)^-oo,而/(0)=l>0,

二•存在％<0,使得〃1)=0,

不符合条件：/(力存在唯一的零点/，且%>0,应舍去,

当QV0时，f(x)=3ax2-6x-3ax[x-—|=0,

2

解得x=0或1=一<。，

a

列表如下:

1T2

0(0,+oo)

Xa

f0+0-

.调递

极小单调递极大单调递

/(

械值增值减

而〃0)=l>0,X-时，〃尤)fYO,.•.存在%>0,使得〃1)=0,

“X)存在唯一的零点％,且无。>。，.•.极小值/[2]=。(2)3-3(2)2+1>。，化为/>4,

\a)aa

.avO,「.〃<-2,综上可知：4的取值范围是(r°，-2).故选:B.

2.已知函数〃幻=三字⑺<O),g(x)=20,设方程/(g(x))+,=。的3个实根分别为占,马，尤3,且

3xxm

玉<%<工3，贝!1g(玉)+2g(犬2)+3g(&)的值可能为()

2233

A.—B.—C.—D.一

eeee

【答案】B

【分析】

利用导数研究g(x)的单调性、极值及区间值域，由题设可知3/+尔-2M=0在(-8,。)(0,+8)上必有两

2m22m

个不等的实根％山(假设L>L)且A=T7g=¥，结合g。)的性质有一<=<0且芍=g(%)=g(%)，

~3e3

4=g(W),进而求目标式的值，即可确定答案.

【详解】

由题设，g(元)=-----^的定义域为(-00,。)，且g(X)=---------5------，

XX

・••当X£(-OO,—e)时，gr(x)<0,即g(x)递减；当％£(—e,0)时，g\x)>0,即g(x)递增.

2

gO)>g(-e)=—-,又工在(-8,-e)上逐渐变小时g(x)逐渐趋近于0,当-1vxvO时g(x)>g(—l)=0且随工

e

趋向于0,g(%)趋向无穷大.

・・・g(x)的图象如下：

•.•/。）的定义域为3》大0},由/（x）+L=O可得：-2/=0在（-8,。）（。,+⑹上必有两个不等的

m

2m

实根44（假设。＞G）且4=-加出=§（加＜。），

1222m3

.•.令t=g（x）,要使/⑺+—=0的3个实根，则4e[0,+q）、Z2e（—,0）,即――＜一＜0,可得一巳＜〃z＜0.

mee3e

3

.•.由再＜%知：=g（%）=g（Xz）,%=g（W）,8（占）+28（/）+385）=3（%+幻=1，€（0,—）.故选：

e

B.

3.已知函数/（x）=W，对于正实数a,若关于，的方程/⑺=恰有三个不同的正实数根，则。的取

值范围是（）

A.（1,8）B.1，8）C.（8,+oo）D.（e2,+＜»）

【答案】D

【分析】

研究〃”=叱的图像可知，若〃。=/已],令%=『,々=@,贝厅（可）=/（冬），且玉,%＞1,可以推出，

x\tJt

司=%或占%=。，通过对数不等式写出关于士马的不等式，即可求出。的范围

【详解】

因为f(x)=(，f\x)1—Inx人工1—Inx人工1—In%„”

—2—，令/(x)=--2—>0得：0<x<e；令/(x)=—>0Z得I=J：x>e,所

XXX

以在区间（o,e）单调递增，在（e,+a））单调递减，且xf8时，〃x）＞0恒成立，的图像如下:

令占=匕々="|,则/（玉）=/（9），且石＞1

①当%=%时，/=/,/=&,成立，所以夜是方程的一个实数根

、/、Inxlnx,InxIn/

②当X]/%时，由/(玉)=/(/)得：---=---9=，令---=----m

(nue.=lnxInx,-Inx0Inx+Inx,

则：,，两式相减得：m=---------,两式相加得：m=-----------

\mx2-Inx2玉-x2%+x2

玉-x玉+xx-x<石+X

所以:22,由对数均值不等式得:122

In玉-Inx2In玉+Inx2In^-lnx22

X,+X,~roao

所以：i-------r-->且x”W>l，所以lnX]X2>2,Xj%>e~,即：t—^a>e'

In%+Inx?22t

所以q>e2故选：D

【题型三】同构

【典例分析】

定义：设函数y=/(x)在(。力)上的导函数为尸(无)，若尸(无)在(。力)上也存在导函数，则称函数>=/(》)在

(。,6)上存在二阶导函数，简记为y=/"(x).若在区间(。,加上/(无)>0,则称函数y="X)在区间(。力)上为

“凹函数”.已知/(x)=me'+(X+1)2[l+21nm-2In(尤+1)]+x在区间(T+◎上为“凹函数”，则实数机的取值

4

范围为()

A.(1,+℃)B.(@+oo)C.(e,+<»)D.(Ve,e)

【答案】A

【分析】

根据题中“凹函数”的定义，/'(x)=7/7e'+lnw-ln(x+l)-1>0对任意尤6(-1,+oo)都成立，

同构为*411根+(x+lnM>ehia+i)+]n(%+l),利用g(x)=^+x在(-8,+8)是增函数，得不等式

In心/z(x)=ln(x+l)-x的最大值，求出g(x)=ln(x+l)-x的最大值，即可得解.

解：因为f(x)=mex++-[1+2Inm—2ln(x+1)]+x

4

所以/(%)二加四■(%+1)[Inm-ln(x+l)]+l,-ln(x+l)-1,

因为/(%)=/e"+("+D[1+2Imn—25(%+1)]+%在区间(-1,+s)上为“凹函数”，

4

所以/'(x)=M"+lwn-ln(x+l)-1>0对任意工£(-1,+8)都成立，因为相e^+livn--

1>0^1声111心111(%+1)+1

+lnzMln(x+1)

<=^x+imn+a+]nM>]n(x+i)+(x+1)<=^+(x4-lnm)>e+ln(x+1),且8⑴二^+%在(-8,+8)是增函数，

所以^+lnw+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+l)<=^+lnm>ln(x+l)^4nm>ln(x+l)-x,

由题意，In心/z(x)=ln(x+l)-x的最大值，g(x)=ln(x+l)-x,g«)=^7T,xe(-l,0),g'(x)>0,g(x)

x+1

单调递增；

xe(0,-H»),g'(^)<0,g(x)单调递减，g(x)<g(0)=0,

BPlnm>0,所以m>1,故选：A

【提分秘籍】

基本规律

1.注意同构法在解题中的应用，对于常见形式的同构要熟练运用，如机=.

2.注意同构技巧在试题中的转化意识，适当淡化那种“同构就结束解题”的题型。区别就是如练习1和3。

【变式演练】

1.已知函数"x)=x-ln(x+l),g(x)=e'-x-l,若g(x)2"(力对Vx«0,+s)恒成立，求实数左的取值

范围.

解析：由题意得：e*-无一1"[尤-ln(x+l)]

右边式子凑1得e'—尤—1W左[x+1—ln(x+1)—1]

BP-x-1>-In(x+1)-1],因为xNln(x+l)

当且仅当x=0等号成立，所以满足ZW1即可

当且仅当e，-尤-1=1,即x=0等号成立，所以ZW1.

2.已知不等式尤e向-尤Nlnx+2加+3对Txe(0,w)恒成立，则机取值范围为()

A.m<——B.m>——C.m<—2D.m>—2

22

【答案】A

【分析】

将问题转化为-x-Inx2+3对Vxe(0,内)恒成立，构造函数/(x)=xe^1-x-lnx,进而通过导数

方法求出函数的最小值，即可得到答案.

【详解】

不等式xex+1-x>lnx++3对Vx©(0,a)恒成立，即xex+1-x-]nx>2租+3对Vxe(0,吩)恒成立，令

/(x)=%ex+1-x-lnx(x>0),/(x)=(x+l)eI+1-1-i=(x+l)p+1而g(x)=在(0,+e)单调递

X\XJx

g⑴=1

且g]。一16〃所以『(id-唯一)，使得g

增(增+增),

则xe(O,Xo)时，g(x)<0n「(x)<0,〃x)单调递减，xe®,”)时，g(x)>0=1(x)>0,单调

递增.所以向"=/(%)=-尤。一Inx0

尤o*一

«^U)=^+1--=0=><

X。lnx0=-(x0+l);

所以/(x)1nhi=1-龙0+(1+1)=2,所以2N2〃z+3nmW-g.

3.设k>0,若存在正实数x,使得不等式1。827彳-源3人匕0成立，贝必的最大值为()

A.B.—C.-——D.-----

eln3eIn32

【答案】A

log3X

【分析】化简log27%，3入t之。得logs%2左3",从而xlog3龙与履,3-log3xAx-3^,

构造函数〃司=尤3,有单调性得log,x,区>0,再化简得左W0,

X

再构造函数g(x)=W，求g(x)="丁得最大值即可.

解：因为1吗"》上3tlT,所以logsX〉左3%因为x>0,所以xlog3X》fco3",即3啕，JogsX》履・3&,

设函数〃x)=x-3"尤>0,0x)=3-ln3=3，(l+x-ln3)>0,所以函数〃x)=x-3*在(0,+8)为增函数,

所以log/M区>0所以左W0，设函数g(x)=0,/Q_71n3"T°g丘而一1n31nx,

xxg㈠一/一/-ln3.x2

所以函数g(x)=3在(0,e)为增函数，在(e,+8)为减函数，所以8(力厘=屋4=陛='，

xeemJ

所以女的最大值为，/，故选：A.

【题型四】恒成立求参：移项讨论型

【典例分析】

若xe(0,l],侬-xln尤〈根恒成立，则实数小的取值范围为()

A.[1,+00)B.jC.[2,+oo)D.(f/]

【答案】A

【分析】

把给定恒成立的不等式变形，构造函数/(x)=Mx-l)-xlnx(O<x〈l),利用导数探讨/(x)的最大值不超过

0即可作答.

【详解】

Vxe(0,1］,mx-xlnx<mom(x-l)-xlnx<0,

令/(%)二根(％一1)一xlnx(0<x«l),贝！=M—l—lnx,而lnx<。成立，

当为27时,Ax)>0,即/⑴在(0,1］上递增，当％=1时/⑶0=0,

于是有当机时，恒有加(％-1)一xlnxK。，

当相<1时，由［(无)=。得了=«2,0<x<e”T有/(九)>。，61<%<1有/(犬)<。，即/⑴在［*工1)上递

减，

当时，f(x)>f(l)=0,即根(％-1)一%1口%>0成立，不符合题意，

综上：m>l,

所以实数加的取值范围为［1,+8).

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

L移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。

2.讨论点的寻找是关键。

3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围

【变式演练】

L若关于x的不等式eiNin尤+〃对一切正实数x恒成立，则实数〃的取值范围是()

A.1应1B.(^»,e］C.D.(-2］

【答案】C

【分析】

构造函数/(x)=e--"5°a>0),将原不等式转化为求解函数/(x)的最小值，通过导数判断函数的单调性研

究函数的最值，得到淖~-阮v°_a.O,再利用基本不等式进行求解即可.

【详解】

解:设/0)="-"-加:-"0>0),则，(无)..0对一切正实数为恒成立，即/(X)树"..0,

由r(x)=ei-L令〃(>)=*"-!,则〃(x)=ei+±>0恒成立，所以6(元)在(0,+(»)上为增函数，

XXX

当X30时，力(无)fT»,当x—y时，h{x}->+00,则在(0,+00)上，存在与使得人。0)=0,

当。<尤<不时，h(x)<0,当x>x()时，/z(x)>0,故函数/(尤)在(0,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

所以函数/(x)在X=%处取得最小值为f(x0)=-lnxo-a..O,

因为e""=一,即％-“=-加；0,所以,+%-a-a.O恒成立，即2a,,Xo+,，

工0%0天)

又飞+,..2)：％一工=2,当且仅当天=一,即%=1时取等号，故2《,2,所以6,1.故选：C.

%V无o%

2.已知函数〃同=加工&一；。f+1,无«0,y)，若〃x)有最小值，则实数。的取值范围是

A.[e,+oo)B.(e,+co)C.■|e2,+oo]D.[■|e2,+oo]

【答案】C

【分析】

对函数y=〃x)求导得出尸(x)=(x+D(e*-6)，由题意得出函数y=〃x)在(0,+。)上存在极小值点，然

后对参数〃分类讨论，在。<e时，函数y=/(x)单调递增，无最小值；在"e时，根据函数y=/(x)的单

调性得出了(尤)极小值4/(0)，从而求出实数。的取值范围.

【详解】

Q/(x)=x^x-^ar3-^ax2+l,/./r(x)=(x+l)e%-ax2-ar=(x+l)^x-ax^,

构造函数g(%)="-依，其中x〉0,则g〈x)=e”-a.

①当Q«1时，对任意的%>0,gr(x)>0,则函数y=g⑺在(0,+a)上单调递减,

此时，g(x)>g(O)=l>O,则对任意的x>0,/'(%)>0.

此时，函数y=〃%)在区间(0,+。)上单调递增，无最小值；

②当。>1时，解方程g<x)=eX_a=0,得了=in〃.

当Ovxvlna时，g'(x)<0,当x>lna时，g'(%)>0,

止匕时，g(九).uglma)：]一]1n〃=a(l—lna).

(i)当1-lnaNO时,即当lva<e时,则对任意的尤>0,/r(x)>0,

此时，函数>=〃％)在区间(0,+。)上单调递增，无最小值；

(ii)当1-lnavO时，即当〃〉e时，..g(0)=l,当时，g(x)f+oo,

由零点存在定理可知,存在.£(O,lna)和％£(1口。,也)，使得g&)=g«2)=。,

1，2,

gpe'-atl=e-at2=0,且当0<x<(和x>f2时，g(x)>0,止匕时，/(x)>0；

当4Vx时，g(x)<。，此时，r(x)<。.

所以，函数y=/(x)在x=%处取得极大值，在x=L取得极小值，

由题意可知，极小值=〃幻<”0)=1,

二./(打)=~cit^一-at\=qe'z—_——t^2+1=1—§+<1,

3e’2a

可得方2之一，又*—at?=。,可得。=—,构造函数/z(x)=—，其中%之弓，

2元2

则〃(x)「'(；T)>o,此时，函数y=/i(x)在区间上单调递增，

3

当时，则"(同2彳||=弓=+2,...让全上

2

因此，实数。的取值范围是ge；+8：故选C.

3.已知函数〃力=(彳-4-1孵+。，若存在bwR,对于任意xe[l,2],都有则实数。的取值范

围是・

【答案】上日

【分析】

设g(x)=(x-a-l)d,问题转化为对于任意xe[1,2],都有g(x)1n”-8(壮诬<e,利用导数研究g(x)的最值，

建立关于〃的不等式即可求解.

【详解】设g(x)=(尤-。-1)/,由b的任意性，结合题意可知，对于任意xe[l,2],

即g(X)max-g(X)1nin<C,

又，(x)=(x-a)e1易知函数g(x)在(-s,“)单调递减，在3—)上单调递增，

①当aWl时，g(x)在[L2]上单调递增，

贝Ug(x)max=g(2)=(1-谪,g(x)min=g(l)=-ae

故g(x)max-gC^hnin=(l-a)e2+ae<e,解得a>l,此时无解.

②当“22时，g(x)在[1,2]上单调递减，

则g(x)max=g(X)=-ae,g(x)=g(2)=(l-a)e?故g(x)maXmin=-ae-(l-a)e2<e，解得2,“<--

1nhie-1

③当1<〃<2时，冢尤)在［1,。］一上单调递减，在(〃,2］上单调递增，

则g(x)min=g(a)=—e"，g(x)max=max{g⑴,g(2)},

故只需g⑴-g(a)=e"-<e且g(2)-g(a)=ea+(1-a)e2<e

记函数m(a)=ea-ae-e,则/⑷=e"-e>0,函数m{d)在(1,2)上递增,

则m(a)<m(2)=e2-3e=e(e-3)<0,

t己函数"(a)=e"+(1—a)e2-e贝!jnr(a)=ea-e2<0,

函数n(a)在(1,2)上递减,贝ljn(a)<〃⑴=3+0-e=0

故当1<〃<2时，g⑴一g(〃)<e且g(2)-g(a)<e'恒成立，满足题意，

综上所述，实数a的取值范围为［1,故答案为：［1，詈］

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，查了不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，考查了

推理能力与计算能力，属于难题.

【题型五】恒成立求参：代入消参型(虚设根型)

【典例分析】

设实数2>0,若对任意x«0,y),不等式9-In(2x)20恒成立，则几的取值范围是()

A.0<2<-B.0<2<^—1C.0<A<eD.0<A<e2

e

【答案】C

【分析】

令/(x)=--ln(2x),根据二阶导数的符号判断了'(尤)的单调性，由零点存在性定理易知比e(0,+⑹使

/Vo)=O,止匕时2=%/。，进而讨论了(X)的单调性可知/(X)2/(X。)，要使题设不等式恒成立，即

/(%)=g-In2-In毛20成立，构造g(x0)=J-2InX。-％利用导数研究其单调性确定g(x0)2。的区间,

进而求彳的范围.

【详解】令〃x)=C-in/x),只需要xe(O,y)上/(尤)20恒成立，

A-

x1

VfXx)=—e--S.A>0,

Ax

/./"(x)=—+-^>0,即/(尤)在xe(O,+x))上单调递增，

・.•limff(x)=-oolimff(x)=+oo

•xfo+'xf+00

x

玉oe(0,+°o)，使((尤o)=。，即2=Xoe°,：.xe(0,尤0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；xe(尤°,+℃)时，/'(x)>0,

/(x)单调递增；

故只需〃力2/(尤0)=三ln(/Uo)=三--ln2-lnx0>0,令g(x())=^--21n无0-%,

44xo

g'Oo)=-('+if<。，故g(尤0)在尤0e(0,+<»)上递减，而g⑴=0,

xo

・・・/£(0,1]时，g(x0)20恒成立，可知；1=为淖w(0,e].故选:C

【提分秘籍】

基本规律

1.代入消参，也是压轴大题的一个类型。

2.解题框架(主要的)：

(1)导函数(主要是一阶导函数)等零这一步，有根X。但不可解。但得到参数和X。的等量代换关系。备

用

(2)知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根X。

(3)利用X。与参数互化得关系式，先消掉参数，得出X。不等式，求得X。范围。

(4)再代入参数和X。互化式中求得参数范围。

【变式演练】

1.已知函数〃x)=x2Tn(l+x)-ln(a-x)有唯一零点，则”()

A.0B.--C.1D.2

2

【答案】C

【分析】

分析可知函数〃力存在极小值/(不)=0且满足一^=」7-2%,由此可得出

CL—XQXQ+1

/(x°)=x；+ln己了一三个=0,构造函数0(x)=Y+ln,其中一〈苫〈号■,利用导

数分析得出函数。(另在区间T号一上为减函数，可求得与的值，进而可求得。的值.

【详解】函数"X)的定义域为(—1,4),则。>一1,;(无)=2尤--二---,

x+1x-a

贝U"(x)=2++r->0,所以，函数尸(x)在(-U)上为增函数，

当了-—-时，/'(%)--00，当Xf〃-时，/'(%)—+00，

则存在不,使得广(%0)=2%o—=。，则=—77一2”。,

XQ+iXQ—aQ—XQXQ+I

当-l<x<x°时，尸(x)<0,此时函数/(x)单调递减，

当不<了<。时，/(%)>0,此时函数〃x)单调递增，.•"(X)疝"=/(%)=%一ln(l+Xo)—ln(a-Xo),

由于函数〃力=炉-111(1+彳)一In(a-x)有唯一零点，则"x).=/(毛)=*一ln(l+x())-皿。一%)=。，

-------=----------2%>0/9_1

由Ja-与x0+l,解得

x0>-12

1/11

所以，XQ-ln(l+x0)+ln-------=XQ-ln(l+x0)+ln----------2x0=x；+ln

、a—x。[%+l)

令夕(%)=%2+ln--^--3-,其中,

(x+1)x+lj2

，/、(%+l)22(x+2)_2]+2(x+2)4x4+8x3+2x2+4

(p,(x\=2x+v/—

V71-2X2-2X(%+l)3(2炉+2x-l)(x+l)(2f+2%_l)(x+l)

4X2(X+1)2+2(2-^2)

(2尤2+2x-l)(x+l)

n_\

-1<X<^—,贝1」2炉+2%—1<0,x+l>0,2—炉>0,贝Ij0'(x)v。，

所以，函数在|-1，气一上单调递减，且°(0)=0,，/二。，

从而可得！=1,解得。=1.故选：C.

a

2.已知函数/(x)=xe2l-l,不等式于(x)>mx+^x对任意xe(0,内)恒成立，则实数m的取值范围是()

A.(-8,2]B.[0,2]C.(-a),e2-l]D.[0,e2-l]

【答案】A

【分析】

问题等价于隙W,二一比x-1对任意**(0,+8)恒成立,构造函数gQ)=史二^]，利用导数求出函数的

XX

单调性，根据单调性求出g(x)的最小值，即可求出机的取值范围.

【详解】

xe2x-Inx-1

由题可得/(%)>mx+lnx对任意xe(0,+oo)恒成立，等价于m<对任意工£(0,+9)恒成立，

x

令g(%)=----^――~~~，则g'(1)=2'2+山',令h(x)=2x2e2x