2024届河北省石家庄十八中高三年级上册第一次月考数学试题（解析版）

2024届河北省石家庄十八中高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1.已知集合4=同4，>4},1={府<4卜则()

A.—eAB.A^BC.4A/15eBD.AB

2~一

【答案】C

【分析】根据指数不等式及无理不等式解法化简集合A与8,然后根据元素与集合的关系判断A、C,

根据集合的关系判断B、D.

【详解】因为A={x|4'>4}={x|x>l},B={x[«<4}={x[04x<16},

所以;史A,4岳wB,A与8之间没有包含关系.

故选：C.

2.复数4,z2满足Z+Z2=2,zi-z2=2i,则平2=()

A.2iB.3iC.2D.3

【答案】C

【分析】解方程组可得4*2,再根据复数的乘法运算可得Z1Z2.

z1+=2Z]=l+i

【详解】由12>解得

Z]—Z]=21

z2=l-i

pl!]2^2=(l+i)(l-i)=l-i2=2.

故选：C.

3.已知向量；=(1,2),6=(1,1),则a在6上的投影向量为()

A.-bB.gC.~b

222

【答案】C

【分析】直接利用投影向量的公式，即可求得本题答案.

【详解】因为:=(1,2),6=(1,1),所以°2=3，

a-b33>/10

所以cos〈a,b〉=pTp-V5xV2"^uT

因为与b方向相同的单位向量为在6，

2

所以°在6上的投影向量为卜卜os〈a,b〉-

故选：C

4.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，若出=1，。8=2&+3%,则%=（）

A.18A/3B.3673C.27D.27百

【答案】D

【分析】等比数列，基本量的计算，设出公比4,联立式子可求出4，。9=°或7即可.

42

【详解】设｛%｝的公比为4,则。8=出46,a6=a2q,a4=a2q.

因为融=2%+3%，所以/=2/+3八因为"0,所以4J242一3=（/+1）年—3）=0,所以，=3.

因为｛%｝的各项均为正数，所以q=g.因为g=1，所以。9=。2“7=276.

故选：D

5.“tana=2”是"tana-tan[a+：]=5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两角和正切公式化简tana-tan[+T=5并计算得tane=2或3,利用充分必要条件

定义即可判断.

■、“他■।（兀、tancr+1_

【详角单】由tana-tana+—=tana--------=5,

I4）l-tana

得tan2a_5tan。+6=（tana—2）（tana—3）=0,即tana=2或3,（经检验均为原分式方程的解），

所以“tana=2”是“tana-tan卜+j=5”的充分不必要条件.

故选：A.

6.函数/（尤）=上^的图象大致为（）

3—3

A.B.

【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.

【详解】由3—3国片0=卜艮1=彳二±1,所以该函数的定义域为(F,T)5T，1)U。，长°)，显然关

于原点对称,

因为〃一》)=喜

=—11=/（元），

3-3园'I'

所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC,

当x>l时，3—3国=3—3*<0n/(x)<0,排除选项B,

故选：D

3

7.已知定义在R上的函数满足/(x+2)=；国，且〃2)=-1,则/(100)=()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】C

【分析】由条件推得函数的周期为4,结合函数的周期，即可求解.

33

【详解】由/(》+2)=冗J，可得〃X+4)=〃X+2)=〃X),

3

所以/(X)的周期为4,则〃100)=〃0)=祠=-3.

故选：C.

8.已知四个城市坐落在正方形A3CD的四个顶点处，正方形边长为200km,现要修建高铁连迎这四

个城市，设计师设计了图中的连接路线(路线由五条实线线段组成，且路线上、下对称，左、右也

对称)，则路线总长(单位：km)的最小值为()

A.300若B.300+10073C.600D.200+200西

【答案】D

【分析】设de]。，根据解三角形的知识可表示路线长度，再结合导数求得最值.

【详解】设=0,-|,则AE=-^~km,EF=200(1-tan0)km,路线总长为

V2)cos。

sli

4AE+EF=巴独+200-200tan。=200141电+]|km.

cos。vcos。)

令函数畔-cos2+2sin0-sin202sin0-1

，尸⑻=

cos"cos20cos20

7171

当时，((。)<0,”6)单调递减；当初75时，r(e)>o,单调递增;

所以的最小值是=括，则路线总长(单位：km)的最小值为200+2006,

故选：D.

二、多选题

9.已知Z(A)表示集合A的整数元素的个数，若集合”={尤Ix2-9x<10},N={x|lg(x-l)<l}()

A.Z(A7)=10B.MN={x[l<x<ll}

C.Z(N)=9D.低M)N={x|10Vx<n}

【答案】ACD

【分析】根据对数函数的单调性、一元二次不等式的解法，结合集合并集、交集、补集的定义、己

知定义逐一判断即可.

【详解】由J—gxclOn"—10)(x+l)<0=-l<x<10,

因此/={*|x2-9%<10)=(-1,10),

/、\x-l>0

')x-l<10

因此N={x|lg(x-=

A：因为集合〃中的整数有0』,2,3,9,共10个，

所以Z(M)=10,因此本选项正确；

B：因为MN={x|-1<尤<11},

所以本选项不正确；

C：因为集合N中的整数有2,3,,10,共9个，

所以Z(N)=9,因此本选项正确；

D：因为Af=(―1,10),所以4A/=(—℃,—1］［10,+oo),

因为N=(l,ll),所以@M)7V={xtl0<x<ll},因此本选项正确，

故选：ACD

10.若函数y(x)=2sin3xcos3x+2cos23x-l,则()

A.f(x)=-60cos(6x+：)

7T

B.7(x)的最小正周期为］

C./(x)的图象关于直线x=1对称

24

1T

D.AM在-五,0上单调递增

【答案】BCD

【分析】根据二倍角正弦公式、余弦公式、辅助角公式化简函数的的解析式，结合复合函数的导数

法则、正弦型函数的周期性、对称性、单调性逐一判断即可.

【详解】/(x)=2sin3xcos3x+2cos23x-1=sin6x+cos6x=及sin+：］

A：/(x)=V^sin(6x+：jny'(x)=6V^cos(6x+：］,所以本选项不正确；

B：/(%)的最小正周期为2多7r=£7T,所以本选项正确；

63

C：因为/'喻)=&sin(6x£+£|=3,

所以/⑺的图象关于直线x=2对称，所以本选项正确；

TV,兀71717171

D:当无£——-,。时,OXH-----GU

444~292

TT

所以/(X)在-=,0上单调递增，因此本选项正确,

故选：BCD

11.如图，在正四棱柱ABCD-A耳GR中，/匕=2,抽=啦,£为43的中点，尸是棱8月上一点,

则()

A.EP+尸G的最小值为

B.存在点尸，使得£尸，，£

C.存在点F,使得EF//DQ

D.存在点尸，使得NEFC=60。

【答案】BC

【分析】根据侧面展开图、三角形中位线定理、余弦定理逐一判断即可.

【详解】A：将平面44由8沿着48展开到平面片BCC内，

则EF+FQ的最小值为EQ='(1+2)2+(0)2=而，所以本选项不正确;

因为R炉+E/2=Q尸，

所以因此本选项正确;

C：当F是棱2耳的中点时，

显然EP//A耳,

因为AD//BC//BG,AD=BC=B©，

所以四边形AOC蜴是平行四边形，所以DC"/A片,

所以EF//DQ,因此本选项正确；

D：假设存在点F,使得/EFC=60。，

设3尸=a（ae[0,夜]）,

贝1|有E尸2=/+i,Ec2=12+22=5,CF2=22+/=4+a2,

由余弦定理得,

即2”。2-届2+1+4+（2^—51

cosZEFC=

2EFFC2，/+ix“+〃22

化简，得3〃4_5〃2_4=0=>42=5+〉2,或。2=^__<Q,

66

所以假设不成立，因此不存在点尸，使得N£FC=60。，因此本选项不正确,

故选：BC

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用棱柱展开的性质、应用余弦定理.

12.已知实数"c满足。>1且c2+ab=c+a6c,则下列结论正确的是（）

A.同+例>2

B.若。=。+6,贝！|3。+46的最小值为7+46

C.log2|a|+log2|Z?|-log2（1+。2）的最大值为一］

D.若4c2-/一/=6,贝|c的最小值为G

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，可得再结合均值不等式逐项分析判断作答.

【详解】由c2+a8=c+abc，得（c—奶）（c—1）=。，而c>l,则°=">1,

对于A,同+弧怛25网>2,A正确；

对于B,c=a+b>l,贝!Jai»=a+6,显然a,6均为正数，即有，+工=1,

ab

因止匕3a+4b=（3。+4力（工+!）=即+竺+722」即・生+7=7+46,

abba\ba

当且仅当当=竺，即岛=28=2+g时取等号，B正确；

ba

iIIi171i2、iI"Iii1

og2a+log2Z1loloc

对于c,显然1I屹I—I°g2（i+c）=§2-~~r=§2-~~r=I°g2-1—,

c

由c>l,得—Fc〉2,因此log?IaIflog?I。I—log2（l+/）<log27=—1,C错误；

c2

对于D,由4c2-/-Z/=6,得4cn=，+64+6之2〃^+6=2々2〃2+6=2。2+6，

当且仅当々2=〃=。时取等号，即02>3,由。>1,得cN出,则。的最小值为6,D正确.

故选：ABD

【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个

数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.

三、填空题

13.已知命题p:土e(l,2),产>htf,则。的否定为

【答案】Vre(l,2),r<lnr

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得答案.

【详解】解：因为命题0：于e(l,2),/>l*

所以-ip:Vte(1,2),Z2<lnZ.

故答案为：Vre(l,2),Z2<lnr

四、双空题

14.若角。的终边经过点(2,8),则sma+：W=____,tan(兀—20=______.

sina-3cosa

Q

【答案】5展

【分析】由三角函数的定义先求出tana的值，然后利用三角函数商数关系化简齐次式，或者利用诱

导公式化简，代入求值即可.

Q

【详解】因为角。的终边经过点(2,8),所以tana=e=4,

“…sina+cosatana+1「

所以二----;----=--------=5，

sina-3cosatana-3

且tan(兀-2a)=tan(-26z)=-tan2a=_^tan^=

Q

故答案为：5,—.

五、填空题

15.在三棱锥A-BCZ)中，ZABD=ZABC=60°,BC=BD=2,A3=4,则三棱锥A-BCD外接

球的表面积为.

【答案】16万

【分析】根据条件及余弦定理，可求得ACAD,由勾股定理可得M_BAC,RA4D,则三棱锥的外

接球球心为中点，即外接圆的直径为进而求出外接球的半径，从而可求外接球的表面积.

【详解】由NABD=NABC=60。，BC=BD=2,AB=4,根据余弦定理可得AC=A。=2退，则

ACJ.BC,ADJ.BD,

一BACMAW中E为斜边A3中点，所以到各点的距离相等,

则三棱锥A-BCD外接球的直径为AB=4,

故三棱锥A-BCD外接球的表面积为4万•于=16%.

故答案为：16%

16.已知函数/（x）=的最大值为加，则函数g（x）="的最小值为（结果用机表

示）

【答案】17”

【分析】由题，可得i-/（£|=g（x）,所以g（“取最小值时了（£|取最大值，又了（£|的最大值与

“无）的最大值相等，得解.

1.11.

【详解】因为了（切=二^,所以/⑴？+叱Avin*

[xjX,X-x.±_1+x

+

v32J+2

3

贝el心一仆"=^—lnx-—x+—1+x=g/（x>.）,

当X的取值范围为（O,+8）时，：的取值范围为（。,+8）,

所以的最大值与/（X）的最大值相等，均为机，

所以g（元）=上皿的最小值为1-m.

故答案为：1-m.

六、解答题

IT

17.已知函数/（x）=-2cos2x+—+（2^+l）7i（左EZ）.

⑴求"X）的单调递增区间;

(2)把f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的J(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得

N0

到函数g(x)的图象，求g(x)在，鼻鼻上的值域.

7717T

【答案】⑴-石+配-丘+E，左eZ

⑵［-2,0)

【分析】(1)结合函数的周期与诱导公式化简，然后利用整体法求解函数的单调递增区间；

(2)根据函数的变化法则解得g(无)=2cos(4x+乎］,然后整体求解函数范围［<4无+"〈冬，结

Voy263

合余弦函数性质即可求解；

【详解】(1)根据函数的周期性与诱导公式，/(x)=-2cos2尤+弓+兀=2cos12x+《j,

令一兀+2fal<2x+—<2kn,左£Z,

6

77rIT

解得----\-kn<x<----卜kit,keZ,

1212

77rjr

所以“X)的单调递增区间为-行■+E,-乃+E，左ez.

(2)把八”的图象上所有点的横坐标缩短到原来的9得至Uy=2cos14x+0的图象，

再将所得图象向左平移£个单位长度得到y=2cos［卡+W+e=2cos［x+焉的图象，

所以g(x)=2cos14x+.

1-j-tsr兀兀兀A57r471

因为---<x<—,所以一<4犬+一<——,

128263

则-1<cos(4x+^J<0,

所以g(x)在上的值域为［-2,0).

18.滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”.如图，为

计算滇池岸边A与B两点之间的距离，在岸边选取C和。两点，现测得AD=20km,CD=28km,

ZZMC=60°,ZCAB=15°,ZABC=120°.

(1)求AC的长;

(2)求A3的长.

【答案】(l)32km

(2)-3-2-----km

3

【分析】(1)在二ACD中利用余弦定理可求AC长;

(2)在一ABC中利用正弦定理可求A2长.

【详解】(1)在“1CD中，有AD=20km,CD=28km,ZZMC=60°.

由余弦定理，可得CD?=AD2+AC2-2AD-ACcosZDAC，

即282=202+AC2-2X20XACX-,

2

整理可得3-204(7—384=0,解得AC=32或AC=-12(舍去),

故AC的长为32km.

(2)在aABC中，有AC=32km,ZCAB=15°,ZABC=U0°,

贝I]ZACB=180°-15°-120°=45°.

由正弦定理AC=一,

sinZABCsinZACB

可得AB=ACsin3CB=必画45。=9km即AB的长为必渔km.

sinZABCsinl20033

19.如图，在三棱锥S-38中，E是8C的中点，..SCO与.S3D均为正三角形.

(1)证明：BC1SD.

(2)若BE=DE,点、F满足SF=DE,求二面角厂一—D的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由SE1BC,证得3c人平面SDE,可证3C_LSD.

(2)E为坐标原点，直线EO,EB,ES分别为x,»z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法解

决二面角的问题.

【详解】（1）证明：连接SE,因为&SCD与均为正三角形，所以防=5。=5。=3。=8.

又E为BC的中点，所以SELBC.

因为DESE=E,DE,SEu平面SZ）E,所以BC7,平面SDE.

又SDu平面SDE,所以3C_LS£>.

（2）因为破=DE,所以△3CD为等腰直角三角形，且3DLCD.

不妨令班>=2,则CE=0.由SE_LBC,得SE=应,

则SO2=E>E2+SE2,故SE_LZ）E.

以E为坐标原点，直线即，EB,ES分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

B（0,V2,0）,S（0,0,虚），£>（0,0,0卜

因为S尸=OE，所以P卜0,0,应）.

贝|尸8=（后，应，一忘），BS=（0,-^2,y/2）,8。=（0,—虚,0）.

m-FB=忘%+•J2yl-y/2zl=0,

设平面7rss的法向量为根=（%,%，4）,贝小

m-BS=~y/2yl+贬z、=0,

令M=l,则4=1,尤［=0,得加=（0,1,1）.

n-BS=-+=0,

设平面8Z）S的法向量为“=（%2，%/2）,则<

n•BD=A/2X2-61y2=0,

令X2=l,则%=10=1,得〃=

..m--nn2\/6

…〉=丽=不忑。

故二面角F-BS-D的正弦值为

_3

X2+2x-l,x<l

20.已知函数/（%）=<

—x2+6x-5,x>1

(1)讨论函数g(x)=-加(一2<m<4)的零点个数.

(2)是否存在直线>=履+》，使得该直线与曲线y=〃x)切于两点？若存在，求36的值；若不存在,

请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)存在，k=2,b=-l.

【分析】(1)函数g(x)=〃x)-机的零点，即为函数丫=〃力与了=加的交点横坐标，做出函数

丁=/(尤)图像，数形结合，可得交点个数，进而确定函数两点个数；

(2)方法一：由已知相切于两点，可知直线与函数y=/(x)有且只有一个公共点，分别联立方程,

利用判别式解方程即可；方法二：分段求函数y=/(x)的切线方程，由公切线，列方程，解方程即

可.

【详解】(1)当xWl时，〃尤)=d+2尤-l=(x+l)2—2的最小值为一2；

当x>l时，/(x)=-x2+6x-5=-(x-3)2+4的最大值为4.

作出的大致图象，如图所示.

由g(x)=O,得f(x)=w.

当帆=-2或加=4时，g(x)的零点个数为2；

当〃ze(-2,0](2,4)时，g(x)的零点个数为3；

当加(0,2]时，g(x)的零点个数为4.

(2)假设存在直线>=辰+8，使得该直线与曲线y=F(x)切于A(AX),3优,%)(玉Wl<z)两点，

方法一：联立y=¥+2x-l与>=丘+。，^X2+(2-k)x-l-b=0,

贝"△]=(2-k)2+4+4b=0.

联立y=—％2+6%—5与〉=西+人，得九2+（左一6）%+b+5=0,

贝1」42二（左一6）2—4人一20=0.

联立方程组，解得八\k［=二2］或k=6

b=-5

当左=2,b=-l时，此时玉=0,x2=2,则切点A,8的坐标分别为（0,-1）,（2,3）,

当左=6时，b=-5,此时玉=2,这与西VI矛盾，不符合题意，

综上，存在直线>=辰+方满足题意，且笈=2,b=-l.

方法二：设函数g（x）=x2+2x-l（x41）,则g〈x）=2x+2（x41）,

则曲线y=g（x）在x=再处的切线方程为y-（尤;+2^-1）=（2%+2）（x-网），即

y—（24+2）x—x；—1,

设函数人⑴=一%2+6x-5（x>l）,则//（X）=-2x+6（x>l）,

贝I曲线y=，7（x）在无=%处的切线方程为y-（—无；+6%-5）=（—2々+6）（X-X2）,即

y—（—2x»+6）x+%2—5.

2%+2=—2%2+6

依题意可得

一%；—1=xf-5

消去巧，得无；+（2-尤1）2=4,因为玉41,所以占=0,x2=2,

所以左=2网+2=2,b=—Xj-1=-1,

即存在直线，=丘+》满足题意，且％=2,b=-l.

21.已知数列｛4｝满足弓=1,且叫用一（〃+1）%=1.

（1）求｛%｝的通项公式;

⑵若数列表的前〃项和为S",且S“=?，求数列也｝的前〃项和I,.

【答案】⑴氏=2〃-1

⑵7；=3一*

【分析】（1）由已知可得9叫一组=工--二，然后利用累加法求出外，从而可求得｛%,｝的通项公

式；

（2）由S,=~结合（1）可求出口，然后利用错位相减法可求得结果.

2

/、〃“口111

【详解】（1）因为加*一（"+1）4,=1,所以==

（2）因为S"=h二1,所以当〃=1时，会=1,得々=1；

"2伉

当心时，》一?"所以。"裂时也成立）.

1352n-l11352n-l

因为北=冢+手+3+…+广所以kkk予+…+丁

；匚[、12T12222〃-1

所以一。=H—TH—Z-H----1——:-------;—