数学（理科）-试题和答案【2024届高考理综考向核心卷（全国地区专用）】

悬1a2024届高考数学考向核心卷【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中A.{-2,-1}B.{3,5}C.{-2,-1,0}D.{0,3,5}A.√2B.√33.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=6,|a+kb|=3√7(k>0),a·b=9,则实数k的值为()A.1B.3A.5.已知不等式组表示的平面区域为D,若直线y=kx经过区域D,则实数k的最小6.某几何体的三视图如图所示，正视图中的一段圆弧所对的圆心角为直角，则该几何体的表面2BA.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b;A.105B.125A.6单调递减A.√5A.(2,√6)B.(-~,-√6)C.(0,2)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋比赛，则所选3人中;号为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,bsin2C=c(2sinA+sinC).(2)若AC边上的高为2√3,求b取得最小值时△ABC的面积.18.(12分)第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行.某体育博主为调查大学生对成都大运会的了解情况，在某大学随机抽取了200名大学生(其中男生和女生各100名)提问他们有关大运会的问题，完全答对的认为了解大运会，否则认为不了解大运会，得到如下2×2列联表：男生女生了解大运会不了解大运会(1)根据2×2列联表，判断能否有99%的把握认为大学生是否了解大运会与性别有关；(2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从该校大学生中随机抽取3人调查他们对大运会的了解情况，记抽取的3人中了解大运会的人数为X,求X的分布列和数学期望.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.(10分)[选修4-4:坐标系与参数方程](2)设₁与C₁相交于点A,B,I₂与C相交于点P(不与原点重合),试求△PAB的面积.23.(10分)[选修4-5:不等式选讲]19.(12分)如图1,在矩形ABCD中，AB=2AD=4,E为CD的中点，现将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，得到四棱锥P-ABCE,如图2所示，PB=2√3.(1)证明：平面APE⊥平面ABCE;(2)求平面APB与平面CPE所成锐二面角的余弦值.20.(12分)已知椭圆E(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l与x轴交于点C、与椭圆E交于点M,N,B与N关于x轴对称，直线MB与x轴为f(x)的导函数)恒成立，求证：12024届高考数学考向核心卷·理科·全国卷版12345678CCADAACBBBD1.C【解析】因为y=2√F-x=-(Vx-1)²+1≤1,所以B={y|y≤1}所以A∩B={-2,-1,0},故选C.2.C【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,36+18k+9k²=63,即k²+2k-3=0,解得k=1或-3(舍去).故选A.所以f(x)是偶函数，排除A,,单调递增，排除B,故选单调递增，排除B,故选D.作出区域D如图中阴影部分所示，易得A(5,4),B(1,2),C(2,1).因为直线y=kx过点(0,0),作出直线y=kx,数形结合可知当直线y=kx经过点C时k取得最小值，所以6.A【解析】根据题意还原几何体的直观图，为如图所示的几何体ABCD-A,FBCED,可知该几何体为一个棱长为2的正方体截掉底面半径为1、高为2的圆柱的四分之一后所剩几何体.所以该几何体的表面积a<c.故选C.记数列{b,}中a₁及其后连续k项的和为c,则9.D【解析】设球O的半径为R,因为球O的体积为36π,所以得R=3.设正四面体所以该正四面体的体所以解得a=6√6,即正四面体R-将正四面体P-A₂B₂C₂放到正方体中，如图，易知该2;;因为R=3,所以该正方体的棱长为6,则正四面体所以.k∈Z,则o=2+6k,k∈Z,又O<o<6,所以o=2,D错误.故选B.1,得所以不妨设事事所以所以,易得f(x)在(-,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，且f(-1)=-a-2,当x>0时，易知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+~)上单调递增，且f(1)=-2.若方程f(x)=a有4个不同实根，则解得-2<a<-1.易知x;,程x⁴+2ax²+1=0(x<0)的两个不同实根，所以x²+x²=-2a,x²x2=1,所以xx₂=1,x+x₂=的两个不同实根，所以|log,x;|=|log,x₁|,易知所以的取值范围是选3人中至多有1名女生的情况有以下两种：3人全有C;C!种选法.则所选3人中至多有1名女生的概34:·:…4:·:…为16,得2”=16,所以n=4,令解得r=5,故的展开式中的系数为C⁸=56y;>y₂,由两条平行直线之间的距离为5知y-y₂=5易知直线AB的斜率不为0,设直线AB:x=my+1,,16.①③【解析】对于①:∵d,=h(c₁)=1+sinc₄,,,,,,··:<2,∴N²24=d₁+d₂+…+d₄<2024,①正确.4,d₂=1-数学参考答案数学参考答案对于③:∵d,=h(c,)=1+sinc,=2024+(sinc₁+sinc₂+…+si由M₂24=C₁+C₂+…+C₂g+Czn₂4>0,可得c₁+C₂₄=则Nzo₄>2024,③正确.故答案为①③.三、解答题【解析】(1)法一：bsin2C=c(2sinA+sinC)及正弦定理得sinBsin2C=sinC(2sinA+sinC)因为0<C<π,所以sinC≠0,所以2sinBcosC=2sinA+sinC,由正弦定理得2bccosC=c(2a+c),,由余张定理得2b。,整理得a²+c²-b²=-ac,(2)因为AC边上的高为2√3,所!整理得ac=4b.又b²=a²+c²+ac≥2ac+ac=3ac,当且仅当a=c时取等号，所以b²>12b,得b≥12,所以b的最小值为12.此时△ABC的面积18.(1)有99%的把握认为大学生是否了解大运会与性别有关4;,;,2024届高考数学考向核心卷·理科·全国卷版(2)X的分布列见解析，数学期望)【解析】(1)由题，所以有99%的把握认为大学生是否了解大运会与性别(2)从该校大学生中随机抽取1人，其了解大运会的概率为X023P19.(1)证明见解析(2)平面APB与平面CPE所成锐二面角的余弦值【解析】(1)连接BE,则AE=BE=2√2,因为PE∩AE=E,PE,AEC平面APE,所以BE⊥平面APE,又BEC平面ABCE,所以平面APE⊥平面ABCE.(2)以点E为坐标原点，EA,EB所在直线分别为x,y轴建立空间直角坐标系如图所示，(√2,0,√2),CP=(2√2,-√2,√2).设平面APB的法向量为m=(x,y,z)则取z=1,得m=(1,1,1).设平面CPE的法向量为n=(a,b,c),则所以平面APB与平面CPE所成锐二面角的余弦值++)(2)证明见解析【解析】(1)由题知，O是线段FF₂的中点，Q在,,∴椭圆E的标准方程(2)由题意知直线MN,MB的斜率均存在且均不直线MB的方(3x²-6mx₂+3m²+4y2)x²-8my2x+4m消去y并整理得5:·:·(3x2-6nx₂+3n²+4y2)x²-8ny2x+4n²y当m≠n时，3mn=3x²+4y2=12,∴mn=4.当m=n时，C,D,M三点重合或N,B,C,D四点f(x)有1个零点(2)证明见解析得x<0,③当0<m<e时，由f'(x)>0可得x<lnm-1或x>0.(Inm-1,0)上单调递减，∴f(x)有1个零点；∴f(x)有1个零点.综上，当m<0时，f(x)有2个零点；当O≤m≤e时，f(x)有1个零点.(2)由f(x)>2xlnx+x²可得x(c-m)>2xlnx+x²,易知g'(x)在(0,+w)上单调递增，数学参考答案,.可.又x²+y²=p²,y=psin0,