专题1二次函数与等腰三角形问题-挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案

挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题1二次函数与等腰三角形问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程(组)、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A(的余弦值)是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长(的平方)就可以罗列出来．图1图2图3

【例1】(2021•朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．【例2】(2021•绥化)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5，0)，点B(1，0)(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限)，当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．【例3】(2021•宿迁)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【例4】(2021•怀化)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【例5】(2021•南充)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【题组一】1．(2021•无为市三模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C．(1)求抛物线的对称轴；(2)当△ABC为等边三角形时，求a的值；(3)直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D(4，3)，点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．2．(2021•渝中区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A(6，0)，B(﹣2，0)两点，与y轴交于点C，D为抛物线顶点，连接AD．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，P为直线AD下方抛物线上的一个动点(不与A、D重合)，连接PA，PD，求△APD面积的最大值及相应点P的坐标；(3)如图3，连接AC，将直线AC沿射线DA方向平移个单位得到直线l，直线l与抛物线的两个交点分别为M，N(M在N的左侧)，在抛物线对称轴上是否存在点K，使△CMK是以KC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2021•广东模拟)如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．4．(2021•北碚区校级模拟)如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4，a)，抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求直线CE的解析式．(2)如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．(3)如图3，连接CD，将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．【题组二】5．(2020•山西模拟)综合与实践如图，抛物线y=34x2−94x−3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点(1)求点A，B，C的坐标；(2)求t为何值时，△BDE是等腰三角形；(3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．6．(2020•三水区一模)如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A(1，0)，B(3，0)，C三点．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．7．(2020•潮南区模拟)如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式．(2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．(3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．8．(2020•南召县一模)如图，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A(3，0)，B(﹣1，0)，与y轴交于点C．若点P，Q同时从A(1)直接写出二次函数的解析式；(2)当P，Q运动到t秒时，将△APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；(3)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．【题组三】9．(2020•番禺区一模)如图，经过原点的抛物线y＝ax2﹣x+b与直线y＝2交于A，C两点，其对称轴是直线x＝2，抛物线与x轴的另一个交点为D，线段AC与y轴交于点B．(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；(2)若点E为线段BC上一点，且EC﹣EA＝2，点P(0，t)为线段OB上不与端点重合的动点，连接PE，过点E作直线PE的垂线交x轴于点F，连接PF，探究在P点运动过程中，线段PE，PF有何数量关系？并证明所探究的结论；(3)设抛物线顶点为M，求当t为何值时，△DMF为等腰三角形？10．(2020春•沙坪坝区校级月考)如图，抛物线y＝ax2−43x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B(﹣1，0)，且抛物线经过点(1)求抛物线的解析式；(2)若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE=12S△ABC，求(3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．11．(2020•贵州省黔东南州中考第25题)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，﹣3)，顶点D的坐标为(1，﹣4)．(1)求抛物线的解析式．(2)在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．12．(2020•山东省枣庄市中考第25题)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题组四】13．(2020•湖北省武汉市中考第24题)将抛物线C：y＝(x﹣2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式；(2)如图(1)，点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；(3)如图(2)，直线y＝kx(k≠0，k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=−4kx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线14．(2021•建华区二模)综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧)．(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．(2021•重庆模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．(1)求该抛物线与直线AC的解析式；(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；(3)将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2+b1x+c1(a≠0)，新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x116．(2021•玄武区二模)已知二次函数y＝x2﹣(2m+2)x+m2+2m(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；(2)二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为B，将二次函数的图象沿y轴翻折，所得图象的顶点为B1，若△ABB1是等边三角形，求m的值．【题组五】17．(2020•桂林)如图，已知抛物线y＝a(x+6)(x﹣2)过点C(0，2)，交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧)，抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．(1)直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．18．(2020•岳阳)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a(x﹣)2+与x轴交于点A(﹣，0)和点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线F1的表达式；(2)如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；②判断△BCD的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．(2020•番禺区一模)如图，经过原点的抛物线y＝ax2﹣x+b与直线y＝2交于A，C两点，其对称轴是直线x＝2，抛物线与x轴的另一个交点为D，线段AC与y轴交于点B．(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；(2)若点E为线段BC上一点，且EC﹣EA＝2，点P(0，t)为线段OB上不与端点重合的动点，连接PE，过点E作直线PE的垂线交x轴于点F，连接PF，探究在P点运动过程中，线段PE，PF有何数量关系？并证明所探究的结论；(3)设抛物线顶点为M，求当t为何值时，△DMF为等腰三角形？20．(2020•义乌市校级模拟)已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c(a＜0)的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C(0，﹣2)，其对称轴与x轴相交于点B．(1)求点B的坐标；(2)若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD＝，求这个二次函数的表达式；(3)已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题1二次函数与等腰三角形问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程(组)、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A(的余弦值)是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长(的平方)就可以罗列出来．图1图2图3

【例1】(2021•朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．【分析】(1)利用待定系数法求解即可．(2)如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P(1，m)．求出PT的长，构建方程求出m即可．(3)分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N(1，t)，设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N(1，n)，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，点C(0，3)的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，对称轴x＝﹣＝1．(2)如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P(1，m)．∵点D与点C关于对称轴对称，C(0，3)，∴D(2，3)，∵B(3，0)，∴T(，)，BD＝＝，∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PT＝BD＝，∴(1﹣)2+(m﹣)2＝()2，解得m＝1或2，∴P(1，1)或(1，2)．(3)当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N(1，t)，设抛物线的对称轴交x轴于E．∵△BMN是等边三角形，∴∠NMB＝∠NBM＝60°，∵∠NBT＝90°，∴∠MBT＝30°，BT＝BN，∵∠NMB＝∠MBT+∠BTM＝60°，∴∠MBT＝∠BTM＝30°，∴MB＝MT＝MN，∵∠NBE+∠TBJ＝90°，∠TBJ+∠BTJ＝90°，∴∠NBE＝∠BTJ，∵∠BEN＝∠TJB＝90°，∴△BEN∽△TJB，∴＝＝＝，∴BJ＝t，TJ＝2，∴T(3+t，2)，∵NM＝MT，∴M(，)，∵点M在y＝﹣x2+2x+3上，∴＝﹣()2+2×+3，整理得，3t2+(4+2)t﹣12+4＝0，解得t＝﹣2(舍弃)或，∴M(，)．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N(1，n)，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．同法可得T(3﹣n，﹣2)，M(，)，则有＝﹣()2+2×+3，整理得，3n2+(2﹣4)n﹣12﹣4＝0，解得n＝或2(舍弃)，∴M(，)，综上所述，满足条件的点M的横坐标为或．【例2】(2021•绥化)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5，0)，点B(1，0)(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限)，当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)分两种情况：①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性即可求得答案，②当DN＝BN时，方法一：N在BD的垂直平分线上，BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，利用三角函数得出sin∠IQB＝＝，运用待定系数法求得yQI＝，通过解方程组即可求得答案；方法二：过点N作DS⊥NT交NT于点S，设N(a，﹣a2﹣4a+5)，D(﹣2，9)，运用两点间距离公式即可求出答案；(3)在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，证明△FPG∽△HRG，设F(m，﹣﹣)，则OP＝﹣m，PF＝m+，运用勾股定理即可求解．【解答】解：(1)将A(﹣5，0)，B(1，0)代入抛物线y＝ax2+bx+5(a≠0)得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+5；(2)∵D(﹣2，9)，B(1，0)，点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，∴此题有两种情形：①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，∴N1(﹣5，0)，②方法一：当DN＝BN时(如图1)，N在BD的垂直平分线上，BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，∴∠OKB＝∠IQB，在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，∴sin∠IQB＝＝，∵I是BD的中点，BD＝3，∴BI＝，∴BQ＝15，∴Q(﹣14，0)，I(，)设yQI＝kx+b，代入得：，解得：，∴yQI＝，联立得：，解得：x＝，∴yQI＝，N2(，)，N3(，)，方法二：如图2，过点N作DS⊥NT交NT于点S，设N(a，﹣a2﹣4a+5)，D(﹣2，9)，∵DN＝DB，∴DS2+SN2＝NT2+TB2，∴(﹣2﹣a)2+(9+a2+4a﹣5)2＝(﹣a2﹣4a+5)2+(1﹣a)2，(2+a)2﹣(1﹣a)2＝(a2+4a﹣5)2﹣(9+a2+4a﹣5)2，(2+a+1﹣a)(2+a﹣1+a)＝(a2+4a﹣5+a2+4a+4)(a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4)，解得：a＝，把a＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣()2﹣4()+5＝，∴N2(，)，N3(，)，综上所述，N1(﹣5，0)，N2(，)，N3(，)；(3)如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，∴∠FGM＝∠FMG，∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，∴△FPG∽△HRG，∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，设F(m，﹣﹣)，则OP＝﹣m，PF＝m+，HR＝2PF＝m+5，∵AP＝m+5，∴AP＝2PF，∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝(2PF﹣MP)2，∴PM＝PF＝×＝m+，∴GP＝m+，∴GR＝2PG＝m+，∴PR＝3PG＝3PM，∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×PF＝＝，∴OR＝，∴H(，m+5)，∵B(1，0)，D(﹣2，9)，∴BD解析式为：yBD＝﹣3x+3，把H代入上式并解得：m＝﹣，再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，∴F(﹣，﹣)．【例3】(2021•宿迁)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【分析】(1)根据两点式可直接求得抛物线表达式；(2)易证△AOC∽△COB，从而得出∠BAP＝45°，结合P点在抛物线上，可求P坐标；(3)设PH与x轴的交点为Q，P(a，)则H(a，)，PH＝．分三种情况讨论：①FP＝FH，易证∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，所以tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，即AQ＝2PQ，从而可解出P的坐标和PH的长；②PF＝PH，∠CFA＝∠PFH＝∠PHF＝∠BHQ＝∠FCO，在Rt△ACF中，可求CF长度，进而求出F坐标，直线AF的解析式，联立抛物线解析式可求a；③HF＝HP，由∠AFC＝∠PFH＝∠PHF，易证AP平分∠CAB，过C作CE∥AB交AP于E，则CE＝AE＝，进而求出E坐标，直线AE的解析式，联立抛物线解析式可求a．【解答】解：(1)∵A(﹣1，0)，B(4，0)是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，∴根据抛物线的两点式知，y＝．(2)根据抛物线表达式可求C(0，2)，即OC＝2．∴＝＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO，∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，设P(m，n)，且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，又∵P在抛物线上，∴②，联立①②两式，解得m＝6(﹣1舍去)，此时n＝﹣7，∴点P的坐标是(6，﹣7)．(3)设PH与x轴的交点为Q，P(a，)，则H(a，)，PH＝，若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，∴AQ＝2PQ，即a+1＝2()，解得a＝3(﹣1舍去)，此时PH＝．若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，∴∠CFA＝∠QHB，又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，∴△ACF∽△BQH，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F(1，)，∴AF：，将上式和抛物线解析式联立并解得x＝(﹣1舍去)，此时PH＝．若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E(见上图)，∵∠CAF+∠CFA＝90°，∠PAQ+∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠PAQ，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E(，2)，∴AE：，联立抛物线解析式，解得x＝5﹣(﹣1舍去)．此时PH＝．∴当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；【例4】(2021•怀化)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解；(3)作点C关于函数对称轴的对称点C′(2，8)，作点D关于x轴的对称点D′(0，﹣4)，连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，进而求解；(4)分两种情况，证明△ANQ≌△QMC(AAS)，则QN＝CM，即可求解．【解答】解：(1)由题意得，点A、B、C的坐标分别为(﹣2，0)、(4，0)、(0，8)，设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；(2)存在，理由：当∠CP′M为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，则点P′的坐标为(1，8)；当∠PCM为直角时，在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，则PM＝＝＝，则PN＝MN+PM＝6+＝，故点P的坐标为(1，)，故点P的坐标为(1，8)或(1，)；(3)∵D为CO的中点，则点D(0，4)，作点C关于函数对称轴的对称点C′(2，8)，作点D关于x轴的对称点D′(0，﹣4)，连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，故点E、F的坐标分别为(，0)、(1，2)；G走过的最短路程为C′D′＝＝2；(4)存在，理由：①当点Q在y轴的右侧时，设点Q的坐标为(x，﹣x2+2x+8)，故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC(AAS)，∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝(不合题意的值已舍去)，故点Q的坐标为(，)；②当点Q在y轴的左侧时，同理可得，点Q的坐标为(，)．综上，点Q的坐标为(，)或(，)．【例5】(2021•南充)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)设点P的坐标为(x，﹣x+4)，则点Q的坐标为(x，x2﹣5x+4)，则PQ＝(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)＝﹣x2+4x，进而求解；(3)当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为(5，4)，再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．【解答】解：(1)由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；(2)对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，故点B的坐标为(4，0)，点C(0，4)，设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为(x，﹣x+4)，则点Q的坐标为(x，x2﹣5x+4)，则PQ＝(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，此时点Q的坐标为(2，﹣2)；∵PQ＝CO，PQ∥OC，故四边形OCPQ为平行四边形；(3)∵D是OC的中点，则点D(0，2)，由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，而∠DQE＝2∠ODQ．∴∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，故设直线QE的表达式为y＝2x+r，将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，联立①②并解得(不合题意的值已舍去)，故点E的坐标为(5，4)，设点F的坐标为(0，m)，由点B、E的坐标得：BE2＝(5﹣4)2+(4﹣0)2＝17，同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；当BE＝EF时，即25+(m﹣4)2＝17，方程无解；当BF＝EF时，即16+m2＝25+(m﹣4)2，解得m＝；故点F的坐标为(0，1)或(0，﹣1)或(0，)．【题组一】1．(2021•无为市三模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C．(1)求抛物线的对称轴；(2)当△ABC为等边三角形时，求a的值；(3)直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D(4，3)，点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【分析】(1)根据对称轴直线公式直接代入系数即可；(2)若△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标等于AB，即可求出a值；(3)把D点代入解析式可求出抛物线解析式，A点坐标和D点坐标可确定直线解析式，设出P点坐标，分别用P点横坐标字母表示出PM和PN，利用二次函数性质求出最值即可．【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)，∴对称轴为直线x＝﹣＝2，即对称轴为直线x＝2；(2)当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)，当△ABC为等边三角形时，抛物线开口向上，∴C点的横坐标为＝2，纵坐标为﹣AC•sin60°＝﹣AB•sin60°＝﹣AB＝×(3﹣1)＝﹣，即C(2，﹣)，把C点坐标代入抛物线得﹣＝4a﹣8a+3a，解得a＝；(3)∵A(1，0)，D(4，3)在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣1，∵抛物线过点D(4，3)，∴3＝16a﹣16a+3a，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，∵PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，∴设P点坐标为(m，m2﹣4m+3)，M点坐标为(m，m﹣1)，∵点P与N的纵坐标相同，∴m2﹣4m+3＝xN﹣1，∴xN＝m2﹣4m+4，∴PM＝yM﹣yP＝m﹣1﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+5m﹣4，PN＝xP﹣xN＝m﹣m2+4m﹣4＝﹣m2+5m﹣4，∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4＝﹣2(m﹣)2+，∴当m＝时，W有最大值，最大值为．2．(2021•渝中区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A(6，0)，B(﹣2，0)两点，与y轴交于点C，D为抛物线顶点，连接AD．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，P为直线AD下方抛物线上的一个动点(不与A、D重合)，连接PA，PD，求△APD面积的最大值及相应点P的坐标；(3)如图3，连接AC，将直线AC沿射线DA方向平移个单位得到直线l，直线l与抛物线的两个交点分别为M，N(M在N的左侧)，在抛物线对称轴上是否存在点K，使△CMK是以KC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)A(6，0)、B(﹣2，0)代入即可；(2)先求出直线AD的解析式y＝2x﹣12，过点P作x轴垂线交AD于点H，设P(t，t2﹣2t﹣6)，则H(t，2t﹣12)，△APD面积＝×HP×(6﹣2)＝﹣(t﹣4)2+4，则当t＝4时，△APD面积最大为4，此时P(4，﹣6)；(3)先求直线AC的解析式为y＝x﹣6，由于沿射线DA方向平移个单位，则向x轴正方向平移个单位，向y轴正方向平移27个单位，平移后直线l为y＝x+，联立x+＝x2﹣2x﹣6，可求M(﹣3，)，设K(2，q)，分两种情况①MC＝CK，9+＝4+(q+6)2，可求K(2，﹣6)；②CK＝MK，4+(q+6)2＝25+，可求K(2，)．【解答】解：(1)将A(6，0)、B(﹣2，0)代入，得，解得，∴；(2)由题可知C(0，﹣6)，D(2，﹣8)，设直线AD的解析式为y＝kx+m，则有，解得，∴y＝2x﹣12，过点P作x轴垂线交AD于点H，设P(t，t2﹣2t﹣6)，则H(t，2t﹣12)，△APD面积＝×HP×(6﹣2)＝2(2t﹣12﹣t2+2t+6)＝﹣t2+8t﹣12＝﹣(t﹣4)2+4，∴当t＝4时，△APD面积最大为4，∴P(4，﹣6)；(3)K点存在两个，理由如下：设直线AC的解析式为y＝hx+n，将点A与C代入可得，解得，∴y＝x﹣6，∵沿射线DA方向平移个单位，则向x轴正方向平移个单位，向y轴正方向平移27个单位，∴平移后直线l为y＝x+，联立x+＝x2﹣2x﹣6，解得x＝﹣3或x＝9，∵M在N的左侧，∴M(﹣3，)，∵的对称轴为直线x＝2，设K(2，q)，∵△CMK是以KC为腰的等腰三角形，分两种情况：①MC＝CK，9+＝4+(q+6)2，∴q＝﹣6，∴K(2，﹣6)；②CK＝MK，4+(q+6)2＝25+，∴q＝，∴K(2，)；综上所述：使△CMK是以KC为腰的等腰三角形时，K的坐标为(2，﹣6)或(2，)．3．(2021•广东模拟)如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】(1)由对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即可求b的值；(2)A(﹣﹣2，0)，B(﹣+2，0)，则BA＝4，所以△ABC的面积＝×4×1＝2；(3)设E(﹣，t)，分三种情况：①CD＝CE，则有3+9＝3+(t+1)2，求得E(﹣，2)；②CD＝DE，则有3+9＝(t+4)2，求得E(﹣，2﹣4)或E(﹣，﹣2﹣4)；③CE＝DE，则有3+(t+1)2＝(t+4)2，求得E(，﹣2)．【解答】解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴b＝2，∴y＝x2+2x﹣1；(2)令x2+2x﹣1＝0，∴x＝﹣+2或x＝﹣﹣2，∴A(﹣﹣2，0)，B(﹣+2，0)，∴BA＝4，∴△ABC的面积＝×4×1＝2；(3)点E存在，理由如下：设E(﹣，t)，由y＝x2+2x﹣1，可求C(0，﹣1)，D(﹣，﹣4)，△CDE为等腰三角形，分三种情况：①CD＝CE，∴3+9＝3+(t+1)2，∴t＝2或t＝﹣4，∴E(﹣，2)或E(﹣，﹣4)(舍)；②CD＝DE，3+9＝(t+4)2，∴t＝2﹣4或t＝﹣2﹣4，∴E(﹣，2﹣4)或E(﹣，﹣2﹣4)；③CE＝DE，3+(t+1)2＝(t+4)2，∴t＝﹣2，∴E(﹣，﹣2)；综上所述：得△CDE为等腰三角形时，E点坐标为(﹣，2)或(﹣，2﹣4)或(﹣，﹣2﹣4)或(﹣，﹣2)．4．(2021•北碚区校级模拟)如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4，a)，抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求直线CE的解析式．(2)如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．(3)如图3，连接CD，将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．【分析】(1)抛物线的解析式可变形为y＝(x+1)(x﹣3)，从而可得点A和点B的坐标，然后再求出点C和点E的坐标，设直线CE的解析式为y＝kx+b，将点C和点E的坐标代入求得k和b的值，即可得出CE的解析式；(2)由直线CE的解析式可求出点F的坐标；过点P作x轴的垂线，交CE于点M，设点P的横坐标为m，表达出点P和点M的坐标，利用铅垂法表达△PCF的面积，再利用二次函数的性质求出△PCF的最大值及点P的坐标；(3)由平移后的抛物线经过点D，可得点H的坐标，点Q的坐标；分DQ＝DG，QD＝QG，GD＝GQ三种情况结合背景图形，解直角三角形即可得到点G的坐标．【解答】解：(1)抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，令x＝0，则y＝﹣；令y＝0，则y＝(x+1)(x﹣3)＝0，则x＝﹣1或x＝3；∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣)，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4，a)，∴a＝×42﹣×4﹣，即a＝，∴E(4，)，设直线CE的解析式为：y＝kx+b，∴，解得，∴直线CE的解析式为：y＝x﹣；(2)∵直线CE与x轴交于点F，∴F(，0)，如图，过点P作x轴的垂线，交CE于点M，设点P的横坐标为m，∴P(m，m2﹣m﹣)，M(m，m﹣)，∴MP＝m﹣﹣(m2﹣m﹣)＝﹣m2+m，∴S△PCF＝(xF﹣xC)•MP＝××(﹣m2+m)＝﹣(m﹣2)2+，∴当m＝2时，S△PCF的最大值为，此时P(2，﹣)．(3)在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形，理由如下：∵抛物线y＝x2﹣x﹣＝(x﹣1)2﹣，∴D(1，0)，Q(1，﹣)，∴DQ＝，tan∠OCD＝，∴∠OCD＝30°，抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，如图，则y′的顶点为点H(2，﹣)，∠DQH＝∠OCD＝30°，∴直线QH的解析式为y＝x﹣．①当DG1＝DQ＝时，如图所示，过点G1作G1I⊥DQ于点I，此时∠G1DI＝60°，∴DI＝DG1＝，G1I＝DI＝2，∴G1(3，)；②当QG1＝QD＝时，如图所示，过点G2作G2T⊥DQ于点T，过点G3作G3S⊥DQ于点S，∴G2T＝QG2＝，TQ＝G2T＝2，∴G2(1+，2﹣)；同理可得，G3S＝，SQ＝2，∴G3(1﹣，﹣2﹣)；③当GD＝GQ时，如图所示，此时点G4为DQ的中垂线与直线QH的交点，∴G4的纵坐标为﹣，∴G4(，﹣)；综上，点G的坐标为：(3，)；(1+，2﹣)；(1﹣，﹣2﹣)；(，﹣)．【题组二】5．(2020•山西模拟)综合与实践如图，抛物线y=34x2-94x-3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点(1)求点A，B，C的坐标；(2)求t为何值时，△BDE是等腰三角形；(3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)令x＝0和y＝0，可得方程，解得可求点A，B，C的坐标；(2)分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解；(3)分两种情况讨论，利用锐角三角函数和三角形面积公式可求解．【解答】解：(1)令y＝0，可得0=34x2-解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点A(﹣1，0)，点B(4，0)，令x＝0，可得y＝﹣3，∴点C(0，﹣3)；(2)∵点A(﹣1，0)，点B(4，0)，点C(0，﹣3)，∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，∴BC=OB当BD＝BE时，则5﹣t＝t，∴t=5当BE＝DE时，如图1，过点E作EH⊥BD于H，∴DH＝BH=12BD∵cos∠DBC=BO∴5-t2∴t=25当BD＝DE时，如图2，过点D作DF⊥BE于F，∴EF＝BF=12BE=∵cos∠DBC=BF∴12∴t=40综上所述：t的值为52，2513和(3)∵S△BOC=12BO×∴15S△BOC=65，45S如图1，过点E作EH⊥BD于H，∵sin∠DBC=HE∴HEt∴HE=35当S△BDE=15S△BOC=65时，则12(5﹣t∴t1＝1，t2＝4，当S△BDE=45S△BOC=245，时，则12(5﹣t∴t2﹣5t+16＝0，∴方程无解，综上所述：t的值为1或4．6．(2020•三水区一模)如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A(1，0)，B(3，0)，C三点．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．【分析】(1)利用待定系数法求解可得抛物线的表达式；(2)先求出直线BC的解析式，分三种情况：当PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB时，设P(a，﹣a2+4a﹣3)，可表示出三条线段长，则解方程可求出P点坐标；(3)证得△ABE∽△ACB可得比例线段求出AE长，当△BDE∽△CEB时可求出D点坐标．【解答】解：(1)∵抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A(1，0)，B(3，0)，∴a+b-3=09a+3b-3=0解得：a=-1b=4∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3；(2)存在点P使得△BPQ为等腰三角形，∵B(3，0)，C(0，﹣3)，∴设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴b=-33k+b=0解得：k＝1，b＝﹣3，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设P(a，﹣a2+4a﹣3)，则Q(a，a﹣3)，可分三种情况考虑：①当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称，∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0，解得：a＝2，a＝3(舍去)，∴P(2，1)，②当PQ＝BQ时，(﹣a2+3a)2＝2(a﹣3)2，∴a=2，a=-2(舍去)，∴P(2，42-③当PQ＝PB时，有(﹣a2+3a)2＝(a﹣3)2+(a2﹣4a+3)2，整理得：a2＝1+(a﹣1)2，解得a＝1．∴P(1，0)．综上所述：P点坐标为P1(1，0)，P2(2，1)，P3(2，42-(3)∵△BDE∽△CEB，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴AEAB又∵AC=1+9∴AE=4∵DE∥BC，设D(m，0)，∴AEAC∴210∴m=9∴D(957．(2020•潮南区模拟)如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式．(2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．(3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)设AM＝t则DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB=12×(2﹣t)×2t＝﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N(3)求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；【解答】解：(1)把A(1，0)和C(0，3)代入y＝x2+bx+c，1+b+c=0c=3解得：b=-4c=3∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；(2)如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB=12×(2﹣t)×2t＝﹣t2+2t＝﹣(t即当M(2，0)、N(2，2)或(2，﹣2)时△MNB面积最大，最大面积是1；(3)令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B(3，0)，∴BC＝32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2，①当CP＝CB时，PC＝32，∴OP＝OC+PC＝3+32或OP＝PC﹣OC＝32-∴P1(0，3+32)，P2(0，3﹣32)；②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3(0，﹣3)；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3，∴此时P与O重合，∴P4(0，0)；综上所述，点P的坐标为：(0，3+32)或(0，3﹣32)或(0，﹣3)或(0，0)．8．(2020•南召县一模)如图，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A(3，0)，B(﹣1，0)，与y轴交于点C．若点P，Q同时从A(1)直接写出二次函数的解析式；(2)当P，Q运动到t秒时，将△APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；(3)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A，B两点的坐标代入二次函数解析式中，求得b、c，进而可求解析式；(2)如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQ⊥AP于F，根据轴对称的性质及已知条件可得AP＝AQ＝QD＝DP，那么四边形AQDP为菱形．由FQ∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出AF=35t，FQ=45t，得到Q(3-35t，-45(3)以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①AE＝EQ；②AQ＝EQ；③AE＝AQ．可通过画图得E点大致位置，再利用勾股定理，等腰三角形的性质求解．【解答】解：(1)∵二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A(3，0)，∴12+3b+c=04解得b=-8∴二次函数的解析式为y=4(2)如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQ⊥AP于F，∵AP＝AQ＝t，AP＝DP，AQ＝DQ，∴AP＝AQ＝QD＝DP，∴四边形AQDP为菱形．∵FQ∥OC，∴AFAO∴AF3∴AF=35t∴Q(3-3∵DQ＝AP＝t，∴D(3-3∵D在二次函数y=4∴-4∴t=14564，或t＝0(与∴D(-5(3)存在满足条件的点E，点E的坐标为(-13，0)或(如图，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，∵A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，﹣4)，O(0，0)，∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，∴AC=32+∵QD∥OC，∴QDOC∴QD4∴QD=165，①作AQ的垂直平分线，交x轴于E，此时AE＝EQ，即△AEQ为等腰三角形．设AE＝x，则EQ＝x，DE＝|AD﹣AE|＝|125-∴在Rt△EDQ中，(125-x)2+(165)2＝x2，解得∴OA﹣AE＝3-10∴E(-13，0)，点E在②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE＝QA＝4，∵ED＝AD=12∴AE=24∴OA﹣AE＝3-24∴E(-9③当AE＝AQ＝4时，∵OA﹣AE＝3﹣4＝﹣1，或OA+AE＝7，∴E(﹣1，0)或(7，0)．综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为(-13，0)或(【题组三】9．(2020•番禺区一模)如图，经过原点的抛物线y＝ax2﹣x+b与直线y＝2交于A，C两点，其对称轴是直线x＝2，抛物线与x轴的另一个交点为D，线段AC与y轴交于点B．(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；(2)若点E为线段BC上一点，且EC﹣EA＝2，点P(0，t)为线段OB上不与端点重合的动点，连接PE，过点E作直线PE的垂线交x轴于点F，连接PF，探究在P点运动过程中，线段PE，PF有何数量关系？并证明所探究的结论；(3)设抛物线顶点为M，求当t为何值时，△DMF为等腰三角形？【分析】(1)抛物线过原点，则b＝0，x＝2=--12a，求得a(2)证明△PBE∽△FHE，则PEEF=BEHE=12，故EF＝2PE，再由勾股定理得：PF2＝PE2+FE2＝PE2+(2(3)分FM＝FD、DF＝DM、FM＝DM三种情况，利用三角形相似和勾股定理综合求解即可．【解答】解：(1)抛物线过原点，则b＝0，x＝2=--12a，解得：a故抛物线的表达式为：y=14x2﹣令y=14x2﹣x＝0，解得故点D的坐标为(4，0)；(2)线段PE，PF的数量关系为PF=5PE如图1，设AC的中点为G，则点G(2，2)，则AE+EG＝GC，∴GE+GE＝GE+GC﹣AE＝EC﹣AE＝2，故EG＝1，则点E(1，2)，∴BE＝2﹣1＝1，过点E作EH⊥x轴于点H，∵∠FEH+∠HEP＝90°，∠HEP+∠PEB＝90°，∴∠FEH＝∠PEB，∵∠PBE＝∠FHE＝90°，∴△PBE∽△FHE，∴PEEF=BEHE=在Rt△PEF中，PF2＝PE2+FE2＝PE2+(2PE)2＝5PE2，即PF=5PE(3)由y=14x2﹣x=14(x﹣2)2﹣1知：点①当FM＝FD时，如图2，在△MND中，MD=M在△MNF中，设FM＝FD＝k，由勾股定理得：NF2+MN2＝MF2，即(2﹣k)2+1＝k2，解得：k=5故FM＝FD=54，NF＝2-54=34，则OF故点F(114点P(0，t)，则PB＝2﹣t，而BE＝1，在△PBE中，PE2＝BP2+BE2，即PE2＝1+(2﹣t)2，而PF=5PE，则PF2＝5+5(2﹣t)2在△POF中，OP2+OF2＝PF2，即t2+(114)2＝5(2﹣t)2解得：t=9②当DF＝DM时，如图3，连接MG，由①知DM=5=DF，则OF＝4-5，故点F由①知，PE2＝1+(2﹣t)2，PF2＝5+5(2﹣t)2，在Rt△OPF中，OP2+OF2＝PF2，即t2+(4-5)2＝5(2﹣t)2解得：t=5③当FM＝DM时，根据抛物线的对称性，则点F、O重合，即点F(0，0)，∵PE⊥EF，则点P在AC的上方，这与点P(0，t)为线段OB上的点矛盾，故这种情况不存在；综上，t=98或10．(2020春•沙坪坝区校级月考)如图，抛物线y＝ax2-43x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B(﹣1，0)，且抛物线经过点(1)求抛物线的解析式；(2)若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE=12S△ABC，求(3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．【分析】(1)根据待定系数法可求抛物线的解析式；(2)在y=23x2-43x﹣2中，当y＝0时，23x2-43x﹣2＝0，可得A(3，0)，当x＝0时，y＝﹣2，得到OC＝2，根据待定系数法可求AC的解析式，如图1，过点E作x轴的垂线交直线AC于点F，设点F(a，23a﹣2)，点E(a，23a2-43a﹣2)，其中﹣1＜a(3)如图2，设P(0，m)，则PC＝m+2，OA＝3，根据勾股定理得到AC=22+32=13，①当PA＝CA时，则OP1＝OC＝2，②当PC＝CA=13时，③当PC＝PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到P3(0，5【解答】解：(1)把B(﹣1，0)，D(2，﹣2)代入y＝ax2-43x+c得解得：a=2故抛物线的解析式为y=23x2-(2)当y＝0时，23x2-4解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A(3，0)，∴AB＝4，当x＝0时，y＝﹣2，∴C(0，﹣2)，∴OC＝2，∴S△ABC=1设AC的解析式为y＝kx+b，把A(3，0)，C(0，﹣2)代入y＝kx+b得3k+b=0b=-2解得k=2∴y=23如图1，过点E作x轴的垂线交直线AC于点F，设点F(a，23a﹣2)，点E(a，23a2-43∴S△ACE=12EF|xA﹣xC|=32|23a2∵S△ACE=12S△∴a2﹣3a＝2或﹣a2+3a＝2，解得a1=3+172(舍去)，a2=3-172，∴E1(3-172，1-173)，E2(1，-(3)在y＝ax2+bx﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴C(0，﹣2)，∴OC＝2，如图2，设P(0，m)，则PC＝m+2，OA＝3，AC=2①当PA＝CA时，则OP1＝OC＝2，∴P1(0，2)；②当PC＝CA=13时，即m+2=13，∴m∴P2(0，13-③当PC＝PA时，点P在AC的垂直平分线上，则△AOC∽△P3EC，∴13P∴P3C=13∴m=5∴P3(0，54④当PC＝CA=13时，m＝﹣2-∴P4(0，﹣2-13综上所述，P点的坐标(0，2)或(0，13-2)或(0，54)或(0，﹣211．(2020•贵州省黔东南州中考第25题)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，﹣3)，顶点D的坐标为(1，﹣4)．(1)求抛物线的解析式．(2)在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；(2)先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；(3)利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．【解析】(1)∵抛物线的顶点为(1，﹣4)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2﹣4，将点C(0，﹣3)代入抛物线y＝a(x﹣1)2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3；(2由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B(3，0)，A(﹣1，0)，令x＝0，则y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，∴AC=10设点E(0，m)，则AE=m2+1，CE∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE时，10=∴m＝3或m＝﹣3(点C的纵坐标，舍去)，∴E(0，3)，②当AC＝CE时，10=|m∴m＝﹣3±10，∴E(0，﹣3+10)或(0，﹣3-③当AE＝CE时，m2+1=∴m=-4∴E(0，-4即满足条件的点E的坐标为(0，3)、(0，﹣3+10)、(0，﹣3-10)、(0，(3)如图，存在，∵D(1，﹣4)，∴将线段BD向上平移4个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q(t，4)，将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q(1+22，4)或(1﹣22，4)，分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为(3，0)，且D(1，﹣4)，∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴点P的横坐标为(1+22)﹣2＝﹣1+22或(1﹣22)﹣2＝﹣1﹣22，即P(﹣1+22，0)、Q(1+22，4)或P(﹣1﹣22，0)、Q(1﹣22，4)．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平移的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．12．(2020•山东省枣庄市中考第25题)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m(3)分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．【解析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-故抛物线的表达式为：y=-13x2+(2)由抛物线的表达式知，点C(0，4)，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；设点M(m，0)，则点P(m，-13m2+13m+4)，点Q(∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-1∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m∵-26＜0，故当m＝2时，PN(3)存在，理由：点A、C的坐标分别为(﹣3，0)、(0，4)，则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣(﹣m+4)]2＝25，解得：m＝±52故点Q(522，②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2＝25，解得：m＝1或0(舍去0)，故点Q(1，3)；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2，解得：m=25综上，点Q的坐标为(1，3)或(522，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．【题组四】13．(2020•湖北省武汉市中考第24题)将抛物线C：y＝(x﹣2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式；(2)如图(1)，点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；(3)如图(2)，直线y＝kx(k≠0，k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=-4kx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线【分析】(1)根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；(2)过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，设A(a，(a﹣2)2﹣6)，则BD＝a﹣2，AC＝|(a﹣2)2﹣6|，再证明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性质得a的方程求得a便可得A的坐标；(3)由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M、N点的坐标，进而求得MN的解析式，再根据解析式的特征得出MN经过一个定点．【解析】(1)∵抛物线C：y＝(x﹣2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，∴C1：y＝(x﹣2)2﹣6，∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．∴C2：y＝(x﹣2+2)2﹣6，即y＝x2﹣6；(2)过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，设A(a，(a﹣2)2﹣6)，则BD＝a﹣2，AC＝|(a﹣2)2﹣6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC(AAS)，∴BD＝AC，∴a﹣2＝|(a﹣2)2﹣6|，解得，a＝4，或a＝﹣1(舍)，或a＝0(舍)，或a＝5，∴A(4，﹣2)或(5，3)；(3)把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，∴xE+xF＝k，∴M(k2把y=-4kx代入y＝x2﹣6中得，x2+∴xG∴N(-2k，设MN的解析式为y＝mx+n(m≠0)，则k2m+n=k∴直线MN的解析式为：y=k当x＝0时，y＝2，∴直线MN：y=k即直线MN经过一个定点．【点睛】本题是一个二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法，求函数图象的交点问题，第(2)小题关键是证明三角形全等，第(3)题关键是求出M、N点的坐标及直线MN的解析式．14．(2021•建华区二模)综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧)．(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，