2024年山东省济南市槐荫区、莱芜区、南山区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年山东省济南市槐荫区、莱芜区、南山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（4分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A． B． C． D．3．（4分）2023年10月26日神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，我国载人航天工程发射任务实现30战30捷，航天员在中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米（）A．4×105 B．4×106 C．40×104 D．0.4×1064．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝130°（）A．70° B．60° C．50° D．40°5．（4分）下列校徽的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．6．（4分）下列运算正确的是（）A．2a+b＝2ab B．2a2b﹣a2b＝a2b C．（a2）3＝a8 D．2a8÷a4＝2a27．（4分）济南市体质健康测试的技能测试要求学生从篮球、足球、排球、游泳四个项目中自选一项．两名同学选择相同项目的概率是（）A． B． C． D．8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），BC＝2AB，若点C在函数y＝（x＞0），则k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．129．（4分）用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：（1）作射线EG；（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（）A．①表示点O B．②表示OP C．③表示OQ D．④表示射线EF10．（4分）在平面直角坐标系中，对点M（a，b）和点M′（a，b′），则称点M′（a，b′）是点M（a，b）（1，﹣2）的伴随点是A′（1，﹣6），B（﹣1，﹣2）的伴随点是B′（﹣1，2）（m，n）在二次函数y＝x2﹣4x﹣2的图象上，则当﹣2≤m＜5时，其伴随点Q′（m，n′）（）A．﹣10 B．﹣1 C．1 D．10二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）11．（4分）因式分解：m2﹣4＝．12．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且点E，H在边AB上，F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）．13．（4分）已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则另一个解为x＝．14．（4分）如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s（千米）随时间t（分）变化的函数图象分钟追上甲．15．（4分）如图的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC．以三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是曲边三角形．若等边三角形ABC的边长为2．16．（4分）在边长为4的正方形ABCD中，E是AD边上一动点（不与端点重合），将△ABE沿BE翻折，直线EH交CD于点F，连接BF，BF分别与AC交于点P、Q，连接PD（写出所有正确结论的序号）．①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝AP+QC；⑤若连接DH，则DH的最小值为．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：．18．（6分）解方程组：．19．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接DE、DF．求证：∠ADF＝∠CDE．20．（8分）敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，由反射原理，入射光线与镜面的夹角α等于反射光线与镜面的夹角β．已知定口镜的长AB为12米，定日镜绕点C旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，点B到地面的距离BE是5米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．（sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）（1）求支撑柱CD的高度；（2）求吸热塔FH的高度．21．（8分）中央电视台“典籍里的中国”栏目激发了同学们阅读传统文化书籍的热情．某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查．整理调查结果之后，根据调查结果绘制了不完整的图表．如下所示：本数（本）人数占比0c20%11836%214b3816%合计a100%（1）统计表中的a＝，b＝；（2）请补全条形统计图；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有600名学生．请你分析该校八年级学生课外阅读2本及以上的人数．22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，，∠BCD＝∠BCP．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若BP＝2，CP＝4，求⊙O的直径．23．（10分）春节期间，多地用无人机表演代替烟花燃放，绿色环保，开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知A型无人机单价比B型无人机单价多100元，用1800元购买的A型无人机数量与1500元购买的B型无人机数量相同．（1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？（2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出不等式的解集；（3）点P在x轴上，求|PA﹣PB|的最大值．25．（12分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为AB、AC的中点．（1）如图2，将线段AD、AE分别绕点A顺时针旋转相同角度得到AD′、AE′，分别连接BD′、CE′，则＝．（2）如图3，将△ABC绕点D顺时针旋转60°，得到△A′B′C′，点M、N分别为线段BB′，CC′上的点，分别连接DM、DN、MN．请判断△DMN的形状，并说明理由；（3）如图4，连接BE，点O为BE上一点，将△ABC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α≤180°），得到△A″B″C″，求旋转过程中线段AA″的最大值．26．（12分）如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC、BD．（1）若m＝1，求B点和C点坐标；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第一象限内二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象上，始终存在一点P，直接写出m的取值范围．

2024年山东省济南市槐荫区、莱芜区、南山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：A．2．（4分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A． B． C． D．【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：故选：D．3．（4分）2023年10月26日神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，我国载人航天工程发射任务实现30战30捷，航天员在中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米（）A．4×105 B．4×106 C．40×104 D．0.4×106【解答】解：400000＝4×105，故选：A．4．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝130°（）A．70° B．60° C．50° D．40°【解答】解：∵a∥b，∠1＝130°，∴∠3＝∠3＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，故选：C．5．（4分）下列校徽的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．选项中的图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不符合题意；B．选项中的图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不符合题意；C．选项中的图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不符合题意；D．选项中的图形能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故符合题意；故选：D．6．（4分）下列运算正确的是（）A．2a+b＝2ab B．2a2b﹣a2b＝a2b C．（a2）3＝a8 D．2a8÷a4＝2a2【解答】解：A、2a与b不是同类项，故此选项不符合题意；B、2a4b﹣a2b＝a2b，故此选项符合题意；C、（a5）3＝a6，故此选项不符合题意；D、7a8÷a4＝8a4，故此选项不符合题意；故选：B．7．（4分）济南市体质健康测试的技能测试要求学生从篮球、足球、排球、游泳四个项目中自选一项．两名同学选择相同项目的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：将篮球、足球、游泳四个项目分别记为A，B，C，D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中两名同学选择相同项目的结果有4种，∴两名同学选择相同项目的概率为．故选：D．8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），BC＝2AB，若点C在函数y＝（x＞0），则k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：作CD⊥x轴，垂足为点D，∵点A（0，2），8），∴OA＝2，OB＝1，∵∠AOB＝∠BDC，∠ABO＝∠BCD，∴△AOB∽△BDC，∵BC＝3AB，∴，∴BD＝2AO＝4，CD＝2BO＝4，∴OD＝5，∴C（5，8），∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝5×4＝10．故选：C．9．（4分）用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：（1）作射线EG；（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（）A．①表示点O B．②表示OP C．③表示OQ D．④表示射线EF【解答】解：作法：（1）作射线EG；（2）以O为圆心，任意长为半径画弧、交OB于点Q；（3）以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；（4）以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F；（5）过点F作EF，∠DEF即为所求作的角．∴内容错误的是“③”．故选：C．10．（4分）在平面直角坐标系中，对点M（a，b）和点M′（a，b′），则称点M′（a，b′）是点M（a，b）（1，﹣2）的伴随点是A′（1，﹣6），B（﹣1，﹣2）的伴随点是B′（﹣1，2）（m，n）在二次函数y＝x2﹣4x﹣2的图象上，则当﹣2≤m＜5时，其伴随点Q′（m，n′）（）A．﹣10 B．﹣1 C．1 D．10【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣3，∴二次函数对称轴为直线x＝2，顶点为（2，∵点Q（m，n）在二次函数y＝x5﹣4x﹣2的图象上，﹣3≤m＜5，∴当﹣2≤m＜7时，n′＝|n|，n′＝n﹣4，∵当x＝2时，y＝﹣7，当x＝﹣2时，y＝（﹣2）6﹣4×（﹣2）﹣4＝10，当x＝0时，y＝x2﹣8x﹣2＝﹣2，当x＝2时，y＝52﹣5×5﹣2＝3，∴当﹣2≤m＜0时，﹣5＜n≤10，当0≤m＜5时，﹣2≤n＜3；故选：B．二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）11．（4分）因式分解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．【解答】解：m2﹣4＝（m+7）（m﹣2）．故答案为：（m+2）（m﹣6）．12．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且点E，H在边AB上，F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）．【解答】解：由题意可知：△OEH和△OFG关于点O中心对称，∴S△OEH＝S△OFG，∴S阴影部分＝S△AOB＝S平行四边形ABCD，∴飞镖恰好落在阴影区域的概率＝＝．故答案为：．13．（4分）已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则另一个解为x＝3．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+3＝0得：1﹣m+5＝0，解方程得：m＝4，再把m＝3代入方程x2﹣mx+3＝8得：x2﹣4x+8＝0，（x﹣1）（x﹣5）＝0，x﹣1＝8或x﹣3＝0，x3＝1，x2＝7，∴方程的另一个根是x＝3，故答案为：3．14．（4分）如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s（千米）随时间t（分）变化的函数图象8分钟追上甲．【解答】解：根据图象得出：乙在28分时到达，甲在40分时到达，设乙出发x分钟后追上甲，则有：×x＝，解得x＝8，故答案为：3．15．（4分）如图的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC．以三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是曲边三角形．若等边三角形ABC的边长为2．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝2，∴这个曲边三角形的面积＝3S扇形BAC﹣2S△ABC＝3×﹣2×2＝2π﹣8．故答案为：2π﹣5．16．（4分）在边长为4的正方形ABCD中，E是AD边上一动点（不与端点重合），将△ABE沿BE翻折，直线EH交CD于点F，连接BF，BF分别与AC交于点P、Q，连接PD①②④⑤（写出所有正确结论的序号）．①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝AP+QC；⑤若连接DH，则DH的最小值为．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCP＝∠DCP＝45°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，故①正确，又∵BC＝BH＝AB，BF＝BF，∴Rt△BCF≌Rt△BHF（HL），∴∠CBF＝∠HBF，由翻折可知：∠ABE＝∠HBE，∴∠EBF＝∠EBH+∠FBH＝∠ABC＝45°，又∵∠ACF＝45°，∴B、C、F、P四点共圆，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∴∠PBF＝∠PFB＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，故④正确，∵Rt△BFH≌Rt△BFC（已证），∴∠BFC＝∠BFH，∵∠CBF+∠BFC＝90°，∴7∠CBF+2∠CFB＝180°，∵∠EFD+∠CFH＝∠EFD+2∠CFB＝180°，∴∠EFD＝8∠CBF，故②正确，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCT，连接QT，∴∠ABP＝∠CBT，∴∠PBT＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ＝∠TBQ＝45°，∵BQ＝BQ，BP＝BT，∴△BQP≌△BQT（SAS），∴PQ＝QT，∵QT＜CQ+CT＝CQ+AP，∴PQ＜AP+CQ，故③错误，连接BD，DH，∵BH＝AB＝4，∴BD＝4，∴DH≥BD﹣BH＝﹣7，∴DH的最小值为4﹣8，故答案为：①②④⑤．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝2﹣3×﹣1＝2﹣2﹣1＝．18．（6分）解方程组：．【解答】解：，①+②，可得4x＝12，解得x＝2，把x＝3代入①，可得：3﹣4y＝1，解得y＝1，∴原方程组的解是．19．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接DE、DF．求证：∠ADF＝∠CDE．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE．20．（8分）敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，由反射原理，入射光线与镜面的夹角α等于反射光线与镜面的夹角β．已知定口镜的长AB为12米，定日镜绕点C旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，点B到地面的距离BE是5米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．（sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）（1）求支撑柱CD的高度；（2）求吸热塔FH的高度．【解答】解：（1）如图过点B作BG⊥CD于点G，∵点C是AB中点，AB＝12米，∴BC＝AB＝4米，在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∴CG＝BC•cos60°＝6×12＝3（米），又∵BE⊥DE，CD⊥DE，∴∠DGB＝∠BED＝∠GDE＝90°，∴四边形DEBG是矩形，∴DG＝BE＝2米，∴CD＝CG+DG＝8（米），∴支撑柱的高度为8米；（2）如图过点C作CM⊥FH于点M，根据题意，∠β＝∠α＝57°，∵FH∥CD，∴∠DCM＝∠FMC＝90°，∴∠MCB＝∠DCM﹣∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠FCM＝∠β﹣∠MCB＝57°﹣30°＝27°，∴∠CMH＝∠HDC＝∠DCM＝90°，∴四边形CDHM是矩形，∴CM＝DH＝500米，MH＝CD＝6米，在Rt△FCM中，∠FMC＝90°，∴FM＝CM•tan27°≈500×0.51＝255（米），∴FH＝FM+MH＝255+8＝263（米），∴吸热塔的高度为263米．21．（8分）中央电视台“典籍里的中国”栏目激发了同学们阅读传统文化书籍的热情．某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查．整理调查结果之后，根据调查结果绘制了不完整的图表．如下所示：本数（本）人数占比0c20%11836%214b3816%合计a100%（1）统计表中的a＝50，b＝28%；（2）请补全条形统计图；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有600名学生．请你分析该校八年级学生课外阅读2本及以上的人数．【解答】解：（1）∵18÷36%＝50（人），∴a＝50，∴b＝＝28%，故答案为：50；28%；（2）50×20%＝10人，条形统计图如图所示：（3）（18×1+14×2+5×3）÷50＝1.5（本），答：所有被调查学生课外阅读的平均本数为1.4本．（4）600×＝264（人），答：该校八年级学生课外阅读2本及以上的有264人．22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，，∠BCD＝∠BCP．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若BP＝2，CP＝4，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠A，∵，∴∠BCD＝∠A，∴∠BCP＝∠A＝∠ACO，∴∠BCP+∠OCB＝90°，∴OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线；（2）解：∵∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△BCP∽△CAP，∴，∴∴AP＝8，∴AB＝AP﹣PB＝8﹣5＝6，∴⊙O的直径是6．23．（10分）春节期间，多地用无人机表演代替烟花燃放，绿色环保，开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知A型无人机单价比B型无人机单价多100元，用1800元购买的A型无人机数量与1500元购买的B型无人机数量相同．（1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？（2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？【解答】解：（1）设B型无人机的单价是x元，则A型无人机单价为（x+100）元，根据题意得：，解得：x＝500，经检验：x＝500是分式方程的解，此时500+100＝600（元），答：A型无人机的单价是600元，B型无人机的单价是500元；（2）设购买A型无人机a台，花费W元，根据题意得：100﹣a≤2a，解得：，W＝8.9×600a+500（100﹣a）＝40a+50000，∵40＞0∴W随a的增大而增大，∴当a取最小整数34时，W最有小值，答：购买A型无人机34台，B型无人机66台时花费最少．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出不等式的解集；（3）点P在x轴上，求|PA﹣PB|的最大值．【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数的图象上，∴，解得k＝﹣12，b＝3．∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为：y＝﹣+3；（2）根据图象和交点坐标可知不等式的解集为：x＜﹣2或者3＜x＜4．（3）如图作点B关于x轴的对称点B'；作AB'延长线交x轴于点P，由对称性可知PB＝PB'；，PA﹣PB＝PA﹣PB'＝AB'；∴|PA﹣PB|的值最大为AB'；∵点B′是点B关于x轴的对称点，B（4∴B'（6.3），将A（m，6）坐标代入反比例函数解析式的m＝﹣6，∴A（﹣2，6），∴AB′＝＝6．25．（12分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为AB、AC的中点．（1）如图2，将线段AD、AE分别绕点A顺时针旋转相同角度得到AD′、AE′，分别连接BD′、CE′，则＝．（2）如图3，将△ABC绕点D顺时针旋转60°，得到△A′B′C′，点M、N分别为线段BB′，CC′上的点，分别连接DM、DN、MN．请判断△DMN的形状，并说明理由；（3）如图4，连接BE，点O为BE上一点，将△ABC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α≤180°），得到△A″B″C″，求旋转过程中线段AA″的最大值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝AC＝5，∵点D、E分别为AB，∴AE＝，AD＝，∵将线段AD、AE分别绕点A顺时针旋转相同角度得到AD′，∴AD′＝AD＝，AE′＝AE＝7，∴＝，∴△CAE′∽△BAD′，∴＝＝，故答案为：；（2）△DMN是等腰直角三角形．理由：如图3，连接CD和C′D，∵△ABC绕D点顺时针旋转60°得到△A′BC，∴BD＝BD，CD＝CD，∴△CDC和△BDB′是等边三角形，∴∠DCN＝∠DBM＝60°，∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB中点．∴CD＝BD，CD⊥AB，又∵CN＝BM，∴△CDN≌△B