专题1-7 嵌套（复合）函数问题综合（解析版）

专题1-7嵌套（复合）函数，分段函数综合问题嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。可以说是函数中最困难的部分都不为过，如果能把该板块内容理解透彻，那你对函数的理解有上了一个新的台阶。我们常见有两类嵌套函数分别是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解题的主要思路是:首先通过“换元”达到“解套”的目的，再利用数形结合的思想解决具体问题即可。1.嵌套函数形式：形如f2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．目录题型一嵌套（复合）函数求值问题 2题型二分段函数等值线（方程根之间的数量关系） 3题型三分段函数，复合函数由单调性求取值范围 9题型四分段函数的满足某条件求参数范围 11题型五关于的f(x)的一元二次方程或嵌套函数 13题型六分段函数与嵌套函数综合（画2个函数图像） 17

重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一嵌套（复合）函数求值问题已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为________.【答案】【解析】令，则再令，则，则任意时，恒成立，且函数y＝f(t)单调，则_________.【答案】【解析】令，则，再令,则有，则所以.已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_______.【答案】；【解析】（1）令，则，则（2），由单调性可知题型二分段函数等值线（方程根之间的数量关系）设函数若函数有三个零点:，则________.【答案】11【解析】令，结合图像，关于t方程有2个相等的实根，设显然t＝1，则则，，则已知函数若存在实数，且，则的取值范围是．答案解析 画出的图象如图所示，一方面，由及，，可得；另一方面，及，，所以，有，且，故．故答案为．已知函数有三个零点，则=（）A.B.8C.15D.16【答案】B【解析】，，由题可知与有3个交点，如图则仅有一个根，解得或（舍），设，则，，故选B设函数，关于的方程有4个不相等的实数根，则的最小值为【答案】36【解析】，可知函数图像关于x=3对称当，，图像如下错解：显然（并不能取到等号）正解：，则，，，，令所以再令，则（如果比较熟练可以直接令一次换元即可）已知函数.，若关于x的方程有四个不同的且有则的取值范围是_______【答案】 【解析】图像如下，显然，，则∵，∴已知函数,若方程有4个不同的实根，且,则.【答案】9【解析】显然，∴【相似题】已知函数，若方程有四个不同的解且则的取值范围为()A.(－1，＋∞)B.(－1，1]C.(－∞，1)D.[－1，1)【答案】B【解析】显然为减函数，而，所以选B已知函数，若实数a,b,c满足0<a<b<c，且,下列结论中恒成立的是()A.ab=1B.C.a+c<2bD.【答案】ABD已知函数,若方程有4个根分别为，且,则的取值范围是______【答案】（多选）已知函数,若，且,则下列结论正确的是（） A． B． C． D．【答案】BCD已知函数，则.若存在,使得则.【答案】（1）；（2）6【解析】图像如下，设，显然，则已知函数，若方程有四个不同的实根满足则的取值范围是（）A．(0，3) B．（0，4] C．（3，4] D．(1，3)答案A解析作出函数的图象如图：根据条件，结合图形可知，且，其中则，中其中，因为在上单调递增，故（多选）已知函数.若且，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】可知，其中，，所以（取不到等号），则（取不到等号），则题型三分段函数，复合函数由单调性求取值范围设函数是定义在R上的增函数，则实数a取值范围为_________．【答案】【分析】在每一段上为单调递增，且在端点位置要保持f（x）在R上为增函数，则，解得已知且,函数的图像恒过定点，函数在区间上是减函数，则a的取值范围是______【答案】【解析】易知m=1，n=2，则，显然在上递减，则，且在上恒成立，得综上，设函数是定义在R上的增函数,则实数a取值范围是.【答案】【解析】考虑3个部分因为为增函数，易知a>0；的单调增区间为；所以a≥22个端点大小比较：综上，已知f(x)＝loga(ax2﹣x)（a＞0且a≠1）在上是增函数，则实数a取值范围是．【答案】【解析】除了分析单调性还要考虑真数部分大于零显然在上恒成立，所以由同增异减可得综上，题型四分段函数的满足某条件求参数范围若函数的值域为,则实数a的取值范围是.【答案】已知且a≠1)，若f(x)有最小值，则实数a取值范围是____________【答案】【分析】分a＞1和0＜a＜1讨论，再求出x≤1和x＞1时函数值的范围，结合f(x)图像最小值得关于a的不等式求解．【解答】解：①当a＞1时，若x≤1，f(x)＝EQa\S\UP6(x)＋a单调递增，此时a＜f(x)≤2a；若1＜x＜a，f(x)＝a－x＋1单调递减，x＞a，f(x)＝x－a＋1单调递增，故x＞1时，f(x)的最小值为f(a)＝1，故若f(x)有最小值，则a＞1；②当0＜a＜1时，若x≤1，f(x)＝EQa\S\UP6(x)＋a单调递减，此时f(x)≥2a；若x＞1，f(x)＝x－a＋1单调递增，此时f(x)＞2－a，故若f(x)有最小值，则2a≤2－a，即EQ0＜a≤\F(2,3)．综上，实数aEQ的取值范围是．函数在区间上既有最大值又有最小值,实数a的范围()A.B.C.D.【答案】D【解析】，如图所示，，要使区间上既有最大值又有最小值,则,即，且，，（舍），.综上，设函数，若恰有2个零点,则实数a的取值范围是_______.【答案】【解答】当x＜1时，的取值范围是；方程的解为若在上有一个零点，则，而也存在一个零点，所以，此时若在上没有零点，则或，即或而也存在两个零点，所以，此时已知函数若存在使得则的取值范围为.【答案】【解析】画出大致图像，显然——错解要注意，之间存在联系，不是相互独立的，正解：设，即，；则，，所以法二：，∵，∴题型五关于的f(x)的一元二次方程或嵌套函数已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A先换元再十字相乘得到一个零点，再讨论另外一个零点的范围已知函数,.①若方程有两个解,则的取值范围为；②若不等式在R上恒成立,则m的取值范围为．(第一空1分,第二空2分)答案．解析①由题意为向下平移两个单位，再将轴下方部分翻折到上方，注意时,结合图象可得;②令,则对任意恒成立,时的取值范围是,则.设函数则函数的零点个数是．【答案】5【解析】令，则，得当t＝2时，有2个对应的x，当时，有3个对应的x综上，有5个零点.（天津高考）已知函数(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________.【答案】【解析】在R上单调递减，显然结合图像可知在必有一个交点，所以也恰有一个交点所以恰有一个负数解，即在上存在一个零点，有2个相同的根，△=0解得或a＝1（舍）一个正根和一个负根：一个根为0和一个负根综上，或（多选）设定义域为R的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．下列说法正确的是 （）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】令，设m，n为关于t方程的根，则和的解一共有3个，即直线y＝m与y＝n与图像有3个交点画出图像观察，显然m＝n＝1，则则，，代入t＝1，有a＋b＋1＝0所以，答案为ABD已知函数，若对任意的,恒成立,求实数c的取值范围.【答案】【解析】易证是奇函数，且在R上单调递增，所以记，则有关于t的二次不等式在上恒成立，∵，∴即可，得，∵，∴【相似题】——改数据已知函数，若对任意的,恒成立,求实数c的取值范围.【答案】【解析】易证是奇函数，且在R上单调递增，所以记，则有关于t的二次不等式在上恒成立，∵，∴即可，得，∵，∴已知函数，则函数的零点个数为______.【答案】7【解析】图像如下,令，则的根为，有2个根，有3个根，有2个根，已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】首先在上恒成立，分参得记，，则有在上恒成立，即当时，在上的最大值小于1∵，即∴当时，在上的最小值大于1∵，即∴综上，题型六分段函数与嵌套函数综合（一般画2个函数图像来分析）已知函数，若方程至少有3个不相等的实根，则实数a的取值范围是_________【答案】(1,2]【解析】画出2个函数图像，根据图像，分，，三种情况讨论令，当时，对应1个x，当时，对应2个不同的x，

当时，，有1个实数根；当时，有3个根，，共对应3个不同的x；当时，，对应2个不同的x设定义域为R的函数若关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的取值范围是_________.答案解析：图像如下，令，显然关于t的方程有2个不等实数根且，令，则已知定义域为R的函数若关于x的函数有5个不同的零点.,则.【答案】【解析】令，则，显然当时，有3三不同的x与之对应，当时，有2个不同的x与之对应，所以，则已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________.【答案】【解析】图像如下，观察图像，对a的范围进行分类讨论令，①当时，，有1个实数根；②当时，有3个根，设，则则无实数根，有3个不同的实数根，无实数根；所以当时，有3个不同的实数根；当时，有2个实数根，，有3个不同的实数根(i)若,即，则有2个不同的实数根，此时有5个不同的实数根；(ii)若,即则有1个实数根，此时有4个不同的实数根；(iii)若,即，则无实数根，此时有3个不同的实数根；当时，，此时有2个不同的实数根，综上，【补充】以上分类讨论太过繁琐，考虑到考试的时间，需要根据图像特点优化思路令，，则只看的部分，方程恰有5个不同的实数根，所以肯定是“3”+“2”的模式，则方程的2个根，，根据，的取值范围，再结合图像，则.已知，则方程的根个数可能是A．3 B．4C．5D．6【答案】ABD【解析】令，分析的根，当t＝－1时，对应一个x，当t＞－1时，对应2个x当a＝1时，有2个交点，此时t＝－1或2，则x＝0或±2，有3个根当a＝0时，有2个交点，此时t＝0或1，则有4个根当0＜a＜1时，有3个交点，此时有6个根已知函数，若关于x的方程恰有个实数根,求m的取值范围.【答案】【解析】函数图像如下令，根据图像，方程有2个非负实数根，，且，令，当时，，此时，满足要求；当，时，，不等式无解；当，时，不等式无解；综上，已知函数则方程的根的个数可能为（）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】AB【解析】函数图像如下，令，则，当时，，设，作与，当时，有2个根； 当时，有5个根；当时，有4个根；当时，有3个根；当时，有2个根；故选AB．知函数若函数恰有8个零点，则m的取值范围是________.【答案】【解析】令，结合的图像分析，要使函数恰有8个零点，需使方程在内有两个不等的实数根，分参得，则，且要满足【错误】错因分析：忽视了t的个数！本质是数形结合思想这里可以理解为y＝m与y＝－t²＋4t－1有2个交点时，m的取值范围．【正解】记，则已知函数，若函数，恰有个不同的零点，则实数取值范围为_________.答案因式分解即可，（2023·浙江·二模）已知函数，则至多有______个实数解.【答案】7【分析】分类讨论的大小关系脱掉绝对值符号，求导，判断函数单调性，进而作出函数的大致图象，设，则即，从而将的解的个数问题转化函数图象的交点个数问题，数形结合，即可求得答案.【详解】由可得，由知，，当时，，，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，当时，，，在单调递增，则可作出函数的大致图像如图：三个图分别对应时的情况，设，则即，则的解的个数问题即为的交点个数问题，结合的图象可知的交点个数最多是3个，即为图2个和图3所示情况，不妨设交点横坐标为，当如图2所示时，，此时