专题15纯函数的计算推理综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（含答案）

挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题15纯函数的计算推理综合问题

【例1】(2021·北京·中考真题)已知二次函数，其对称轴为直线x=t．(1)当a=1，b=4时，t=________；(2)当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t的取值范围是________；(3)已知点C(0，a)，D(2，3a2b)，若此二次函数图象与线段CD有且仅有一个公共点，求t的取值范围．【例2】(2021·江苏泰州·中考真题)二次函数y＝﹣x2+(a﹣1)x+a(a为常数)图象的顶点在y轴右侧．(1)写出该二次函数图象的顶点横坐标(用含a的代数式表示)；(2)该二次函数表达式可变形为y＝﹣(x﹣p)(x﹣a)的形式，求p的值；(3)若点A(m，n)在该二次函数图象上，且n＞0，过点(m+3，0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．【例3】(2021·山东威海·中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示)；(2)若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是；(直接写出结果即可)(3)当时，函数y的最小值等于6，求m的值．【例4】(2021·江苏南京·中考真题)已知二次函数的图像经过两点．(1)求b的值．(2)当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．(3)设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．【例5】(2021·浙江杭州·中考真题)在直角坐标系中，设函数(，是常数，)．(1)若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．(3)已知，当(，是实数，)时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证．【例6】(2021·天津·中考真题)已知抛物线(a，c为常数，)经过点，顶点为D．(Ⅰ)当时，求该抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)当时，点，若，求该抛物线的解析式；(Ⅲ)当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．【例7】(2021·浙江嘉兴·中考真题)已知二次函数．(1)求二次函数图象的顶点坐标；(2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？(3)当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值．【例8】(2021·安徽·中考真题)已知抛物线的对称轴为直线．(1)求a的值；(2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；(3)设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．一、解答题1．(2021·广东·广州市番禺执信中学二模)设抛物线G1：y＝ax2+bx+c(a＞0，c＞1)，当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．(1)试用含a，c的式子表示b；(2)请比较ac和1的大小，并说明理由；(3)若c＝2，点A(x，y1)在抛物线G1上，点B(x，y2)在另一条抛物线G2上，点C(x，x)为平面内一点，若对于任意实数x点A、B到点C的距离都相等，设抛物线G2的顶点为点D，抛物线G1的对称轴与抛物线G2的交点为F，直线DF解析式为y＝mx+n，请求出m的值．2．(2022·福建三明·一模)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-4，0)和点B(5，)(1)求证:a+b=；(2)若抛物线经过点C(4，0)①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD=2∠BAC，求点D的坐标；②直线y=kx-2(k≠0)与抛物线交于M，N两点(点M在点N的左侧)，点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标3．(2020·北京通州·三模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．(1)求点A的坐标和抛物线的对称轴；(2)过点作y轴的垂线l，若抛物线与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且，结合函数的图象，求a得取值范围．4．(2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测)已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，且．对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．作，与交于点，求的最大值，并求此时点的坐标；(3)若直线与抛物线交于，两点，不与，重合)，直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，试探究、之间的数量关系．5．(2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模)已知，二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a≠0)(1)当a为何值时，该函数图象的顶点在x轴上，并写出顶点的坐标；(2)已知点()，(1，0)，(2，－3)，该函数图象过其中的两点，求此函数的解析式；(3)已知a＞0，若点A(b，m)，B(b＋3，n)是该函数图象上的两点，且m＞n，求b的取值范围．6．(2021·浙江·杭州市十三中教育集团(总校)二模)已知二次函数．(1)若二次函数图象的对称轴为直线，求的值；(2)当时，随的增大而减小，求的取值范围；(3)已知，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围．7．(2021·吉林省第二实验学校二模)已知，点是平面直角坐标系内的一点，将点绕坐标原点逆时针旋转得到点，经过、、三点的二次函数的图象记为．(1)若点的坐标为．①点的坐标为___________．②求图象所对应的函数表达式．(2)若点的坐标为，图象所对应的函数表达式为(、为常数，)．写出的值，并用含的代数式表示．(直接写出即可)(3)在(2)的条件下，直线与图象交于点，直线与图象交于点．图象在、之间的部分(包含、两点)记为．①当图象在上的函数值随自变量的增大而增大时，设图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，记，求的取值范围．②连结，当与图象围成的封闭图形与轴交于点(点不与坐标原点重合)．当时，直接写出的取值范围．8．(2021·广东实验中学三模)已知抛物线．(1)试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A；(2)设该抛物线与x轴的另一个交点为B(A与B不重合)，顶点为C，当为直角三角形时，求m的值；(3)在(2)的条件下，若点B在A的右侧，点，点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．9．(2021·浙江·杭州市十三中教育集团(总校)三模)已知二次函数y＝mx2﹣10mx﹣2m2+26．(1)求此二次函数图象的顶点坐标(可用含m的代数式表示)；(2)若二次函数的图象与x轴的一个交点为(﹣2，0)，试求m的值；(3)当m＜0时，若点(n，y1)、(n+2，y2)都在二次函数图象上，且y1＜y2．试求n的取值范围．10．(2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测)在平面直角坐标系中，已知函数(a为常数)．(1)若，①当时，y的取值范围是______；②若时，，则b的取值范围是______；(2)当时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值．(3)设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为，原函数图象未翻折部分记为，与组成的图象记为G，当G在直线与直线之间所夹的图象y随x增大而减小时，直接写出a的取值范围．11．(2021·福建省福州屏东中学二模)已知一条抛物线顶点为，且与轴交于点()(1)当时；①求二次函数解析式；②直线：()过定点与抛物线交于、两点(在右侧)，连接、，若，求直线的解析式；(2)若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且交对称轴于点，点，关于点对称，求证：，，三点共线．12．(2021·江苏工业园区·一模)已知抛物线W：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为．(1)求抛物线W的解析式和顶点坐标；(2)当时，二次函数的最小值为，求a的值．13．(2021·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学一模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点的左边)，与轴交于点．(1)求点，，的坐标；(2)点，在抛物线上，若，则，的大小关系为________；(填上“”，“”或“”)(3)把该抛物线沿轴向上平移个单位后，与坐标轴只有两个公共点，求的值．14．(2021·江苏·苏州市立达中学校二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线．(l)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)①写出抛物线的对称轴________(用含m的式子表示)；②若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为_______________________________；(3)直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当为钝角三角形时，求m的取值范围．15．(2021·江苏·苏州高新区第一初级中学校二模)在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．(1)已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；(2)已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；16．(2021·江苏·南师附中新城初中二模)在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移4个单位长度得到点．(1)直接写出点与点的坐标；(2)若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围．17．(2021·浙江拱墅·二模)设二次函数y＝x2﹣2(m+1)x+3﹣m，其中m是实数．(1)若函数的图象经过点(﹣2，8)，求此函数的表达式；(2)若x＞0时，y随x的增大而增大，求m的最大值．(3)已知A(﹣1，3)，B(2，3)，若该二次函数的图象与线段AB只有一个交点(不包括A，B两个端点)，求m的取值范围．18．(2021·江苏南京·二模)已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a(a为常数，且a≠0)(1)求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．(2)当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．19．(2021·浙江余杭·三模)二次函数的顶点是直线和直线的交点．(1)当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．(2)若直线与交于点．①当时，二次函数的最小值为，求的取值范围．②和为二次函数上的两个点，当时，求的取值范围．20．(2021·浙江·一模)已知关于x的二次函数的图象与关于x的函数的图象交于点．(1)当时，判断的类型；(2)当时，求的长；(3)当，m为任何值时，猜想的长是否不变？并证明你的猜想．注：①平面内两点间的距离公式②方程的两根满足．21．(2021·安徽·合肥市第四十二中学三模)已知直线经过点，与抛物线的对称轴交于点(1)求，的值；(2)抛物线与轴交于且，若，求的最大值；(3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．22．(2021·浙江龙湾·二模)已知抛物线经过点．(1)求的值．(2)若，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点，且，求此抛物线的表达式．23．(2021·湖南长沙·一模)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程的两根分别为：，则方程为“2系方程”．(1)下列方程是“3系方程”的是_________(填序号即可)；①；②；③．(2)若关于x的一元二次方程是“2系方程”．①求证：；②若，且关于x的函数，当时的最大值为1，求a的值．24．(2021·江苏姜堰·二模)在平面直角坐标系中，点、是二次函数图像上的两个点．(1)当时，求该二次函数图像与x轴的交点坐标：(2)当时，①判断的值是否随着a的变化而变化？若不变，求的值；若变化，说明理由；②若，求t的值；(3)若，且，求出所有符合条件的正整数m的值；挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题15纯函数的计算推理综合问题

【例1】(2021·北京·中考真题)已知二次函数，其对称轴为直线x=t．(1)当a=1，b=4时，t=________；(2)当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t的取值范围是________；(3)已知点C(0，a)，D(2，3a2b)，若此二次函数图象与线段CD有且仅有一个公共点，求t的取值范围．【答案】(1)-2；(2)t＞3；(3)t≤【解析】【分析】(1)利用对称轴公式，即可求解；(2)根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B离对称轴更近，进而即可求解；(3)分两种情况①当a＞0时，得到，②当a＜0时，得到，进而即可求解．【详解】解：(1)∵当a=1，b=4时，二次函数，∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，故答案是：-2；(2)∵当a<0时，二次函数的图像开口向下，又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，∴点B离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，∴t＞3，故答案是：t＞3；(3)①当a＞0时，∵C(0，a)在y轴的正半轴，的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD有且仅有一个公共点，∴只要即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，∴≤，即：t=≤，②当a＜0时，同理可得：只要，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，∴≤，即：t=≤，综上所述：t≤．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．【例2】(2021·江苏泰州·中考真题)二次函数y＝﹣x2+(a﹣1)x+a(a为常数)图象的顶点在y轴右侧．(1)写出该二次函数图象的顶点横坐标(用含a的代数式表示)；(2)该二次函数表达式可变形为y＝﹣(x﹣p)(x﹣a)的形式，求p的值；(3)若点A(m，n)在该二次函数图象上，且n＞0，过点(m+3，0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．【答案】(1)；(2)p=-1；(3)1＜2．【解析】【分析】(1)根据顶点坐标公式即可得答案；(2)利用十字相乘法分解因式即可得答案；(3)利用(2)的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点(m+3，0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．【详解】(1)∵二次函数解析式y＝﹣x2+(a﹣1)x+a，∴顶点横坐标为=．(2)∵y＝﹣x2+(a﹣1)x+a==﹣(x﹣p)(x﹣a)，∴p=-1．(3)∵y＝﹣x2+(a﹣1)x+a=，∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(a，0)，∵-1＜0，∴该二次函数的图象开口向下，∵图象的顶点在y轴右侧，∴＞0，∴，∵点A(m，n)在该二次函数图象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，∵过点(m+3，0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，∴≤3，解得：，∴a的范围为1＜≤2．【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．【例3】(2021·山东威海·中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示)；(2)若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是；(直接写出结果即可)(3)当时，函数y的最小值等于6，求m的值．【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或【解析】【分析】(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．【详解】解：(1)由题意可知：抛物线，∴顶点A的坐标为；(2)将代入中，得到，将代入中，得到，由已知条件知：，∴，整理得到：，解得：，故m的取值范围是：；(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，分类讨论：①当，即时，时二次函数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6，∴，解得或，又，故符合题意；②当，即时，时二次函数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6，∴，解得或，又，故或都不符合题意；③当，即时，时二次函数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6，∴，解得或，又，故符合题意；综上所述，或．【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．【例4】(2021·江苏南京·中考真题)已知二次函数的图像经过两点．(1)求b的值．(2)当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．(3)设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．【答案】(1)；(2)1；(3)或．【解析】【分析】(1)将点代入求解即可得；(2)先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；(3)分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：(1)将点代入得：，两式相减得：，解得；(2)由题意得：，由(1)得：，则此函数的顶点的纵坐标为，将点代入得：，解得，则，下面证明对于任意的两个正数，都有，，(当且仅当时，等号成立)，当时，，则(当且仅当，即时，等号成立)，即，故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；(3)由得：，则二次函数的解析式为，由题意，分以下两种情况：①如图，当时，则当时，；当时，，即，解得；②如图，当时，当时，，当时，，解得，综上，的取值范围为或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题(3)，熟练掌握函数图象法是解题关键．【例5】(2021·浙江杭州·中考真题)在直角坐标系中，设函数(，是常数，)．(1)若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．(3)已知，当(，是实数，)时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证．【答案】(1)，顶点坐标是；(2)，，理由见解析；(3)见解析．【解析】【分析】(1)把点和代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；(2)根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；(3)由题意，得，，则有，进而问题可求解．【详解】解：(1)把点和代入得：，解得，∴，则化为顶点式为，∴该函数图象的顶点坐标是；(2)例如，，此时；因为，所以函数图象与轴有两个不同的交点；(3)由题意，得，，∵，∴，由题意，知，所以．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【例6】(2021·天津·中考真题)已知抛物线(a，c为常数，)经过点，顶点为D．(Ⅰ)当时，求该抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)当时，点，若，求该抛物线的解析式；(Ⅲ)当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．【答案】(Ⅰ)抛物线的顶点坐标为；(Ⅱ)或；(Ⅲ)点M的坐标为，点N的坐标为【解析】【分析】(Ⅰ)结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案(Ⅱ)根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得，，从而得到答案；(Ⅲ)当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得；作点F关于x轴的对称点，当满足条件的点M落在线段上时，根据两点之间线段最短的性质，得最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得，从而得直线的解析式，通过计算即可得到答案．【详解】(Ⅰ)当时，抛物线的解析式为．∵抛物线经过点∴解得：∴抛物线的解析式为∵∴抛物线的顶点坐标为；(Ⅱ)当时，由抛物线经过点，可知∴抛物线的解析式为∴抛物线的对称轴为：当时，∴抛物线的顶点D的坐标为；过点D作轴于点G在中，，，∴在中，，，∴．∵，即，∴解得：，∴抛物线的解析式为或．(Ⅲ)当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得．作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为当满足条件的点M落在线段上时，最小，此时，．过点作轴于点H在中，，，∴．又，即．解得：，(舍)∴点的坐标为，点的坐标为．∴直线的解析式为．当时，．∴，∴点M的坐标为，点N的坐标为．【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．【例7】(2021·浙江嘉兴·中考真题)已知二次函数．(1)求二次函数图象的顶点坐标；(2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？(3)当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值．【答案】(1)；(2)函数的最大值为4，最小值为0；(3)或．【解析】【分析】(1)把二次函数配成顶点式即可得出结论；(2)利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值．(3)分t＜0；；三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可．【详解】(1)∵，∴顶点坐标为．(2)∵顶点坐标为，∴当时，，∵当时，随着的增大而增大，∴当时，．∵当时，随着的增大而减小，∴当时，．∴当时，函数的最大值为4，最小值为0．(3)当时，对进行分类讨论．①当时，即，，随着的增大而增大．当时，．∴．∴，解得(不合题意，舍去)．②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴．i)当时，在时，，∴．∴，解得，(不合题意，舍去)．ii)当时在时，，∴．∴，解得，，(不合题意舍去)．③当时，随着的增大而减小，当时，，当时，，∴∴，解得(不合题意，舍去)．综上所述，或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．【例8】(2021·安徽·中考真题)已知抛物线的对称轴为直线．(1)求a的值；(2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；(3)设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．【答案】(1)；(2)，见解析；(3)【解析】【分析】(1)根据对称轴，代值计算即可(2)根据二次函数的增减性分析即可得出结果(3)先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论【详解】解：(1)由题意得：(2)抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．当时，y1随x1的增大而减小，时，，时，同理：时，y2随x2的增大而增大时，．时，(3)令令AB与CD的比值为【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点一、解答题1．(2021·广东·广州市番禺执信中学二模)设抛物线G1：y＝ax2+bx+c(a＞0，c＞1)，当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．(1)试用含a，c的式子表示b；(2)请比较ac和1的大小，并说明理由；(3)若c＝2，点A(x，y1)在抛物线G1上，点B(x，y2)在另一条抛物线G2上，点C(x，x)为平面内一点，若对于任意实数x点A、B到点C的距离都相等，设抛物线G2的顶点为点D，抛物线G1的对称轴与抛物线G2的交点为F，直线DF解析式为y＝mx+n，请求出m的值．【答案】(1)b＝﹣1﹣ac(2)ac≤1，理由见解析(3)1【解析】【分析】(1)将，代入解析式可求解；(2)由时，可确定对称轴和之间关系，即可确定和1的大小；(3)先求出抛物线的解析式，再求出点，点的坐标代入直线解析式可求解．(1)解：当时，，，，，；(2)解：，理由如下：当时，，当时，，二次函数的对称轴为直线，即，；(3)解：当，则抛物线的解析式为，点、到点的距离都相等，，，抛物线的解析式为，点，，抛物线的对称轴为直线，点，，直线解析式为，，解得：，的值为1．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是求出抛物线的解析式．2．(2022·福建三明·一模)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-4，0)和点B(5，)(1)求证:a+b=；(2)若抛物线经过点C(4，0)①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD=2∠BAC，求点D的坐标；②直线y=kx-2(k≠0)与抛物线交于M，N两点(点M在点N的左侧)，点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标【答案】(1)证明见解析；(2)①(-6,5)；②(0，0)【解析】【分析】(1)把A(-4，0)和点B(5，)代入函数解析式计算即可；(2)先求出抛物线和直线AB的解析式，求出直线AB关于x轴的对称直线AE，则∠BAE=2∠BAC，再过B作AE的平行线与抛物线的交点即为D点；(3)根据四边形对角线互相平分结合中点公式计算即可．【详解】(1)把A(-4，0)和点B(5，)代入函数解析式得：两个方程相减得：，即a+b=(2)∵抛物线经过点C(4，0)∴解得：∴抛物线解析式为①∵A(-4，0)和点B(5，)∴直线AB的解析式为∴直线AB与y轴的交点F坐标为(0,1)∴点F关于x轴的对称点E坐标为(0，-1)∴∠EAC=∠BAC，直线AE的解析式为∴∠BAE=2∠BACB作AE的平行线与抛物线的交点为D点∴∠ABD=∠BAE=2∠BAC∵直线AE的解析式为∴设BD解析式为代入B(5，)得BD解析式为联立BD与抛物线解析式得：，解得或∴D点坐标为(-6,5)②∵M、N、P三个点在抛物线上，点Q在y轴上∴设，∴MN中点坐标为PQ中点坐标为∵直线y=kx-2(k≠0)与抛物线交于设M，N两点∴，整理得∴∴∴MN中点坐标为∵四边形MPNQ是平行四边形∴MN和PQ互相平分，即MN、PQ的中点是同一个点∴整理得，解得∴Q点坐标为(0，0)．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合题，涉及到直线的对称与平行、平行四边形的性质等知识点，与到两倍角问题通过对称构造倍角是解题的关键．3．(2020·北京通州·三模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．(1)求点A的坐标和抛物线的对称轴；(2)过点作y轴的垂线l，若抛物线与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且，结合函数的图象，求a得取值范围．【答案】(1)A的坐标为(0，4)，抛物线的对称轴为直线x=2；(2)a＜−或a＞．【解析】【分析】(1)由抛物线解析式可求出A的坐标和抛物线的对称轴；(2)分a＞0和a＜0画出图形，求出a的值，由图象可得a的取值范围．【详解】解：(1)y=ax2-4ax+4=a(x-2)2+4-4a．∴点A的坐标为(0，4)，抛物线的对称轴为直线x=2．(2)当a＞0时，临界位置如图所示：∵靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，∴将点(1，3)代入抛物线解析式得：，,∵|m|＜1，∴，∴a>．当a＜0时，临界位置如图所示：将点(-1，3)代入抛物线解析式得，，∵|m|＜1，∴-1<，∴a＜−．∴a的取值范围为a＜−或a＞．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y轴的交点．4．(2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测)已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，且．对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．作，与交于点，求的最大值，并求此时点的坐标；(3)若直线与抛物线交于，两点，不与，重合)，直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，试探究、之间的数量关系．【答案】(1)；(2)有最大值，此时；(3)【解析】【分析】(1)求得点坐标，代入抛物线解析式，求解即可；(2)求得直线和的解析式，分别联立直线和，直线和抛物线，求得两点，再根据相似三角形表示出，即可求解；(3)分别联立直线与抛物线，直线与抛物线，求得两点，再根据两点和点共线，斜率相等，即可求解．【详解】解：(1)，，或，当时，的两个根为或，，，，，，函数的对称轴为直线，当时，总有，函数的解析式为；当时，的两个根为或，，，，，，函数的对称轴为直线，当时，总有，不符合题意；综上所述：函数的解析式为；(2)分别过点作，，如下图：则，∴，∴，∴由题意可得，，∴，∴直线解析式为，∵，设直线的解析式为，∴，解得，即，联立直线和得：解得，解得联立直线和抛物线得：，化简得：，∴，∴，，，，，，，抛物线开口向下，对称轴为，当时，有最大值，此时；(3)直线经过点，，直线的解析式为，联立，解得，，直线经过，，直线的解析式为，联立，解得，，直线经过定点，、在直线上，，，化简得：∵，两点不重合，∴∴【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数的性质等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．5．(2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模)已知，二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a≠0)(1)当a为何值时，该函数图象的顶点在x轴上，并写出顶点的坐标；(2)已知点()，(1，0)，(2，－3)，该函数图象过其中的两点，求此函数的解析式；(3)已知a＞0，若点A(b，m)，B(b＋3，n)是该函数图象上的两点，且m＞n，求b的取值范围．【答案】(1)a＝1时，顶点坐标为(-1，0)；(2)；(3)【解析】【分析】(1)根据一般式顶点坐标的公式求解即可．(2)根据解析式特征，结合二次函数的对称性来判断求解．(3)根据函数的增减性，结合图像判断求解．【详解】(1)∵函数顶点在x轴上∴即解得：(舍去)当时，∴a＝1时，顶点在x轴上，坐标为(-1，0)(2)∵∴对称轴为：∵如果函数过点(1，0)，其对称点为(-3，0)，与()冲突∴函数图象必过(2，-3)∴解得：∴函数的解析式为：(3)当a＞0时，二次函数开口向上，距离对称轴越远的点，纵坐标值越大∵m＞n，对称轴为：∴，即①当时，成立②当时，解得：③当时，不成立∴b的取值范围为：．【点睛】本题主要考察二次函数的顶点、求解析式、函数增减性等知识，熟记公式、灵活运用二次函数的对称性、增减性等性质是解题的关键．6．(2021·浙江·杭州市十三中教育集团(总校)二模)已知二次函数．(1)若二次函数图象的对称轴为直线，求的值；(2)当时，随的增大而减小，求的取值范围；(3)已知，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)且，【解析】【分析】(1)直接根据二次函数对称轴公式可得答案；(2)根据二次函数的性质可得问题的答案；(3)分两种情况，结合根的判别式可得答案．【详解】(1)由题意得，，解得；(2)由题意得，时，y随x的增大而减小，二次函数开口向下，且对称轴位于x=2的左侧或对称轴为直线x=2,，解得；(3)当时，二次函数与AB只有一个交点，，∴AB在x轴上，，当时，；当时，，，且综上，且，．【点睛】考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质及判别式是解决此题关键．7．(2021·吉林省第二实验学校二模)已知，点是平面直角坐标系内的一点，将点绕坐标原点逆时针旋转得到点，经过、、三点的二次函数的图象记为．(1)若点的坐标为．①点的坐标为___________．②求图象所对应的函数表达式．(2)若点的坐标为，图象所对应的函数表达式为(、为常数，)．写出的值，并用含的代数式表示．(直接写出即可)(3)在(2)的条件下，直线与图象交于点，直线与图象交于点．图象在、之间的部分(包含、两点)记为．①当图象在上的函数值随自变量的增大而增大时，设图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，记，求的取值范围．②连结，当与图象围成的封闭图形与轴交于点(点不与坐标原点重合)．当时，直接写出的取值范围．【答案】(1)①(-2，1)；②；(2)；(3)①或；②或或【解析】【分析】(1)①根据关于绕原点逆时针旋转90°点的坐标特征求解即可；②设二次函数的解析式为，然后利用待定系数法求解即可；(2)点A的坐标为，则，然后用待定系数法求解即可；(3)①先求出抛物线的对称轴为，然后根据图象在上的函数值随自变量的增大而增大，即可求出，则，然后利用二次函数对称轴求出m的范围即可求解h的范围；②设直线的解析式为，由①可知，，然后求出直线PQ的解析式，从而得到则，再根据，即，求解即可．【详解】解：(1)①∵B是A(1，2)绕坐标原点逆时针旋转得到的点，∴B(-2，1)，故答案为：(-2，1)；②设二次函数的解析式为，∴，解得，∴二次函数的解析式为；(2)∵点A的坐标为，∴，∴，解得；(3)①由(2)得二次函数的解析式为，∴抛物线的对称轴为，∵图象在上的函数值随自变量的增大而增大，∴当时，图像G1在最低点，即∴当时，图像G1在最高点，即，∴，∵图象在上的函数值随自变量的增大而增大，∴当时，，解得，∴，∴，即；当时，，解得，∴，∴，即；综上所述，或；②设直线的解析式为，由①可知，，∴，解得，∴直线的解析式为，令则，解得，∴，∴，∵，∴，解得或，∴或，解得或，又∵，∴综上所述或或．【点睛】本题主要考查了绕原点旋转90°点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，求一次函数解析式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．(2021·广东实验中学三模)已知抛物线．(1)试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A；(2)设该抛物线与x轴的另一个交点为B(A与B不重合)，顶点为C，当为直角三角形时，求m的值；(3)在(2)的条件下，若点B在A的右侧，点，点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A(2,0)；(2)或；(3)F点存在，其坐标为(-4,0)．【解析】【分析】(1)对因式分解为即可求解；(2)根据抛物线的对称性且△ABC为直角三角形，可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，过顶点C作CP⊥AB于P，则CP＝AB，其中CP为抛物线顶点C的纵坐标的绝对值，AB为抛物线与x轴两个交点横坐标之差的绝对值，代入即可求出m；(3)由点B在A的右侧,得到，此时二次函数为：，过E作EM⊥y轴，证明△FDO≌△DEM，进而EM=DO=3，FO=DM，再根据E点在抛物线上即可求出E点坐标进而求出F点坐标．【详解】解：(1)令中，即，对该式进行因式分解，得到：，∴，∴不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A(2,0)；(2)由抛物线的对称性且△ABC为直角三角形可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，过顶点C作CP⊥AB于P，如下图所示：，故顶点C的坐标为，∴，且，∵△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，CP⊥AB，∴，∴，当时，整理得到，解得当时，整理得到，解得又抛物线与x轴有两个不同的交点，∴，当时，代入：，故舍去，当时，代入，综上所述，或；(3)∵点B在A的右侧,∴，此时二次函数变为：，假如存在符合题意的E和F点，过E作EM⊥y轴，如下图所示：∵△DEF为等腰直角三角形，且DE=DF，∠EDF=90°，∴∠FDO+∠EDO=90°，又∠FDO+∠DFO=90°，∴∠EDO=∠DFO，在△FDO和△EDM中，，∴△FDO≌△DEM(AAS)，∴EM=DO=3，FO=DM，即E点的横坐标的绝对值为3，当E点在y轴右侧时，且在抛物线上，故E(3，-1)，此时DM=3-(-1)=4，∴FO=DM=4，此时F点坐标存在，为(-4,0)；当E点在y轴左侧时，由于要保证∠EDF=90°，∴此时F点必位于第一象限内，而不在x轴上，故此时F点不存在，当时，在的左侧，不合题意，舍去，综上所述，F点存在，其坐标为(-4,0)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，等腰直角三角形的存在性问题，二次函数与坐标轴的交点问题，本题难度较大，熟练掌握二次函数及各图形的性质是解决本题的关键．9．(2021·浙江·杭州市十三中教育集团(总校)三模)已知二次函数y＝mx2﹣10mx﹣2m2+26．(1)求此二次函数图象的顶点坐标(可用含m的代数式表示)；(2)若二次函数的图象与x轴的一个交点为(﹣2，0)，试求m的值；(3)当m＜0时，若点(n，y1)、(n+2，y2)都在二次函数图象上，且y1＜y2．试求n的取值范围．【答案】(1)顶点坐标为(5，﹣2m2﹣25m+26)；(2)m1＝﹣1，m2＝13；(3)n＜4【解析】【分析】(1)根据顶点坐标公式得(﹣，)，则有﹣＝5，＝﹣2m2﹣25m+26，进而问题可求解；(2)由题意可把(﹣2，0)代入二次函数y＝mx2﹣10mx﹣2m2+26，然后问题可求解；(3)由题意得y1﹣y2＝4mn﹣16m，然后问题可求解．【详解】解：(1)根据顶点坐标公式得(﹣，)，横坐标为﹣＝5，顶点纵坐标为：＝﹣2m2﹣25m+26，即顶点坐标为(5，﹣2m2﹣25m+26)；(2)∵二次函数与x轴的一个交点为(﹣2，0)，∴把(﹣2，0)代入二次函数y＝mx2﹣10mx﹣2m2+26得，0＝4m﹣20m﹣2m2+26，解得；(3)∵在二次函数图象上，∴y2﹣y1＝m(n+2)2﹣10m(n+2)﹣2m2+26﹣(mn2﹣10mn﹣2m2+26)，化简得y2﹣y1＝4mn﹣16m，∵y1＜y2，m＜0，∴4mn﹣16m＞0，4n﹣16＜0，∴n＜4．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．(2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测)在平面直角坐标系中，已知函数(a为常数)．(1)若，①当时，y的取值范围是______；②若时，，则b的取值范围是______；(2)当时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值．(3)设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为，原函数图象未翻折部分记为，与组成的图象记为G，当G在直线与直线之间所夹的图象y随x增大而减小时，直接写出a的取值范围．【答案】(1)①；②；(2)a的值为0或或2；(3)或或【解析】【分析】(1)①根据题意可得根据自变量的范围求解即可；②根据，时，，此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即，再根据在时，y随x增大而增大，当x＜1时，y随x增大而减小，得到当时，，再利用二次函数的对称性求解即可；(2)分，和三种情况求解即可；(3)画出对应的函数图像，分当时和当时，利用数形结合的思想求解即可.【详解】解：(1)①由题意得，，∵，当x=1时，y有最小值为1，∴，②∵，时，，∴此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即，又∵在时，y随x增大而增大，当x＜1时，y随x增大而减小，∴当时，，又∵时，，∴由对称性可知时，，∴∴；(2)当时，最低点，最高点，，∴，．当时，最低点是顶点，最高点，，∴(舍)，(舍)．当时，最低点是顶点，最高点，，∴，(舍)．当时，不合题意．综上，a的值为0或或2．(3)当时，如图所示，由图像可知此时满足y随x增大而减小的自变量取值范围为：或，当时，解得∴不成立；当时，解得∴不成立；时，解得∴此时；时，解得，∴此时；所以或当时，由图像可知此时满足y随x增大而减小的自变量取值范围为：或，同理可以求得或；∴综上所述，或或.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的对称性，二次函数的增减性等等，解题的关键在于能够采用数形结合的思想进行求解.11．(2021·福建省福州屏东中学二模)已知一条抛物线顶点为，且与轴交于点()(1)当时；①求二次函数解析式；②直线：()过定点与抛物线交于、两点(在右侧)，连接、，若，求直线的解析式；(2)若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且交对称轴于点，点，关于点对称，求证：，，三点共线．【答案】(1)①y=x24x；②y=6x22；(2)证明见详解．【解析】【分析】(1)当m=2时，顶点为(2，4)，A(4，0)；①设二次函数解析式为y=a(x2)24，将A(4，0)代入得a=1，即可得到解析式；②设定点D(3，4)，由直线l：y=kx+b(k＞0)过定点(3，4)，得b=3k4，直线l为y=kx3k4，然后联立得方程x2+(4k)x+3k+4=0，结合根与系数的关系，以及三角形的面积，求出k的值，即可得到答案；(2)连接AH，AH，由抛物线顶点为P(m，2m)，且与轴交于点A(2m，0)，得抛物线解析式为y=，设H(t，)，可得M(m，2t4m)，N(m，2t)，从而得直线AN解析式，然后判断N，A，H三点共线即可．【详解】解：(1)当m=2时，顶点为(2，4)，A(4，0)，①设二次函数解析式为y=a(x2)24，将A(4，0)代入得：0=a(42)24，解得a=1，∴y=(x2)24=x24x；②设定点D(3，4)，如图：∵直线l：y=kx+b(k＞0)过定点(3，4)，∴4=3k+b，解得：b=3k4，∴直线l为y=kx3k4，由，得：x2+(4k)x+3k+4=0，则xB+xC=4+k，xB•xC=3k+4，∵B在C右侧，∴xBxC=，∴yByC=(kxB3k4)(kxC3k4)=k(xBxC)=，而P(2，4)，D(3，4)，∴PD∥x轴，PD=1，∴S△PBC=S△PBD-S△PCD=PD•(yByC)=×1×，又S△PBC=，∴×1×=，解得：k=2(舍去)或k=6，∴直线l为y=6x22；(2)连接AH，AH，如图：∵抛物线顶点为P(m，2m)，且与轴交于点A(2m，0)，∴抛物线解析式为y=(xm)22m=x24x，设H(t，t24t)，则直线OH解析式为y=(t4)x，令x=m，则y=2t4m，∴M(m，2t4m)，∴MP=yMyP=2t2m，∵点N，M关于点P对称，∴NP=2t2m，∴N(m，2t)，设直线AN解析式为y=nx+r，则，解得：，∴直线AN解析式为y=，令x=t，则y=，∴(t，)在直线AN上，即H在直线AN上，∴N，A，H三点共线．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、韦达定理、三角形面积、三点共线等知识，解题的关键是含字母的代数式表示相关点的坐标和直线解析式．12．(2021·江苏工业园区·一模)已知抛物线W：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为．(1)求抛物线W的解析式和顶点坐标；(2)当时，二次函数的最小值为，求a的值．【答案】(1)y=(x−1)2−4，(1，−4)；(2)为1−或2+【解析】【分析】(1)点A(-1，0)与点B关于直线x=1对称，则点B的坐标为(3，0)，则y=(x+1)(x-3)，即可求解；(2)分①a+1＜1、②a＜1≤a+1、③a≥1三种情况，分别表示出二次函数在最小值求解即可．【详解】解：(1)∵点A(−1，0)与点B关于直线x=1对称，∴点B的坐标为(3，0)，则y=(x+1)(x−3)，即抛物线C的表达式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4；∴顶点坐标为(1，−4)；(2)①当a+1＜1时，即a＜0，则函数的最小值为(a+1)2−2(a+1)−3=2a，解得a=1−(正值舍去)；②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，则函数的最小值为1−2−3=2a，解得：a=−2(舍去)；③当a≥1时，则函数的最小值为a2−2a−3=2a，解得a=2+，综上，a的值为1−或2+．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．(2021·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学一模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点的左边)，与轴交于点．(1)求点，，的坐标；(2)点，在抛物线上，若，则，的大小关系为________；(填上“”，“”或“”)(3)把该抛物线沿轴向上平移个单位后，与坐标轴只有两个公共点，求的值．【答案】(1)A(-1，0)，B(5，0)，C(0，-5)；(2)＞；(3)k=5或k=9．【解析】【分析】(1)求方程的两个根，就是A,B的横坐标，令x=0，求得y值即可得到点C的纵坐标；(2)确定二次函数的开口方向，对称轴，判定已知点与对称轴的位置关系，根据二次函数的增减性判断即可；(3)分函数解析式过原点和抛物线与x轴有且仅有一个交点两种情形求解即可．【详解】(1)∵抛物线为，∴当x=0时，y=-5，∴点C(0，-5)；∵，解得，∵点在点的左边，∴A(-1，0)，B(5，0)；(2)∵抛物线为，∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为x==2，∵，∴点，在抛物线对称轴的左侧，∴＞，故答案为：＞；(3)设抛物线向上平移k个单位后的解析式为，∵抛物线与坐标轴只有两个公共点，当抛物线经过原点时，符合题意，∴，解得k=5；当抛物线与x轴只有一个交点时，符合题意，∴△=0即，解得k=9，故k=5或k=9．【点睛】本题考查了二次函数的图形，对称轴，增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质，平移的规律，灵活运用分类思想，根的判别式是解题的关键．14．(2021·江苏·苏州市立达中学校二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线．(l)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)①写出抛物线的对称轴________(用含m的式子表示)；②若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为_______________________________；(3)直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当为钝角三角形时，求m的取值范围．【答案】(1)(3，-1)；(2)①x=m；②y3>y1>y2；(3)m>3或m<-5．【解析】【分析】(1)先将m=3代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；(2)①根据函数对称轴为直线计算可得结论；②函数开口向上，x=m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较y1，y2，y3的大小关系；(3)当△OAP为钝角三角形时，则0＜m-3＜m或m-3<-8，分别求解即可．【详解】解：(1)当m=3时，抛物线的解析式为：y=x2-6x+8=(x-3)2-1，∴顶点坐标为(3，-1)；(2)①∵抛物线y=x2-2mx+m2-1，∴函数对称轴为直线；②∵函数开口向上，x=m时函数取得最小值，∴离对称轴距离越远，函数值越大，∵|m-1-m|＜|m+3-m|，且点(m-1，y1)，(m，y2)，(m+3，y3)都在抛物线上，∴y3＞y1＞y2；故答案为：y3＞y1＞y2；(3)把点A(-8，0)代入y=x+b的表达式并解得：b=8，则B(0，8)，直线AB的表达式为：y=x+8，如图，在直线y=8上，当∠AOP=90°时，点P与B重合，当y=8时，y=x2-2mx+m2-1=8，则x=m±3，∵点P在对称轴的左侧，∴x=m+3＞m不符合题意，舍去，则点P(m-3，8)，当△OAP为钝角三角形时，则0＜m-3＜m或m-3＜-8，解得：m＞3或m＜-5，∴m的取值范围是：m＞3或m＜-5．【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．15．(2021·江苏·苏州高新区第一初级中学校二模)在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．(1)已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；(2)已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；【答案】(1)是，见解析；(2)．【解析】【分析】(1)当时，求得点，再解得点M关于原点对称的点，判断点是否在抛物线上，即可解题；(2)利用配方法解得点C的坐标，继而解得点C关于原点对称的点，再根据题意代入抛物线中，得到关于的一元一次方程，解方程即可【详解】解：(1)当时，点M关于原点对称的点，当时，在抛物线上，抛物线是回归抛物线；(2)由题意得，点C关于原点对称的点也在抛物线上，．【点睛】本题考查抛物线的性质、抛物线的顶点、中心对称、判断点是否在抛物线上、求二次函数解析式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．16．(2021·江苏·南师附中新城初中二模)在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移4个单位长度得到点．(1)直接写出点与点的坐标；(2)若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围．【答案】(1)、；(2)或者【解析】【分析】(1)在二次函数中，令x=0可以得到A点坐标，再由题意可得B点坐标；(2)分m=0，m<0，m>0三种情况并结合二次函数的图象进行讨论．【详解】解：(1)在二次函数解析式中，令x=0，则y=1，∴A点坐标为：，又将点A向右平移4个单位长度得到点B，∴B点坐标为：；(2)直线解析式为，该二次函数图像会经过定点①当时，抛物线解析式为，顶点恰是点，与线段仅有一个交点点；②当时，在范围内，随增大而增大，对称轴为直线，恰与线段仅有一个交点点；③当，在范围内，会先随增大而减小，再随增大而增大，当时，对称轴为直线，此时抛物线恰好与线段有两个交点分别是点和点，因此当时，抛物线恰好与线段有一个交点，综上所述，或者．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与解析式是解题关键．17．(2021·浙江拱墅·二模)设二次函数y＝x2﹣2(m+1)x+3﹣m，其中m是实数．(1)若函数的图象经过点(﹣2，8)，求此函数的表达式；(2)若x＞0时，y随x的增大而增大，求m的最大值．(3)已知A(﹣1，3)，B(2，3)，若该二次函数的图象与线段AB只有一个交点(不包括A，B两个端点)，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)或．【解析】【分析】(1)把点(﹣2，8)代入y＝x2﹣2(m+1)x+3﹣m，转化为方程求解即可．(2)由题意，对称轴x＝−≤0，由此构建不等式解决问题即可．(3)根据不等式确定m的取值范围即可．【详解】解：(1)把点(﹣2，8)代入y＝x2﹣2(m+1)x+3﹣m，得到，8＝4+4(m+1)+3﹣m，m＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝x2+4．(2)∵对称轴x＝﹣＝m+1，又∵x＞0时，y随x的增大而增大，∴m+1≤0，∴m≤﹣1，∴m的最大值为﹣1．(3)∵a＝1，∴抛物线开口向上，∵二次函数的图象与线段AB只有一个交点(不包括A，B两个端点)，∴满足条件：或，解得m＞0或m＜﹣3．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式或不等式组解决问题，属于中考常考题型．18．(2021·江苏南京·二模)已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a(a为常数，且a≠0)(1)求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．(2)当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)0＜a＜或－5＜a＜0【解析】【分析】(1)由恒成立得到结论；(2)求出抛物线与x轴的交点坐标和对称轴，然后在1≤x≤4范围内分a＞0与a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得到结果.【详解】(1)证明：∵a≠0∴∴无论a为何值，该函数图像与x轴总有两个交点；(2)∵令ax2－4ax＋3a=0，解得：，，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)，抛物线的对称轴为直线，①当a＞0时，∵1≤x≤4，∴当x=4时，，∴0＜a＜，②当a＜0时，∵1≤x≤4，对称轴为直线x=2，∴抛物线在顶点处取得最大值，，∴－5＜a＜0∴a的取值范围：0＜a＜或－5＜a＜0.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是x在某一范围时函数值的最大值的确定.19．(2021·浙江余杭·三模)二次函数的顶点是直线和直线的交点．(1)当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．(2)若直线与交于点．①当时，二次函数的最小值为，求的取值范围．②和为二次函数上的两个点，当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2)①；②．【解析】【分析】(1)通过求得顶点，再根据二次函数的性质可知对称轴为直线，进而即可求得的取值范围；(2)①将代入即可得到交点坐标及二次函数解析式为，再根据二次函数的最小值问题即可求得的取值范围；②由可求得，再由，求得或1，再根据二次函数图像的性质可知当时，和为二次函数上的两个点，即可求得的取值范围．【详解】(1)，得∴顶点∴二次函数的对称轴为直线∵当时，的值均随的增大而增大∴，解得∴的取值范围为；(2)将代入，解得所以交点坐标为,二次函数解析式为∴当时，二次函数的最小值为①根据题意知，所以的取值范围为；②由令得当时，或1，∵和为二次函数上的两个点，且∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，以及一次函数的交点求解，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键．20．(2021·浙江·一模)已知关于x的二次函数的图象与关于x的函数的图象交于点．(1)当时，判断的类型；(2)当时，求的长；(3)当，m为任何值时，猜想的长是否不变？并证明你的猜想．注：①平面内两点间的距离公式②方程的两根满足．【答案】(1)为等腰直角三角形；(2)；(3)猜想：当，m为任何值时，的长不变，即．证明见解析．【解析】【分析】(1)根据条件直接求出的坐标，算出三边即可判断；(2)利用数形结合的思想，构造一个等腰直角三角形，根据两点间的距离公式即可求解；(3)在(2)的基础上，把当作任何值，利用计算来证明猜想．【详解】(1)当时，函数的图象为直线．得，，故为等腰直角三角形．(2)当时，二次函数为，分别过点，点作轴，轴的平行线，交于点，如图，，得．∴，∴．(3)猜想：当，m为任何值时，的长不变，即．下面证明：联立消y整理得：．∴．∴．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是：联立解析式，准确求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解或证明．21．(2021·安徽·合肥市第四十二中学三模)已知直线经过点，与抛物线的对称轴交于点(1)求，的值；(2)抛物线与轴交于且，若，求的最大值；(3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．【答案】(1)，；(2)最大值为1；(3)或【解析】【分析】(1)将(2，3)和分别代入直线表达式中可求得k和n值，再根据抛物线的对称轴公式求解b值即可；(2)抛物线的对称轴为直线x=﹣和得出及，则，根据二次函数的最值方法求解即可；(3)联立方程组可得x2=1﹣c，对c讨论，结合方程根取值范围进行求解即可．【详解】解：(1)把代入得：，则，∴点在直线上，∴，∴抛物线的对称轴，∴；(2)由(1)知，则，∵抛物线与轴交点的横坐标为，且∴∴即．∴．∴∵，∴∴∵且对称轴为直线∴当时，随的增大而增大，∴当时，取最大值且最大值为1；(3)由(1)知，直线的表达式为，抛物线表达式为，联立方程组得：x2=1﹣c，当c＞1时，该方程无解，不满足题意；当c=1时，方程的解为x=0满足题意；当c＜1时，方程的解为x=±，当1≤＜2即时，满足时，抛物线与直线有且只有一个公共点，综上，满足题意的c的取值范围为或．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算．22．(2021·浙江龙湾·二模)已知抛物线经过点．(1)求的值．(2)若，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点，且，求此抛物线的表达式．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)把点代入抛物线解析式即可求解；(2)对称轴为直线可知点在对称轴左侧，根据题意可得到，即可求解．【详解】解：(1)∵抛物线经过点，∴，可得．(2)由题可知，对称轴为直线∵，∴，即点在对称轴左侧；∵，∴，∴，解得，由(1)得，∴，∴抛物线表达式为．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．23．(2021·湖南长沙·一模)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程的两根分别为：，则方程为“2系方程”．(1)下列方程是“3系方程”的是_________(填序号即可)；①；②；③．(2)若关于x的一元二次方程是“2系方程”．①求证：；②若，且关于x的函数，当时的最大值为1，求a的值．【答案】(1)①③；(2)①见解析；②【解析】【分析】(1)根据“k系方程”的定义判断即可；(2)①设方程的两个根为，根据“k系方程”的定义可得：，则根据韦达定理可得到方程组，消去整理可证得；②根据题意函数，将①求证的结论代入，即为：，则函数对称轴为直线，根据x范围左右两个临界值与对称轴的差值的大小关系进行分类讨论，得出a的范围，再由题目所给最大值为1，进而精确得出a的值即可．【详解】解：(1)①，解得：，可得，则①是“3系方程”．②，解得：，可得，则②不满足“3系方程”的定义，不是“3系方程”．③，解得：，可得，则③是“3系方程”．故答案为：①③．(2)①设方程的两根为，∵原方程为“2系方程”，则，∴，，方程组，消去得：，∴，即．②∵原方程为“2系方程”，由①得：，又∵，∴，∴函数即为：，且，函数对称轴为：，当，即时，，解得：，又，故此时无解；当，即时，，解得：，又，故此时．综上所述，满足条件的a的值为．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，清楚“k系方程”的定义以及熟练运用二次函数的图象与性质是解题的关键．24．(2021·江苏姜堰·二模)在平面直角坐标系中，点、是二次函数图像上的两个点．(1)当时，求该二次函数图像与x轴的交点坐标：(2)当时，①判断的值是否随着a的变化而变化？若不变，求的值；若变化，说明理由；②若，求t的值；(3)若，且，求出所有符合条件的正整数m的值；【答案】(1)；(2)①不变，；②1或；(3)1、2、3、4【解析】【分析】(1)令二次函数进行计算即可；(2)①根据二次函数的对称性计算即可；②将点A的坐标代入函数解析式计算即可；(3)根据条件列出不等式计算．【详解】(1)当时，令，即解得：故二次函数图像与轴的交点坐标为：．(2)①不变．由对称轴知，该二次函数的对称轴为：又函数解析式：，其对称轴为：即．②设在二次函数图像上，又代入函数解析式得：解得：或(3)若，则其对称轴为直线：位于对称轴的右侧，即解得故符合条件的正整数的值有1，2，3，4．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图像的性质，计算求解是解题的关键．挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题16二次函数与几何变换综合问题

【例1】(2021•绵阳)如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．(1)求a的值及t＝1秒时点P的坐标；(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【例2】(2021•德州)小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…(1)请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：；(2)求抛物线C1的解析式；(3)将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C(点B在点C左侧)，点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．【例3】(2021•兰州)如图1，二次函数y＝a(x+3)(x﹣4)图象交坐标轴于点A，B(0，﹣2)，点P为x轴上一动点．(1)求二次函数y＝a(x+3)(x﹣4)的表达式；(2)过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．【例4】(2021•天津二模)已知抛物线C：y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点K，顶点为D．(Ⅰ)求点A，B，K，D的坐标；(Ⅱ)若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；(Ⅲ)点E(﹣2，n)在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使△QBE的面积是△BEK面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．【例5】(2020•沈阳)如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点B(6，0)和点(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点(不与点B重合)，点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．①直接写出△MBN的形状为；②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1=23S2时，求点(3)如图3，在(2)的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜120°)得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝23时，请直接写出点G的坐标为．1．(2021•铁西区二模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点B，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点B，C，点D是抛物线在第一象限部分上一个动点，连接AD，交BC于点E，连接BD，CD，S△BDE＝mS△ABE(m是常数)．(1)求二次函数的表达式；(2)当点D恰好是抛物线的顶点时，求点E的坐标，并直接写出此时m的值；(3)当m最大时，将线段BD绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°)，旋转后点D的对应点为点F，连接AF，如果AF⊥BD，请直接写出cosα的值．2．(2021•皇姑区一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B(﹣6，0)和点C(2，0)，点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴于点N．(1)求抛物线表达式；(2)当△ABQ的面积等于7时，设点Q的横坐标为m，求m的值；(3)在(2)的条件下，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，四边形ANEM是平行四边形；①直接写出点E的坐标；②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，直接写出BP1+OH1的最小值．3．(2021•大东区二模)如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B(﹣4，0)，C(2，0)，与y轴交于点A，在抛物线上有一动点P，连接AP，BP，AB，CP．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若P点在第二象限的抛物线上，当△ABP的面积是时，求△BCP的面积；(3)点D是线段AC上的一点，过D作DE⊥BC于点E，点F在线段AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连接DF和EF，线段EF的长度是否有最小值，如果有请直接写出这个最小值，若没有最小值请说明理由．4．(2021•山西模拟)综合与探究．如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于A，C两点，点A(﹣1，0)，C(3，0)，与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，直线l经