2023-2024学年四川省达州外国语学校高三（上）9月月考数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年四川省达州外国语学校高三（上）月考数学试卷（文科）

（9月份）

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合0={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5),B={3,4,5},则Cu(AUB)=()

A.{3,5}B.{2,6}C.{134,5}D.[1,2,4,6}

2.若复数z满足zi=4-3i,则|z|=()

A.3B.4C.5D.6

3.已知命题p：VneN,271—2不是素数，则”为()

A.3ngN,2n-2是素数B.VneN,2n-2是素数

C.2n—2是素数D.2我一2是素数

4.2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车

次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率=（今年车流量-去年同期车流量）+去年同期车流量x

100%））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（）

A.2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23

B.2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17

C.2023年4月19EI至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流

量的标准差

D.2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次

rx-2y<0

5.若实数x,y满足忸+y+420,贝!|z=3x+2y的最大值为()

(y<i

A.8B.6C.yD.-y

6.曲线y=Inx+2V三在％=1处的切线方程为（）

31

A.y=-%4--B.y=2%—4C.y=3%—1D.y=2%

7.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，

而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的

函数解析式可以为（）

11

A.y=sinx+-sin2x+-sin3x

1i

B.y=sinx--sin2x--sin3x

J23

C.y=sinx4-|cos2x+|cos3x

D.y=cosx+1cos2x+1cos3x

8.已知曲线C］：y=cosx,C2：y=sin（2x4-y）,则下面结论正确的是（）

A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移着个单位长度，得到曲线

。2

B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移号个单位长度，得到曲

线

c.把G上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移看个单位长度，得到曲线

c2

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移居个单位长度，得到曲

线C2

9.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（）

124，

A.之B.=­C.皆D.

3399

10.已知三棱锥中，PA=3,PB=PC=S,AB=BC=AC=4,则它的外接球的表面积为（）

91Q1

A.苍TTB.yTTC.84兀D.2171

11.已知双曲线1一马=l（a>0/>0）的左、右焦点分别为Fl、F2,过尸2作一条直线与双曲线右支交于A、

。b

B两点，坐标原点为。，若|0川=V&2+炉,|BF/=5a,则该双曲线的离心率为（）

cq

12.己知函数/(x)=密.若过点P(-Lm)可以作曲线y=f(x)三条切线，则m的取值范围是()

4

A.(0B.(0勺D讨)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知函数f(x)=]藐：套>2,财⑺=一.

14.己知平面向量不=(m,-4),b=(-l,m+3)，若何+山=|日一由，则实数m的值为.

15.已知数列｛即｝的首项的=3,且数列｛1咤3册｝是以-2为公差的等差数列，则.

16.淀理汇编少记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即

由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，('

三个半圆的圆心分别为。，。1，02,半径分别为R,上(其中R>r]>/2)，在半圆。内

随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形(阴影部分)的概率为右则子=_.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

在AABC中，著1=吧.

2b-ac

(1)求角C的大小.

(2)若a=3,AABC的面积为6C，。为力B的中点，求CD的长.

18.(本小题12.0分)

高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如表:

数学成绩X140130120110100

物理成绩y110901008070

数据表明y与x之间有较强的线性关系.

(I)求y关于％的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；

(II)本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀

率与物理优秀率分别为50%和60%,且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上

填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？

物理优秀物理不优秀合计

数学优秀

数学不优秀

合计60

参考公式及数据：回归直线的系数人=-bx'2忆1/为=54900,

%城-右2珞'a=y

2

H=!(^-X)2=1000,K2=(a+b)图鼠?c)(b+d)-P(K2.6.635)=0.01，P(K^>10.828)=0.001.

19.(本小题12.0分)

如图所示，在四棱锥M-4BCC中，底面4BCC为直角梯形，BC//AD,ACDA=90°,AD=4,BC=CD=2,

△MBD为等边三角形.

(I)求证：BD1MC；

(II)若平面MBD1平面力BCD,求。到平面4BM的距离.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆E：\+，=l(a>b>0)经过4(0,1),7(-:一|)两点,M,N是椭圆E上异于T的两动点，且4MAT=

乙NAT,直线4M,4N的斜率均存在.并分别记为自，k2.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)证明直线MN过定点.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=aln(x-1)+^x2+1,g(x)=f(x)+,-(1x-l)2.

(1)当a=-1时，求函数/'(x)的极值；

(2)若任意匕，%2€(1，+8)且%力％2,都有里笠驾21成立，求实数a的取值范围.

x2X1

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系中，曲线Ci：x2-y2=2,曲线C2的参数方程为Z需°s°(。为参数).以坐标原点。为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线&,。2的极坐标方程；

(II)在极坐标系中，射线。屋与曲线J。2分别交于4,B两点(异于极点。)，定点叭3,0),求AAMB的面

积.

23.(本小题12.0分)

已知正实数%,y满足2x+y=l.

(1)解关于％的不等式2(x4-y)+|x-y|<|；

(2)证明：4)号-1)236.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为4={1,3,5},8={3,4,5},所以AUB={1,3,4,5},

所以Q(AUB)=[2,6}.

故选：B.

根据集合的并集补集运算求解即可.

本题考查了集合的并集和补集运算问题，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：zi=4-33

•••\z\=J(-3/+(-4)2=5.

故选：C.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：根据题意，命题p：VnG/V,2n-2不是素数，

则"为mnCN,2n-2是素数.

故选：D.

根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案.

本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：对于A由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为25-2=23,故A

正确；

对于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17,故8正确；

对于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，故C错误；

对于。：2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%,设2022年4月23日的高速公路

车流量为x万车次，则心x100%=10%,解得x=20,故O正确.

X

故选：C.

通过计算得到选项AB正确；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量

为％万车次，则当Wx100%=10%,解得x=20,故。正确.

X

本题主要考查统计图获取信息，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

y

联立仁二:=0,解得4(2,1),

由z=3x+2y,得y=-?x+],由图可知，当直线y=-|》+1过4时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3x2+2x1=8.

故选：A.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目

标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意可知x=l时，、=m1+2=2,即切点为(1,2),

又y=lnx+2，T,则y'=£+专，

故曲线y=Inx+2，下在x=1处的切线斜率为y'|x=i=2,

故切线方程为y-2=2(X-1),即y=2x,

故选：D.

求出切点坐标，求得导数，可求得切线斜率，根据导数的几何意义即可求得答案.

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：对于4函数y=/(%)=sinx+gs讥2%+上加3%,定义域为R,

因为/(-%)=-sinx-^sin2x-^sin3x=-/(%),所以函数为奇函数，

又/G)=¥+<+?=:+当>0,故A符合图象；

J、4/22623

对于8,函数y=/(%)=sinx—^sin2x—|sin3x,定义域为R,

因为/(-%)=-sinx+|sin2x+|sm3x=-/(%)，所以函数为奇函数，

又/G)=?—：<警—=0,故3不符题意；

对于C,函数y=/(%)=sinx+jcos2x4-|cos3x,定义域为R,

因为/(0)=1^0,故C不符题意；

对于0,当x=0时，y=cosx4-|cos2x+|cos3x=y0,故。不符题意.

故选：A.

根据函数的奇偶性，再利用特殊值法，逐一判断即可.

本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：曲线C2：y=sin(2x+y)=cos(2x4-^),

把Ci：y=cos%上各点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，可得y=cos2x的图象；

再把得到的曲线向左平移居个单位长度，可以得到曲线C2：y=cos(2%+J)=sin(2x+约的图象，

故选：D.

利用诱导公式，函数y=4sin(3x+w)的图象变换规律，得出结论.

本题主要考查诱导公式的应用，函数y=4sin(3尤+w)的图象变换规律，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】解：根据题意，从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，取法有(123)、(124)、(125)、(134)、

(135)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345),共10种取法；

其中三个数的积为偶数的有9种，分别为(123)、(124)、(125)、(134)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345),

三个数的和大于8的有5种，分别为(145)、(234)、(235)、(245)、(345),

若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率P=|.

故选：D.

根据题意，由列举法分析“从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数”的取法，进而可得其中“三个数的

积为偶数”和“三个数的和大于8”的取法数目，由条件概率公式计算可得答案.

本题考查条件概率的计算，注意列举法的应用，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：根据题意，设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,

2

-X

△ABC中，AB=BC=AC=4,则AaBC为等边三角形，其外接圆半径r3

<3、，.4/3

—X4=—

又由PA=3,PB=PC=5,AB=AC=4,则PALAB,PA1AC,故P4_L面ABC,

则有R2=r2+聋产=学+[=:,

故外接球的表面积S=4冗R2=亨;

故选：B.

根据题意，设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,求出底边△ABC外接圆的半径，又由PA上面ABC,进而

勾股定理可得胆的值，由球的表面积公式计算可得答案.

本题考查球的体积与表面积的计算，涉及球的内接几何体的问题，属于中档题.

11.【答案】B

【解析】解：已知双曲线会*l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

&、尸2，过尸2作一条直线与双曲线右支交于4、B两点，坐标原点为。，

又|04|-Va2+b2=c>

则404尸2=p

又田川=5a,

则IBF2I=\BF1\-2a=3a,

设|也|=3

则|4居|=2a+t,

又|4"|2+|AB|2=田居|2,

即12+Sat—6a2=0,

则1=a,

即MBI=3a,MF2I=a,

又|4&|2+|4尸2『=尸1&『，

则9a2+层=4c2,

则£=罕

a2

则该双曲线的离心率为了.

故选：B.

由双曲线的定义，结合双曲线离心率的求法求解即可.

本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题.

12.【答案】A

【解析】解：设切点为(殉,喘)，由/⑶=字可得/'(X)=竺二/=言，

所以在点(右,爵)处的切线的斜率为k=/'(X。)=奇，

所以在点(g,笠工)处的切线为：y-笠=离(％-a),

因为切线过点P(-l,m)，所以nt-(―1—x0),

即叩噌t

eo

若过点可以作曲线y=f(x)三条切线，

则这个方程有三个不等根，

设gQ)=空直线y=m与g(x)图象有三个交点，

则g，(X)=C旺2空出牡n=亨

由g'(%)>0可得一1<%<1,由g'(x)<0可得：x<一1或%>1,

所以9(%)=审_在(-8,-1)和(1,+8)上单调递减，在上单调递增，

当％趋近于正无穷，g(x)趋近于0,当X趋近于负无穷，g(x)趋近于正无穷，g(x)的图象如下图，且g⑴=：，

要使y=m与g(x)=咛望的图象有三个交点，则0<m<g.

则根的取值范围是：(0,£).

故选：A.

切点为(沏，需)，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为:y-需=奇。-X。)，可得m=立誓，

2

设9(%)=铝一求“(x),利用导数求g(x)的单调性和极值，切线的条数即为直线y=zn与g(x)图象交点

的个数，结合图象即可得出答案.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】8

【解析】解：由题意得/(7)=2/(7-2)=2/(5)=2x2/(3)=2x4/(1)=Se1-1=8.

故答案为：8.

根据题意代入分段函数计算即可.

本题考查分段函数的求值，属于基础题.

14.【答案】t

【解析】解：—B|=|8+b|，

•••由石石构成的平行四边形为矩形，即五13，

则2•3=—机—4m—12=0，解得m=—蓝.

故答案为：-苓

由于I五一石1=11+至1，所以由乙3构成的平行四边形对角线相等，故为矩形，所以aiB,再运用数量积计

算即可.

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.

15.【答案】/

【解析】解：数列｛即｝的首项的=3,且数列｛1。83即｝是以一2为公差的等差数列，

*'•loggtZn=1+(ri-1)x(—2)——2n+3,

・••log3a3=-2x3+3=-3,

则03=3-3=探

故答案为：探

由等差数列通项公式得log3an=1+(n-1)x(-2)=-2n+3,由此能求出结果.

本题考查等差数列的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

16.【答案】3+2/1

【解析】解：阴影部分面积为：S=3/?2-与号—]以=(R2一斤一球)，

由图可知：2rl+2r2=2R,

所以q+r2=R,

则S=][Q+r2y一忏一以]=]•2♦%•上=兀「在2，

因为在半圆0内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形(阴影部分)的概率为3

nrrrr

n_九丁1丁2_l2_^l2_1cc_cc

所以产二萌-=加1+0)2=r什样+2”2=不8rir2=r/+r/+2rxr2,即母+以一6/1上=0，

则舄)2—6舄)+1=0,解得：^=3±2AT2,

因为6>r2,

所以3+2/7.

r2

故答案为：3+2/1.

通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案.

本题主要考查几何概型的概率计算公式，属于基础题.

17.【答案】(1)解：因为黑=噜，所以ccos4=(2b—a)cosC,

由正弦定理可得sinCcosA=(2sinB-sinA)cosC,

^sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosC,

即sin(C+4)=2sinBcosC,

即sin(7r—B)=2sinBcosC,

即sinB=2sinBcosC,

又在三角形中sinB>0,所以cosC=；,

因为C6(O,TT),所以C=4

(2)解：因为SMBC=gabsinC=6/3,即"x3bx三=6V"耳，所以b=8,

又。为48的中点，所以而=；(刀+方)，

所以而之=^(CA+CBy=(CA2+CBZ+2CA-CB),

^\CD\2=^(\CA\2+\CB\2+2\CA\\CB|cosC)=J(82+32+2x3x8x1)=y,

所以।而|=萼，

即CD的长为萼.

【解析】(1)首先利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cosC,即可得解；

(2)首先由面积公式求出b,再由。为AB的中点，得到而=；(夕+方)，最后根据数量积的运算和性质计算

可得结果.

本题考查了正余弦定理以及数量积的性质在解三角形中的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(I)%=|(140+130+120+110+100)=120,

y=1(110+90+100+80+70)=90.

,_£1(看一以)仇一歹)_20x20+10x0+0xl0+(-10)x(-10)+(-20)x(-20)_900_

一工篙(44)2—202+102+(-10)2+(-20)2-1000-''

a=y—bx=90—0.9x120=-18-

二y关于％的线性回归方程为y=0.9%-18'

取x=90,得y=0.9x90-18=63-

.•・估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分;

(H)由题意填写2x2列联表:

物理优秀物理不优秀合计

数学优秀24630

数学不优秀121830

合计362460

60(24x18-6x12)2

K2=10>6.635,

36x24x30x30

・••能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关.

【解析】(I)由已知求得b与a的值，可得y关于X的线性回归方程，取X=90求得y值即可;

(II)由题意填写2x2列联表，求得K2的值，结合临界值表得结论.

本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验，考查计算能力，是中档题.

19.【答案】(1)证明：取BD的中点。，连接M。，CO,M

因为8C=CD,所以8DJLC。，

又因为AMBD为等边三角形，所以BDJ.M。，

又MOnCO=。，MO,。。＜=平面”。。，

所以BD平面MC。，

又MCu平面MCO,

所以B。1MC.

(2)解：如图所示，取MB的中点E,连接。E,

因为底面4BCD为直角梯形，BC//AD,Z.CDA=90°,AD=4,BC=CD=2,

所以B。=2/7.AB=2<7,

所以+=4。2,所以AB_LBD,

因为平面MBOJ■平面ABC。，平面MBDn平面ABC。=B。,

所以4B平面MBD,

又DEu平面MBC,所以ABJ.DE,

因为△MBD为等边三角形，E为MB的中点,

所以DE1MB,

又ABCiMB=B,所以。E_L平面力BM,

所以DE=BD-sin^=y/~6,

所以点。到平面48"的距离为，^

【解析】(1)取BD的中点。，连接M。，C。，推导出BD1C。，BD1MO,由线面垂直的判定定理可得BD1平

面MC。，从而可证得BC_LMC；

(2)取MB的中点E,连接。E,推导出CE1平面48”,求出CE即可得解.

本题主要考查线线垂直的判定，点到平面的距离的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：⑴:椭圆过4(0,1),7(—2一卷)两点，

俨=1

64,9

1

25a225b2

解得彤：:,

•••椭圆E的方程为：9+y2=i；

证明：(2)由乙MAT=4NAF知ZM与AN关于直线AT：y=x+l对称,

在4M上任取一点Po(xo，yo),设P0关于直线A7对称的点为P'oO，n)，

心=—1

则;解得〃。仇-1，*。+1)，

(2-2+1

从而"1=kp="一,k=々4P_o'，

AQ4o2

于是七七=1，

设点MQL%),N(%2，y2)，AM：y=&1%+1,

f

y=krX+1,

由\x2-得(4烂+l)x2+8kx=0,

彳+y7=ir

8kl

AX=—

x4kl+r

从而%=km+1="热

Sk2一1一4抬

同理%2=-两，丫2二而

,.,,8ki依-4

由(1)有七七=1,故%2=-73荐，丫2

4+勺4+解'

l-4/c2k2-4

2

为方便,记=匕则_h一及_4必+14+/_88k4k+l

，N一必-%2-8k-8k8k(3k2-3)3k

4k2+14+k2

22

l-4kk+lz—8k、

MN：y-y1=kMN(x-x1),：,y-(“一行)'

4k2+1一3k

22

Hnk+l8(/+i)l-4k必+15

即、=一万1”一3(4/+1)+4/C2+1：一寸X-3-

由此可知，当k变化时，直线MN过定点(0,_§.

【解析1(1)将两点代入方程组联立方程组解出即可;

(2)利用已知条件求出直线MN的斜率，利用求直线公式表示直线MN的方程分析即可.

本题主要考查了椭圆的性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查了数学

运算的核心素养，属于中档题.

21.【答案】解：(1)当。二一1时，/(%)=Jx2+l-ln(x-l),久€(1,+8).

则/'(X)=-令/'(%)=o,解得％=-1或%=2,

又因为%>1,所以％=2.

列表如下：

X(1,2)2(2,+00)

f'(x)—0+

“X)单调递减极小值单调递增

因为函数f(x)在区间(1,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增，所以/(%)有极小值f(2)=2,无极大值.

(2)因为g(x)=/(x)+1-©x-1)2,/(x)=a/n(x-l)+1x24-1,

所以g(x)=aln(x—1)+占+x,x&(1,+co),

若对任意久i，%2e(1,+8)且为k如旗?？GD>1恒成立

不妨令与<x2，则幺笠毁豆21=g(x2)-gQi)>x2-x1<^g(X2)-x2>g。］)-xT,

令G(x)=g(x)-x,只需证明G(x)在(L+8)单调递增，

因为GQ)=g(x)-x=aln(x-1)+,，则心(x)=告一

所以—彳—\>0在％>1时恒成立，即a>—xG(1,4-00),

令/i(x)=3,%e(l,+8),则"(x)=

因为％>1,所以令/i'(x)>0,解得1<XV2,令/i'(x)<0,解得x>2,

从而九(%)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,+8)上单调递减，

所以当x=2时九⑴取到最大值九⑵=卡,所以实数a的取值范围是+8).

【解析】(1)求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；

(2)不妨令%1<小，则问题等价于g(》2)-》2之g(%i)-％1，令G(x)=g(%)-只需证明G(%)在(1,+8)单

调递增，问题等价于G'(x)20在x>1时恒成立，参变分离得到a2号，x6(1,+8),再构造函数，利用

导数求出、的最大值，即可得解.

ex

本