2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合，则．2．已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．的二项展开式中，项的系数为．4．等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为．5．已知平面向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为．6．已知复数满足，则．7．已知空间向量，则在方向上的投影为．8．已知（a、b、c为实数），且，则的值是9．已知是抛物线上的两个不同的点，且，若点为线段的中点，则到轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知中，为其三个内角，且都是整数，则．12．已实数满足，则的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（

）A． B． C． D．14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生名、名、名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，若从高三年级抽取名学生，则为A． B． C． D．15．设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱中，平面，且，为中点．

(1)求四面体的体积：(2)求平面与所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：001（2）设实数且，求证：；（可以使用公式：）（3）证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）．697.900.212400.1414.1226.13(1)利用相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线，过点与轴不垂直的直线与交于两点．(1)求证：是定值（是坐标原点）；(2)的垂直平分线与轴交于，求的取值范围；(3)设关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．21．已知，函数的导函数为．(1)当时，求在处的切线方程；(2)求函数的极值点；(3)函数的图象上是否存在一个定点，使得对于定义域内的任意实数，都有成立？证明你的结论．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合，则.故答案为：2．【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到，又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为，故答案为：.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，代入通项公式中可求得结果.【详解】的二项展开式的通项公式为，令，得，所以项的系数为，故答案为：2104．【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，，或，则，或，所以首项的取值范围为.故答案为：5．【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量的夹角为锐角，则且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围为.故答案为：6．【分析】设，根据得到方程组，求出，分两种情况计算出答案，从而求出.【详解】设，则，所以，解得，当时，，故，；当时，，故，故答案为：-87．【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量，则，所以在方向上的投影为，故答案为：8．3【分析】令，则，然后判断的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令，则，函数的定义域为，因为，所以为奇函数，因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线的焦点，准线方程，令过点与抛物线交于两点的直线方程为，由消去得，，设两个交点为，则，，于是，当且仅当时取等号，令点的横坐标分别为，而，则，当且仅当三点共线时取等号，所以到轴的距离的最小值为4.故答案为：410．【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件为“运动员开第一枪命中飞碟”，为“运动员开第二枪命中飞碟”，为“飞碟被击中”，则，，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为.故答案为：11．6【分析】不妨令，利用正切函数的单调性，结合已知求出，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在中，不妨令，显然为锐角，而是整数，若，又函数在上单调递增，则，此时与矛盾，因此，，，整理得，又都是整数，且，因此，所以.故答案为：612．【分析】确定动点的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点在圆及内部，直线，直线，由，得直线与圆相离，且，由，解得或，即直线与圆交于点，①当时，即点在直线与圆所围成的小弓形及内部，，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画出直线，平移直线分别到直线，当过点时，取得最大值，最小，当过点时，取得最小值，最大，因此，，从而；②当时，即点在直线与圆所围成的大弓形及内部（不含直线上的点），，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画出直线，显直线，平移直线分别到直线，直线与圆分别相切于点，当过点时，取得最大值，最小，因此，当过点时，取得最小值，最大，因此，从而，所以的取值范围是.故答案为：

【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0，B选项满足要求.故选：B14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：，解得：.本题选择C选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设，则，满足，但是严格减数列，充分性不成立，当时，是严格增数列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为，时刻，刚刚呐喊声音传播为0，时刻听到第一次回声，声音的路程为，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，时刻，声音的路程为，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，时刻，声音的路程为，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此，，即，则，即，整理得，所以椭圆的离心率为.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)(2)【分析】（1）利用等体积法，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为平面，又面，所以，又，，面，所以面，因为面，所以到面的距离即,又，，所以.（2）如图，建立空间直角坐标系，因为，，则，所以设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设平面的一个法向量为，则由，得到，取，则，所以，设平面与所成锐二面角为，则.

18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为，所以表格如下：0001010121（2）实数且，则，因此，所以.（3），依题意，对任意实数恒成立，因此，所以等式对任意实数恒成立的充要条件是.19．(1)更适宜作为回归方程类型；(2)，.【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合和，结合，即可得到结论.（2）（i）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii）当时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为的线性相关系数，的线性相关系数，因为，所以更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型.（2）依题意，，则，于是，所以关于的回归方程为.当时，金属含量的预报值为.20．(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析，.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦的中点坐标及弦的中垂线方程，进而求出，再结合判别式求解即得.（3）设出D点的坐标，求出直线BD的方程，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线不垂直于坐标轴，设过点的直线的方程为，由消去x得：，，则，所以为定值.（2）设两点的中点坐标为，则，，则，即AB的垂直平分线为，令，解得，显然，当时，恒有成立，则，当时，，则，所以的取值范围为.（3）由A关于轴的对称点为D，得，则直线BD：，整理得：.又.因此直线BD为：，即过定点，所以直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.21．(1)；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当时，，求导得，切线方程为，所以所求切线方程为.（2）函数的定义域为，求导得，令，即，即，①当时，函数在定义域内严格增,无极值点