山东省济南槐荫区五校联考2023年九年级上册数学期末考试试题含解析

山东省济南槐荫区五校联考2023年九上数学期末考试试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.一组数据1,2,3,3,4,1.若添加一个数据3,则下列统计量中，发生变化的是()

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

2.已知二次函数y=^+bx+c(a*0)的图象如图所示，下列结论：®abc>0,®2a+b<0,®4a-2b+c<0,

@a+b+2c>0,其中正确结论的个数为()

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图，点。的坐标为(2,2),点A,8分别在x轴，J轴的正半轴上运动，且乙4PB=90，下列结论:

①PA=PB

②当。4=03时四边形OAPB是正方形

③四边形OAPB的面积和周长都是定值

④连接OP,AB,则//>OP,其中正确的有()

A.①②B.①@③C.①②④D.①②③④

4.如图，要测量小河两岸相对两点A、C宽度,可以在小河边AC的垂线CO上取一点则得3c=1()0加,

ZABC=5Q°,则小河的宽AC等于()

A.100sin50°mB.100cos50°/?tC.100tan50°/nD.100tan40°///

5.在平面直角坐标系中，二次函数y=f—2x的图象可能是（）

6.抛物线＞=%2-（2加-1）%+/2?一加与坐标轴的交点个数为（）

A.2个B.2个或3个C.3个D.不确定

7.二次函数y=-2（x+2）2-3的顶点坐标是（）

A.（-2,3）B.（-2,-3）C.（2,3）D.（2,-3）

8.如图，四边形A8CD为。。的内接四边形，E是3c延长线上的一点，已知/8。。=130。，则NOCE的度数为（）

9.-3-(-2)的值是()

10.如图,在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP,作射线PD,使/APD=60。，PD

交AC于点D,已知AB=a,设CD=y,BP=x,则y与x函数关系的大致图象是（）

11.如图，在AABC中，DE〃FG〃BC,且AD：AF：AB=1：2；4,则SAADE:SHa®DFGE：SMOFBCG等于（）

A.1：2：4B.1：4：16C.1：3：12D.1；3：7

12.下列运算正确的是()

A.J(—2)2=-2B.(2由『c.痣+百=道D.72x73=V6

二、填空题(每题4分，共24分)

k

13.如图，四边形ABC。的顶点都在坐标轴上，若A84CQ,405与.C0Z＞面积分别为8和18,若双曲线了=一恰

x

好经过BC的中点E,则A的值为.

3

14.在RtZ\ABC中，ZC=90",若sinA=-,则cos8=.

4

15.如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口N1=60°,半径为迷，则这个“吃

豆小人”(阴影图形)的面积为.

16.一个不透明的袋子中装有除颜色外其他都相同的2个红球和1个黄球，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随

机摸出一个，则两次都摸到黄球的概率为.

17.甲、乙两人在10()米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是().12,乙的方差是().05,这5次短跑训练

成绩较稳定的是.(填“甲”或“乙”)

18.如图，在一。中，弦A3=4,点C在AB上移动，连结。C,过点C作CDLOC交。0于点。，则8的最

大值为.

BD

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图所示，在AABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,。是边AC的中点，CE工BD交AB于息

E.

（1）求tan/ACE的值；

（2）求A£:£B.

20.（8分）如图，在。ABC。中，点E是边40上一点，延长CE到点凡使Nf5C=NOCE,且尸5与AO相交于点

G.

（1）求证：NO=NF；

（2）用直尺和圆规在边40上作出一点P,使△BPCS/XCOP,并加以证明.（作图要求：保留痕迹，不写作法.）

21.（8分）如图,尸是平面直角坐标系中第四象限内一点,过点尸作物_1_*轴于点4,以4尸为斜边在右侧作等腰曲/^1尸0,

已知直角顶点。的纵坐标为-2,连结。。交AP于8,BQ=2OB.

（1）求点尸的坐标；

（2）连结0P,求△0P。的面积与△04。的面积之比.

22.（10分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60。，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为

45°,已知OA=100米，山坡坡度=1：2,且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的

铅直高度PB.（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

23.（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务.

托勒电定理

托勒情（Ptolemy）（公元90年一公元168年），•・署名的天文家.他理学家.数学

家和光学家.在教学方面.他强*了四边册的转性.即著名的托勤富定理.

托勃密定理

IW内接四边形中.两条对角线的乘枳等于两组对边乘枳之和.

dliit如图（1）中.四边影A8CD内接于。。，

求证，ACBD=ABCD+BCAD

下面是该结论的证明过程I

m（I）m（2）

*明I如图（2）过C作交〃。于上使/l=/2,

又/5=/4,(依据I)

:.△ACI2&B(P.*.—=—HPAC•BP-AD•8('①

BCBP

又//(*NZXT.Z5-Z6,ZCBsUCP.(依据2)

二勺_=二即4C・DP-AB•IX'②

DCDP

①+"AC(BP+DP)=A/i・CD+AD•BC.

即AC*BUR•CD^-AD•BC.

任务：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？

依据1:________________________________________

依据2：_________________________________________________________

（2）当圆内接四边形ABC。是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理:（请写出定理名

称）.

（3）如图（3）,四边形43c。内接于。。，A5=3,40=5,ZBAD=60°,点C是弧80的中点，求AC的长.

24.（10分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是

1：_______

25.（12分）（1016内蒙古包头市）一幅长10cm、宽11cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽

度比为3：1.设竖彩条的宽度为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycM.

（1）求y与x之间的函数关系式；

2

（1）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的,，求横、竖彩条的宽度.

k------20---->

26.解方程：

(1)x2-2x-3=0(2)2x2-x-1=0

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【解析】A.•.•原平均数是：（1+2+3+3+4+1）06=3;

添加一个数据3后的平均数是：（1+2+3+3+4+1+3）+7=3;

二平均数不发生变化.

B.•.,原众数是：3；

添加一个数据3后的众数是：3；

二众数不发生变化；

CJ.•原中位数是：3；

添加一个数据3后的中位数是：3；

•••中位数不发生变化；

D....原方差是：（3一1），+（3—2）2+（3—3）2x2+（3—4）2/:

63

成+n人*二贴士至旦（3-1）2+（3-2）2+（3-3）2X3+（3-4）2+（3-5）210

添加一个数据3后的方差是：1-----L_----L__L-------L----------1------L__1-------Z_=AY；

77

方差发生了变化.

故选D.

点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.

2、B

【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，可判断a、b、c的符号，可判断①，利用对称轴可判断

②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=l时的函数值可判断④，从而得出答案.

【详解】解：,••抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，.•.aVO,c>0,

VO<--<1,r.b>0,且bV-2a,...abcVO,2a+b<0,故①不正确，②正确；

2a

•当x=-2时，yVO,.,.4a-2b+c<0,故③正确；

,当x=l时，y>0,.*.a+b+c>0,又c>0,.*.a+b+2c>0,故④正确；

综上可知正确的有②③④，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.

3、A

【分析】过P作PMJLy轴于M,PN_Lx轴于N,易得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=1,证得

△APM^ABPN,可对①进行判断，推出AM=BN,求出OA+OB=ON+OM=2,当OA=OB时，OA=OB=1,然后可

对②作出判断，由△APM^^BPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=2,然后依据AP和PB的长度变

化情况可对四边形OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断.

【详解】过P作PM_Ly轴于M,PN_Lx轴于N,

NBx

VP(1,1),

.*.PN=PM=1.

•“轴_1丫轴,

二ZMON=ZPNO=ZPMO=90°,

则四边形MONP是正方形,

.,.OM=ON=PN=PM=1,

VZMPN=ZAPB=90°,

/.ZMPA=ZNPB.

在△MPAgZkNPB中,

NMPA=/NPB

<PM=PN,

NPMA=NPNB

.,.△MPA^ANPB,

.•.PA=PB,故①正确.

,-,△MPA^ANPB,

，AM=BN,

.•.OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2.

当OA=OB,即OA=OB=1时，

则点A、B分别与点M、N重合，此时四边形OAPB是正方形，故②正确.

,.,△MPA^ANPB,

S四边形OAPB_S四边形AONP+SPNB=S四边形AONP+'PMA-S正方形p^oN—4.

VOA+OB=2,PA=PB,且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误.

VZAOB+ZAPB=180°,

.•.点A、O、B、P共圆，且AB为直径，所以ABNOP,故④错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，圆周角定理，

关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON

4、C

【分析】利用NABC的正切函数求解即可.

【详解】解：•••AC_LCD,BC=100m,ZABC=50°,

二小河宽AC=BCtanZABC=100tan50°(m).

故选C.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数

学问题.

5、A

【分析】根据二次函数图像的特点可得.

【详解】解：二次函数y=f—2x与x轴有两个不同的交点，开口方向向上.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是二次函数的开口方向和与x轴的交点.

6、C

【分析】根据题意，与y轴有一个交点，令y=0,利用根的判别式进行判断一元二次方程的根的情况，得到与x轴的

交点个数，即可得到答案.

【详解】解：抛物线y=/一(2加-1)》+加2一加与y轴肯定有一个交点；

令y=0,贝(]y=dl)x+加2—加=0,

△=〃2-4ac-[-(2/zz-l)]2-4xlx(m2-in)

=4m2-4/w+l—4m2+4加

=l>0；

...抛物线与x轴有2个交点；

...抛物线与坐标轴的交点个数有3个；

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴的交点情况，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确

得到与坐标轴的交点.

7、B

【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可.

【详解】解：•••二次函数的顶点式为y=-2(x+2)2-3,

...其顶点坐标为：(-2,-3).

故选：B.

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标特征是解答此题的关键.

8,C

【分析】根据圆周角定理求出NA,根据圆内接四边形的性质得出NDCE=NA,代入求出即可.

【详解】,：ZBOD=130°,

：.ZA=-ZBOD=65°,

2

V四边形ABCD为。。的内接四边形，

:.ZDCE=ZA=65。,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对

角.

9、A

【解析】利用有理数的减法的运算法则进行计算即可得出答案.

【详解】-3-(-2)

=-3+2

=-1.

故选A.

【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

10、C

【分析】根据等边三角形的性质可得出NB=NC=60°,由等角的补角相等可得出NBAP=NCPD,进而即可

证出△ABPsaPCD,根据相似三角形的性质即可得出y=-,X2+X,对照四个选项即可得出.

a

【详解】••,△ABC为等边三角形，

.*.ZB=ZC=60o,BC=AB=a,PC=a-x.

VZAPD=60°,ZB=60°,

,ZBAP+ZAPB=120°,ZAPB+ZCPD=120°,

AZBAP=ZCPD,

/.△ABP^APCD,

CDPCya—x

：.—=—3anP-=----，

BPABxa

・12

•.y=--xx+x.

a

故选C.

【点睛】

考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-4x2+x是解题

a

的关键.

11,C

【分析】由于DE〃FG〃BC,那么AADEAAFGABC,根据AD：AF：AB=1：2：4,可得出三个相似三角形的

面积比，进而得出△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积比.

DE//FG//BC

【详解】.•.△AOEAAFGAABC

AD:AF:AB=1：2：4

-SADE：S&FG：=1：4：16

设AADE的面积为a,则4AFG和aABC的面积分别是4a、16a;

贝!ISp|边形w和S四边形FBCG分另1I是3a、12a;

则SAADE:S四边形DFGE:SESS®FBCG=1：3：12

故选C.

【点睛】

本题主要考察相似三角形，解题突破口是根据平行性质推出4ADEAAFGABC.

12、D

【解析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可.

【详解】A：正斤=2,故本选项错误；

B：（2百产=12,故本选项错误；

C：0与6不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确，

故选D.

【点睛】

本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，熟练掌握是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1

【分析】由平行线的性质得NOAB=NO。，ZOBA=ZODC,两个对应角相等证明OCD,其性质得

竺=空，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出，〃=工，线段的中点，反比例函数的性质求出左的值为1.

ODOC3

【详解】解：如图所示：

,JAB//CD,

：.40AB=N0CD,ZOBA=ZODC,

0ABsOCD,

.OB_0A

0D0C

»OB0A

若——=—=机，

0D0C

由。8=，〃・。。，OA=m*OC,

又；^AOAB=-^OAOB,SAOCD=-0C-OD,

.S.B_20A0B_0A0B_m20C0D

••一t-------------------

S^OCD1OC-OD°C°DOCOD

又,；SA(MB=8,SAOCD=18,

22

解得：，"=一或"2=（舍去）,

33

设点A、5的坐标分别为(0,a),(b,0),

..OAOB2

・----------——«

OCOD3

3

•••点C的坐标为（0,--a）,

2

又•••点E是线段8c的中点，

1Q

点E的坐标为（—,一~二a）,

24

又•.•点E在反比例函数y=人（左＞0）上,

33

=—ab=——x(-16)=6,

88

故答案为：1.

【点睛】

本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的中点坐标，反比例函数的性质，三角形的面积公式

等知识，重点掌握反比例函数的性质，难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值.

【解析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案.

3

【详解】解：由NC=90。，sinA=—,

4

3・3

得cosB=sinA—,

4

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键.

15、57r

【解析】VZ1=6O°,

二图中扇形的圆心角为300。，

又：扇形的半径为：

.0300万.（木产

••3阴影=----------------------=371•

360

故答案为51.

1

16、-

9

【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求

解即可求得答案.

【详解】画树状图如下：

开始

红红黄

/N/N/N

红红黄红红黄红红黄

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有1种结果，

.•.两次都摸到黄球的概率为《；

故答案为：—.

【点睛】

此题考查列表法或树状图法求概率.解题关键在于掌握注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不

放回实验.

17、乙

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集

中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【详解】解：,甲的方差为0.14,乙的方差为0.06,

:.S#>Sz\

•••成绩较为稳定的是乙；

故答案为：乙.

【点睛】

本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越

大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳

定.

18、2

【分析】连接OD,根据勾股定理求出CD,利用垂线段最短得到当OCLAB时，OC最小，根据垂径定理计算即可;

【详解】如图，连接OD,

VCDXOC,

.,.ZDCO=90°,

•*-CD=^ODr-OC2=yJr2-OC2，

当OC的值最小时，CD的值最大，OCLAB时，OC最小，此时D、B两点重合，

二CD=CB=-AB=2,即CD的最大值为2；

2

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)-；(2)AE:EB=8:9

3

【分析】(1)首先证明NACE=NCBD,在△BCD中，根据正切的定义即可求解；

(2)过A作AC的垂线交CE的延长线于P,利用平行线的性质列出比例式即可解决问题.

【详解】解：(1)由NACB=90°,CEA.BD,

得NACE=NC肛

在AfiCD中，BC=3,CD=-AC=2,ZBCD=90°,

2

得tan/C5O=2,

3

即tanNACE」.

3

(2)如图，过A作AC的垂线交CE的延长线于尸点，

2

则在ACAP中，C4=4,NC4P=90°,tanZACP^-,

3

2Q

AAP=4X_=2,

33

又••,ZAC8=90。，ZC4P=90°,

:.BC//AP,

：.AE:EB=AP:BC=8:9.

【点睛】

本题考查了正切与平行线分线段成比例，熟练掌握正切的定义，作辅助线构造平行是解题的关键.

20、(1)详见解析；(2)详见解析.

【分析】(1)根据四边形A3。是平行四边形可得AO〃8C,NFGE=FBC,再根据已知NF6C=NOCE,进而可得

结论；

(2)作三角形尸8c的外接圆交4。于点P即可证明.

【详解】解：(1)•••四边形A8C。是平行四边形，

.".AD//BC

:"FGE=NFBC

■:NFBC=NDCE,

：.NFGE=NDCE

'：NFEG=NDEC

:.ND=ZF.

(2)如图所示：

*

点尸即为所求作的点.

证明：作5c和B尸的垂直平分线，交于点0,

作△尸BC的外接圆，

连接B0并延长交AD于点P,

二ZPCB=90°

'.,AD//BC

；.NCPD=NPCB=90。

由（1）得NF=N£>

•:NF=NBPC

:.ND=NBPC

:ABPCSACDP.

【点睛】

此题主要考查圆的综合应用，解题的关键是熟知平行四边形的性质、外接圆的性质及相似三角形的判定与性质.

21、（1）点尸的坐标（1,-4）；（2）△0PQ的面积与△04。的面积之比为1.

【分析】（1）过。作。CLx轴于C,先求得AC=QC=2、AQ=2m、AP=4,然后再由A8〃CQ,运营平行线等分

线段定理求得OA的长，最后结合AP=4即可解答；

（2）先说明△OABs/kocQ,再根据相似三角形的性质求得AB和PB的长，然后再求出AOPQ和△OAQ的面积，

最后作比即可.

【详解】解：（1）过。作。C_Lx轴于C,

V

是等腰直角三角形,

：.ZPAQ=ZCAQ=4109

：.AC=QC=29AQ=2桓,AP=4,

■:AB//CQ,

•_O_A___O__B___1

"AC-5g-2*

：.OA=—AC=l,

2

点尸的坐标（1,-4）；

（2）'：AB//CQ,

:.△OABs^OCQ,

■_A_B___O__B___1

''~CQ~~OQ~3,

.12

・・Ab=—CQ=-9

33

10

:・PB=—，

3

工SAQAQ=/OA<Q=:Xlx2=l,SAOPQ=:PB^OA+/PB*AC=1,

...△。尸。的面积与404。的面积之比=1.

【点睛】

本题考查了一次函数的图像、相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理以及三角形的面积，掌握相似三角形的

判定和性质是解答本题的关键.

22、OC=100&米；PB=1006T（）（）米.

3

【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt^AOC、RtAPCF,RtAPAB,利用60°的三角函数值以及坡度，求出

OC,再分别表示出CF和PF,然后根据两者之间的关系，列方程求解即可.

【详解】解：过点P作PF_LOC,垂足为F.

在R3OAC中，由NOAC=60。，OA=100,得OC=OA・tanNOAC=10oG（米）,

由坡度=1：2,设PB=x,则AB=2x.

.,.PF=OB=100+2x,CF=10073-x.

在RtAPCF中，NCPF=45。，

.\PF=CF,即100+2x=100百-x,

，x=100^-100#即PB=I°OGTOO米.

33

【点睛】

本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解

直角三角形.

23、(1)同弧所对的圆周角相等；两角分别对应相等的两个三角形相似(2)勾股定理(3)AC=8叵

3

【分析】(D根据圆周角定理的推论以及三角形相似的判定定理，即可得到答案；

(2)根据矩形的性质和托勒密定理，即可得到答案；

(3)连接8。，过点C作CEJL5O于点瓦由四边形A8CD内接于。。，点C是弧BO的中点，可得ABCD是底角为30。

的等腰三角形，进而得M=2QE=^C。，结合托勒密定理，列出方程，即可求解.

【详解】(1)依据1指的是：同弧所对的圆周角相等；

依据2指的是：两角分别对应相等的两个三角形相似.

故答案是：同弧所对的圆周角相等；两角分别对应相等的两个三角形相似；

(2)•.•当圆内接四边形48。是矩形时，

.*.AC=BD,BC=AD,AB=CD,

,:由托勒密定理得：ACBD=ABCD+BCAD,

•••AC2=AB2+BC