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第30讲解答题中的新定义【中考真题练与模拟练】1.(2022秋•黄浦区期末)圭表(如图1)是我国古代度量日影长度的天文仪器,它包括一根直立的杆(称为“表”)和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺(称为“圭”).当正午的阳光照射在“表”上时,“表”的影子便会投射在“圭”上.我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气,并以此作为指导农事活动的重要依据.例如,我国古代历法将一年中白昼最短的那一天(当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长)定为冬至;白昼最长的那一天(当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短)定为夏至.某地发现一个圭表遗迹(如图2),但由于“表”已损坏,仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离(即AB的长)为11.3米.现已知该地冬至正午太阳高度角(即∠CBD)为35°34′,夏至正午太阳高度角(即∠CAD)为82°26′,请通过计算推测损坏的“表”原来的高度(即CD的长)约为多少米?(参考数据见表,结果精确到个位)αsinαcosαtanα35°34′0.580.810.7282°26′0.990.137.5(注:表中三角比的值是近似值)2.(2019•上海)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=x2﹣2x,其顶点为A.(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况;(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.①试求抛物线y=x2﹣2x的“不动点”的坐标;②平移抛物线y=x2﹣2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形,求新抛物线的表达式.3.(2021•黄浦区二模)如果抛物线C1:y=ax2+bx+c与抛物线C2:y=﹣ax2+dx+e的开口方向相反,顶点相同,我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.(1)求抛物线y=x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式;(2)将抛物线y=x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移,使所得抛物线与原抛物线y=x2﹣4x+7形成两个交点M、N,记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B,当四边形AMBN是正方形时,求正方形AMBN的面积.(3)某同学在探究“对顶”抛物线时发现:如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上,那么系数b与d,c与e之间的关系是确定的,请写出它们之间的关系.4.(2021•上海模拟)在平面直角坐标系xOy(如图)中,二次函数f(x)=ax2﹣2ax+a﹣1(其中a是常数,且a≠0)的图象是开口向上的抛物线.(1)求该抛物线的顶点P的坐标;(2)我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”,将抛物线f(x)=ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A,如果线段OA上的“整点”的个数小于4,试求a的取值范围;(3)如果f(﹣1)、f(0)、f(3)、f(4)这四个函数值中有且只有一个值大于0,试写出符合题意的一个函数解析式;结合函数图象,求a的取值范围.5.(2021•浦东新区模拟)在平面直角坐标系xOy中,我们把以抛物线y=x2上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”.如图,已知某条“子抛物线”的二次项系数为,且与y轴交于点C.设点A的横坐标为m(m>0),过点A作y轴的垂线交y轴于点B.(1)当m=1时,求这条“子抛物线”的解析式;(2)用含m的代数式表示∠ACB的余切值;(3)如果∠OAC=135°,求m的值.6.(2022•黄浦区校级二模)如果三角形中一个内角α的两条夹边中有一条边上的中线长恰好等于这条边的长,那么称这个三角形为“奇异三角形”,角α叫做“奇异角”,这条边叫做“角α的奇异边”.(1)如图1,已知在△ABC中,∠C=90°,,求证:△ABC是“奇异三角形”;(2)已知△DEF是“奇异三角形”,DE=2,∠D=60°,当DE是“∠D的奇异边”时,请在图2上作出△DEF并求出DF的长;(不必写作法,保留作图痕迹)(3)如图3,已知在边长为a的正方形ABCD中,点P、Q同时从点A出发,以相同的速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动,记点P所经过的路程为S,当△APQ为“奇异三角形”时,求的值.7.(2020•金山区二模)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0)和B(0,3),其顶点为C.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)我们把坐标为(
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