专题15函数与平行四边形综合问题-【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案含答案

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案专题15函数与平行四边形综合问题经典例题经典例题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，﹣3a)，对称轴是直线x＝1，顶点是M．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E(不与B，D重合)，经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．【例2】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．(1)求抛物线的解析式；(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：(3)将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A(﹣4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D(0，3)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P(m，0)为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】如图1，二次函数y＝ax2+bx的图象过点A(﹣1，3)，顶点B的横坐标为1．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图3，一次函数y＝kx(k＞0)的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上(不与O、C重合)，过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，ON2OM培优训练培优训练1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B(3，0)，C(0，﹣3)，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．(3)若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A(﹣2，0)，点C的坐标为C(0，6)，对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1＜m＜4)，连接AC，BC，DC，DB．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1(注：与图2完全相同)所示，抛物线y＝﹣+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)4．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．顶点为点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；(4)已知点H(0，)，G(2，0)，在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点(B'在B的右侧)，顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；(3)在(2)的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线过点A(0，1)和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B(，0)，平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．(1)求点F的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B(5，0)及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b(k≠0)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．(1)求此抛物线的解析式；(2)请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．9．如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点(1，﹣3)和(﹣4，12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．(1)求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；(2)若抛物线N：y＝﹣(x﹣h)2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．10．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(﹣，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．(1)填空：△ABC的形状是．(2)求抛物线的解析式；(3)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；(4)M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，﹣4)．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，线段AC的长为25，抛物线的解析式为．(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4-12m(0＜m＜2)时，试比较f的对应函数值f1和f13．抛物线y＝﹣x2+2x+n经过点M(﹣1，0)，顶点为C．(1)求点C的坐标；(2)设直线y＝2x与抛物线交于A、B两点(点A在点B的左侧)．①在抛物线的对称轴上是否存在点G．使∠AGC＝∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；②点P在直线y＝2x上，点Q在抛物线上，当以O，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．14图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与x轴交于点A(4，0)与y轴交于点B(0，8)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)若点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，当四边形PCOD的邻边之比为2：1时，求线段PC的长．(3)若点Q是平面内任意一点，是否存在以A，O，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．15．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4(k＜0)交x轴于点A，交y轴于点B．已知△ABO为等腰直角三角形．(1)请直接写出k的值为；(2)将一次函数y＝kx+4(k≠0)中，直线y＝﹣1下方的部分沿直线y＝﹣1翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为图象G．已知在x轴有一动点P(n，0)，过点P作x轴的垂线，交y=12x+2于点M，交图象G于点N．当点M在点N上方时，且MN＜2(3)记图象G交x轴于另一点C，点D为图象G上一点，点E为图象G的对称轴上一点．当以A，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，则点D的坐标为．16．抛物线y＝ax2+bx的顶点M(3，3)关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E．(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；(2)当0＜x＜23时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为(﹣1，4)，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，如图．(1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；(3)连接AD、CD，求cos∠ADC的值；(4)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(﹣1，0)和(1，﹣2)两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．(1)求抛物线L和L′的表达式；(2)是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C(0，2)，与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点A(1，(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；(3)设M是反比例函数y=kx(x＞0)图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点20．如图，反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y＝mx﹣2相交于A(6，1)，B(n，﹣3)，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，(1)求k，m的值；(2)求出B点坐标，再直接写出不等式mx﹣2＜k(3)点M在函数y=kx(k≠0)的图象上，点N在x轴上，若以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C(0，2)，与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点A(1，(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)设M是反比例函数y=kx(x＞0)图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=12BF时，求sin∠(3)点N是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案专题15函数与平行四边形综合问题经典例题经典例题【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，﹣3a)，对称轴是直线x＝1，顶点是M．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E(不与B，D重合)，经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．【分析】(1)因为抛物线经过点(2，﹣3a)，代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；(2)先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P(2，﹣3)，将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；(3)利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．【解析】(1)∵抛物线经过点(2，﹣3a)，∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因为抛物线对称为x＝1，∴②，联立①②，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)如图1，∵y＝(x﹣1)2﹣4，∴M(1，﹣4)，令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C(0，﹣3)，设直线MC为y＝kx﹣3，代入点M得k＝﹣1，∴直线MC为y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴N(﹣3，0)，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，过C作CP∥AN，使CP＝AN，则四边形ANCP为平行四边形，∴CP＝AN＝﹣1﹣(﹣3)＝2，∴P(2，﹣3)，∵P的坐标满足抛物线解析式，∴P(2，﹣3)在抛物线上，即P(2，﹣3)；(3)如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，∴D(0，3)，∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形．【例2】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．(1)求抛物线的解析式；(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：(3)将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．【分析】(1)第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．(2)第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．(3)第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．【解析】(1)∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为(0，3)，∵OG﹣OB＝3，∴B坐标为(3，0)，∵tan∠CAO＝3，∴＝3，∴OA＝1，∴点A坐标为(﹣1，0)，∴设解析式为y＝a(x+1)(x﹣3)，代入(0，3)得a＝﹣1，∴y＝﹣(x+1)(x﹣3)，＝﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴抛物线解析式为：y＝﹣(x﹣1)2+4；(2)∵Q为线段PB中点，∴S△CPQ＝S△CPB，当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．设P坐标(a，﹣a2+2a+3)，过点P作PH∥y轴交BC于点H，H坐标为(a，﹣a+3)，∴PH＝(﹣a2+2a+3)﹣(﹣a+3)＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，S△CPB＝•PH•(xB﹣xC)＝•PH•3＝PH＝(﹣a2+3a)＝﹣(a2﹣3a+﹣)＝﹣(a﹣)2+，当a＝时，即P坐标为(，)时，最大S△CPQ＝S△CPB＝，∴P坐标为(，)；(3)沿CB方向平移2个单位，即向右2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为y＝﹣(x﹣3)2+2，M坐标为(3，2)C坐标为(0，3)，点N坐标设为(n，0)，∵＝，∴＝，∴yD＝1，则1＝﹣(x﹣3)2+2﹣1＝﹣(x﹣3)2，(x﹣3)2＝1，x﹣3＝±1，∴x＝4或2，∴xD＝4或xD＝2，＝⇒＝，∴xN＝7，或＝，∴xN＝5，∴N坐标为(7，0)或(5，0)，或＝⇒＝，得yD＝﹣1，则﹣1＝﹣(x﹣3)2+2，(x﹣3)2＝3，x＝±+3，∴xD＝3﹣或xD＝3+，即xN＝﹣或，N坐标为(﹣，0)或(，0)．【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A(﹣4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A(﹣4，0)，C(2，6)代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；(2)由OA＝OB可得B(0，4)，设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A(﹣4，0)、B(0，4)代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而求得P坐标，②当S△COP：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；(3)设N(m，n)，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．【解析】(1)将A(﹣4，0)，C(2，6)代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×(﹣2)＝﹣2，∴顶点M的坐标为(﹣2，﹣2)；(2)∵A(﹣4，0)，∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B(0，4)，设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A(﹣4，0)、B(0，4)代入得：，解得，∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，Rt△AOB中，AB＝＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：∵S△AOP：S△COP＝1：2，∴S△AOP：S△AOC＝1：3，∴PQ：CH＝1：3，而C(2，6)，即CH＝6，∴PQ＝2，即yP＝2，在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，∴x＝﹣2，∴P(﹣2，2)；②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：∵S△COP：S△AOP＝1：2，∴S△AOP：S△AOC＝2：3，∴PQ：CH＝2：3，∵CH＝6，∴PQ＝4，即yP＝4，在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，∴x＝0，∴P(0，4)；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为(﹣2，2)或(0，4)；(3)点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N(m，n)，分三种情况：①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A(﹣4，0)、O(0，0)，C(2，6)，∴AN的中点为(，)，OC中点为(，)，∴，解得，∴N(6，6)，②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，∴N(﹣2，6)，③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，∴N(﹣6，﹣6)，综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：(6，6)或(﹣2，6)或(﹣6，﹣6)．【例4】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D(0，3)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P(m，0)为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；(2)求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；(3)分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．【解析】(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．(2)设直线l的解析式为y＝kx+n，将B(3，0)，D(0，3)代入上式得：．解得：．∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．∵点P(m，0)，EF⊥x轴，∴E点坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，点F的坐标为(m，﹣m+3)．∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．∵B(3，0)，∴OB＝3．∵S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，∴＝﹣．∵＜0，∴当m＝时，S四边形CEBF有最大值＝．即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．(3)存在．①当点M在直线BD的下方时，如图，令x＝0，则y＝﹣3．∴C(0，﹣3)．∴OC＝3．∵A(﹣1，0)，∴OA＝1．过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，∵四边形ACMN为平行四边形，∴AC∥MN，AC＝MN．∵NF⊥ME，ME⊥OE，∴NF∥OE．∴∠ACO＝∠MNF．在△AOC和△MFN中，．∴△AOC≌△MFN(AAS)．∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．设M(h，h2﹣2h﹣3)，则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．∴N(h﹣1，﹣h+4)．∴NG＝﹣h+4，∵NG+GF＝NF＝3，∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．解得：h＝(负数不合题意，舍去)．∴h＝．∴M()．②当点M在直线BD的上方时，如图，过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，由①知：△MNF≌△CAO(AAS)，可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．设M(h，h2﹣2h﹣3)，则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．∴NE＝EF+NF＝h+1．∴N(h+1，﹣h+2)．∴GF＝OE＝h﹣2．∵MG+GF＝MF＝3，∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝(负数不合题意，舍去)．∴h＝．∴M()．综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为()或()．【例5】如图1，二次函数y＝ax2+bx的图象过点A(﹣1，3)，顶点B的横坐标为1．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图3，一次函数y＝kx(k＞0)的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上(不与O、C重合)，过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，ON2OM【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题．(2)①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．(3)设T(m，m2﹣2m)，由TM⊥OC，可以设直线TM为y=-1kx+b，则m2﹣2m=-1km+b，b＝m2﹣2m+mk，求出点M、【解析】(1)∵二次函数y＝ax2+bx的图象过点A(﹣1，3)，顶点B的横坐标为1，则有3=a-b∴二次函数y＝x2﹣2x，(2)由(1)得，B(1，﹣1)，∵A(﹣1，3)，∴直线AB解析式为y＝﹣2x+1，AB＝25，设点Q(m，0)，P(n，n2﹣2n)∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有m+n2=0n2-2n∴P(1+3，2)和(1-3，②当AB为边时，根据中点坐标公式得n+12=m-12∴P(1+5，4)或(1-5，故答案为P(1+3，2)或(1-3，2)或P(1+5，4)或(1-(3)设T(m，m2﹣2m)，∵TM⊥OC，∴可以设直线TM为y=-1kx+b，则m2﹣2m=-1km+b，b＝m由y=kxy=-1k∴OM=x2+y2=k∴ON∴k=12时，∴当k=12时，点T运动的过程中，培优训练培优训练1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B(3，0)，C(0，﹣3)，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．(3)若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)设点P(p，p2﹣2p﹣3)，由三角形的面积公式可求解；(3)利用二次函数的性质先求点P坐标，分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．【解析】(1)∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B(3，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴点A(﹣1，0)，∴AB＝4，设点P(p，p2﹣2p﹣3)，∵△PAB的面积为8，∴×4×|p2﹣2p﹣3|＝8，∴p2﹣2p﹣3＝4或p2﹣2p﹣3＝﹣4，∴p1＝2+1，p2＝﹣2+1，p3＝1，∴点P坐标为(2+1，4)或(﹣2+1，4)或(1，﹣4)；(3)如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于E，∵点B(3，0)，C(0，﹣3)，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设点P(a，a2﹣2a﹣3)，则点E(a，a﹣3)，∴PE＝a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)＝﹣a2+3a，∴S△BCP＝×(﹣a2+3a)×3＝﹣(a﹣)2+，∴当a＝时，S△BCP有最大值，即点P到直线BC的距离最大，此时点P(，﹣)，设点N(1，n)，点Q(m，m2﹣2m﹣3)，若CP为边，CN为边时，则CQ与NP互相平分，∴，∴m＝，∴点Q(，﹣)，若CP为边，CQ为边时，则CN与PQ互相平分，∴＝，∴m＝﹣，∴点Q(﹣，﹣)，若CP为对角线，则CP与NQ互相平分，∴，∴m＝，∴点Q(，﹣)，综上所述：点Q坐标为(，﹣)或(﹣，﹣)或(，﹣)．2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A(﹣2，0)，点C的坐标为C(0，6)，对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1＜m＜4)，连接AC，BC，DC，DB．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由题意得出方程组，解方程组即可；(2)过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，求出点B的坐标为(4，0)，由待定系数法求出直线BC的函数表达式为y＝﹣x+6，则点D的坐标为(m，﹣m2+m+6)，点G的坐标为(m，﹣m+6)，求出S△BCD＝﹣m2+6m＝，解方程即可；(3)求出点D的坐标为(3，)，分三种情况，①当DB为对角线时，证出DN∥x轴，则点D与点N关于直线x＝1对称，得出N(﹣1，)求出BM＝4，即可得出答案；②当DM为对角线时，由①得N(﹣1，)，DN＝4，由平行四边形的性质得出DN＝BM＝4，进而得出答案；③当DN为对角线时，点D与点N的纵坐标互为相反数，N(1+，﹣)或N(1﹣，﹣)，再分两种情况解答即可．【解析】(1)由题意得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6；(2)过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：∵点A的坐标为(﹣2，0)，点C的坐标为(0，6)，∴OA＝2，OC＝6，∴S△AOC＝OA•OC＝×2×6＝6，∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点B的坐标为(4，0)，设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，则，解得：，∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣x+6，∵点D的横坐标为m(1＜m＜4)，∴点D的坐标为：(m，﹣m2+m+6)，点G的坐标为：(m，﹣m+6)，∴DG＝﹣m2+m+6﹣(﹣m+6)＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG•CF+DG•BE＝DG×(CF+BE)＝×(﹣m2+3m)×(m+4﹣m)＝﹣m2+6m，∴﹣m2+6m＝，解得：m1＝1(不合题意舍去)，m2＝3，∴m的值为3；(3)由(2)得：m＝3，﹣m2+m+6＝﹣×32+×3+6＝，∴点D的坐标为：(3，)，分三种情况讨论：①当DB为对角线时，如图2所示：∵四边形BDNM是平行四边形，∴DN∥BM，∴DN∥x轴，∴点D与点N关于直线x＝1对称，∴N(﹣1，)，∴DN＝3﹣(﹣1)＝4，∴BM＝4，∵B(4，0)，∴M(8，0)；②当DM为对角线时，如图3所示：由①得：N(﹣1，)，DN＝4，∵四边形BDNM是平行四边形，∴DN＝BM＝4，∵B(4，0)，∴M(0，0)；③当DN为对角线时，∵四边形BDNM是平行四边形，∴DM＝BN，DM∥BN，∴∠DMB＝∠MBN，∴点D与点N的纵坐标互为相反数，∵点D(3，)，∴点N的纵坐标为：﹣，将y＝﹣代入y＝﹣x2+x+6中，得：﹣x2+x+6＝﹣，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，当x＝1+时，如图4所示：则N(1+，﹣)，分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q，在Rt△DEM和Rt△NQB中，，∴Rt△DEM≌Rt△NQB(HL)，∴BQ＝EM，∵BQ＝1+﹣4＝﹣3，∴EM＝﹣3，∵E(3，0)，∴M(，0)；当x＝1﹣时，如图5所示：则N(1﹣，﹣)，同理得点M(﹣，0)；综上所述，点M的坐标为(8，0)或(0，0)或(，0)或(﹣，0)．3．如图1(注：与图2完全相同)所示，抛物线y＝﹣+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)【分析】(1)用待定系数法解答便可；(2)求出抛物线与坐标轴的交点A、C坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；(3)分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．【解析】(1)把B(3，0)和D(﹣2，﹣)代入抛物线的解析式得，，解得，，∴抛物线的解析式为：；(2)令x＝0，得＝，∴，令y＝0，得＝0，解得，x＝﹣1，或x＝3，∴A(﹣1，0)，∵＝，∴M(1，2)，∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOB＝＝；(3)设Q(0，n)，①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，a)．P点在Q点左边时，则P(﹣4，n)，把P(﹣4，n)代入，得n＝，∴P(﹣4，﹣)；②当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，当P点在Q点右边时，则P(4，n)，把P(4，n)代入，得n＝，∴P(4，﹣)；③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，则E(1，0)，∵PE＝QE，∴P(2，﹣n)，把P(2，﹣n)代入，得﹣n＝，∴n＝﹣，∴P(2，)．综上，满足条件的P点坐标为：(﹣4，﹣)或(4，﹣)或(2，)．4．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．顶点为点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；(4)已知点H(0，)，G(2，0)，在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)因为抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，可以假设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x﹣3)，利用待定系数法解决问题即可．(2)求出点E的坐标即可解决问题．(3)分点P在x轴的上方或下方，点P的纵坐标为1或﹣1，利用待定系数法求解即可．(4)如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．求出直线HB的解析式，可得点F的坐标，设K(x，y)，作直线y＝，过点K作KM⊥直线y＝于M．证明KF＝KM，利用垂线段最短解决问题即可．【解析】(1)因为抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，∴可以假设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x﹣3)，把C(0，3)代入，可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3．(2)如图1中，连接AC，BC．∵S△ACE：S△CEB＝3：5，∴AE：EB＝3：5，∵AB＝4，∴AE＝4×＝，∴OE＝0.5，设直线CE的解析式为y＝kx+b′，则有，解得，∴直线EC的解析式为y＝﹣6x+3．(3)由题意C(0，3)，D(1，4)．观察图像可知CD只能说平行四边形的边，不可能是对角线，当四边形P1Q1CD，四边形P2Q2CD是平行四边形时，点P的纵坐标为1，当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，解得x＝1±，∴P1(1+，1)，P2(1﹣，1)，当四边形P3Q3DC，四边形P4Q4DC是平行四边形时，点P的纵坐标为﹣1，当y＝﹣1时，﹣x2+2x+3＝﹣1，解得x＝1±，∴P1(1+，﹣1)，P2(1﹣，﹣1)，综上所述，满足条件的点P的坐标为(1+，1)或(1﹣，1)或(1﹣，﹣1)或(1+，﹣1)．(4)如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．∵H(0，)，B(3，0)，∴直线BH的解析式为y＝﹣x+，∵x＝1时，y＝，∴F(1，)，设K(x，y)，作直线y＝，过点K作KM⊥直线y＝于M．∵KF＝，y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴(x﹣1)2＝4﹣y，∴KF＝＝＝|y﹣|，∵KM＝|y﹣|，∴KF＝KM，∴KG+KF＝KG+KM，根据垂线段最短可知，当G，K，M共线，且垂直直线y＝时，GK+KM的值最小，最小值为，此时K(2，3)．5．如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点(B'在B的右侧)，顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；(3)在(2)的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】(1)令x＝0或y1＝0，解方程可得结论．(2)设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣(x﹣a)2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．构建方程组解决问题即可．(3)观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．分别令y1和y2等于3或﹣3，解方程即可解决问题．【解析】(1)对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，令x＝0，得到y1＝3，∴C(0，3)．(2)设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣(x﹣a)2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．∵D′是抛物线的顶点，∴D′B＝D′B′，D′(a，b)，∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，∴BH＝HB′，∴D′H＝BH＝HB′＝b，∴a＝1+b，又∵y2＝﹣(x﹣a)2+b，经过B(1，0)，∴b＝(1﹣a)2，解得a＝2或1(不合题意舍弃)，b＝1，∴B′(3，0)，y2＝﹣(x﹣2)2+1＝﹣x2+4x﹣3．(3)如图2中，观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1(﹣2，3)，令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1，可得P2(﹣1﹣，﹣3)，P3(﹣1+，﹣3)，对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4(0，﹣3)，P5(4，﹣3)，综上所述，满足条件的点P的坐标为(﹣2，3)或(﹣1﹣，﹣3)或(﹣1+，﹣3)或(0，﹣3)或(4，﹣3)．6．如图，抛物线过点A(0，1)和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B(，0)，平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．(1)求点F的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．【分析】(1)由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣(﹣)，求出a的值，则可得出答案；(2)设P(n，﹣n2+2n+1)，作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'(n，﹣n+1)，得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；(3)联立直线AC和抛物线解析式求出C(，﹣)，设Q(，m)，分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．【解析】(1)设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，∵A(0，1)，B(，0)，设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为(，﹣)，又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，∵四边形DBFE为平行四边形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣(﹣)，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；(2)设P(n，﹣n2+2n+1)，作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'(n，﹣n+1)，∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣+，∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P(，)．(3)∵，∴x＝0或x＝，∴C(，﹣)，设Q(，m)，①当AQ为对角线时，∴R(﹣)，∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②当AR为对角线时，∴R()，∵R在抛物线y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q(，﹣10)，R()．综上所述，Q，R；或Q(，﹣10)，R()．7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B(5，0)及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b(k≠0)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【分析】(1)将A(1，0)和点B(5，0)代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可；(2)作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP，利用二次函数求最值；(3)过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N(m，﹣m2+6m﹣5)，则F(m，m﹣5)，从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标．【解析】(1)将A(1，0)和点B(5，0)代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，(2)作ED⊥x轴于D，由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，∵B(5，0)，C(0，﹣5)，∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，∴ED＝sin45°×2t＝，∴S△BEP＝＝﹣，当t＝﹣时，S△BEP最大为2．∴当t＝2时，S△BEP最大为2．(3)过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N(m，﹣m2+6m﹣5)，则F(m，m﹣5)，∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，∴m1＝1(舍)，m2＝4，或m3＝，m4＝，∴点N的横坐标为：4或或．8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．(1)求此抛物线的解析式；(2)请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．【分析】(1)将点A(﹣3，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式；(2)先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P(m，﹣m2+m+4)，Q(m，﹣m+4)，由面积S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣(m﹣2)2+，所以当m＝2时，PN有最大值，P(2，)；(3)由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t(t＞0)个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D(3，2)，由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F(﹣，﹣)；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F(，﹣)；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F(﹣，﹣)．【解析】(1)将点A(﹣3，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx+4，得：，解得：，∴y＝﹣x2+x+4；(2)∵抛物线与y轴交于点C，∴C(0，4)，设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B与点C代入可得，，解得，∴y＝﹣x+4，∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，∴P(m，﹣m2+m+4)，Q(m，﹣m+4)，∴S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，∵B(4，0)，C(0，4)，∴BC＝8，∴8PN＝(﹣m2+m+4+m﹣4)×4，∴PN＝﹣(m﹣2)2+，∴当m＝2时，PN有最大值，∴P(2，)；(3)y＝﹣x2+x+4＝﹣+，∵抛物线沿着射线CB的方向平移，设抛物线沿x轴正方向平移t(t＞0)个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，∵新抛物线y'过原点，∴0＝﹣+﹣t，解得t＝2或t＝﹣6(舍)，∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，∴x＝3，∴D(3，2)，∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝，∴E点的横坐标为，∵点F为新抛物线y'上一动点，设F点横坐标为n，①当AE与DF为平行四边形的对角线时，∴﹣3+＝n+3，∴n＝﹣，∴F(﹣，﹣)；②当AF与ED为平行四边形对角线时，∴﹣3+n＝3+，∴n＝，∴F(，﹣)；③当AD与EF为平行四边形对角线时，∴﹣3+3＝n+，∴n＝﹣，∴F(﹣，﹣)；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为(﹣，﹣)或(，﹣)或(﹣，﹣)．9．如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点(1，﹣3)和(﹣4，12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．(1)求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；(2)若抛物线N：y＝﹣(x﹣h)2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；(2)先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值．【解析】(1)将(1，﹣3)，(﹣4，12)代入y＝ax2+bx+b﹣a，得，解得，∴，∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．(2)存在．∵，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C(0，﹣2)，B(4，0)，设，，当四边形BCFE是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，(①+④)÷2得⑤，(④﹣①)÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝±，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，(①+④)÷2得⑤，(④﹣①)÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得，综上，h的值为或±．10．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(﹣，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．(1)填空：△ABC的形状是直角三角形．(2)求抛物线的解析式；(3)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；(4)M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．【分析】(1)由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；(2)用待定系数法即可求解；(3)当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；(4)当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M(N)向上平移2个单位得到点N(M)，进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．【解析】(1)由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC为直角三角形，故答案为：直角三角形；(2)由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①；(3)由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②，当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，则△＝()2﹣4×(﹣)(3﹣c)＝0，解得：c＝，将c的值代入③式并解得x＝，故点P的坐标为(，)；(4)由抛物线的表达式知，点E的坐标为(，4)，∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D(，2)，设点M的坐标为(m，﹣m+3)，点N的坐标为(n，﹣n2+n+3)，①当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M(N)向上平移2个单位得到点N(M)，则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，解得：m＝(舍去)或2或；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，解得m＝(舍去)或0，综上，m＝0或2或或，故点M的坐标为(0，3)或(2，1)或(，)或(，)．11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法可找出顶点的坐标；(2)根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为(t，0)，则点N的坐标为(t，t﹣3)，H(t，t2﹣2t﹣3)，根据两点的距离公式可得NH的长，利用三角形的面积公式可得S与t的关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；(3)分两种情况：①Q在x轴的上方时，根据A和C坐标平移规律可确定点Q的纵坐标为3，代入抛物线的解析式得Q的横坐标，从而知P的横坐标；②Q在x轴的下方，同理可得结论．【解析】(1)把点A(﹣1，0)，点C(0，﹣3)代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：1-解得：b=-∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴顶点的坐标为(1，﹣4)；(2)如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d(k≠0)，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B(3，0)，将B(3，0)，C(0，﹣3)代入y＝kx+d中，得：3k+d=0d=-3，解得：k=1∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵OP＝t，设点P的坐标为(t，0)，则点N的坐标为(t，t﹣3)，H(t，t2﹣2t﹣3)，∴NH＝t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)＝﹣t2+3t，∴S＝S△BCH=12NH•OB=3∵0≤t≤3，-3∴当t=32时，S取最大值，最大值为(3)分两种情况：①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形，根据A(﹣1，0)和C(0，﹣3)可知：点Q的纵坐标为3，当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+7，x2＝1-∴P(2+7，0)或(2-7，②当Q在x轴的下方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，当y＝﹣3时，由对称得：Q(2，﹣3)，∴P(1，0)；综上，P点的坐标为(2+7，0)或(2-7，0)或(1，12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，﹣4)．(1)点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(4，0)，线段AC的长为25，抛物线的解析式为y=12x2﹣x﹣4(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4-12m(0＜m＜2)时，试比较f的对应函数值f1和f【分析】(1)由题意得：﹣8a＝﹣4，故a=1(2)①分BC是平行四边形的一条边时、BC是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即可．②证明△EPH∽△CBA，∴EPAC=PHAB，即：EP2【解析】(1)由题意得：﹣8a＝﹣4，故a=1故抛物线的表达式为：y=12x2﹣x﹣令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为(﹣2，0)、(4，0)，则AC＝25，故答案为：(﹣2，0)、(4，0)、25、y=12x2﹣x﹣(2)①当BC是平行四边形的一条边时，如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设：点P(n，12n2﹣n﹣4)，点Q(m，0则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，即：n+4＝m，12n2﹣n﹣4+4＝0解得：m＝4或6(舍去4)，即点Q(6，0)；当BC是平行四边形的对角线时，设点P(m，n)、点Q(s，0)，其中n=12m2﹣m﹣由中点公式可得：m+s＝4，n+0＝﹣4，解得：s＝2或4(舍去4)，故点Q(2，0)；故点Q的坐标为(2，0)或(6，0)；②如图2，针对于抛物线y=12x2﹣x﹣4，令x＝0，则y＝﹣∴C(0，﹣4)∵B(4，0)，∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，过点P作PH∥x轴交BC于点H，∵PE∥AC轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHE＝∠ABC＝45°，∴△EPH∽△CAB，∴EPAC=PH则EP=53设点P(t，yP)，∵点P在抛物线y=12x2﹣x﹣∴yP=12t2﹣t设点H(xH，yP)，∵点H在直线y＝x﹣4上，∴yP＝xH﹣4则12t2﹣t﹣4＝xH﹣4则xH=12t2﹣f=53PH=53[t﹣(12t2﹣t)]=-5当t＝m时，f1=-56(m2﹣当t＝4-12m时，f2=-56(则f1﹣f2=-58m(则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f1＞f2．13．抛物线y＝﹣x2+2x+n经过点M(﹣1，0)，顶点为C．(1)求点C的坐标；(2)设直线y＝2x与抛物线交于A、B两点(点A在点B的左侧)．①在抛物线的对称轴上是否存在点G．使∠AGC＝∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；②点P在直线y＝2x上，点Q在抛物线上，当以O，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．【分析】(1)直接把M的坐标代入抛物线的解析式即可求出n的值，再利用配方法求顶点C的坐标；(2)①如图1，作辅助线，构建相似三角形，设G(1，a)，列方程组求出A、B两点的坐标，根据坐标表示线段的长，证明△APG∽△BQG，列式例式可求出点G的坐标；②设P(m，2m)，根据平行四边形的性质得P、Q两点的纵坐标相等，根据P的纵坐标表示出点Q的纵坐标，分三种情况讨论：i)当四边形OMQP是平行四边形时，如图2；ii)当四边形OMPQ是平行四边形，如图3；iii)当OM是对角线时，如图4，分别表示出点Q的坐标后代入抛物线的解析式可得出点Q的坐标．【解析】(1)把M(﹣1，0)代入y＝﹣x2+2x+n中得：﹣1﹣2+n＝0，n＝3，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x2﹣2x+1﹣1)+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴C(1，4)；(2)①如图1，存在点G，使∠AGC＝∠BGC，分别过A、B两点作对称轴x＝1的垂线AP和BQ，垂足分别为P、Q，设G(1，a)，则y=-解得：x1=3∴A(-3，﹣23)，B(3，23∵∠AGC＝∠BGC，∠APG＝∠BQG＝90°，∴△APG∽△BQG，∴APBQ∴3+1a＝6，∴G(1，6)；②设P(m，2m)i)当四边形OMQP是平行四边形时，如图2，则Q(m﹣1，2m)，∵点Q在抛物线上，∴2m＝﹣(m﹣1)2+2(m﹣1)+3，解得：m＝0或2，∴Q1(﹣1，0)(舍)，Q2(1，4)，ii)当四边形OMPQ是平行四边形，如图3，则Q(m+1，2m)，∵点Q在抛物线上，∴2m＝﹣(m+1)2+2(m+1)+3，解得：m＝﹣1±5∴Q3(-5，﹣2﹣25)，Q4(5，﹣2+25iii)当OM是对角线时，如图4，分别过P、Q作x轴的垂线，垂足分别为G、H，∵四边形MPOQ是平行四边形，可得△PGM≌△QHO，∴GM＝OH＝﹣m﹣1，QH＝PG＝﹣2m，∴Q(﹣m﹣1，﹣2m)，∵点Q在抛物线上，∴﹣2m＝﹣(﹣m﹣1)2+2(﹣m﹣1)+3，解得：m＝0或﹣2，∴Q5(﹣1，0)(舍)，Q6(1，4)，综上所述，点Q的坐标是：(1，4)或(-5，﹣2﹣25)或(5，﹣2+2514图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与x轴交于点A(4，0)与y轴交于点B(0，8)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)若点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，当四边形PCOD的邻边之比为2：1时，求线段PC的长．(3)若点Q是平面内任意一点，是否存在以A，O，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)设点P(x，﹣2x+8)，可得OC＝x，PC＝﹣2x+8，由线段的数量关系可求解；(3)分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．【解析】(1)∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点A(4，0)与y轴交于点B(0，8)，∴b=80=4k+b解得：k=-∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8；(2)设点P(x，﹣2x+8)，∴OC＝x，PC＝﹣2x+8，∵四边形PCOD的邻边之比为2：1，∴OC＝2PC或PC＝2OC，∴x＝2(﹣2x+8)或﹣2x+8＝2x，∴x=165或x＝∴PC＝4或85(3)设点Q(m，n)，当AB是对角线时，∵四边形AOBQ是平行四边形，∴AB与OQ互相平分，∴0+42=0+m∴m＝4，n＝8，∴点Q(4，8)；当AO是对角线时，∵四边形ABOQ是平行四边形，∴AO与BQ互相平分，∴4+02=0+m∴m＝4，n＝﹣8，∴点Q(4，﹣8)；当OB是对角线时，∵四边形AOQB是平行四边形，∴AQ与BO互相平分，∴4+m2=0+0∴m＝﹣4，n＝8，∴点Q(﹣4，8)，综上所述：点Q的坐标为(4，8)或(4，﹣8)或(﹣4，8)．15．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4(k＜0)交x轴于点A，交y轴于点B．已知△ABO为等腰直角三角形．(1)请直接写出k的值为﹣1；(2)将一次函数y＝kx+4(k≠0)中，直线y＝﹣1下方的部分沿直线y＝﹣1翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为图象G．已知在x轴有一动点P(n，0)，过点P作x轴的垂线，交y=12x+2于点M，交图象G于点N．当点M在点N上方时，且MN＜2(3)记图象G交x轴于另一点C，点D为图象G上一点，点E为图象G的对称轴上一点．当以A，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，则点D的坐标为(5，﹣1)或(3，1)或(7，1)．【分析】(1)对于一次函数y＝kx+4(k＜0)，令x＝0，则y＝4，故点B(0，4)，则OB＝4，而△ABO为等腰直角三角形，故OA＝OB＝4，故点A(4，0)，进而求解；(2)分点P在对称轴左侧、点P在对称轴右侧两种情况，利用图形结合的方法即可求解；(3)分AC是对角线、AC为边两种情况，利用图形结合的方法即可求解．【解析】(1)对于一次函数y＝kx+4(k＜0)，令x＝0，则y＝4，故点B(0，4)，则OB＝4，∵△ABO为等腰直角三角形，故OA＝OB＝4，故点A(4，0)，将点A的坐标代入y＝kx+4并解得k＝﹣1，故答案为﹣1；(2)设图象的翻折点为R，当y＝﹣1时，则﹣x+4＝﹣1，解得x＝5，即点R(5，﹣1)，图象的对称轴为x＝5，①当点P在对称轴左侧时，则图象G的解析式为：y＝﹣x+4，∴点N在直线y＝﹣x+4上运动．当M，N重合时，此时n有最小值为43当MN＝2时，此时n有最大值，则根据题意有：12∴解得n=8∴43②当点P在对称轴右侧时，则图象G的解析式为：y＝x﹣6，∴点N在直线y＝x﹣6上运动．当MN＝2时，此时n有最小值，则根据题意有：12∴解得n＝12，当