江苏省南京市2023-2024学年高二年级上册期中学情调研测试 数学试卷（含答案）

南京市2023-2024学年度第一学期期中调研测试

高二数学2023.11

注意事项:

1.本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第

13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120

分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用22铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指

定位置，在其他位置作答一律无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5,用分层抽样的方

法抽取一个容量为w的样本.若样本中A型号的产品有20件，则样本容量〃为

A.50B.80C.100D.200

2.已知复数zo=3+i,其中i为虚数单位，复数z满足zzo=3z+zo,贝Uz=

A.l-3zB.l+3zC.3+iD.3-z

3.已知圆Ci：r+产-x—@=0与圆C2：^+9一2x—4y+2=0的公共弦所在直线与x轴垂

直，则实数。的值为

A.-4B.-2C.2D.4

4.《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水.但知以盆中之水为得雨之数.不知

器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积

水体积除以盆口面积.假令器形为圆台，盆口径（直径）一尺四寸，底径（直径）六寸、深一尺

二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），则平地降雨量为

A.1B.2C.3D.4

5.已知cosx+sinx=W，则一一=

3/兀、

7^2

B.

6

6.在平面直角坐标系尤Oy中，已知双曲线C：萨一金=1（40,6>0）的左、右焦点分别为为，

F2,A为双曲线右支上一点，连接交y轴于点B.若为等边三角形，则双曲线

C的离心率为

A.25B.1C.小D.

7.在平面直角坐标系宜为中，P为直线3x+4y+l=0上一点.若向量〃=（3,4）,则向量防

在向量〃上的投影向量为

A.—1B.（―|,一,）C.（一看一刍D.无法确定

…TT

8.已知函数4r）=sin（0x+9）（0>O）.若VxGR,且y（x）在（0,兀）上恰有1个零点，

则实数。的取值范围为

3333939

A.（0,3B.（不分C.（4，了D.（2，R

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某研究小组依次记录下10天的观测值：26,28,22,24,22,78,32,26,20,22,则

A.众数是22

B.80百分位数是28

C.平均数是30

D.前4个数据的方差比最后4个数据的方差小

10.声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯

音的函数解析式为y=Asinox.设声音的函数为°（x）,音的响度与0（x）的最大值有关，最

大值越大，响度越大；音调与夕（无）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉.假设

13

复合音甲的函数解析式是人x）=sinx+]sin2x,纯音乙的函数解析式是g（x）=/sinox（。>0）,

则下列说法正确的有

A.纯音乙的响度与。无关

B.纯音乙的音调与。无关

C.若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则。>1

D.复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大

11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：V=4x的焦点为RA（xi，凶），B（.r2,m），。（羽，

券）为抛物线C上的任意三点（异于O点），FA+FB+FD=0,则下列说法正确的有

A.设A,8到直线x=—1的距离分别为4,dz，则di+d2cA8

B.FA+FB+FD^6

C.若曲_LF8,则FD=A3

D.若直线AB,AD,8。的斜率分别为心B，kAD,kBD,则:+卢+卢=0

RABRADKBD

12.在长方体4BC£H4121clz）i中，AB=8,AD=6,点E是正方形BCC15内部或边界上异于

点C的一点，则下列说法正确的有

A.若DA〃平面则EeCC

B.设直线DE与平面BCG5所成角的最小值为仇则tan0=¥

71

C.存在EeBBi,使得NZ）1EC>5

D.若/DiEC=方则防的最小值为3小一3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在平面直角坐标系xQy中，已知点M（2,小）和N（4,0）,点。在无轴上.若直线MQ与直

线MN的夹角为90°,则点Q的坐标为▲.

14.在△ABC中，AB=3*,ZABC=45°,ZBAC=75°,。是射线BC上一点，且CD=10,

则AD=A

15.某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立.每

个时段演出的概率分别如下：

上午演出时段9：00-9：3010：00-10：3011：00-11：30

下午演出时段14：00-14：3015：00-15：3016：00-16：30

111

相应的概率

623

若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概

率为—▲.

16.已知向量”=（1,小）,5=（1,0）,|a-c|=1,则向量"c最大夹角的余弦值为▲.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知函数fix)—sinrcos%—sin2x+f(xeR)的最大值为生.

(1)求加)的解析式；

(2)若与，fix)-m^0,求实数，"的最小值.

18.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系尤Oy中，已知圆C的圆心在/：x-2y=0±,且圆C与x轴相切，直线

11：无一ay=0(aGR),£)(6,0).

(1)若直线/i与圆C相切，求。的值；

(2)若直线/i与圆C相交于A,8两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1：3,且D4

=DB,求圆C的方程.

19.(本小题满分12分)

如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面

上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字.记事件

4为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件4为“抛两次，两次记录的数字

之和为奇数”，事件4为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”.

(1)求尸(4),尸(A2)；

(2)判断事件44与事件4是否相互独立，并说明理由.

(第19题图)

20.(本小题满分12分)

在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，AB-AC=b2~^ab.

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC的面积为坐，且曲=2而，AN=3NM,求|方的最小值.

21.(本小题满分12分)

JrTT

如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC—AllG中，NABBi=^,/BIBC巧.

(1)证明：AiCi±BiC；

(2)求直线BC与平面A3SA1所成角的大小.

(第21题图)

22.(本小题满分12分)

22

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，+方=l(a>6>0)的左、右焦点分别为B，B，

且焦距为2小，椭圆C的上顶点为8,且8AB6=-2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/过点A(2,-1),且与椭圆C交于M,N两点(不与8重合)，直线与直线

分别交直线x=4于P,。两点.判断是否存在定点G,使得点P,。关于点G对称，并说

明理由.

南京市2023-2024学年度第一学期期中学情调研测试

高二数学参考答案2023.11

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.C2.A3.D4.B5.D6.C7.C8.B

二'选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，

不选或有错选的得0分.

9.ACD10.AC11.BCD12.ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

14y[15—yf3

13.伤，0）14.1415.§16.~

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的

文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

[1—cos2x

解：（1）y（x）=sinxcosx-sin2x+/=5sin2x-+t..................................................................2分

=3sin2x+；cos2x-3+，=¥sin（2x+/—；+/・............................................................4分

因为40的最大值为乎，所以号-9+/=号，解得

所以人工）=^sin（2x+/.................................................................................................................6分

（2）由（1）可知"x）=^sin（2x+3，

、1,7C7Cr-t_L57r__.7C^5兀

当工£[正，时，五・2%+区或彳，

当2x+/=齐寸,即时,危）max=芈・.........................................8分

因为—mWO恒成立，所以小2y（X）max恒成立，即加三乎恒成立，

因此比的最小值为坐.........................................................10分

18.(本小题满分12分)

解：(1)因为圆心C在直线/上，可设C(2〃，m),机WO.

因为圆C与无轴相切，所以......................................2分

又因为直线/i与圆C相切，所以|叫=9毛w—有/7m1..........................4分

3

因为%W0,解得。=不.........................................................5分

(2)因为A,8把圆C分成的两段弧长之比为1：3,

1JT

所以弦AB所对劣弧圆心角为2兀X^=去..........................................6分

所以圆心C到Zi的距离d等于圆C半径的坐倍，।12m—am\

由(1)得加W0,解得。=1或〃=7.........................................................................................8分

又因为所以A8的垂直平分线经过。(6,0)和圆心C(2〃z,㈤,

irt

所以7^=一“，..........................................................................................................................10分

2m—6

所以，当°=1时，m=2,圆C方程为(x—4)2+(J—2户=4,

当a=7时，14,圆C方程为(x—号28了+⑪一号14)2=詈196..................12分

19.(本小题满分12分)

解：若用5))表示第一次抛掷骰子数字为i,用J表示第二次抛掷骰子数字为/,则样本空间。

={(i,j)|0WzW9,0W/W9,3六Z},共有100种等可能的样本点.........1分

(1)Ai={(8,9),(9,8),(9,9)},..............................................................................2分

一一3

所以尸(Ai)=砺............................................................4分

因为A2={(0,1),(0,3)-(9,8)}共有50个样本点，

所以尸(-2)=]00=1・..........................................................................................................6分

21

(2)因为4①={(8,9),(9,8)),所以尸(4人2)=砺=而.......................8分

因为4={(1,0),(1,1)-(9,9)),共有50个样本点，

所以产(巳3)=]00=2..........................................................................................................................9分

因为44必3={(9,8)),所以尸(43汹3)=击....................................10分

因为P(A1A2)P(A3)X2=P(A1A2A3),

分

所以事件A1A2与事件A3独立.12

20.（本小题满分12分）

解：（1）方法1

因为AB.AC=b2—；出所以bccosA=/—；"........................................................................2分

/+02—〃21吩+“2一1

由余弦定理得bcX号”=及一等必,化简得黑=今

所以cosC=；........................................................................................................................4分

因为C为△ABC内角,所以C昔..............................................5分

方法2

因为翁•元二/一%/?,所以bccos4=〃一呼/?....................................2分

由正弦定理得sinBsinCeosA=sin2B—^sinAsinB.

因为B为Z\ABC内角，所以sinBWO,所以sinCeosA=sin8—]sinA.

因为A+B+C=7i,所以sinCeosA=sin(A+C)—]sinA,

即sinCeosA=sinAcosC+cosAsinC—^sinA,

化简得sinAcosC=]sinA.

因为A为△ABC内角，所以sinAWO,所以cosC=E...............................................4分

jr

因为C为△ABC内角,所以C=『..............................................5分

is

(2)因为S"Bc=]〃8sinC=2，所以QB=2............................................................................6分

因为CM=2M3,AN=3NM,

—2—k—►—衿3-*-*3———**

所以CN=CA+AN=CA+^AM=CA+^(CM-CA)

=-^CA+^CM=^CA+2^,....................................................................................8分

_—1—>■1-*■111—►—►

从而ICN|2=qCA+/Q5)2=市?2+平2+^01.05

=白"居+之....................................................10分

当且仅当七1>2=//2,即。=1,%=2时取等号.

一\/3

所以|CN|的最小值为竽........................................................12分

21.（本小题满分12分）

（1）证明：连接AS，在△ASS中，ZABBi=^,AB=BBl=l,所以阴=啦,

JT

在△8CB1中，ZBiBC=yBC=BBx=l,所以BC=1,

所以在△ACBi中，ABi=也,BiC=l,AC=1,所以

所以AC_LBiC................................................................................................................................2分

又因为在三棱柱ABC—4B1C1中，AC//A1C1,

所以AiGJ_8iC..............................................................................................................................4分

（2）方法1

解：连接AS，AiB,交于点。，连接3Ci，连接CO.

在边长都为1的正方形中，。是AB1的中点，

又因为BiC=AC=l,

所以C0_LA8i................................................................................................................6分

因为四边形BBC。边长都为1,所以8cl.

由（1）知BC_LAiCi.

又因为AiGn8Ci=Ci，AiCi，BCiu平面AiBCi，

所以BC，平面AbBG.

因为AiBu平面48C1，所以0C_LAJ5.

因为在边长都为1的四边形A1AB6中，AjBlABi.

（第21题图）

又因为A8inBiC=8i，ABi，BCu平面ABC

所以AiB_L平面ABC.

因为COu平面ABiC,所以CO_LA]B.......................................................................8分

又因为4由。46=。，AiB,ABiu平面

所以CO_L平面4A8B1，

所以NC8。即为直线BC与平面A2S4所成的角.......................10分

在边长都为1的四边形ABBS中，ZABBI=5,所以8。=坐

、历7T

因为BC=1,所以cosNC3O=*-，所以NC30=Z，

所以直线BC与平面4网4所成角的大小为全..........................12分

方法2

解：取45中点。，连接2。，CO.

在△ACS中，AC=BiC=l,所以CO_LAS，.........................................................6分

在边长都为1的正方形A1ABS中，80=为~，AiB=y[2.

又因为AC2+8IC2=A]2,

所以△ACBI为直角三角形，所以C0=坐.

在△ACB1中，CO2+BO2=BC2,A

所以CO_LBO...................................................................8分

B

又因为ABiCBO=O,ABi，BOu平面

（第21题图）

所以CO_L平面A1ABB1，

所以/C8。即为直线BC与平面ABBiAi所成的角...............................10分

在边长都为1的四边形A1ABB1中，ZABB^,所以8。=坐

IT

因为BC=1,所以cosNCBO=*-，所以NC8O=不

所以直线8。与平面所成角的大小为去.....