天津109中学2024届九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

天津109中学2024届九年级数学第一学期期末教学质量检测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，有一块三角形余料ABC,它的面积为36c〃/，边3C=12cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边

在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则加工成的正方形零件的边长为（）cm

A.8B.6C.4D.3

2.将抛物线尸2（*—7产+3平移，使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则下列平移中正确的是（）

A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位

C.向左平移7个单位D.向右平移7个单位

2]

3.已知反比例函数,=—的图象上有三点A（4,yi）,B（1.以），c（-,则刈、山、山的大小关系为（）

x2

A.ji>yi>j3B.ji>ji>j3C.j3>ji>jiD.j3>ji>yi

4.如图的几何体，它的主视图是（）

5.已知。O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

6.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）

A.每2次必有一次正面朝上B.必有5次正面朝上

C.可能有7次正面朝上D.不可能有10次正面朝上

7.在反比例函数y=-1的图像上有三点（％，x）、（%2，%）、（毛，为），若玉>工2>0>与，而，则下列各式正确的

是（）

A.%>M>%B.>3>>2>乂

C.X>%>%D.

8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方

差片（单位：千克2）如下表所示:

甲乙丙T

X24242320

S22.11.921.9

今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

9.下列正多边形中,绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）

正方形B.正五边形

正六边形D.正八边形

10.在RtAA3c中,ZC=90°,cosA=",AC=6,则8c等于（）

2

A.百C.2D.3

11.“2020年的6月21日是晴天”这个事件是（）

A.确定事件B.不可能事件C.必然事件D.不确定事件

12.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a（x-h）2+k的形式为（）

A.y=（x-4）2+7B.y=（x+4）2+7C.y=（x-4）2-25D.y=（x+4）2-25

二、填空题（每题4分，共24分）

13.在函数（x-5）r中，自变量x的取值范围是.

x—2

14.分解因式：a2b-b3=.

15.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为（）.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为.

16.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km,某船从港口A出发，沿北偏东15。方向航行一段距离后到达

B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60。的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为

17.如图，UABCD中,EF//AB,DE:AE=2:3,ABDC的周长为25,则△£>£尸的周长为.

18.将抛物线y=（x+Ip向右平移2个单位长度，则所得抛物线对应的函数表达式为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图,在等腰三角形ABC中，AB=AC,A〃，5C于点H,点E是AH上一点,延长AH至点F,使FH=£H.

求证：四边形EBFC是菱形.

20.（8分）计算：2cos30--2sin45°+3tan60°+|1-五I-

21.（8分）某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元.在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000

元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元。请解决下列问

题：

（1）直接写出：购买这种产品件时，销售单价恰好为2600元；

（2）设购买这种产品x件（其中x>10,且x为整数），该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；

（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一

情况.为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）

22.（10分）某商场购进一种单价为10元的商品，根据市场调查发现：如果以单价20元售出，那么每天可卖出30个,

每降价1元，每天可多卖出5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）

（3）若降价x元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少元？

23.（10分）计算：2cos45°-tan60°+sin300--tan45°

2

24.（10分）二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F和一条定直线/距离相等的点的轨迹.其中定

点尸叫抛物线的焦点，定直线/叫抛物线的准线.

①抛物线y=a?（aro）的焦点为尸（0,j］,例如，抛物线y=的焦点是F（（）,：｝抛物线y=一3/的焦点是

②将抛物线丁="2（。。（））向右平移〃个单位、再向上平移左个单位（〃>0,左>0）,可得抛物线

y=a（x-/z）2+左（“。0）；因此抛物线y=a（x-〃y+左（。H0）的焦点是/?1/7，止+后］.例如，抛物线yngf+l

的焦点是尸抛物线y=；（x+l『的焦点是.根据以上材料解决下列问题：

（1）完成题中的填空；

（2）已知二次函数的解析式为y=f+2工一1；

①求其图象的焦点尸的坐标；

②求过点尸且与x轴平行的直线与二次函数y=x2+2x-］图象交点的坐标.

25.（12分）某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“A”，错误的写“8”，小明在做判断题时，每道题都在“A”

或“3”中随机写了一个.

（1）小明做对第1题的概率是;

（2）求小明这3道题全做对的概率.

26.已知：如图，在AA8C中，AB=AC,以A3为直径的。。交8c于点O,过点。作OEL4c于点E.

（1）求证：0E是。。的切线.

（2）若。。的半径为3c,",NC=30。，求图中阴影部分的面积.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】先求出^ABC的高，再根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEFS/1ABC,从而根据相

似三角形的性质求出正方形的边长.

【详解】作AH_LBC,交BC于H,交EF于D.

设正方形的边长为xcm,则EF=DH=xcm,

,.•△AB的面积为36CT??2,边8c=12cm,

.,.AH=36X2-rl2=6.

VEF/7BC,

/.△AEF^AABC,

.EFAD

**BC-AH5

x6-x

：.—=------,

126

x=4.

故选c.

【点睛】

本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形.

2,C

【解析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.

【详解】依题意可知,原抛物线顶点坐标为（7,3）,平移后抛物线顶点坐标为（0,/）。为常数）,则原抛物线向左平移7

个单位即可.

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k(a,b,c为常数，aWO),

确定其顶点坐标(九A),在原有函数的基础上“无值正右移，负左移；A值正上移，负下移”.

3、C

2

【分析】把A、3、C的坐标分别代入丫=一,分别求出山、山、力的值，从而得到它们的大小关系.

x

]2212--4

【详解】解：把A(4,ji),B(1.JI),c(―,J2)分别代入^=一，得>1=7=一，ji==-=l,yi==1

2x422—

所以

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是根据反比例函数解析式自变量的值求函数值，比较基础.

4、A

【解析】从正面看所得到的图形，进行判断即可.

【详解】解：主视图就是从正面看到的图形，因此A图形符合题意，

故选：A.

【点睛】

此题主要考查三视图，解题的关键是熟知三视图的定义.

5、D

【解析】由图可知，OA=10,OD=1.根据特殊角的三角函数值求出NAOB的度数，再根据圆周定理求出NC的度数,

再根据圆内接四边形的性质求出NE的度数即可.

【详解】由图可知，OA=10,OD=L

在RtAOAD中，

VOA=10,OD=1,AD=y/o^-OD1=5A/3.

AD/r

/.tanZl=-----=J3,AZ1=60°,

OD

同理可得N2=60。，

:.ZAOB=Z1+Z2=60°+60°=120°,

AZC=60°,

O

.*.ZE=18()°-60=120°,>

即弦AB所对的圆周角的度数是60。或120°,

故选D.

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关

知识是解题的关键.

6、C

【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是工，进而得出答案.

2

【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是上，

2

所以掷一枚质地均匀的硬币10次，

可能有7次正面向上；

故选：C.

【点睛】

本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

7、A

【分析】首先判断反比例函数的比例系数为负数，可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标

总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点（xi,yi）和（xi,yi）的纵坐标的大小即可.

【详解】•••反比例函数的比例系数为-1V0,

图象的两个分支在第二、四象限；

•.•第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点（xi,y】）、（xi,yD在第四象限，点（X3,y3）在第二象限,

•\y3最大,

y随x的增大而增大,

•'•y3>yi>yi-

故选A.

【点睛】

考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于（），图象的1个分支在第二、四

象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y随x的增大而增大.

8、B

【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定.

【详解】因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大，

而乙组的方差比甲组的小，

所以乙组的产量比较稳定，

所以乙组的产量既高又稳定，

故选B.

【点睛】

本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.方差是反映一组数

据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越

小，稳定性越好.也考查了平均数的意义.

9、B

【解析】选项A,正方形的最小旋转角度为90°,绕其中心旋转90°后，能和自身重合；

选项B,正五边形的最小旋转角度为72。，绕其中心旋转72°后，能和自身重合；

选项C,正六边形的最小旋转角度为60°,绕其中心旋转60°后，能和自身重合；

选项D,正八边形的最小旋转角度为45。，绕其中心旋转45。后，能和自身重合.

故选B.

10、B

【分析】根据余弦函数的定义、勾股定理，即可直接求解.

【详解】解：•••在R3A8C中，NC=90。，cosA=",AC=石，

2

:sA=2=昱,即位=走,

AB2AB2

AB=2f

BC7AB2-AC?=1，

故选：B.

【点睛】

本题考查了解直角三角形，解题的基础是掌握余弦函数的定义和勾股定理.

11、D

【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯

定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.

12、C

【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案.

【详解】y=x2-8x-9

=x2-8x+16-l

=(x-4)2-l.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13>x24且xWl

【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零.当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取

值范围必须使被开方数不小于零.据此可得自变量x的取值范围.

x-4>0

【详解】解：由题可得，-x-2w0,

x-5w0

x>4

解得*2,

x#5

,*.x>4且

故答案为：走4且在1.

【点睛】

本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.

14、b(a+b)(a-b)

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

【详解】解：a2b-b\

=b(a2-b2)=b(a+b)(a-b).

故答案为b(a+b)(a-b).

15、9.6

【解析】试题分析：设树的高度为X米，根据在同一时刻物高与影长成比例，即可列出比例式求解.

设树的高度为X米，由题意得

吧—二

旃一诟

解得=9.6

则树的高度为9.6米.

考点：本题考查的是比例式的应用

点评：解答本题的关键是读懂题意，准确理解在同一时刻物高与影长成比例，正确列出比例式.

16、1石+1

【分析】作ADJ_OB于点D,根据题目条件得出NOAD=60。、NDAB=45。、OA=4km,再分别求出AD、OD、BD

的长，从而得出答案.

【详解】如图所示，过点A作ADLOB于点D,

由题意知，ZAOD=30°,OA=4km,

则NOAD=60。，

.,.ZDAB=45°,

在RtZkOAD中，AD=OAsinZAOD=4Xsin300=4X—=1(km),

2

OD=OAcosZAOD=4Xcos30°=4X4=16(km),

2

在RQABD中，BD=AD=lkm,

.*.OB=OD+BD=1V3+1(km),

故答案为：16+1.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形,并熟练运用三角函数进行求解.

17、2

【分析】根据平行四边形的性质可得出△ABDgCDB,求得AABD的周长，利用三角形相似的性质即可求得4DEF

的周长.

【详解】解：VEF/7AB,DE:AE=2:3,

.,.△DEF^ADAB,

DE_DF_2

一诙一砺一丁

:.ADEF与4ABD的周长之比为2:1.

又•••四边形ABCD是平行四边形，

.*.AB=CD,AD=BC,BD=DB,

/.△ABD^ACDB(SSS),

又aBDC的周长为21,.'△ABD的周长为21,

/.△DEF的周长为2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的周长比与相似比的关系是解题的关键.

18、y=(x-l)2

【分析】利用顶点式根据平移不改变二次项系数可得新抛物线解析式.

【详解】y=(x+iy的顶点为(-1,0),

向右平移2个单位得到的顶点为(1,0),

.••把抛物线y=(x+if向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为y=(X-1)2.

故答案为：y=(无一I)?.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、见解析.

【分析】根据等腰三角形的三线合一可得BH=HC,结合已知条件FH=EH，从而得出四边形EBFC是平行四边形,

再根据A"，C8得出四边形EBFC是菱形.

【详解】证明：AB=AC,AH1CB,

：.BH=HC

；FH=EH，

二四边形EBFC是平行四边形

又AHLCB,

四边形EBFC是菱形.

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.

20、45/3-1

【分析】分析：第一项利用3()。角的余弦值计算，第二项利用45。角的正弦值计算，第三项利用60。角的正切值计算，

第四项按照绝对值的意义化简，然后合并同类项或同类二次根式.

【详解】详解：原式=2X3-2义变+3g+&-1

22

=百-V2+373+72~1

=4百-1.

点睛：本题考查了绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟记30。，45°,60°角的三角函数值是解答本题的关键.

21、(1)90；(2)y={~5x+65°*1°<看9腮?整数)⑶公司应将最低销售单价调整为2725元.

200x(%>90,比为整数)

【分析】(D设购买产品X件，因为销售单间2600元，所以一定超过10件，根据题意列方程可解；

(2)分10vxS90,x>9()两种情况讨论，由利润=(销售单价-成本单价)X件数列出函数关系；(3)由(2)的函数关

系式，利用函数的性质求出最大值，并求出最大值时x的值，可确定销售单价。

【详解】(1)设购买产品x件，根据题意列方程3000-5(x-10)=2600,解得x=90。所以购买这种产品90件时，销售单

价恰好为2600元.

(2)解：当10<xW90时，y=[3000-5(x-10)-24001.x=-5x2+650x,

当x>90时，y=(2600-2400)-x=200x,

on,-5%2+650加0<》490,母为整数)

即V=I

■200x(x>90,且%为整数)

(3)解：因为要满足购买数量越多，所获利润越大，所以v随x增大而增大

函数y=200x是y随x增大而增大，

而函数y=-5x2+650x=-5(x-65)2+21125,

当10<x<65时，y随x增大而增大，当65<x<90时，y随x增大而减小，

若一次购买65件时，设置为最低售价，则可避免y随x增大而减小的情况发生，故

当x=65时，设置最低售价为3000-5x(65-10)=2725阮)，

答：公司应将最低销售单价调整为2725元.

【点睛】

本题考察分段函数的实际应用，需要熟练掌握根据题意列一次函数与二次函数，并根据函数性质求最值。

2

22、(1)y=30+5x(2)W=-5x+20x+l;(3)降价4元(x不低于4元)时，销售这种商品每天获得的利润最大为1

元

【分析】(1)根据销售量等于原销售量加上多卖出的量即可求解；

(2)根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量即可求解；

(3)根据二次函数的性质即可求解.

【详解】解：(1)根据题意，得

y=3()+5x.

答：y与x的函数关系式y=30+5x.

(2)根据题意，得

W=(20-10-x)(30+5x)

=-5X2+20X+1.

答：W与x的函数关系式为W=-5X2+20X+1.

(3)W=-5X2+20X+1

=-5(x-2)2+320

,:-5V(),对称轴x=2,

不低于4元即x>4,

在对称轴右侧，W随x的增大而减小，

；.x=4时，W有最大值为1,

答：降价4元(x不低于4元)时，销售这种商品每天获得的利润最大为1元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系.

23、yp2.•

【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案.

【详解】解：原式=2x^2-V3+---xl

222

=72-73

【点睛】

此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键.

24、⑴①②⑵①②[-d）和

【分析】（D直接根据新定义即可求出抛物线的焦点；

（2）①先将二次函数解析式配成顶点式，再根据新定义即可求出抛物线的焦点；

②依题意可得点尸且与x轴平行的直线，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，将点尸的纵坐标代入解析式即

可求得x的值，从而得出交点坐标.

111

【详解】（1）①根据新定义，可得7-=「一又=一百，

4a4x（-3）12

所以抛物线y=-3x2的焦点是（0,-

1,11

___b—_____________L（nI_

=

②根据新定义，可得加=—L4a1一2,

4X一

2

所以抛物线y=g（x+l）2的焦点是

（2）①将）=%2+2%-1化为顶点式得：

y=（x+l）2-2

117

根据新定义，可得无=-1,-—\-k=----2=——,

4。4x14

所以可得抛物线y=犬+2%-1的焦点坐标尸

②由①知/卜,一：）,所以过点尸且与x轴平行的直线是y=—（,

7

将y=-1代9入y=f+2%-1得：

—=+2x—1

49

解得：X=_g或X=_],

所以，过点尸且与X轴平行的直线与二次函数》=%2+2%-1图象交点的坐标为（一3，—：]和[一；,一：）.