2023-2024学年江苏省南通市高一年级下册开学考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南通市高一下册开学考试数学试题

一、单选题

1.已知某扇形的面积为2.5cm，若该扇形的半径，，弧长/满足2r+/=7cm,则该扇形圆

心角大小的弧度数是

414

A.-B.5C.—D.一或5

525

【正确答案】D

【分析】由扇形的面积公式s=/构造关于，，,的方程组，解出方程，由圆心角a=9卩

可算出圆心角大小的弧度数.

/+2r=7,_5

I4

【详解】据题意，得［1,解得'=5'或所以丄=三或5.故选D.

—/r=2.5,1=5,r5

121=2

本题考查扇形的面积公式S=；/r以及弧长公式/=ar,方程思想，牢记公式是解答本题的

关键.

2.将函数/U)=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的丄(°>0),纵坐标不变，得到函数

(0

g。)的图象，若函数g(x)的最小正周期为6%，贝|J()

A.co=-B.co=6C.CD=­D.CO=3

36

【正确答案】A

【分析】由伸缩变换求出g(x)的解析式，再由周期公式得出答案.

【详解】由题意可知g(x)=sinox,由亚=6%，解得。=:

co3

故选：A

3.己函数/(x)=sin2x+cosx,xe[0,力的值域为，则实数a的取值范围是()

(7V~\，八4]「乃；r]「乃7F

A.|°丁B.0,—C.—D.—

V6JI3」[_62J|_32_

【正确答案】D

【分析】根据同角三角函数关系，利用换元法，结合二次函数值域，求解三角不等式即可求

得结果.

【详解】/(x)=l-cos2x+cosx=-^cosx--^J+:,X€[0,4],

t-COSX,g(f)=—[f—,

g(r)e1、,且当r=g时g(f)=4,

令g(r)=l得f=0或f=l，

由xe[0,a],x=0时，t=l,

故当OVfWl时，g(/)e1,|.-.0<cosa<^,

7[TT

结合题意得ae.

故选：D.

考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的性质、二次函数，属综合中档题.

4.已知/(sinx)=cos3x,则/(coslO。)的值为()

A.-近B.±-C.；D.B

2222

【正确答案】B

【分析】根据对应法则及诱导公式即可得到结果.

【详解】因为COS10°=sin80°,并且/(sinx)=cos3x,

所以/(cos10°)=/(sin80O)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=.

因为cos10°=sin100°,所以〃cos10。)=/(simoo°)=cos300。=cos(360°-60°)=cos600=1,

故选：B.

5.设函数/(x)=cos(q-2x),则/(x)在0段上的单调递减区间是()

„71门冗71717171

A.0,-B.0,-C.-.-rD.

[6」3」[32J162j

【正确答案】D

71

求出函数/(X)的减区间，再与0,-求交集妈阿中得.

【详解】由已知f(x)=cos(2x-。)，

71712汽

2k兀<2x---<2k7V+%，k7r-<x<k7r+——、keZ,

363

7T7T7T

又xe0,-，，减区间为.

_2J|_o2

故选：D.

6.已知函数/(x)=Acos(5+e)(A>0,<y>0,0<e<7r)的部分图象如图所示，则()

B./(x)=V3cos^x+-^

D./(x)=V3cos

【分析】由最小值可知A=6,再结合〃o)=m与/[与)=-6可解其他参数值.

【详解】由图象可知4=6.因为〃0)=m，所以cose=@.

，2

TT

又0<?<兀，可得。=二

6

由=所以孚3+g=2E+MZeZ),

\~>)36

解得0=g%+g(ZeZ),结合选项可知0=；,

因止匕/(x)=6cos(]+E),

故选：D.

7.已知函数/(x)=8sin"-q](0>O)的最小正周期为万，若〃x)在*号上单调递

vn)冗

增，在yy上单调递减，则实数用的取值范围是()

3"]「55]「乃加]「乃4

A.B.二肛二万C.—D.—-，-^

L2J164」[32」[83」

【正确答案】B

【分析】由函数〃x)的最小正周期为万可得0=2,求出/(x)=8sin(2x-?)的增区间与减

jrm27r

区间，分别令-或，了与yT是其子集即可.

【详解】由题意可得丝="，求得。=2,

(0

令2攵万一］W2不一?<2左乃+微,

求得攵乃一■^工工«改九+普,攵£2,

由2々乃+—<2x——<2k7r+,

232

>^^k7T-\--<X<k7T+,kEZ,

1212

因为/(X)在嗫鼻上单调递增，在yy上单调递减，

m<5万

二-3-12_5万5万

所以Iu=>—<///<—,

机〉5464

・万一17

所以实数”的取值范围是H乃2/,故选B.

_64

函数y=Asin(ox+9)的单调区间的求法：(1)代换法：①若A>0,0>0,把5看作是一个

TT3T7-

整体，由］+4s+e4芋+2厶'(keZ)求得函数的减区间，

-+2k)43X+04'+2k乃求得增区间；②若A>0,。<0,则利用诱导公式先将。的符号

化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角

函数图象，利用图象求函数的单调区间.

【正确答案】C

根据诱导公式计算得到tan(/+a)=|,

旳+a=3sin3%+（»]=一3陪+0）,

【详解】解:由诱导公式可知3sin

7丿

713

tan--a=tan

U4丿~25

故选：C.

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力，是中档题.

二、多选题

9.已知曲线a：y=cosx,c2：y=sin（2x+与），则下面结论正确的是（）

A.把曲线G向左平移g个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵

n/

坐标不变），得到曲线G

B.把曲线G向左平移y个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

坐标不变），得到曲线G

c.把曲线G上各点的横坐标缩短到原来的;倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移g

N0

个单位长度，得到曲线G

D.把曲线G上各点的横坐标缩短到原来的g倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移

个单位长度，得到曲线a

【正确答案】AD

【分析】先利用诱导公式把y=sin〔2x+m化简得，y=sin（2x+^）=cos（2x+£|,然

后利用三角函数图像变换规律求解即可

【详解】解：y=sin（2x+^）=sin（2x+5+?）=cos（2x+?）,

所以将曲线CjN=cosx向左平移7个单位长度，得y=cos（x+J再把得到的曲线上各

点的横坐标缩短到原来的g倍（纵坐标不变），得到曲线y=cos（2x+7}

或将曲线G：y=8sx上各点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变），得到y=cos2x,

再把得到的曲线向左平移*个单位长度,得到y=cos2卜+展=cos(2.x+—j,

故选：AD

此题考查三角函数图像变换规律的应用，考查诱导公式的应用，属于基础题

10.函数，。)=4311(。火+夕”4>0,0>0,|。|<5丿的最大值为2,其图象相邻两条对称轴之

间的距离为5,且f(x)的图象关于点(看，01寸称，则下列判断正确的是()

TTTT

A.函数/")在一五,B上单调递增

B.函数/(x)的图象关于直线x=-1^对称

C.当时，函数f(x)的最小值为-行

D.要得到函数Ax)的图象，只需要将y=2cos4x的图象向右平移些个单位

【正确答案】AD

由三角函数的图象与性质可得了(xXZsinFx-9｝再由三角函数的图象与性质可判断A、

B、C；由三角函数图象的变换及诱导公式可判断D.

【详解】由函数/(x)的最大值为2可得A=2,f(x)=2sin(0x+s)((y>O,lel<5),

因为函数/(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为二，

4

Tn

所以函数的最小正周期T满足彳=:，

24

所以0=半=4,/(x)=2sin(4x+p)"e|<!^,

(711n7T

又/(x)的图象关于点［五,oj对称，所以4'五+尹=以,％€2即/=一耳+氏次€2,

所以夕=一(，/(x)=2sin(4x-?),

当,,X+亦71旬71时、，小A§71十子71叩_

JTTT

所以函数/(X)在-五，五上单调递增，故A正确；

当工=一皂时，4x--=,

2436

577

所以直线冗=-3不是函数/(幻图象的对称轴，故B错误；

24

当丿时，4x-yel-y,—I,f(x)>-x/3,故C错反；

将y=2cos4x的图象向右平移*54个单位可得的函数为：

24

一(“n兀

y=2cos4|.r--=2cos|4x--=2cos4x---=--2---s-i-n^4x-yj=/(x),

I24I6I32.

故D正确.

故选：AD.

关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.

11.已知函数/(x)=sin(5+e)(6y>0)在号兀上是单调函数，且/(。)=/(万)=-/1

则。的可能取值为()

21

A.-B.2C.-D.1

【正确答案】AB

【分析】分别把选项中的值代入函数表达式，验证函数的性质是否满足，即可判断.

【详解】对于A,«=2若71f(O)=f⑺=-/(-9,

.f2/rA.(n\.y/31.6

sine=sin——+°=-sin——+(p=>sm=——cos。——sm^ntane=——

可取e=?

o

27T7T

贝1」/(工)=5亩(彳工+:)，在匕㈤上单减,故A正确.

362

IT

对于B,G=2,若/(0)=/(万)=—/(—,),

sin夕=sin(2%+°)=-sin(一万+。)nsin*=sin0=sin。，

ITTT

此时可以取夕=],使得函数在勺,划单减，故B正确.

1九*

对于C,«=-,若/(0)=/⑸=-/(一万)，

冗冗冗

即sin(p=sin(—+夕)=-sin(----+0)=cos(—+°),

363

sin</?=cos^9+—sin^9=>tan=>/3,sin^9cosy+j,故C错误.

TTTT

对于D,co=\,若/(0)=/(^)=-/(--),sincp=sin(zr+(p)=-sin(-—+(p)=cos(p,

sine=-sin°=sine=OHcose,故D错误.

故选：AB.

TTjr

12.设函数/.（力=0»（5+9）（。＞0,0＜尹＜兀）是/?上的奇函数，若〃x）在区间上

单调递减，则。的取值可能为（）.

A.6B.4C.-D.丄

22

【正确答案】ACD

【分析】先利用奇函数的性质求得9=1,得到,f（x）=-sinox,然后对于各选择支中的。的

值，利用换元思想，根据正弦函数的单调性逐一检验.

【详解】：函数〃x）=cos（a）x+协®＞0,0＜8（兀）是R上的奇函数,

/(0)=cos^?=0,(p=y,/(x)=-sin6yx,令z=s,/(x)=-sinz.

当(y=6时，xeH,:.z=(oxe夸,2万，在y,2^丄y=sinz单调递增，.•.f(x)单调

递减，符合题意，故A正确;

当3=4时，XGy:.z=（oxe71,—,在71,—±y=sinz单调递减，，/（工）单调递

增，不符合题意，故B错误；

4IT7T37r7t37r71

当0=彳时，xe,：.z=a）xe,在上丫=$1112单调递增，，〃》）单调

243o2o2

递减，符合题意，故c正确;

jrjr

当0=丄时,兀兀兀71

XG—,—,Z—(OX£在丄y=sinz单调递增，.•./（x）单调递

243o0

减，符合题意，故D正确:

故选：ACD

三、双空题

13.已知a=-2015。，则与角&终边相同的最小正角为,最大负角为.

【正确答案】145°-215°

【分析】先将与a终边相同的角表示出来，然后对女进行赋值，由此求得最小正角和最大负

角.

【详解】«=-6x360°+145°=-2015°,

则与角a终边相同的角可以写成h360。+145。（厶eZ）的形式.

当％=0时，可得与角a终边相同的最小正角为145。；当/=—1时，

可得与角a终边相同的最大负角为—215。.

故填：(1)145°!(2)-215°.

本小题主要考查终边相同的角，考查正角、负角的概念，属于基础题.

四、填空题

14.设晟是第一象限角，且|cosa|=-cosa,则a是第象限角.

【正确答案】二

【分析】利用三角函数的象限符号即可求解.

【详解】券是第一象限角，

IkTT<£<］+2卜兀(%£Z),

・二vav乃+4fcr(keZ),

是第一或第二象限角.

又|cosa|=-cosa

cosa<0，

・•.a是第二或第三象限角，

.二。是第二象限角.

if.__

故一.

15.写出一个图象关于直线％=2对称且在［0,2］上单调递增的偶函数/(同=.

TT

【正确答案】—cosmx

【分析】取/(x)=-cos5x,再验证其奇偶性、对称性、单调性即可.

【详解】如y(x)=-cos5x,/(-x)=-cos［-］xj=-cos］x=/(x),即/(X)为偶函数

7T7T

由5%=4兀,》=2&,/€2,当％=1时，/(n)=一(：(»5》关于直线x=2对称

由［0,2］得、XG［0,句，则由余弦函数的性质可知，函数/(x)=-cos5x在［0,2］上单调递增

故f(x)=-cos/x

关键点睛：解决本题的关键在于根据我们所学的三角函数的知识，举出/(x)=-cos5x,再

验证.

五、双空题

16.已知函数f(x)=$，妙-為+/,。>0,xGR,且/(a)=-于邛)—y.若|a

一⑼的最小值为亨，则/(?)=，函数/(X)的单调递增区间为.

【正确答案】迫把「一£+3厶乃7+3厶乃],jtez

2L2」

【分析】由题意可确定函数的周期，从而得到。值，确定出函数解析式，将T37r代入可得结

果，利用正弦函数的性质可得单调区间.

【详解】函数/(x)=sin(s-f+；，①>0,XGR,由f(a)=-g,/(.)=g,

且I。一用的最小值为3手4，得T:=丁34，即7=3兀=27=r，所以幻=[2.

4440)3

所以/(x)+y,则/(弓)=sin(+g=^^.

711717t7C

由-----2k7r<-x-—<1~2%乃，kQZ,得1-3&7広烂乃+3人乃，kQZ,

23622

即函数/(x)的单调递增区间为-%+3k小兀+3k》,kez.

故+1；---卜3k兀、兀+3卜兀k£Z

2L2.

本题考查正弦函数的周期性和单调性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

六、解答题

43

17.已知角a的终边经过点尸《,-至.

(1)求sina的值；

sinK-atan(a—,，亠

(2)求[2丿丿的值.

sin(a+%)cos(3万-a)

【正确答案】(1)-43；(2)-5y.

54

【分析】(1)由正弦函数定义计算；

(2)由诱导公式，商数关系变形化简，由余弦函数定义计算代入可得.

【详解】(1)因为点尸

3

所以|OP|=1,sina=-

sin^-atan(a-1)1

(2)(2)cosax(-tana)sina=---------

-i--------------------------=—:-----------------=~；----------------cosCt

sin(a+%)cos(3%一a)-sina(-cosa)sina(-cosa)

45

由三角函数定义知cosa=9,故所求式子的值为-

54

.z乃、3TT、._、

.c「4.▼皿sin(a——)cos(—Z+a)tan(27r-a)

18.已知函数〃a)=22.

tan(a+；r)sin(a+;r)

(1)化简/(«);

⑵若/(a).f(a+g)=-J,且带va吟，求f(a)+f(a+刍的值;

2X422

TTTT

(3)若/(a+万)=2f(a),求/3)•/3+耳)的值.

【正确答案】(1)-cosa(2)-3(3)-

25

【详解】试题分析：

(1)利用诱导公式可化简；

JT\

(2)代入已知/(2)/(。+7)=一sinacosa,从而得sinccosa=弓，结合平方关系

28

sin2a+cos2a=1可求得sina-cosa值；

(3)同样由诱导公式化已知为sina=-2cosa,代入平方关系si/a+cos2a=1可求得

TT

cos2a,也即得f{a}f{a+万)=-sinacosa的值.

试题解析：

,、-cosasina)(-tancr)

(1)/(«)=-----------7一?―r-L=-cosa

tana(-sina)

〃7171J,所以cosssina=丄，可

(2)/I«+y…a+生=sina,因为/(a)一/a+—

I2288

得(sina-cosa)~=1,—,costz>sina,所以

71.6

/(«)+/a+—=sina-cosa=------

22

(3)由(2)得/([+]=2/(a)即为sina=一2cosa,联立sin2a+cos2a=i,解得cos%=1,

所以/(a)•/[a+彳J=-sinacosa=2cos~a=—.

点睛：诱导公式：公式一：2攵乃+。，公式二：乃+a,公式三：一a、公式四：兀一a，公

式五：刍-a,公式六：1+a,这六公式可统一写成：k~±a,kwZ,可归纳为：奇变

222

偶不变，符号看象限.

19.已知函数〃x)=2sin1-2x+：)-l

(1)求函数f(x)的对称轴，对称中心以及单调减区间；

(2)求y=/(x)在上的最值及对应的x的值.

【正确答案】⑴对称轴：x=Y+”(&eZ),对称中心：佰+”,-1](荘4，减区间：

82\o2)

--+X：7r,—+/：7i(kGZ)

88Jv7

(2)当工二-£时，取最大值1；当时，取最小值-收-1

84

【分析】(1)根据正弦函数的性质求解即可;

(2)根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.

【详解】(1)f(-^)=2sin^—2x+—1=-2sin(2x——)—1

由2工一：=也一曰次£2,解得％=一1+g仕eZ),所以对称轴方程为％=—1+g(%£Z),

由2x-：=E«eZ解得x=1+g,左eZ,所以对称中心为+与,kwZ,

'llr]lTTTTjJI

由F2farV2x—K—F2kJI,keZ,解得--FkuWxW—+ku,kwZ,

24288

TT37r

所以函数的减区间为一庁+&兀,士+EJeZ.

oo

兀兀兀兀

(2)因为,所以2xe,

­>।z>7T3兀7T

所以2*一:g——,

4L44.

所以当2%-；=?,即x=3时，函数有最小值为-1-应，

444

当2x3IT=4TT,即x=-1TT时，函数有最大值为-2x(-l)-l=l.

20.如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y=Asin(羽,

9目-巴句，已知摩天轮的半径为50m,其中心点O距地面60m,摩天轮以每30分钟转一

圈的方式做匀速转动，而点尸的起始位置在摩天轮的最低点处.

⑴根据条件具体写出y(m)关于f(min)的函数表达式；

(2)在摩天轮转动一圈内，点P有多长时间距离地面超过85m?

ITTT

【正确答案】⑴y=50sin(百”,)+60；

(2)10分钟.

【分析】(1)由中心点到地面距离得匕值，由摩天轮半径得A值，由周期求得。，再由初始

值求得夕得表达式；

(2)解不等式y>85后可得.

【详解】(1)中心点。距地面60m,则6=60,摩天轮的半径为50m,即A=50,7=30,

2万n

o)=——=一,

T15

最低点到地面距离为10m,

所以50sine+60=10,sin^=-l,又勿日一区加，则°=-三，

2

所以所求表达式为y=50sin(含-9+60；

(2)y=50sin(pr-^)+60>85,sin(-^/-1)>p

取一个周期内，有£<与4<多，10</<20,20-10=10.

61526

所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分钟的时间距离地面超过85m.

TT

21.函数/(x)=Asin(s+s)(其中A>O,0>O,lel<])的部分图象如图所示，把函数f(x)

的图像向右平移9个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图像.

4

n77r

7i177r

(1)当xe^，―时，求g(x)的值域

(2)令/(x)Hx)-3,若对任意x都有尸(x)_(2+⑼F(x)+2+〃?40恒成立，求〃?的最大

值

【正确答案】(1)--^-1,0(2)

【分析】(1)根据图象的最低点求得A的值，根据四分之一周期求得。的值，根据点

求得9的值，由此求得函数〃X)的解析式，进而根据图象平移变换求得g(x)的解析式，并

由此求得xej筈时g(x)的值域.(2)先求得“X)的值域，由此求得尸(x)的值域.令

f=F(x)e[T,-2]对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求

得机的取值范围，由此求得机的最大值.

177r

【详解】(1)根据图象可知4=1,；7=曾一己

T=冗、：.(0=—=2,/(x)=sin(2x+(p)

=-l,(p=2k兀+eZ,

•••fM=sin

TT

把函数,的图像向右平移7个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数蚣)

/.g(x)=sin

设f=2x-3,则fe冗5TT

此时sinrw--—,1,

所以值域为-与-10.

(2)由(1)可知F(x)=sin(2x+g)e|-l,l]

尸(x)=/(x)-3e[-4,-2]

对任意x都有F\x)-(2+M)P(X)+2+mW0恒成立

令”尸(x)e[-4,-2],

h(t)=/2-(2+m)t+2+m,是关于，的二次函数，开口向上

则科)max4°恒成立

而〃⑺的最大值，在f=T或/=-2时取到最大值

/i(-2)<0\4-(2+/n)(-2)+2+/n<0