2024届河北省保定市定兴县九年级数学第一学期期末考试试题含解析

2024届河北省保定市定兴县九年级数学第一学期期末考试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.若2y—7x=0,贝!）x：y等于（）

A.2：7B.4：7C.7：2D.7：4

2.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108。，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没

有滑动，则重物上升了（）

A.7tcmB.2ncmC.3ncmD.57rcm

3.在平面直角坐标系中，点尸（1,-2）是线段A3上一点，以原点O为位似中心把AA08放大到原来的两倍，则点

尸对应点的坐标为（）

A.(2,-4)B.(2,-4)或(-2,4)

D.(-,-1)或(-L1)

C.(—,-1)

222

4.小明利用计算机列出表格对一元二次方程f+2尤_10=0进行估根如表:那么方程%2+2%-10=（）的一个近似根是

()

X-4.1-4.2-4.3-4.4

X2+2X-10-1.39-0.76-0.110.56

A.-4.1B.-4.2C.-4.3D.-4.4

5.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，且AE=1AB,将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在

3

AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q,对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④4PBF是等边三

角形.其中正确的是（）

C.①③D.①④

6.已知二次函数y=ar2+/?%+c,当x=2时,该函数取最大值8.设该函数图象与A-轴的一个交点的横坐标为X,,

若西〉4,则a的取值范围是（）

A.-3<a<-lB.-2<a<0C.-Ka<lD.2<a<4

7.下列四个图形是中心对称图形（）.

至0B°C0DQ

8.已知圆锥的底面半径为5cm,母线长为13。机，则这个圆锥的全面积是（）

A.657rcm2B.9。乃cm?C.130/rcm2D.155^cw2

9.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）

10.下列一元二次方程，有两个不相等的实数根的是（）

A.x?+6x+9=0B.x2=x

C.（%+1）2+1=0D.X2+3=2X

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，A是反比例函数y=&（x>0）图象上的一点，点B、D在》轴正半轴上，AABD是ACOD关于点D的位似

X

图形，且AABZ）与ACOD的位似比是1：3,的面积为1,则上的值为.

3

12.如图，RtZXABC中，N4C5=90°,BC=3>,tanA=-,将RtaABC绕点C顺时针旋转90°得到点F

4

是OE上一动点，以点尸为圆心，尸。为半径作。F,当尸。=时，。尸与RtZXABC的边相切.

13.点62,-3)关于X轴的对称点6的坐标是.

14.如图，点8,E分别在线段AC,DF上，若ADHBEHCF,AB=3,BC^2,£>E=4.5,则DE的长为

15.一棵参天大树，树干周长为3米，地上有一根常春藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高，那么这根常春藤至少

有一米.

16.如图，在平面直角坐标系中，直线1的函数表达式为丁=》，点2的坐标为(1,0),以。为圆心，。。为半径画圆,

交直线/于点耳，交x轴正半轴于点。2,以仪为圆心，。2。为半径的画圆，交直线/于点外，交x轴的正半轴于点

。3,以。3为圆心，。3。为半径画圆，交直线/与点A，交X轴的正半轴于点。4,…按此做法进行下去，其中弧

17.二次函数＞=2产+a+/图像的顶点坐标为.

18.已知扇形半径为5cm,圆心角为60。，则该扇形的弧长为cm.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，四边形48C。是矩形，A8=6,BC=4,点E在边48上（不与点A、8重合），过点。作O/LOE,

交边BC的延长线于点尸.

（1）求证：

（2）设线段AE的长为x,线段8厂的长为y,求y与x之间的函数关系式.

（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cosNAEO的值为.

20.（6分）孝感商场计划在春节前50天里销售某品牌麻糖，其进价为18元/盒.设第X天的销售价格为》（元/盒），销

售量为加（盒）.该商场根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当14x430时，y=38；当31WxW50时，，

与x满足一次函数关系，且当x=36时，y=37；x=40时，y=35.②优与x的关系为m=3x+3O.

（1）当31WxW50时，丁与x的关系式为；

（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？

21.（6分）如图，已知AC与。。交于民C两点，过圆心。且与。。交于两点，。8平分NAOC.

(1)求证：AACDs/viBO

(2)作ERLAO交于，若EF//OC,OC=3,求防的值.

22.(8分)计算：2sin30°-72cos450-tan230°.

23.（8分）有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x-l,x+l,3.将这三张卡片背面向上洗匀,

从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张.第一次抽取的卡片正面的整式作为分子，第二次抽取的

卡片正面的整式作为分母.

(1)请写出抽取两张卡片的所有等可能结果(用树状图或列表法求解);

(2)试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率.

x-1工+1|3|

24.(8分)在2017年篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比

赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已

经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)

25.(10分)如图，已知抛物线y=ox?+Zzr+c(a#))与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,()),与y轴交于点C,

且OC=OB.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90。后，点A的对应点A，恰好也落在此抛物线上，求点

P的坐标.

26.(10分)十八大以来，某校已举办五届校园艺术节.为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经

典诵读”、"民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目.小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制

了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.

4

3

2

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

(1)五届艺术节共有个班级表演这些节日，班数的中位数为,在扇形统计图中，第四届班级数的扇形

圆心角的度数为;

(2)补全折线统计图；

(3)第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”

分别用A,B,C,。表示).利用树状图或表格求出该班选择A和。两项的概率.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、A

【分析】由2y-7x=0可得2y=7x,再根据等式的基本性质求解即可.

【详解】解：•；2y—7x=0

/.2y=7x

..x：y=2：7

故选A.

【点睛】

比例的性质，根据等式的基本性质2进行计算即可，是基础题，比较简单.

2、C

【解析】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：-108置5=3ncm,则重

180

物上升了3ncm,故选C.

考点：旋转的性质.

3、B

【分析】根据位似变换的性质计算即可.

【详解】点P(1,-2)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AAOB放大到原来的两倍，

则点P的对应点的坐标为(1x2,-2x2)或(lx(-2),-2x(-2)),即(2,-4)或(-2,4),

故选：B.

【点睛】

本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,

那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

4、C

【分析】根据表格中的数据，。与-0.11最接近，故可得其近似根.

【详解】由表得，o与-0.11最接近，

故其近似根为-4.3

故答案为C.

【点睛】

此题主要考查对近似根的理解，熟练掌握，即可解题.

5、D

【解析】试题解析：•.,AE=：AB,

ABE=2AE,

由翻折的性质得，PE=BE,

:.ZAPE=30°,

/.ZAEP=90o-30o=60°,

AZBEF=—(180。-NAEP)=—(180°-60°)=60°,

22

:.ZEFB=90°-60*30。,

AEF=2BE,故①正确；

VBE=PE,

.\EF=2PE,

VEF>PF,

APF<2PE,故②错误；

由翻折可知EF±PB,

AZEBQ=ZEFB=30°,

ABE=2EQ,EF=2BE,

AFQ=3EQ,故③错误；

由翻折的性质，ZEFB=ZEFP=30°,

.\ZBFP=30o+30o=60°,

VZPBF=90°-ZEBQ=90°-30°=60°,

/.ZPBF=ZPFB=60°,

•••△PBF是等边三角形，故④正确；

综上所述，结论正确的是①④.

故选D.

考点：1.翻折变换(折叠问题)；2.矩形的性质.

6、B

【分析】利用函数与x轴的交点，求出横坐标西，根据开口方向、以及%〉4列出不等式组，解不等式组即可.

【详解】•.•二次函数y=a?+乐+。，当》=2时，该函数取最大值8

y=a(x-2)2+8>a<0,

当y=0时，a(x-2)2+8=0

Aa>-2

/.-2<a<0

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

7、C

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

8、B

【分析】先根据圆锥侧面积公式：S=TZT7求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.

【详解】解：圆锥的侧面积=4x5x13=65)(病，所以这个圆锥的全面积=65万+万、52.

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.

9、B

【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可.

【详解】从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键.

10、B

【分析】分别计算出各选项中方程根的判别式的值，找出大于0的选项即可得答案.

【详解】A.方程x2+6x+9=0中，△=62-4x1x9=0,故方程有两个相等的实数根，不符合题意，

B.方程中，△=(-1)2.4xlx0=l>0,故方程有两个不相等的实数根，符合题意，

C.方程(x+l>+l=0可变形为(x+1)2=-1<0,故方程没有实数根，不符合题意，

D.方程f+3=2x中，△=(-2)2-4xlx3=-8V0,故方程没有实数根，不符合题意，

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#)),根的判别式为△=b2・4ac,当A>0时，方程

有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根，当AV0时，方程没有实数根.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、8

【分析】根据AABD是ACOD关于点D的位似图形，且AABD与ACOD的位似比是1：3,得出笔=当==，进而得

CEAE4

出假设BD=x,AE=4x,D0=3x,AB=y,根据AABD的面积为1,求出xy=2即可得出答案.

【详解】过A作AEJ_x轴，

■:AABDMACOD关于点D的位似图形,

KAABD与ACOD的位似是1:3,

.CO1

••=-9

AB3

AOE=AB,

.CQ_DO_3

^~CE~~AE~^9

设BD=x,AB=y

/.DO=3x,AE=4x,C0=3y,

「△ABD的面积为1,

1

A-xy=l,

.*•xy=2,

AABAE=4xy=8,

故答案为：8.

【点睛】

此题考查位似变换，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于作辅助线.

20-14

12、豆或二

【分析】如图1,当。尸与RtAABC的边AC相切时，切点为“，连接尸则〃尸_LAC,解直角三角形得到AC=4,

20

AB=5,根据旋转的性质得到NOCE=NAC5=90。，DE=AB^5,CD=AC=4,根据相似三角形的性质得到OF=-；

如图2,当。尸与RtAABC的边AC相切时，延长OE交于"，推出点”为切点，O//为。/的直径，根据相似三

角形的性质即可得到结论.

【详解】如图1,当。户与R3A5C的边AC相切时，切点为“，

连接尸"，则〃尸"LAC,

A

B

图1

：.DF=HF,

3

•.•RtA45C中，ZACB=90°,8c=3,tanA=——=

AC4

：.AC=4,AB=5,

将R3A3C绕点C顺时针旋转90。得到ADEC,

：.NDCE=NACB=9Q。,DE=AB=5,CD=AC=4,

'."FH1.AC,CD±AC,

：.FH//CD,

.FH_EF

**CD-DE*

.DF_5-DF

••=9

45

20

解得：DF=—;

如图2,当。尸与RSA8C的边AC相切时，延长OE交4〃于

综上所述，当尸。=豆或不时，。尸与RS48C的边相切，

故答案为：U20或14

95

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

13、（2,3）

【分析】根据对称点的特征即可得出答案.

【详解】点。（2,-3）关于工轴的对称点6的坐标是（2,3）,故答案为（2,3）.

【点睛】

本题考查的是点的对称，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识.

14、7.1

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【详解】解：AD//BE//CF,

,ABDE34.5

••一,艮P-=,

BCEF2EF

解得，EF=3,

:.DF=DE+EF=1.5,

故答案为：7.1.

【点睛】

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

15、25

【分析】如下图，先分析常春藤一圈展开图，求得常春藤一圈的长度后，再求总长度.

【详解】如下图，是常春藤恰好绕树的图形

•.•绕5圈，藤尖离地面20米

,常春藤每绕1圈，对应的高度为20+5=4米

我们将绕树干1圈的图形展开如下，其中，AB表示树干一圈的长度，AC表示常春藤绕树干1圈的高度，BC表示常

春藤绕树干一圈的长度

c

.•.在RtAABC中,BC=5

，常春藤总长度为：5x5=25米

故答案为：25

【点睛】

本题考查侧面展开图的运算，解题关键是将题干中的树干展开为如上图aABC的形式.

16、22°"乃.

【分析】连接片。，PQ,,1。3,易求得垂直于x轴，可得弧匕。“+1为上圆的周长，再找出圆半径的规律即可

4

解题.

=00t,

直线/解析式为丁=%,

zppo,=45°,

.•.△匕。01为等腰直角三角形，即轴,

同理，鸟。“垂直于x轴,

，弧20的为上圆的周长，

4

以。I为圆心，。。为半径画圆，交X轴正半轴于点。2,以。2为圆心，。2。为半径画圆，交x轴正半轴于点。3,

以此类推，

OOn=2"T,

弧%O,+i=；•2%-OO“=g乃•2"i=*兀,

当〃=2019时，弧Eoi902（）2。=22°%.

故答案为2237%.

【点睛】

本题考查了圆周长的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键.

17、（-1,-1）

【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可.

【详解】Vy=2x2+4x+l=2（x2+2x+l）-l=2（x+l）2-l,

•••抛物线顶点坐标为（一1，一1）.

故本题答案为：（一1，一1）.

【点睛】

本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式.

5冗

18、—

3

【分析】直接利用弧长公式/="四进行计算.

180

【详解】解：由题意得：/=:等=

1803

故答案是：弓

【点睛】

本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键.

三、解答题（共66分）

35

19>（1）见解析；（2）y=-x+4；（3）—・

213

【分析】（1）根据矩形的性质和余角的性质得到NA=NADC=NDCB=90。，ZADE=ZCDF,最后运用相似三角形的

判定定理证明即可；

（2）运用相似三角形的性质解答即可；

（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE,再运用勾股定理可求出AE,DE的长，最后用余弦的定义解答即可.

【详解】（1）证明•••四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,ZA=ZBCD=ZADC=90",AD=BC=4,AB=CD=6,

AZADE+ZEDC=90°,

'：DF1.DE,

:.NEDC+NCDF=9Q",

：.ZADE=ZCDF,且NA=NOC尸=90°,

:ADAEsADCF；

（2）•：XDAEsRDCF,

.ADAE

".=9

DCCF

4x

*--_-----

•6y-4

3

•'•y=yx+4；

（3）•四边形E5FZ）为轴对称图形，

：.DE=BE,

'：AD2+AE2=DE2,

：.16+AE2=（6-AE）2,

5

：.AE=~,

3

13

：.DE=BE=—,

3

AE5

:.cosZAED=---=—,

DE13

故答案为：——.

13

【点睛】

本题属于相似形三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称图形的性质等知识,

灵活运用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.

20、（1）y=-；x+55;（2）32,2646元.

【分析】（1）设一次函数关系式为^=依+。（人工0）,将''当x=36时，y=37；%=40时，y=35”代入计算即

可；

（2）根据利润等于单件利润乘以销售量分段列出函数关系式，再根据一次函数及二次函数的性质得出最大利润即可.

【详解】解：（1）设一次函数关系式为y=履+伙女工0）

•..当x=36时，y=37X=4()时，y=35,

=」

37=36k+bk

即《,解得:2

35=40攵+8

6=55

=1“

y——x+55

(2),W-(y-18)m

...当1<XV30时,

W=(38-18)(3x+30)

=60x+600

V60>0

...当x=30时，W最大=2400（元）

当31WXW50时

W=（-L+55—l8）（3%+30）

3，

=--X2+96X+1110

2

3,

=--（X-32）2+2646

.•.当x=32时，当天的销售利润W最大，为2646元.

2646>2400

故当x=32时，当天的销售利润W最大，为2646元.

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键.

21、⑴见解析；（2）EF=6-36

【分析】（1）由题意可得/BOE=，NAOC=ND,且NA=NA,即可证△ACDS/\ABO；

2

（2）由切线的性质和勾股定理可求CD的长，由相似三角形的性质可求AE=3ji，由平行线分线段成比例可得

AEEF口口—分山金

------------9即可求EF的值.

AOOC

【详解】证明：（1）•••08平分NAOC

：.ZB0E=-ZA0C

2

又•••CE所对圆心角是NE0C,所对的圆周角是/D

：.ZD=-ZE0C

2

:.ND=/BOE

又•••NA=NA

:.AACQsAABO

(2)VEFA.AD,

二NOEF=90°

■:EFIIOC,

:.NDOC=NOEF=9N

YOC=OD=3,

:，CD=y/0C2+0D2=372

VAACQS/VUJO

.ADCD

''~AO~~BO

.AE+63V2

••----------=-------，

AE+22

AE=372，

EFIIOC,

：.M£FsAAOC

.AEEF

''~\O~~0C

.2V2EF

“30+2-彳

EF=6-3y/2

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，求出AE的长是本题的关键.

1

22、

3

【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

【详解】解：原式=2x11

23

故答案为—-.

3

【点睛】

本题考查了实数的运算.熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2

23、（1）见解析；（2）-

【分析】（1）用树状图或列表法把所有的情况表示出来即可;

（2）根据树状图找到所有的情况数以及能组成分式的情况数,利用能组成分式的情况数与总数之比求概率即可.

【详解】（1）树状图如下:

第一次x-1X+13

/\/\/\

第二次X+13x-13X+1x-1

x-1x-1X+1x+133

结果

x+13X-

（2）总共有6种情况，其中能组成分式的有4种，所以

42

P（组成分式）=二=；

63

【点睛】

本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，掌握树状图或列表法和概率公式是解题的关键.

1

24、-

4

【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解.

【详解】根据题意画出树状图如下：

一共有4种情况，确保两局胜的有I种，所以，吟.

考点：列表法与树状图法.

315

25、(1)y=-x2-2x+3(2)—)(3)满足条件的点P的坐标为P(-1,1)或(-1,-2)

24

【详解】(1)•:抛物线y=依2+法+。(。。0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),

AOB=3,

VOC=OB,

AOC=3,

Ac=3,

。+/7+3=0a=—\

A{”，解得：L0,

n9。―3。+3=0b=—2

，所求抛物线解析式为：y=—Y—2X+3；

(2)如图2,过点E作EFJ_x轴于点F,设E(a,-a2-2tz+3)(-3<a<0),

AEF=-6r2-2tz+3>BF=a+3,OF=-a,

S四边形BOCE=S^BEF+S梯形FOCE=~BF・EF+—(OC+EF)

113)9933,63

•OF=—(Q+3)(-Q02—2Q+3)+—(_Q——2Q+6)(_Q)=——cT——a+—=——(Q+—)2H,

22222228

・••当a=—7时，S四边形BOCE最大，且最大值为g.

2o

315

此时，点