2024年高考数学考前信息必刷卷01（乙卷理科专用）（含答案与解析）

第第页试卷第=page22页，共=sectionpages2222页2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科专用）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。1.2023年的真题中就有开放性的题目，重在提升学生的创新能力，如本卷第15题2.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第7题3.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点。如第5题，《九章算术》与古典概型结合，第8题，数学文化与排列组合结合，第10题，《数学名人》与数列相结合，将中国的航天事业与排列组合有机结合，培养数学建模的核心素养一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z满足，则（

）A． B． C． D． 2．已知，集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．3．如图是一个几何体三视图，正视图是等腰直角三角形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的表面积是（

）A． B． C． D．4．已知函数为偶函数，则（

）A．-1 B．-2 C．2 D．15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）A． B． C． D．6．若，，则（

）A． B． C． D．7．已知函数的相邻的两个零点之间的距离是，且直线是图象的一条对称轴，则（

）A． B． C． D．8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（

）A．144种 B．162种 C．216种 D．288种9．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．10．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（

）A． B． C． D．11．已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．12．中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（）A．0 B．1 C．3 D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线，点是抛物线上一点，则抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为．14．已知满足约束条件，则的取值范围为.15．若数列是公比为的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式.16．已知函数，若在上单调递减，则a的取值范围是．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（本小题满分12分）某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完.（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量n282930313233频数346674假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由.18．（本小题满分12分）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；(2)求的面积.19．（本小题满分12分）如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且

(1)求证：平面平面ABC；(2)若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，求平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点是，一个顶点的坐标是．(1)求C的方程．(2)设动直线与椭圆C相切于点P，且与直线交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过定点M，并求出M的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：在上存在唯一的极大值点．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(参数)，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若，当曲线与曲线有两个公共点时，求的取值范围.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知，．(1)若，求不等式的解集；(2)，若图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．

2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科专用）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。1.2023年的真题中就有开放性的题目，重在提升学生的创新能力，如本卷第15题2.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第7题3.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点。如第5题，《九章算术》与古典概型结合，第8题，数学文化与排列组合结合，第10题，《数学名人》与数列相结合，将中国的航天事业与排列组合有机结合，培养数学建模的核心素养一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z满足，则（

）A． B． C． D． 【答案】B【解析】∵,可得：，所以.故选：B.2．已知，集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，故A不正确；，所以B不正确；=，=或，所以，所以C不正确，D正确.故选：D.3．如图是一个几何体三视图，正视图是等腰直角三角形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为三棱柱，其表面积为.故选：B4．已知函数为偶函数，则（

）A．-1 B．-2 C．2 D．1【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以，，，所以，即得可得，成立，所以.故选：A.5．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直角三角形的直角边分别是5和12，则内切圆半径为，所求概率为，故选C．6．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，即，解得或（舍），又因为，所以.故选：B.7．已知函数的相邻的两个零点之间的距离是，且直线是图象的一条对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为相邻的两个零点之间的距离是，所以，，所以，又，且，则，所以，则.故选：D.8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（

）A．144种 B．162种 C．216种 D．288种【答案】A【解析】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法，分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有种.故选：A.9．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示，小虫爬行的最短路程为，，又，，，设圆锥底面半径为，高为，则，解得：，，圆锥体积.故选：A.10．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设数列各项除以所得余数所形成的数列为，则数列为：、、、、、、、、、、，由上可知，数列是以为周期的周期数列，即对任意的，，因为，所以.故选：D.11．已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，则，两式相减得，即，∴.故选D.12．中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，在中，，则，即，，同理，因此，，由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，所以的最大值为3.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线，点是抛物线上一点，则抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为．【答案】5【解析】因为点是抛物线上一点，所以，解得，故抛物线方程为.令，得.所以抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为.14．已知满足约束条件，则的取值范围为.【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可化简为，即斜率为的平行直线，结合图形可知，当直线过点时，取最小值，当直线过点时，取最大值，由，解得，所以，则,由，解得，所以，则，所以可求得的取值范围为，15．若数列是公比为的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式.【答案】（答案不唯一）【解析】由，得，即，即，所以.令，所以，所以可取（答案不唯一）16．已知函数，若在上单调递减，则a的取值范围是．【答案】【解析】对求导，得．∵在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，则．设，则，∴当时，；当时，，∴当时，取得最小值，∴．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（本小题满分12分）某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完.（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量n282930313233频数346674假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由.【解】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润，当天需求量时，当天的利润.故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为:，.（2）由题意可得：日需求量n282930313233日利润545760606060频数346674所以这30天的日利润的平均数为（元），方差为.（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：由，可得，所以（，，），所以，由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.18．（本小题满分12分）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；(2)求的面积.【解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）问，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面积.19．（本小题满分12分）如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且

(1)求证：平面平面ABC；(2)若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，求平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值．【解】（1）连结OC，，，又是以AB为直径的圆周上一点，，≌，，又，OB，平面ABC，平面ABC，平面PAB，平面平面ABC；（2）取CD的中点E，连接PE，OE，则，因为平面ABC，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，则，

∴是平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的平面角.∵，，∴.∵∴，是边长为1的正三角形，∴，又∵平面ABC，∴，∴平面PCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为.20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点是，一个顶点的坐标是．(1)求C的方程．(2)设动直线与椭圆C相切于点P，且与直线交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过定点M，并求出M的坐标．【解】（1）由焦点是，可知焦点在轴上，故设椭圆方程为，有题意可知，故，故C的方程为（2）联立，故，化简得，设，则，，故，，设，则，化简得对任意的恒成立，故满足，故以PQ为直径的圆恒过定点M,且,21．（本小题满分12分）已