2023-2024学年云南省昆明市禄劝县屏山中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省昆明市禄劝县屏山中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.代数式普有意义的条件是（）

A.%。-2B.x>—2C.%>—2D.%H0

2.下列各式计算正确的是（）

A.y/~~2+A/-3=4^~3—3*7-3=1C.V12+2=6D.y/~~2xV-3=6

3.三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（）

A.1,1,1B.C.6,8,10D.13,14,15

4.如图，数轴上点4对应的数是-1,点C对应的数是—3,BC1,------、

AC,垂足为C,且BC=L以4为圆心，4B长为半径画弧，交不、

数轴于点。，则点。表示的数为（）g丁1J

A.—1+77B.42C.-1+«5D.J3

5.如图，菱形4BCD的对角线4:、BD相交于点0,过点。作OH1R

AB于点H,连接OH,0/7=4,若菱形4BCD的面积为32，号，

则co的长为（）A0

D

A.4B.4GC.8D.8<3

7.某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关

系，并画出如图所示的图象（4C是线段，直线CD平行于x轴）,下列说法正确的是（）

①从开始观察时起，50天后该植物停止长高；

②直线4c的函数表达式为y=+6：

③第40天，该植物的高度为14厘米;

④该植物最高为15厘米.

①②③B.②④C.②③D.①②③④

8.一组数据:3,4,4,6,若添加一个数据6,则不发生变化的统计量是（）

A.平均数B.中位数众数D.方差

9.下列方程中，是一元二次方程的是（)

x-1=0B.x-y=0C.x2--=0D.X2—1=0

X

10.下列一元二次方程无实数根的是（)

A.%2+x-2=0B.x2-2x=0C.x2+x+5=0D.x2-2x+1=0

11.若函数丫=（。-3）/+%+。是二次函数，那么a不可以取（)

A.0B.1C.2D.3

12.已知抛物线y=(x-27+1,下列结论错误的是（）

A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴为直线％=2

C.抛物线的顶点坐标为（2,1）D.当x<2时，y随x的增大而增大

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.当x=-6时，二次根式二4一2x的值为

14.如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块.一只

蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点4处爬行至右上角的点B处,

那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为cm.

15.若（2—&）姆2-2一5=o是一元二次方程，贝

16.如果函数y=（m-3）XWT+3%-1是二次函数，那么根的值为

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题6.0分)

计算：

(1)\/-27-I-2<3|-OX(2-7T)0+(-1)202。；

(2)(/T7-<77)+「+AX2门

18.(本小题6.0分)

如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知L4D=4米，CC=3米，^ADC=90°,

4B=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.

(1)△力BC是直角三角形吗？为什么？

(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，己知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需

花费多少元？

19.(本小题8.0分)

如图，在四边形4BCC中，AB//CD,“平分Z1MB,AB=2CD,E为中点，连结CE.

(1)求证：四边形4ECD为菱形；

(2)若4。=120。，DC=2,求△ABC的面积.

20.(本小题8.0分)

某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植4、B两种花卉，已知3盆4

种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆4种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元.

(1)每盆4种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？

(2)若该景区今年计划种植4、B两种花卉共400盆，相关资料表明：48两种花卉的成活率

分别为70%和90%,景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补

的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？

并求出最低费用.

21.(本小题6.0分)

某中学举办“交通及防溺水安全知识告赛”，七年级甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手

组成代表队参加学校决赛，两个代表队的5名选手的决赛成绩如图所示，成绩统计见表格：

班级平均数/分中位数/分众数/分方差

甲班a85b70

乙班85C100160

(1)根据图示求出a,b,c的值；

(2)结合两队成绩的统计数据分析，哪个班的决赛成绩较好？

分数

22.(本小题6.0分)

解下列方程：

(l)x2-4=0；

(2)x2+2x-1=0.

23.(本小题8.0分)

某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50

人感染发病.

(1)每位发病者平均每天传染多少人？

(2)按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？

24.(本小题8.0分)

小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池.如图，在水池中心竖直安装了一根高为2nl的喷水管,

它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1巾处达到最高，水柱落地处离水池中心的

距离为37n.求：

(1)抛物线对应的函数解析式；

(2)水柱的最大高度.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：代数式占有意义的条件是：x+2>0,

Vx+2

解得：x>-2.

故选:B.

直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键.

2.【答案】D

【解析】解：4、，2与C不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；

B、4^-3y/~3=y/~3,故3不符合题意：

c、d+2=C，故C不符合题意；

D、门乂仃二口，故。符合题意；

故选：D.

利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可.

本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

3.【答案】D

【解析】解：4••・©2+12=(}2,

此三角形是直角三角形，不符合题意；

乐•••o+(o=o，

•••此三角形是直角三角形，不符合题意；

C、•••62+82=102,

;此三角形是直角三角形，不符合题意；

142+132*152,

•••此三角形不是直角三角形，符合题意：

故选：D.

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形

判定则可.如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即

可.

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，

确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

4.【答案】C

【解析】解：••・BC1AC,

Z.BCA=90°,

AB=VBC2+AC2=7I2+22=H，

•••以4为圆心，4B为半径画弧，交数轴于点D,

AD=AB=V_5>

二点。表示的数是：y/~5-1，

故选：C.

首先根据勾股定理求出AB的长，再根据同圆的半径相等可知4。=4B,再根据条件：点4对应的

数是-1,可求出。点坐标.

此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是求出AB的长.

5.【答案】C

【解析】解：1.•DH1AB,

：.Z.BHD=90°,

••・四边形4BCD是菱形，

OB=OD,OC=OA=^AC,AC1BD,

•1•OH=OB=OD=aBD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），

OD=4,BD=8,

由-BD=32门得，

8.AC=32y/~3,

•••AC=8门，

OC=^AC=40-

CD=VOC2+OD2=8，

故答案为：C.

在RtABDH中先求得B。的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长.

本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了函数的定义.解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一

个值，y都有唯一的值与其对应.

设在一个变化过程中有两个变量％与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么

就说y是％的函数，x是自变量.根据函数的意义即可求出答案.

【解答】

解：4、C、。选项中对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，

只有B选项对于X的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义.

故选：B.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数解析式的求法，已知自变量求函数值，仔细观

察图象，准确获取信息是解题的关键.

①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；

②设直线4C的解析式为y=kx+b(k*0),然后求出直线AC线段的解析式，

③把x=40代入②的结论进行计算即可得解；

④把x=50代入②的结论进行计算即可得解.

【解答】

解：•••CO〃x轴，

.•・从第50天开始植物的高度不变，

故①的说法正确；

设直线4C的解析式为y=kx+b(k40),

•••经过点4(0,6),8(30,12),

b=6,30k+b=12,

解得&-I，b=6,

所以，直线AC的解析式为y="x+6(0SxS50),

故②的结论正确；

当x-40时,y=x40+6=14,

即第40天，该植物的高度为14厘米；

故③的说法正确；

当x=50时，y="x50+6=16,

即第50天，该植物的高度为16厘米：

故④的说法错误.

综上所述，正确的是①②③.

故选：A.

8.【答案】B

【解析】解：4、原来数据的平均数是手，添加数字6后平均数为言，故不符合题意；

8、原来数据的中位数是4,添加数字6后中位数仍为4,故符合题意：

C、原来数据的众数是4,添加数字6后众数为4和6,故不符合题意；

力、原来数据的方差=1[(3-y)2+2X(4-*)2+(6一为2]=19,

添加数字6后的方差=款3-第2+2X(4-第2+2x(6-第2]=||,故方差发生了变化，故

不符合题意；

故选：B.

依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可.

本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.

9.【答案】。

【解析】解：4方程X-1=0是一元一次方程，选项A不符合题意；

3.方程％-y=0是二元一次方程，选项3不符合题意；

C.方程/一工=0不是整式方程，选项C不符合题意；

X

。.方程/-1=0是一元二次方程，选项。符合题意.

故选：D.

根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程”是解题的关键.

10.【答案】c

【解析】解：4、/=F-4x1x(-2)=9>0,则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不

符合题意；

B、/=(-2)2-4x1x0=4>0,则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意：

C、4=I?_4x1x5=-19<0,则该方程无实数根，故本选项符合题意；

D.A=(-2)2_4x1x1=0,则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；

故选：C.

根据一元二次方程根的情况与判别式4的关系：(1)/1>00方程有两个不相等的实数根；(2)4=

0=方程有两个相等的实数根；(3)4<0=方程没有实数根判断即可.

此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程a/+bx+c=0®#0),当廿一4ac>0

时，方程有两个不相等的实数根；当b2—4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当/-4ac<0

时，方程无实数根.

11.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了二次函数的定义，解题的关键是知道二次项系数不为0,最高次数为2的整式.

根据二次函数的定义，满足a—3*0即可.

【解答】

解：・函数丫=(。-3)/+%+(1是二次函数，

二a—3H0,

解得a力3.

故选：D.

12.【答案】D

【解析】解：4选项，••・a=1>0,

抛物线开口向上，故该选项不符合题意；

B选项，抛物线的对称轴为直线％=2,故该选项不符合题意；

C选项，抛物线的顶点坐标为(2,1),故该选项不符合题意；

。选项，当％<2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；

故选：D.

根据抛物线a>0时，开口向上，a<0时，开口向下判断4选项；

根据抛物线的对称轴为x=九判断B选项；

根据抛物线的顶点坐标为(九k)判断C选项；

根据抛物线a>0,%<h时，y随工的增大而减小判断。选项.

本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a>0,x</i时，y随x的增大而减小，x>/i时，y随x的

增大而增大；a<0时，x<八时，y随x的增大而增大，x>九时，y随x的增大而减小是解题的关键.

13.【答案】4

【解析】解：把％=-6代入，得

V4—2x—J4-2X(-6)—V16—4.

故答案为：4.

把x的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式.

本题考查了二次根式的定义.理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次

根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围.

14.【答案】<85

【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确

定最短的路线.

(1)展开前面右面由勾股定理得AB?=(6+3A+42=97；

(2)展开前面上面由勾股定理得=(4+3)2+62=85；

(3)展开左面上面由勾股定理得4炉=(6+4/+32=109.

v85<97<109,

二最短路径的长为ZB=V~85(cm).

故答案为：785.

把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点4和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬

行的最短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的

长宽之和，利用勾股定理可求得.

本题考查了平面展开-最短路径问题及勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬

行最近”这类问题的关键.

15.【答案】-2

【解析】解：(2-a)xa2-2-5=0是一元二次方程，

(2-aH0

la2-2=2，

解得a=-2.

故答案为：-2.

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有三个

特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程.

此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式

方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为。/+以+。=0（£1力0）的形式，则这个方程就为

一元二次方程.

16.【答案】-1

【解析】解：•.•函数y=（m-+3x-1是二次函数，

|m-1|=2,且?n—3力0,

解得：m=-1.

故答案为：—1.

根据二次函数的定义结合二次项系数不能为零，进而得出答案.

此题主要考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键.

17.【答案】解：（1）原式=3「-2/3--^义1+1

=3C-2c-C+1

=1；

（2）原式=0++2J6xg

=0+2yl-2

=2A/-2.

【解析】（1）先根据绝对值的意义、零指数哥的意义和乘方的定义计算，然后把E化简后合并

即可；

（2）根据二次根式的除法和乘法法则运算.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指

数塞是解决问题的关键.

18.【答案】解：△ABC是直角三角形，

理由：连接4C,

在RtZkACC中，Z.ADC=90°,AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=

V324-42=5（米），

AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,

AC2+BC2=AB2,

Z.4CB=90°,

••.△ABC是直角三角形；

(2)该空地面积S=S^CB-ShADC=1x5xl2-ix3x4=24(平方米)，

即铺满这块空地共需花费=24x100=2400元.

【解析】(1)连接4C,根据勾股定理求出4C,根据勾股定理的逆定理求出44cB=90。即可；

(2)求出空地的面积，即可求出答案.

本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出区域

的面积.

19.【答案】解：(1)证明：rE为中点，

•••AB=2AE=2BE,

"AB=2CD,

CD=AE,

XvAE//CD,

，四边形4ECD是平行四边形，

•・・/C平分皿18,

・•・Z.DAC=Z.EAC,

vAB//CD,

・•・Z-DCA=4CAB,

:.Z.DCA=Z.DAC,

:.AD=CD,

・•・平行四边形4ECD是菱形；

(2)・.,四边形AECD是菱形,ZD=120°,

.・・AD=CD=CE=AE=2,乙D=120°=^AECf

・•・AE=CE=BE,乙CEB=60°,

/./.CAE=30°=Z,ACE,△CEB是等边三角形，

・・・BE=BC=EC=2,LB=60°,

・•・KACB=90°,

/.AC=yT3BC=2/3，

S〉ABC=；xACxBC=x2x2>J~~3=

【解析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形4ECC是平行四边形，由

平行线的性质和角平分线的定义可证AD=CD,可得结论；

（2）由菱形的性质可求4E=BE=CE=2,由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC,AC

的长，即可求解.

本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质和角平分线的定义，灵活运用

这些性质定义来解决问题是解题的关键.

解：（1）证明：•••E为AB中点，

AB=2AE=2BE,

■■■AB=2CD,

CD—AE,

XvAE//CD,

，四边形力EC。是平行四边形，

•・・4C平分皿18,

・•・Z.DAC=Z.EAC,

•♦・AB//CD,

••Z.DCA=Z-CAB,

Z.DCA=乙DAC,

:.AD=CD,

•••平行四边形4ECD是菱形；

⑵•••四边形AECD是菱形，/。=120°,

AD=CD=CE=AE=2,乙D=120°=Z.AEC,

AE=CE=BE,乙CEB=60°,

Z.CAE=30°=/.ACE,△CEB是等边三角形，

•••BE=BC=EC=2,乙B=60°,

Z.ACB=90°,

AC="BC=2V-3,

•••S4ABe=gXACxBC=IX2X2y/~3=2y/~3.

20.【答案】解：（1）设每盆4种花卉种植费用为x元，每盆8种花卉种植费用为y元，根据题意，

出（3x+4y=330

倚：（4x+3y=300'

解得：〔;4,

答：每盆4种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；

(2)设种植4种花卉的数量为小盆，则种植B种花卉的数量为(400-m)盆，种植两种花卉的总费用

为w元，

根据题意,得：(1-70%)m+(1-90%)(400-m)<80,

解得：m<200,

w=30m+60(400—m)=-30m+24000,

—30<0,

w随Tn的增大而减小，

当m=200时，w的最小值=-30X200+24000=18000,

答：种植4、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元.

【解析】(1)设每盆4种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意列出关于》的

二元一次方程组，求解即可；

(2)设种植4种花卉的数量为m盆，则种植8种花卉的数量为(400-m)盆，种植两种花卉的总费用

为w元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，列出一元一次不等式，解得m<200,

再由题意得w=-30m+24000,然后由一次函数的性质即可得出结论.

本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确

列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

21.【答案】解:(l)a=1x(75+80+85+85+100)=85,

•••甲班85出现了2次，出现的次数最多，

b=85,

把乙班的成绩按从小到大排列为：70,75,80,100,100,

则c=80；

(2)两队的平均成绩相同，而甲班的中位数较大、方差较小，因而甲班的决赛成绩较好.

【解析】(1)根据平均数、众数、中位数的定义即可得出答