高考二轮复习理科数学课件高考小题突破4空间几何体的结构表面积与体积

高考小题突破4空间几何体的结构、表面积与体积考点一空间几何体的三视图例1(1)(2023贵州铜仁二模)用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都如图所示,则这个几何体体积的最小值为(

)A.5 B.7

C.9

D.11A解析

几何体如图所示,注意调整小正方体的位置,使所得几何体的体积尽可能的小.由图易知,该几何体体积的最小值为5.故选A.(2)(2023四川宜宾模拟)已知某四棱锥的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,则该四棱锥最长的棱长是(

)D解析

依题意,还原三视图得四棱锥的直观图,如图所示.其中底面ABCD是边长为1的正方形,PC⊥平面ABCD,且PC=1.解题技巧

解决三视图问题的解题思路

由直观图确定三视图(1)要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.(2)要熟悉常见几何体的三视图由三视图还原到直观图(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状对点训练1(1)(2023四川成都模拟)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是下面的(

)C解析

根据正视图可知A,B错误,根据俯视图可知D错误,结合三视图可知C符合题意,故选C.(2)在三棱锥P-ABC中,底面ABC是锐角三角形,PC垂直于平面ABC,若取垂直于平面PAC的方向为正视图的方向,其三视图中正视图和侧视图如图所示,则棱PB的长为

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考点二空间几何体的表面积和体积考向1空间几何体的侧面积和表面积例2(1)(2023山东潍坊一模)圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形.把该圆锥截成圆台,已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合,圆台的上底面半径为,则圆台的侧面积为(

)C(2)一个六面体的上、下底面互相平行,且均为正方形,其三视图如图所示.其中正视图与侧视图为全等的等腰梯形,两底的边长分别为1和3,高为4,则该六面体的表面积为

.

解题技巧

求几何体表面积的方法

基本思路将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化分割法求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体、球,先求这些柱、锥、台体、球的表面积,再通过求和或作差求得所给几何体的表面积对点训练2(1)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)A解析

由三视图可知,该几何体为如右图的四棱锥S-ABCD,设E,F分别是BC,AD的中点,根据三视图的知识可知EF⊥FS,EF=6,FS=4,(2)(2023湖南邵阳一模)一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的表面积为(

)A考向2空间几何体的体积例3(1)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为(

)A.8

B.12

C.16

D.20B解析

(1)该多面体的直观图如图所示,多面体是一个正方体和一个三棱柱的组合体,所以多面体的体积为V=2×2×2+×2×2×2=12,故选B.B解题技巧

求空间几何体的体积的常用方法

公式法对于规则的几何体的体积,可直接利用体积公式求解等积法等积法也称等积转化或等积变形,通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决锥体的体积,特别是三棱锥的体积割补法求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体,以易于求解对点训练3(1)(2023陕西西安名校联考)已知一平面截某旋转体,截得的几何体的三视图如图,则截得的几何体的体积为(

)A(2)(2023新高考Ⅱ,14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为

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28解析

如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.点O',O分别为正四棱台ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,点H',H为垂足.由题意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知△PO'H'∽△POH,所以

,解得PO=6,所以OO'=PO-PO'=3,所以该正四棱台的体积是考点三球与几何体的切、接问题考向1外接球例4(1)(2022新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

)A.100π

B.128π

C.144π

D.192πAB解题技巧

求多面体的外接球半径的技巧

解题依据球的性质:任何直角所对的棱必然是球的直径补形法侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱相等,或线面垂直的模型,可以还原到正方体或长方体模型中去求解定义法到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,方法是先确定有特殊底面的外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置,列关系式求解对点训练4(1)(2023甘肃一模)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AD=1,且其外接球的体积为36π,则此长方体体积的最大值为(

)B(2)(2023陕西榆林三模)在三棱锥A-BCD中,AB⊥BC,BC⊥CD,CD=2AB=2BC=4,二面角A-BC-D为60°,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为(

)A.16π

B.24π

C.18π

D.20πD解析

如图所示,设点E,F,G分别是BC,AC,BD的中点,则EF∥AB,EG∥CD.因为AB⊥BC,BC⊥CD,所以BC⊥EF,BC⊥EG,则二面角A-BC-D的平面角为∠FEG=60°,且BC⊥平面EFG.又因为EF=AB=1,EG=CD=2,所以考向2内切球例5(2023河南开封模拟)在三棱锥A-BCD中,△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形,当三棱锥A-BCD的表面积最大时,其内切球的半径是(

)A解析

如图所示,设三棱锥A-BCD的表面积为S.则S=S△ABC+S△BCD+S△ABD+S△ACD=+2××BA×BD×sin∠ABD=4+8sin∠ABD,当∠ABD=90°,即AB⊥BD时,表面积最大为8+4.此时AD=4.过点A作BC的垂线,垂足为点E,连接ED.因为△ABC和△BCD都是正三角形,解题技巧

解决内切问题的思路

基本步骤(1)抓切点:要认真分析图形,明确切点的位置;(2)作截面:作出合适的截面图;(3)定关系:确定有关元素间的数量关系组合体问题(1)球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题;(2)球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图对点训练5(2023河北石家庄一模)已知圆台的上、下底面圆的半径之比为,侧面积为9π,在圆台的内部有一球O,该球与圆台的上、下底面及母线均相切,则球O的表面积为(

)A.3π B.5π

C.8π D.9πC解析

设圆台的上底面圆的半径为r,则下底面圆的半径为2r,母线长为l.如图所示,