山东省济宁市曲阜一中2023-2024学年九年级数学第一学期期末经典试题含解析

山东省济宁市曲阜一中2023-2024学年九年级数学第一学期期末经典试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，设这两次提价的年平均增长率为X,那么下面列出的方程正

确的是（）

A.180（l+x）=300B.180（l+x）2=300

C.180（I-X）=300D.180（I-X）2=300

2.某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为（）

A.10%B.20%C.25%D.40%

3.一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。若从盒子里随机摸取一个球,

有三种可能性相等的结果，设摸到的红球的概率为P,则P的值为（）

11Iil1-2

A.-B.-C.-或一D.一或一

323233

4.如图，太阳在4时测得某树（垂直于地面）的影长EO=2米，3时又测得该树的影长CD=8米，若两次日照的光

线PEJLPc交于点P,则树的高度为产。为（）

B.4米C.4.2米D.4.8米

5.如图所示的网格是正方形网格，则SinA的值为（

4

6.如图，点A、B、C都在。O上，若NAOC=I40。，则NB的度数是)

O

C

A

B

A.70oB.80oC.IlOoD.140o

7.如图,平面直角坐标系中，A(-8,0),B(-8,4),C(0,4),反比例函数y=∣的图象分别与线段AB,BC交于点D,E,

连接。石.若点3关于。石的对称点恰好在Q4上，则左=()

JA

BE)

D

OX

A.—20B.-16C.-12

8.羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动.某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度Mm)与发球后球飞

行的时间f(s)满足关系式〃=-r+2/+1.5,则该运动员发球后IS时，羽毛球飞行的高度为()

A.1.5mC.2.5mD.3m

若式子去§在实数范围内有意义，则X的取值范围是(

9.)

A.x≥3B.x≤3C.χ>3D.χ<3

10.下列命题正确的是()

长度为5cm、2cm和3cm的三条线段可以组成三角形

√16的平方根是:t4

。是实数，点P(∕+l,2)一定在第一象限

两条直线被第三条直线所截，同位角相等

11.将二次函数j=2x2+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为

()

A.y=2(x-1)2+3B.j=-2(x+3)2+1

C.y=2(X-3)2-1D.y=2(x+3)2+1

12.抛物线y=-(*-；)2-2的顶点坐标是()

B.(-ɪ,2)

A.(—2)(--,-2)D.(一,-2)

29222

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图,点勺(和外),鸟(々，%)，，E,(χ,,,y,J在函数y=g(χ>O)的图象上，.4OA，AA4,，.6A2A，片AlA“都

是等腰直角三角形.斜边OA,A&,,AiA都在X轴上(〃是大于或等于2的正整数),点Pn的坐标是.

14.如图，原点O为平行四边形A.BCD的对角线A.C的中点，顶点A,B,C,D的坐标分别为(4,2),(α,b),

(m,n),(—3,2).贝!](m+n)(α+b)=.

15.若x=2是方程3x+q=0的一个根.则4的值是.

16.如图，二次函数y=αx2+bx+c的图像过点A(3,0),对称轴为直线x=l,则方程“x2+W+c=0的根为

18.如图，平面直角坐标系中，等腰放ΔA8C的顶点AB分别在X轴、轴的正半轴，NABC=90,C4_LX轴，点C

在函数y=%χ>0)的图象上.若AB=2,则k的值为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)已知二次函数y=f+bχ+c的图像经过点A(0,3),B(-1,0).

（1）求该二次函数的解析式

（2）在图中画出该函数的图象

6

5

4

3

2

1

-

-6-5-4-3-2I?1-

々

3-

-4

5-

6-

20.（8分）[阅读理解]对于任意正实数。、b,

∙.∙（√a-√⅛）^≥O,：.a-24ab+b≥Q,

a∙vb≥2y[ab（只有当。=b时，a+b≥2∖[ab）•

即当α=人时，Q+力取值最小值，且最小值为2痴.

根据上述内容，回答下列问题：

4

问题1：若加＞0,当加=时，机+—有最小值为；

m

99

问题2：若函数.V=Q+——则当Q=时，函数y=q+——（。＞1）有最小值为.

21.（8分）如图所示，在AAfiC中，点。在边BC上，联结A£＞,ZADB=NCDE,DE交边AC于点E，DE交

84延长线于点尸，且AD?=DE-DF•

（1）求证：帖FD^ACAD；

（2）求证：BFDE=AB∙AD.

22.（10分）列一元二次方程解应用题

某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元.假设该公

司2、3、4月每个月增长的利润率相同.

（1）求每个月增长的利润率；

(2)请你预测4月份该公司的纯利润是多少？

23.(10分)如图，在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于

(1)求证：AF=DC5

(2)若AB_LAC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

24.(10分)如图，43是直径AB所对的半圆弧，点尸是AB与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB=Scm,

点C是AB上一动点，连接尸C交AB于点O.

小明根据学习函数的经验，对线段A。，CD,PD,进行了研究，设A,。两点间的距离为Xem,C,C两点间的距离

为弘cm,P,。两点之间的距离为%cm.

小明根据学习函数的经验，分别对函数%,为随自变量X的变化而变化的规律进行了探究•

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(2)按照下表中自变量X的值进行取点、画图、测量，分别得到了%,%与X的几组对应值:

HCm0.002.002.003.003.204.005.006.006.502.008.00

M/cm0.002.042.093.223.304.004.423.462.502.530.00

%/cm6.245.294.353.463.302.642.00m2.802.002.65

补充表格；(说明：补全表格时，相关数值保留两位小数)

(2)在同一平面直角坐标系Xoy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数”的图象:

(3)结合函数图象解决问题：当AD=IPD时，Ao的长度约为.

25.(12分)已知二次函数y∣=χ2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线.

(1)求m,n的值，

(2)如图，一次函数y2=kx+b的图象经过点P,与X轴相交于点A,与二次函数的图象相交于另一点B,若点B与

点M(-4,6)关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式.

(3)根据函数图象直接写出y∣>y2时X的取值范围.

(1)X2-4x+2=0;

(2)(X-I)(X+2)=4

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】本题可先用X表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示出第二次提价后的售价，然后根据已知条件

得到关于X的方程.

【详解】当商品第一次提价后，其售价为：180(1+X)；

当商品第二次提价后，其售价为：180(1+x)

Λ180(1+x)'=2.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价

的方程，令其等于2即可.

2、B

【分析】2019年水果产量=2017年水果产量x(l+年平均增长率)2,列出方程即可.

【详解】解：根据题意得，

IOo(I+x)2=144

解得玉=0.2,々=一2.2(舍去)

故答案为20%,选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用.

3、D

【分析】分情况讨论后，直接利用概率公式进行计算即可.

【详解】解：当白球1个，红球2个时：摸到的红球的概率为：P=∣∙

当白球2个，红球1个时：摸到的红球的概率为：P=；

12

故摸到的红球的概率为：-或一

33

故选：D

【点睛】

本题考查了概率公式，掌握概率公式及分类讨论是解题的关键.

4、B

PDDF

【分析】根据题意求出△尸。E和ABt)P相似，根据相似三角形对应边成比例可得F=——，然后代入数据进行计算

DCFD

即可得解.

【详解】,JPELPC,

.∙.NE+NC=90°,NE+NEP0=9O°,

：.ZEPD=ZC,

又

YNPJDE=NkOP=90°,

：.APDEs4FDP,

.PD_DE

,,DC-FD,

由题意得，DE=2,OC=8,

PD2

•••一9

8PD

解得PD=4,

即这颗树的高度为4米.

故选：B.

【点睛】

本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用.

5、C

【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1,连接格点3C,AD,过C作CE_LA5于E,解直角三角形即可得到

结论.

【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1,

连接格点5C,AD,过C作CE_LAB于E,

,2222

∙*AC^BC=√4+2=2√5»BC=2五,AD=y]AC+CD=3√2>

11

•：SMBC=-AB*CE=-BC∙AD,

22

.BC-AD-2√2×3√2-6√5

AB2√55

6√5

.ACE53,

AC2√55

【点睛】

本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键.

6、C

【解析】分析：作AC对的圆周角NAPC如图，利用圆内接四边形的性质得到NP=40。，然后根据圆周角定理求NAoC

的度数.

详解：作AC对的圆周角NAPC,如图,

11

VNP=—ZAOC=-×140o=70o

22

VZP+ZB=180o,

.∙.ZB=180o-70o=110o,

故选：C.

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

7、C

【解析】根据A(-8,0),B(-8,4),C(0,4),可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系

式,可用含有人的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形AZ犷

中，由勾股定理建立方程求出攵的值.

【详解】过点E作EGLQA,垂足为G,设点8关于OE的对称点为F,连接DF、EF、BF,如图所示：

则Δβ0E岂ΔFOE,

BD=FD,BE=FE,NDFE=NDBE=90”

易证ΔADF〜NGFE

AFDF

"EG-FE,

4—8,0),8(-8,4),C(0,4),

.-.AB=OC=EG=4,OA=BC=S,

D、E在反比例函数y=V的图象上,

X

WQL)

,OG=EC=-K,AD=-K

48

kk

.∙.BD=4+-,BE=8+-

84

k

.BD4+8_1DF_AF

--

BE8+k2^FE^EG

4

.∙.AF=-EG=2,

2

在Rt^ADF中，由勾股定理：AD2+AF2=DF2

即：(-i)+2?=4+1)

解得：k=T2

故选C

【点睛】

此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现8。与BE的

比是1:2是解题的关键.

8、C

【分析】根据函数关系式，求出t=l时的h的值即可.

【详解】〃=—产+21+1.5

t=ls时，h=-l+2+l∙5=2.5

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，知道t=l时满足函数关系式是解题的关键.

9、C

【解析】直接利用二次根式的定义即可得出答案.

1

【详解】•••式子在实数范围内有意义,

JX—3

.∙∙x的取值范围是：x>l.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解答本题的关键.

10、C

【分析】根据三角形三边关系、平方根的性质、象限的性质、平行线的性质进行判断即可.

【详解】A.长度为5cm、2cm和3cm的三条线段不可以组成三角形，错误；

B.J语的平方根是±2,错误；

C.。是实数，点P(/+1,2)一定在第一象限，正确；

D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了判断命题真假的问题，掌握三角形三边关系、平方根的性质、象限的性质、平行线的性质是解题的关键.

11、D

【分析】根据二次函数图像的平移法则进行推导即可.

【详解】解：将二次函数y=2∕+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表

达式为y=2(x+3)2+2-1,即y=2(x+3)2+l.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数图像的平移，掌握并灵活运用”上加下减，左加右减”的平移原则是解题的关键.

12、D

【分析】根据二次函数的顶点式的特征写出顶点坐标即可.

【详解】因为y=-(X-2-2是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(L,-2).

2

故选：D.

【点睛】

此题考查的是求二次函数的顶点坐标,掌握二次函数的顶点式中的顶点坐标是解决此题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、(Λ∕H+∖∣n—1,∖∕~n—J/z—1)

【分析】过点Pl作PIE_LX轴于点E,过点P2作PzFLx轴于点F,过点P3作PsG_LX轴于点G,根据APiOAi,∆P2AιA2,

△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出Pl,P2,P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标.

【详解】解：过点Pl作PlE_LX轴于点E,过点P2作P2F_Lx轴于点F,过点P3作P3GJLx轴于点G,

VaPiOAi是等腰直角三角形，

,

..PiE=OE=A1E=ɪOA1,

2

设点Pl的坐标为(a,a),(a>0),

将点Pl(a,a)代入y=1,可得a=l,

X

故点Pl的坐标为(1,1),则OAl=2,

设点P2的坐标为(b+2,b),将点P2(b+2,b)代入y=L可得b=√5-l,

X

故点P2的坐标为(夜+1，√2-l)-

则AIF=A2F=血-1,OA2=OAI+A∣A2=2Λ∕2»

设点P3的坐标为(c+2y[i，c),将点P3(c+2λ∕∑,c)代入y=g,

可得c=6-√∑,故点P3的坐标为(百+√5,√3-√2),

综上可得：Pl的坐标为(1,1),P2的坐标为(√∑+1,√2-l)>P3的坐标为(√∑+1,√2-l)-

总结规律可得：Pn坐标为(«+。H-I,G-Jn-V)；

故答案为：(Gzn-I,品7n-l).

【点睛】

本题考查了反比例函数的综合，根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P”P2,P3的坐标，从而总结出一

般规律是解题的关键.

14、-6

【分析】易知点A与点C关于原点O中心对称，由平行四边形的性质可知点B和点D关于原点O对称，根据关于原

点对称横纵坐标都互为相反数可得点B、点C坐标，求解即可.

【详解】解：根据题意得点A与点C关于原点O中心对称，点B和点D关于原点O对称

A(4,2),0(—3,2)

∙∙.B(3,-2),CM,-2)

a=3,b=—2,m=—4,n=-2

:.(m+n)(a+b)=-6×∖=-6

故答案为：-6

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中的中心对称，正确理解题意是解题的关键.

15、2

【解析】根据一元二次方程的解的定义,将x=2代入已知方程,列出关于q的新方程,通过解该方程即可求得q的值.

【详解】Vx=2是方程χ2-3x+q=0的一个根，

.∙.x=2满足该方程，

22-3×2+q=0,

解得,q=2.

故答案为2.

【点睛】

本题考查了方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即

用这个数代替未知数所得式子仍然成立.

16、%=3;/=一ɪ

【分析】根据点A的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与X轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.

【详解】解：由二次函数y="x2+版+c的图像过点A(3,0),对称轴为直线x=l可得：

抛物线与X轴交于(3,0)和(-1,0)

即当y=0时，x=3或T

.∙.a/+加r+c=o的根为玉=3;/=-1

故答案为：玉=3;马=一1

【点睛】

本题考查抛物线的对称性及二次函数与一元二次方程，利用对称性求出抛物线与X轴的交点坐标是本题的解题关键.

17、(0,9)

【分析】令χ=0,求出y的值，然后写出交点坐标即可.

【详解】解：χ=0时，y=-9,

所以，抛物线与y轴的交点坐标为(0,-9).

故正确答案为：(O,-9).

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法.

18、4

【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC的值，根据等面积法求出OA的值，OA和AC分别是点C的横

纵坐标，又点C在反比例函数图像上，即可得出答案.

【详解】•••△ABC为等腰直角三角形，AB=2

.∙.BC=2,AC=VfiC2+AB2=2√2

-×BC×AB=-×OA×AC

22

Lχ2x2='xQAx2√Σ

22

解得：OA=λ∕2

.∙.点C的坐标为(√∑20)

又点C在反比例函数图像上

ʌ⅛=√2×2√2=4

故答案为4.

【点睛】

本题考查的是反比例函数，解题关键是根据等面积法求出点C的横坐标.

三、解答题(共78分)

19、(1)y=x2+4x+3；(2)详见解析.

【分析】⑴根据二次函数y=f+⅛x+c的图象经过点A(0,3),B(-1,0)可以求得该函数的解析式;

(2)根据(1)中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象;

J0+0+c=3

【详解】解:⑴把A(0,3),B(-1,0)分别代入y=χ2+∕+c,得

λx[l-b+C=O

c=3

解得

b=4

所以二次函数的解析式为：y=f+4χ+3

⑵由⑴得y=(x+2p-1

列表得:

X一4-3一2-IO

y3O—I03

本题考查求抛物线的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二

次函数的性质和数形结合的思想.

20、(1)2,4；(2)4,1

【分析】(1)根据题目给的公式去计算最小值和，”的取值；

99

(2)先将函数写成y=α-l+=+1,对。-1+——用上面的公式算出最小值，和取最小值时α的值，从而得到函

a-∖a-∖

数的最小值.

【详解】解：(1)m-∖--≥2.m∙--2Λ∕4=4,

mNm

44

当m=-,即加=2(舍负)时，"2+一取最小值4,

mm

故答案是：2,4；

9

(2)y—CL-∖-∖-----F19

a-∖

99

当。-1=----,0-l=±3,α=4,α=-2(舍去)时，Q-IH-----取最小值6,

Q-Ia-∖

o

则函数y=α+--(«>1)的最小值是1,

Cl-L

故答案是：4,1.

【点睛】

本题考查实数的运算，解题的关键是根据题目给的公式进行最值的计算.

21、（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）先根据已知证明AM>EsAJEz网,从而得出NE=NZM£,再通过等量代换得出NBD9=NaM,从

而结论可证；

BFDFADDF

(2)由A8∕T>sAC4O得出一=—,再由ABFDsAcm得出NB=NC,从而有AB=AC,再加上一=——

ACADDEAD

npΔ∩

则可证明——=——，从而结论可证.

ABDE

【详解】（1）证明：AD2DE-DF>

ADDF

DE-AD

ZADF=ZEDA,

.∙.ΔADFcoΔfΣM.

.-.ZF=ZDAE,

又ZADB=ZCDE,

：.ZADB+ZADF=ZCDE+ZADF,

即NBDF=NCDA,

:.NBFD^∖CAD.

(2)∖BFD^∖CAD,

BFDF

"~AC~~AD,

ADDF

^DE~~∖D

BFAD

~λC~~DE

∕∖BF4kCAD,

：.N6=∕C,

AB—AC,

BFAD

''~AB~~DE,

.-.BFDE=ABAD.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键.

22、（1）每个月增长的利润率为5%.（2）4月份该公司的纯利润为23.1525万元.

【分析】（D设出平均增长率,根据题意表示出1月份和3月份的一元二次方程即可解题,

(2)根据上一问求出的平均增长率,用3月份利润即可求出4月份的纯利润.

【详解】解：(1)设每个月增长的利润率为X,

根据题意得：20×(l+x)2=22.05,

解得：xj=0.05=5%,X2=-2.05(不合题意，舍去).

答：每个月增长的利润率为5%.

(2)22.05×(1+5%)=23.1525(万元).

答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.

23、(1)见解析(2)见解析

【分析】(I)根据AAS证△AFEgZiDBE,推出AF=BD,即可得出答案.

(2)得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD,根据菱形的判定推出即可.

【详解】解：(1)证明：∙.∙AF"BC,

NAFE=NDBE.

TE是AD的中点，AD是BC边上的中线，

二AE=DE,BD=CD.

在4AFE和小DBE中，

∙.∙NAFE=NDBE,NFEA=NBED,AE=DE,

Λ∆AFE^∆DBE(AAS)

ΛAF=BD.

ΛAF=DC.

(2)四边形ADCF是菱形，证明如下：

VAF/7BC,AF=DC,

.∙.四边形ADCF是平行四边形.

VAC±AB,AD是斜边BC的中线，

ΛAD=DC.

.∙.平行四边形ADCF是菱形

24、(2)/«=2.23；(2)见解析；(3)4.3

【分析】(2)根据表格中的数据可得：当x=5或2时，J2=2.00,然后画出图形如图，可得当AB=5