数理金融练习题

-.z.一、选择1.假设债券A(0)=100元；A(1)=110元，股票S(0)=80元，QUOTEQUOTE上涨和下跌概率分别为和。假设你有10000元资金，决定买入50股股票60份债券，则该资产组合收益的数学期望为〔D〕。A、0.11B、0.14C、0.13D、2.下面关于贝塔因子(β)的描述，说法正确的选项是(A)A.、假设*股票的β>1，则当市场证券组合的回报率上升时，该股票的回报率比市场上升得更快B、假设*股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率比市场下跌得更慢C、假设*股票的0<β<1，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率反而上升D、假设*股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率也跟着下跌3.两风险资产的对应权重为，风险分别为相关系数为则其组合的风险可表示为〔D〕。A、B、C、D、4.投资两个风险证券，以下资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)错误的选项是〔A〕。①②③④A①②③B②③④C①③④D①②④5.投资两个风险证券，以下资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)正确的选项是〔B〕(1)(2)(3)(4)A、(1)(2)(3)B、(1)(3)(4)C、(1)(2)(4)D、(2)(3)(4)6.本金一样、存期一样且有效利率一样，则按期复合的终值(V1)与连续复合的终值(V2)满足(C)AV1>V2BV1≠V2CV1=V2DV1<V27、给定资产组合或单个证券(收益率用表示)的贝塔因子，以下表达式正确的选项是〔B〕ABCD8、设无风险利率为，市场证券组合的期望回报率为，则市场风险溢价为〔〕，一个贝塔系数为的投资所要求的回报率为〔D〕。A、0.040.17B、0.040.15C、0.080.15D、9、假设*投资者是希望财富越多越好且对风险持厌恶态度，用表示该投资者对财富的效用函数，则以下说法正确的选项是〔C〕。A．B．C．D．10、考虑效用函数，a和b是常数。假定投资者的偏好是越多越好，并且厌恶风险，a和b的符号是〔C〕A.a<0，b>0B.a>0，b>0C.a>0，b<0D.a<0，b<011、在单因素模型中，单个资产或组合的总风险及非系统风险分别记为，系统风险记为，市场组合的系统风险记为则以下式子正确的选项是〔C〕A．B．C．D．12、假设*个体的效用函数且二阶连续可导，则以下说法正确的选项是〔B〕A.个体风险厌恶等价于B.个体风险喜好等价于C.个体风险厌恶等价于D.个体风险喜好等价于14、日元对美元的即期汇率是120日元兑1美元，一年期的期货价格是115日元兑1美元。假设利率平价成立，如果日本一年期利率为4%，则美国的一年期利率应是〔B〕A．5%B．8.52%C．4.17%D．3.83%二、填空1、权重为QUOTEQUOTE的两种资产的收益率分别为，，则它们的组合收益率为。2、写出证券市场线的方程：。3、则风险中性概率为2/3。4、设证券A的Beta系数，，则证券A的期望收益为14%。5、在完备市场中，期望收益和同期无风险利率分别用表示，M表示市场组合，则资本市场线的方程是。6、一个公司的股票刚刚支付了元的股利，并预期直到无穷期的股利增长率是10%。如果投资者的预期收益率是14%，股票的现价应该是13.75。8、市场组合*时段的期望收益率和标准差分别是10%和28%，同期无风险利率为3%，则该时段的风险价格为25%。11、设第t年的远期利率为t年期的即期利率为，则远期利率和即期利率之间的关系式满足。三、计算2、设在二叉树模型中，股票的初始价格为S(0)=120美元，u=0.2,d=-0.1,r=0.1.施权价*=120美元，在时间2到期。假设在时间2支付红利14美元。求相应欧式看涨期和权美式看涨期权的价格。依题意得，风险中性概率为…〔2分〕根据股票价格的二叉树模型得股票的价格S(n)在时间0，1，2分别为：n012144108……………………〔4分〕相应地，欧式看涨期权在时间0，1，2的价值分别为：n012=14.250=00其中………〔6分〕同理可得……………〔10分〕相应地，美式看涨期权在时间0，1，2的价值分别为：n01200在时间1，期权的持有者可以选择立刻施权或者等到时间2。在价格为时，立刻施权的回报为24，而不施权选择等待(按照欧式期权计算)的价值也为，故。………〔13分〕类似地，在价格为时，立刻施权的回报为0，而不施权选择等待(按照欧式期权计算)的价值为也为0，故……………〔16分〕仿此方法，可知假设在时间0立刻施权，其回报为0，而不施权选择等待(按欧式期权计算)的价值为美元。…〔19分〕故美元。……………〔20分〕3、假设资产的收益由下面的双因素模型描述：假设观察到以下三个组合：组合期望收益(%)A1B3C3〔1〕求出描述均衡收益的平面的方程。〔2〕利用〔1〕的结果，说明如果有一个组合D具有以下观察到的性质，就存在套利时机：D=15%bD1=2bD2=1解：〔1〕依题意可得：………………5分解得：………………3分所以均衡收益的平面方程为：…2分〔2〕假设组合D满足均衡收益的平面方程，则理论预期收益为…………………2分而观测到的期望收益为15%，高于理论预期，说明价格被低估了，可以买进该股票。4、假设以下资产是按照证券市场线准确定价的。请推导出证券市场线的方程；并求贝塔为2时资产的期望收益率是多少？以及解：依题意可设证券市场线的方程为将信息代入得解得故证券市场线的方程为将代入上式可得四、分析题1、在含有多个风险证券及无风险证券的市场中，投资者采用马科维兹模型进展决策，请问风险厌恶型投资者如何根据效用函数确定最优投资组合？首先，在坐标系中，根据马科维兹资产组合理论，确定含多个风险证券的有效边界C，实为双曲线右半支的上半局部，然后过无风险利率点做C的切线，切点即为市场组合，记为M，此时射线为含多个风险证券及一个无风险证券的投资组合的有效边界。最后根据投资者的效用函数，得到相应的效用无差异曲线族U，该曲线族U必有一条与射线相切，记切点为P。则P点为风险厌恶的投资者的最优投资组合。2、*年8月3日,B公司股票的市场价格为每股20美元。于是，该公司决定于一周后以这一价格增发50万股股票，以筹措1000万美元的资本，用于扩大生产规模。然而，假设一周后股市下跌，则该公司发行同样多的股票，只能筹到较少的资本。因此，该公司决定用同年9月份到期的标准普尔500指数期货作套期保值。标准普尔500指数期货合约价值为标普500指数乘以500美元。8月3日，标普指数为458点，一周后，8月10日，标普指数为423，A公司股票也跌落到每股美元。试分析操作策略和盈亏情况。解：具体操作如下8月3日现货市场股价为20元/股，筹措1000万需发行50万股股票；而8月3日当天，9月份到期的标普指数为458点，此时签订约44〔10000000/(458*500)〕卖出空头期货合约建仓…………〔5分〕8月10日