广东省广州市2023-2024学年数学九年级上册期末统考试题含解析

广东省广州市2023-2024学年数学九上期末统考试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹

文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）

A.2%B.4.4%C.20%D.44%

2.如图，点A、5、C在。。上，NA=50。，则N80C的度数为（）

A.130°B.50°C.65°D.100°

3.如图，AB为。。的直径，点C,D在。0上.若NA0D=30°,则NBCD等于（

A.75°B.95°C.100°D.105°

4.如图，已知AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC绕A点逆时针旋转至A。，连接3。，E为3。的中

点，连接CE,则CE的最大值为（）.

A.石B.72+1

5.小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏.若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）

6.如图，在直角坐标系中，矩形。A8C的顶点。在坐标原点，边04在x轴上，0C在y轴上，如果矩形。4'戌。与

矩形048c关于点。位似，且矩形045，。的面积等于矩形045c面积的上,那么点朋的坐标是（）

4

4cB

A

06x

A.（3,2）B.（-2,-3）C.（2,3）或（一2,-3）D.（3,2）或（一3,-2）

7.在同一坐标系中，反比例函数y=8与二次函数y=Ax2+©A£o）的图象可能为（）

X

8.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔

各几何.“设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）

x+y=35x+y=35尤+y=35x+y=35

2x+2y=944x+2y=944x+4y=942x+4y=94

9.如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形,各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部,

对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）

10.已知二次函数.V=（X+/M-2）（X-〃?）+2,点4（石,丁|）,（百＜々）是其图像上的两点，（）

A.若为+刍＞2,则B.若均+々＜2,则

C.若玉+々＞-2,则D.若玉+々＜-2,则以〈必

11.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()

A.平行四边形B.等腰三角形C.矩形D.正方形

12.一元二次方程x2—8x—1=0配方后为()

A.(x-4)2=17B.(X+4)2=15

C.(X+4)2=17D.(X-4)2=17或(X+4)2=17

二、填空题(每题4分，共24分)

13.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边

为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把

这样的图形称为格点弦图.例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为屈，此时正方形EFGH的

而积为1.问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为而时，正方形EFGH的面积的所有可能值是(不包括

1).

图1备用图

14.如图，若抛物线了=汗+Zzr+c,与x轴无交点，则a,b,c应满足的关系是.

15.已知一扇形，半径为6,圆心角为120。，则所对的弧长为一.

16.写出一个对称轴是直线x=l,且经过原点的抛物线的表达式.

17.已知正六边形ABCDEF的边心距为J5cm,则正六边形的半径为cm.

18.如图，。与正五边形A8CDE的边分别相切于点5、。，则劣弧80所对的圆心角/BO。的大小为

度.

B

D

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，。。是△ABC的外接圆，A6是直径，ODLAC,垂足为。点，直线0。与。。相交于E,户两点,

尸是。。外一点，尸在直线。。上，连接Bl,PB,PC,且满足NPCA=NA5C

(1)求证：PA=PC；

(2)求证：必是。。的切线;

AJ13

(3)若5c=8,——=-,求OE的长.

DF2

20.(8分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴相交于点

C(0,-3).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHLx轴于点H,与BC交于点M,连接PC

①求线段PM的最大值；

②当APCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.

21.(8分)某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房

每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租.设每间客房每天的定价增加X元，宾馆出租的客房为)'间.求：

(l)y关于X的函数关系式；

(2)如果某天宾馆客房收入384(X)元，那么这天每间客房的价格是多少元?

22.（10分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地

完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x,不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为

数字y,

（1）用树状图或列表法表示出坐标（x,y）的所有可能出现的结果；

12

（2）求取出的坐标（x,y）对应的点落在反比例函数y=一图象上的概率.

x

23.（10分）某校组织了主题为“我是青奥志愿者”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A，B,

C,。四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题:

（1）求一共抽取了多少份作品？

（2）此次抽取的作品中等级为8的作品有份，并补全条形统计图；

（3）扇形统计图中等级为。的扇形圆心角的度数为一；

（4）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份？

24.（10分）如图，天星山山脚下西端A处与东端〃处相距800（1+百）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山

顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45。，东端的坡角是30。，小军的行走速度为交米/秒.若小明与小军同时到

2

达山顶C处，则小明的行走速度是多少？

25.（12分）如图，在心AABC中，ZAC5=90\。为边AB上的中点，交AC于点E,AD=2DE.

(1)求sinB的值;

(2)若CD=&,求CE的值.

26.若一个三位数的百位上的数字减去十位上的数字等于其个位上的数字，则称这个三位数为“差数”，同时，如果

百位上的数字为十位上的数字为〃，三位数/是“差数”，我们就记：F9)=bx(a叫,其中，

0<b<9.例如三位数1.•.三一1=4,是“差数”，...F(514)=lx(5-1)=4.

(1)已知一个三位数〃7的百位上的数字是6,若加是“差数”，F(m)=9,求加的值；

(2)求出小于300的所有“差数”的和，若这个和为〃，请判断"是不是“差数”,若是，请求出尸(〃)；若不是，

请说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【解析】分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅游

收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,

根据题意得：2(1+x)2=2.88,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2(不合题意，舍去).

答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.

故选C.

点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

2,D

【解析】根据圆周角定理求解即可.

【详解】解：VZA=50°,.,.ZBOC=2ZA=100°.

故选D.

【点睛】

考查了圆周角定理的运用.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

角的一半.

3、D

【解析】试题解析：连接AZ),

QA=O0,ZAOO=3O,

.•.ZOAD=1(180-30)=75.

.•.NBC。=180-75=105.

故选D.

点睛：圆内接四边形的对角互补.

4、B

【分析】取A5的中点M，连接CM,EM,当CE=CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AO=4C=2,

由三角形的中位线的性质得到EM=；AO=2,根据勾股定理得到48=2后，即可得到结论.

【详解】取A8的中点M,连接CM,EM,.•.当CE=CM+EM时，CE的值最大.

•.•将直角边AC绕4点逆时针旋转至4。，...AO=AC=2.

，：E为BC'的中点，：.EM=-AC'=2.

2

VZACB=90°,AC=BC=2,:.AB=2叵,：.CM=^ABCE=CM+EM^72+1-

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

5、A

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可

求得答案.

【详解】解：画树状图得：

开始

小华聚剪刀布

月石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布।

•••共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，

31

小华获胜的概率是：-=

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

6、D

【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标.

【详解】解：•.•矩形OA，B，C，的面积等于矩形OABC面积的工，

4

.•.两矩形面积的相似比为：1：2,

•••B的坐标是（6,4）,

...点B，的坐标是：（3,2）或（-3,-2）.

故答案为：D.

【点睛】

此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键.

7、D

【解析】根据k>0,k<0,结合两个函数的图象及其性质分类讨论.

【详解】分两种情况讨论：

①当k<0时，反比例函数y=8,在二、四象限，而二次函数y=kx?+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合；

X

②当k>0时，反比例函数y=8,在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符.

x

分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D.

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点.

8、D

【解析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35,2x鸡的只数+4x兔的只数=94,把相关数值代入即可得到所求的方程组.

【详解】解：•••鸡有2只脚，兔有4只脚，

x+y=35

...可列方程组为:

2x+4y=94

故选D.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.

9、C

【分析】根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案.

【详解】由题意得，

A.菱形四条边均相等，所以对应边成比例，对应边平行，所以角也相等，所以两个菱形相似，

B.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形相似；

C.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形

D.正方形四条边均相等，所以对应边成比例，四个角也相等，所以两个正方形相似；

故选C.

【点睛】

本题考查相似多边形的判定，其对应角相等，对应边成比例.两个条件缺一不可.

10、B

【分析】利用作差法求出必-%=（%-々）（为+々-2）,再结合选项中的条件，根据二次函数的性质求解.

【详解】解：由y=（x+，x-2）（x-m）+2得y=/+2胆+2,

必=xj—2七一ni2+1m+2,

22

y2=x2—2X2—m+2m+2,

%一丫2=（N）（^1+巧-2）,

Vx,<x2,

%-x2<0,

选项A,当X]+々>2时，X]+X2-2X）,y1<y2,A错误.

选项B,当玉+々＜2时，玉+%2-2＜0,%＞必，B正确.

选项C,D无法确定玉+马-2的正负，所以不能确定当王＜七时，函数值的yi与y2的大小关系，故C,D错误.

二选B.

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是利用作差法，结合二次函数的性质解答.

11、B

【分析】根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念进行分析判断.

【详解】解：选项A,平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，错误；

选项B,等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正确.

选项C,矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；错误；

选项D,正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，错误；

故答案选B.

【点睛】

本题考查轴对称图形的概念和中心对称图形的概念，正确理解概念是解题关键.

12、A

【解析】好-8%—1=0,移项，得*2-8X=1,配方，得*2-8X+42=1+42,即6—4）2=17.

故选A.

点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1;（3）等式两边同时加上一次

项系数一半的平方.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、9或2或3.

【解析】分析：共有三种情况：①当DG=g,CG=2j百时，满足DG2+CG2=CD2,此时HG=g,可得正方形

EFGH的面积为2；

②当DG=8,CG=1时，满足DG?+CG2=CD2,此时HG=7,可得正方形EFGH的面积为3；

③当DG=7,CG=4时，满足DG?+CG2=CD2,此时HG=3,可得正方形EFGH的面积为9.

详解：①当DG=JT5，CG=2，i5时，满足DG2+CG2=CD2,此时HG=JI5，可得正方形EFGH的面积为2.

②当DG=8,CG=1时，满足DG?+CG2=CD2,此时HG=7,可得正方形EFGH的面积为3；

③当DG=7,CG=4时，满足DG2+CG2=CD2,此时HG=3,可得正方形EFGH的面积为9.

故答案为9或2或3.

点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空

题中的压轴题.

14、b2-4ac<0

【分析】根据抛物线与x轴交点个数与^一4招的符号关系即可得出结论.

【详解】解：•.•抛物线y=o?+云+。与x轴无交点

b2-4ac<0

故答案为：b~-4ac<0.

【点睛】

此题考查的是根据抛物线与X轴交点个数判断a,b,c的关系，掌握抛物线与X轴交点个数与从一4ac的符号关系是

解决此题的关键.

15>47r.

【分析】根据弧长公式求弧长即可.

【详解】此扇形的弧长=坦"竺=4元，

180

故答案为：47r.

【点睛】

njrr

此题考查的是求弧长，掌握弧长公式：1=——是解决此题的关键.

180

16>答案不唯一（如y=f—2x）

【分析】抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值，根据顶点式写出对称轴是直线x=l的抛物线表达式，再化为一般式,

再由经过原点即为常数项c为0,即可得到答案.

【详解】解：•••对称轴是直线1=1的抛物线可为：y=（x-l）2=x2-2x+l

又•••抛物线经过原点，即C=0,

二对称轴是直线x=l,且经过原点的抛物线的表达式可以为：y=d-2x,

故本题答案为：y=/_2x（答案不唯一）.

【点睛】

本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系.关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同.

17、1

【详解】解：如图所示，连接OA、OB,过。作OD_LAB,

■:多边形ABCDEF是正六边形，

:.ZOAD=60°,

AOD=OA*sinZOAB=—AO=V3.

解得：AO=1.

故答案为L

【点睛】

本题考查正多边形和圆，掌握解直角三角形的计算是解题关键.

18>1

【分析】根据正多边形内角和公式可求出NE、ND,根据切线的性质可求出NQAE、ZOCD,从而可求出NAOC,

然后根据圆弧长公式即可解决问题.

【详解】解：五边形A5CDE是正五边形，

.•.",AL)"。；..

5

AB.DE与。相切，

ZOBA=NODE=90°,

NBOD=(5-2)x1800-90°-108°-108°-90"=144°,

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)DE=1.

【分析】(1)根据垂径定理可得4O=CO,得尸。是AC的垂直平分线，可判断出抬=PC；

(2)由尸得出NF4C=NPC4,再判断出NACB=90°,得出NCA8+NCBA=90°,再判断出NPC4+NC4B

=90",得出NC48+NP4C=90°,即可得出结论；

(2)根据A8和O尸的比设AB=3a,DF=2a,先根据三角形中位线可得。。=4,从而得结论.

【详解】(1)证明•••O&JLAC,

：.AD=CD,

.•.P。是AC的垂直平分线，

：.PA=PC,

(2)证明：由(1)知：PA=PC,

：.ZPAC=ZPCA.

••,AB是。。的直径，

.*.ZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=9()°.

又；NPCA=NABC,

：.ZPCA+ZCAB=9Q<,,

：.ZCAB+ZPAC=90°,BPAB1.PA,

.•.RI是0。的切线；

(3)解：:AD=CD,OA=OB,

11°

J.OD//BC,OD=-BC=-xS=4,

22

..AB_3

・--——9

DF2

设A6=3〃，DF=2a9

♦：AB=EF,

：.DE=3a-2a=a9

a=l9

：.DE=1.

【点睛】

本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.

9

20、（1）二次函数的表达式y=x2-2x-3；（2）①PM*大="②P（2,-3）或（3-正，2-4正）.

【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，

可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.

【详解】（1）将A,B,C代入函数解析式，

。一b+c=0a=1

得9a+3/?+c=0,解得b=—21

c=-3c=-3

这个二次函数的表达式y=x2-2x-3；

(2)设BC的解析式为y=kx+b,

将B,C的坐标代入函数解析式，得

3k+b=0k=i

解得

b=-3'，=-3'

BC的解析式为y=x-3,

设M(n,n-3),P(n,n2-2n-3),

39

PM=(n-3)-(n2-2n-3)=-n2+3n=-(n---)2+—,

24

39

当n=二■时，PM最大二：；

24

②当PM=PC时，(-n2+3n)2=n2+(n2-2n-3+3)2,

解得ni=0(不符合题意，舍)，iu=2,

n2-2n-3=-3,

P(2,-3)；

当PM=MC时，(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,

解得ni=0(不符合题意，舍)，n2=3+&(不符合题意，舍)，2=3-亚,

n2-2n-3=2-4逝,

P(3-行，2-4夜)；

综上所述：P(2,-3)或(3-0,2-472).

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解

题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

2

21、(1)y=-yx+200；(2)这天的每间客房的价格是200元或480元.

【解析】(1)根据题意直接写出函数关系式，然后整理即可；

(2)用每间房的收入(180+x),乘以出租的房间数(-1^+200)等于总收入列出方程求解即可.

【详解】(1)设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，

x

根据题意，得：y=2（）0-4x历，

2

Ay=--x+200；

5

（2）设每间客房每天的定价增加x元，

2

根据题意，得（180+x）（-1x+200）=38400,

整理后，得X2-320X+6000=0,

解得xi=20,X2=300,

当x=20时，x+180=200（元），

当x=300时，x+180=480（元），

答：这天的每间客房的价格是200元或480元.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，列一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，解题关键在于根据题意准确列

出一元二次方程.

22、（1）见解析；（2）-

3

【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；

12

（2）由（1）中的列表求得点（x,y）落在反比例函数丫=一的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案.

x

【详解】（1）列表如下

2346

2（3,2）（4,2）（6,2）

3⑵3)（4,3）（6,4）

4（2,4）（3,4）（6,4）

6(2,6)(3,6)(4,6)

则共有12种可能的结果；

12

（2）各取一个小球所确定的点（x,y）落在反比例函数y=—的图象上的有（6,2）,（4,3）,

x

（3,4）,（2,6）四种情况，

1241

...点（x,y）落在反比例函数广一的图象上的概率为一=彳.

x123

【点睛】

本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况

数之比.

23、(1)120份；(2)48,图见解析；(3)18°;(4)240份

【分析】(D利用共抽取作品数=C等级数十对应的百分比求解即可，

(2)求出抽取的作品中等级为8的作品数，即可作图，

(3)利用等级为D的扇形圆心角的度数=等级为D的扇形圆心角的百分比x360。求解即可,

(4)利用该校共征集到800份作品乘等级为A的作品的百分比即可.

【详解】解：(1)304-25%=120(份),

答：一共抽取了12()份作品.

(2)此次抽取的作品中等级为8的作品数120—36—30—6=48份，如图，

(3)—x360°=18°,

120

故答案为：18°.

(4)——x100%=30%,800x30%=240(份)

120

答：估计等级为A级的作品约有240份.

【点睛】

本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信

息.

24、1米/秒

【解析】分析：过点C作CDJLAB于点D,设4口=*米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示

出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论.

本题解析：

解：过点C作。_LA