专题03 将军饮马求最小值2-平移（含答案）-2024年中考数学压轴满分突破之二次函数篇

2024中考数学压轴题--二次函数第3节将军饮马求最值2--平移内容导航方法点拨已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)(1)点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。(2)点A、B在直线m同侧：例题演练例1．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B(A在B左边)，与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；练1.1如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC(1)点G是直线BC上方抛物线上一动点(不与B、C重合)，过点G作y轴的平行线交直线BC于点E，作GF⊥BC于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且MN＝EF，连接DM、GN．当△GEF的周长最大时，求DM+MN+NG的最小值；练1.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D(﹣4，n)在抛物线上．(1)求直线CD的解析式；(2)E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM＝BN时，求EM+MN+BN的值．练1.3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+b与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，OB＝1，∠OBC＝60°．(1)如图1，求直线BC的解析式；(2)如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PD⊥x轴于点H，交线段AC于点D，直线BG∥AC，交抛物线于点G，点F是直线BC上一动点，FE∥BC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF．当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F(异于点C)，直线CD交x轴交于点G．(1)如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；(2)如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值；练1.5如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(﹣2，0)，O(0，0)，B(0，4)，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．(1)求C、D两点的坐标；(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方)，且EF＝1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．练1.6如图1，已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．(1)求直线AC的解析式和顶点D的坐标；(2)已知E(0，)，点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR⊥AC于点R，当PR最大时，有一条长为的线段MN(点M在点N的左侧)在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标； 2024中考数学压轴题--二次函数第3节将军饮马求最值2--平移内容导航方法点拨已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)(1)点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。(2)点A、B在直线m同侧：例题演练例1．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B(A在B左边)，与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；【解答】解：(1)如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F(m，m2+m+2)．由题意可知A(﹣6，0)，B(﹣2，0)，C(0，2)，∵抛物线的对称轴x＝﹣4，C，D关于直线x＝﹣4对称，∴D(﹣8，2)，∴直线AC的解析式为y＝x+2，∵DE∥AC，∴直线DE的解析式为y＝x+，由，解得或，∴E(2，)，H(m，m+)，∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面积为定值，∴△DEF的面积最大时，△EFG的面积最大，∵FH的值最大时，△DEF的面积最大，∴FH的值最大时，△EFG的面积最大，∵FH＝﹣m2﹣m+，∵a＜0．开口向下，∴x＝﹣3时，FH的值最大，此时F(﹣3，﹣)．如图2中，作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小．∵直线DF的解析式为：y＝﹣x﹣2，由，解得，∴G(﹣，)，∵TG⊥AC，∴直线GR的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得，∴R(﹣，)，∴RG＝4，OR＝，∵GM＝TM＝RN，∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．∴GM+MN+NO的最小值为4+．练1.1如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC(1)点G是直线BC上方抛物线上一动点(不与B、C重合)，过点G作y轴的平行线交直线BC于点E，作GF⊥BC于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且MN＝EF，连接DM、GN．当△GEF的周长最大时，求DM+MN+NG的最小值；【解答】解：(1)y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣3)(x+1)＝﹣(x﹣1)2+4∴抛物线与x轴交于点A(﹣1，0)、点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，顶点D(1，4)，∴直线CB解析式：y＝﹣x+3，∠BCO＝45°∵GE∥y轴，GF⊥BC∴∠GEF＝∠BCO＝45°，∠GFE＝90°∴△GEF是等腰直角三角形，EF＝FG＝GE∴C△GEF＝EF+FG+GE＝(+1)GE设点G(a，﹣a2+2a+3)，则点E(a，﹣a+3)，其中0＜a＜3∴GE＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣a2+3a＝﹣(a﹣)2+∴a＝时，GE有最大值为∴△GEF的周长最大时，G(，)，E(，)，∴MN＝EF＝，E点可看作点F向右平移个单位、向下平移个单位如图1，作点D关于直线BC的对称点D1(﹣1，2)，过N作ND2∥D1M且ND2＝D1M∴DM＝D1M＝ND2，D2(﹣1+，2﹣)即D2(，)∴DM+MN+NG＝MN+ND2+NG∴当D2、N、G在同一直线上时，ND2+NG＝D2G为最小值∵D2G＝∴DM+MN+NG最小值为练1.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D(﹣4，n)在抛物线上．(1)求直线CD的解析式；(2)E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM＝BN时，求EM+MN+BN的值．【解答】解：(1)由题意C(0，﹣3)，D(﹣4，5)，设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣3．(2)如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E(m，m2+2m﹣3)．则G(m，﹣2m﹣3)，GE＝﹣m2﹣4m．∴S△EDC＝•EG•|Dx|＝(﹣m2﹣4m)×4＝﹣2(m+2)2+8，∵﹣2＜0，∴m＝﹣2时，△DEC的面积最大，此时E(﹣2，﹣3)，∵C(0，﹣3)，∴EC∥AB，设CE交对称轴于H，∵B(1，0)，∴EH＝OB＝1，∵EM＝BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH＝ON＝OC＝，∴EM＝BN＝＝，∴EM+MN+BN＝1+．练1.3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+b与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，OB＝1，∠OBC＝60°．(1)如图1，求直线BC的解析式；(2)如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PD⊥x轴于点H，交线段AC于点D，直线BG∥AC，交抛物线于点G，点F是直线BC上一动点，FE∥BC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF．当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；【解答】解：(1)在△BOC中，OB＝1，∠OBC＝60°∴BC＝2，OC＝．∴抛物线解析式为：；令y＝0，得解之得，x1﹣3，x2＝1∴A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)设直线BC解析式为：y＝kx+b，经过B(1，0)，C(0，)∴，∴，∴；(2)设直线AC解析式为：y＝k1x+b1，经过A(﹣3，0)，B(1，0)，得设P点坐标为，则D点坐标为∴PD＝═当时，PD有最大值．∴P点坐标为；在R△AOC中，可以求出AC＝2，AB＝4∴AC2+BC2＝12+4＝16＝AB2由勾股定理逆定理得，可得∠ACB＝90°，可得∠CAB＝30°＝∠ABG，由对称可得，AB＝BQ＝4，∠ABQ＝30°+30°＝60°，∴△ABQ是等边三角形．过点Q作QM⊥x轴于点M．∴MB＝4，且OB＝1∴OM＝1，QM＝2∴Q点坐标为(﹣1，﹣2)；由题意得，四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC＝2．将Q点沿射线EF方向平移2个单位(向左平移1个单位，向上平移个单位)，可得Q′的坐标为(﹣2，﹣)，连接PQ′交AC于点E，点E即为所求．PQ′＝PE+EF+QF最小值＝PQ′+EF＝+2，直线PQ的解析式为：联立，解得：x＝﹣，故E点坐标；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F(异于点C)，直线CD交x轴交于点G．(1)如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；(2)如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值；【解答】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣与y轴交于点C，∴C(0，﹣)，∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣(x﹣2)2+，∴顶点D(2，)，对称轴x＝2，∴E(2，0)，设CE解析式y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式：y＝x﹣；(2)∵直线CE交抛物线于点F(异于点C)，∴x﹣＝﹣(x﹣2)2+，∴x1＝0，x2＝3，∴F(3，)，过P作PH⊥x轴，交CE于H，如图1，设P(a，﹣a2+2a﹣)则H(a，a﹣)，∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣(a﹣)，＝﹣a2+，∵S△CFP＝PH×3＝﹣a2+，∴当a＝时，S△CFP面积最大，如图2，作点M关于对称轴的对称点M'，过F点作FG∥MM'，FG＝1，即G(4，)，∵M的横坐标为，且M与M'关于对称轴x＝2对称，∴M'的横坐标为，∴MM'＝1，∴MM'＝FG，且FG∥MM'，∴FGM'M是平行四边形，∴FM＝GM'，∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，根据两点之间线段最短可知：当O，N，M'，G四点共线时，GM'+NM'+ON的值最短，即FM+MN+ON的值最小，∴FM+MN+ON＝OG＝＝；练1.5如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(﹣2，0)，O(0，0)，B(0，4)，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．(1)求C、D两点的坐标；(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方)，且EF＝1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【解答】解：(1)由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4∴C点的坐标是(0，2)，D点的坐标是(4，0)，(2)设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意，得，解得，b＝1，c＝4，∴所求抛物线的解析式为；(3)只需求AF+CE最短，抛物线的对称轴为x＝1，将点A向上平移至A1(﹣2，1)，则AF＝A1E，作A1关于对称轴x＝1的对称点A2(4，1)，连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为，当x＝1时，，∴点E的坐标为，点F的坐标为．练1.6如图1，已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．(1)求直线AC的解析式和顶点D的坐标；(2)已知E(0，)，点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR⊥AC于点R，当PR最大时，有一条长为的线段MN(点M在点N的左侧)在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标；【解答】解：(1)对于抛物线y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，令x＝0，得y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，∴顶点D坐标为(﹣1，﹣4)，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，点D坐标(﹣1，﹣4)．(2)如图1中，设P(m，m2+2m﹣3)，由题意，当PR最大时，△ACP的面积最大，即四边形APCO的面积最大，∵S四边形APCO＝S△AOP+S△POC﹣S△AOC＝•3•(﹣m2﹣2m+3)+•3•(﹣m)﹣•3•3＝﹣m2﹣m＝﹣(m+)2+，∴当m＝﹣时，四边形APCO的面积最大，即PR最长，∴P(﹣，﹣)，将点P沿BE方向平移个单位得到G(﹣，﹣)，作点A关于直线BE的对称点K，连接GK交BE于M，此时四边形APNM的最长最小，∵直线BE的解析式为y＝﹣x+，直线AK的解析式为y＝2x+6，由解得，∴J(﹣，)，∵AJ＝JK，∴k(﹣，)，∴直线KG的解析式为y＝x+，由解得，∴M(﹣2，)，将点M向下平移1个单位，向右平移2个单位得到N，∴N(0，)．中考数学压轴题--二次函数第4节胡不归求最小值内容导航方法点拨从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B(如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带)，当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．，记，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．胡不归模型问题解题步骤如下：1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式(<1，若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决)。2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题例题演练题组1：PA+k•PB例1．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为Q，连接BC．(1)求直线BC的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；练1.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B(﹣3，0)，A(0，)(1)求抛物线解析式及D点坐标；(2)如图1，P为线段OB上(不与O、B重舍)一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK与△MPB的面积相等时，在X轴上找一动点Q，使得CQ+QN最小时，求点Q的坐标及CQ+QN最小值；练1.2如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求直线BD的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+EB的值最小，求E的坐标和最小值．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．(1)求直线BC的解析式；(2)如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE+BE的值最小，求点P的坐标和PE+BE的最小值；题组2：PA+QB+k•PQ例2．如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B(点A在点B左边)，O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．(1)当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．练2.1如图1，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AD、BD．(1)求△ABD的面积；(2)如图2，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，将△PQE沿着直线AC平移，记移动中的△PQE为△P′Q′E′，连接CP′，求△PQE的周长的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；练2.2在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．(1)求点D的坐标及直线BD的解析式；(2)如图1，连接CD、AD、BD，点E为线段CD上一动点．过E作EF∥BD交线段AD于F点，当△CEF的面积最大时，在x轴上找一点P，在y轴上找一点Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；练2.3如图①，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC．(1)过点A且平行于BC的直线交于y轴于点D，求AD的解析式；(2)如图②，P是直线BC上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴l上有一动点M，在x轴上有一动点N，连接PM、MN，当△PAD的面积最大时，求PM+MN+BN的最小值；中考数学压轴题--二次函数第4节胡不归求最小值内容导航方法点拨从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B(如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带)，当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．，记，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．胡不归模型问题解题步骤如下：1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式(<1，若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决)。2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题例题演练题组1：PA+k•PB例1．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为Q，连接BC．(1)求直线BC的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；【解答】解：(1)令y＝0，﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，∴A(﹣1，0)，B(4，0)，令x＝0，y＝2，∴C(0，2)，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．(2)如图1中，作PM∥y轴交BC于M．∵∠DPM是定值，∴当PM的值最大时，PD的值最大，设P(m，﹣m2+m+2)，则M(m，﹣m+2)，∴PM＝﹣m2+2m＝﹣(m﹣2)2+2，∵﹣＜0，∴m＝2时，PM的值有最大值，即PD的值最大，此时P(2，3)．在y轴上取一点G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，∵sin∠GBK＝＝，设GK＝k，BG＝3k，则BK＝2k，∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，∴△CKG∽△COB，∴＝＝，∴＝＝，∴CK＝k，CG＝k，∵CK+BK＝BC，∴k+2k＝2，∴k＝，∴OG＝OC﹣CG＝，∴G(0，)，∴直线BG的解析式为y＝﹣x+，∵PM+BM＝PM+ME，∴当P．M，E共线，且PE⊥BG时，PM+PE的值最小，∵PE⊥BG，∴直线PE的解析式为y＝y＝x﹣2，由，解得，∴E(，)，∴PE＝＝，∴PM+BM的最小值为．练1.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B(﹣3，0)，A(0，)(1)求抛物线解析式及D点坐标；(2)如图1，P为线段OB上(不与O、B重舍)一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK与△MPB的面积相等时，在X轴上找一动点Q，使得CQ+QN最小时，求点Q的坐标及CQ+QN最小值；【解答】解：(1)把B(﹣3，0)，A(0，)的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+，顶点D的坐标为(﹣1，)．(2)如图1中，设P(m，0)则N(m，＝﹣m2﹣m+)．∵A(0，)，B(﹣3，0)，∴直线AB的解析式为y＝x+，AB用PN的交点M(m，m+)，∵∠NMK＝∠BMP，∠NKM＝∠MPB＝90°，∴△NMK∽△BMN，∵△MNK与△MPB的面积相等，∴△NMK≌△BMN，∴MN＝BM，在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴BM＝2PM＝MN，∴﹣m2﹣m+﹣m﹣＝2(m+)，解得m＝﹣2或﹣3(舍弃)，∴N(﹣2，)，在y轴上取一点F，使得∠OCF＝30°，作QH⊥CF于H，∵QH＝CQ，∴NQ+CQ＝NQ+QH，根据垂线段最短可知，当N、Q、H共线，且NH⊥CF时，NQ+CQ＝NQ+QH的值最小．∵直线CF的解析式为y＝x﹣，直线NH的解析式为y＝﹣x﹣，∴Q(﹣1，0)，由，解得，∴H(﹣，﹣)，∴NH＝＝3，∴NQ+CQ＝NQ+QH的最小值为3．练1.2如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求直线BD的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+EB的值最小，求E的坐标和最小值．【解答】解：(1)当y＝0时，x2+x+3＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∴A(﹣1，0)、B(6，0)，当x＝0时，y＝3，则C(0，3)．∵点D与点C关于x轴对称，∴点D为(0，﹣3)．设直线BD的解析式为y＝kx+b，将D(0，﹣3)和B(6，0)分别代入得，解得：k＝，b＝﹣3．∴直线BD的解析式为y＝x﹣3．(2)设点P的坐标为(m，0)，则点Q(m，m2+m+3)，M(m，m﹣3)．△QBD的面积＝QM•OB＝×6×(m2+m+3﹣m+3)＝﹣(m﹣2)2+24，∴当m＝2时，△QBD的面积有最大值，此时Q(2，6)．如图1所示：过点E作EF⊥BD，垂足为F．在Rt△OBD中，OB＝6，OD＝3，则BD＝3，∴tan∠EBF＝tan∠OBD＝＝．∴EF＝BE．∴QE+EB＝QE+EF．∴当点Q、E、F在一条直线上时，QE+EB有最小值．过点Q作QF′⊥BC，垂足为F′，QF′交OB与点E′．设QF′的解析式为y＝﹣2x+b，将点Q的坐标代入得：﹣4+b＝6，解得b＝10，∴QF′的解析式为y＝﹣2x+10．由，解得x＝，∴F(，﹣)当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E′的坐标为(5，0)．即点E的坐标为(5，0)时QE+EB有最小值．∴QE+EB的最小值＝QF＝＝．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．(1)求直线BC的解析式；(2)如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE+BE的值最小，求点P的坐标和PE+BE的最小值；【解答】解：(1)当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，∴点C的坐标为(0，)；当y＝0时，有﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为(3，0)．设直线BC的解析式为y＝kx+b(k≠0)，将B(3，0)、C(0，)代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+．(2)如图2中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F．EN⊥x轴设P(a，﹣a2+a+)，则F(a，﹣a+)∴PF＝﹣a2+a∴S△PBC＝×PF×3＝﹣a2+a∴当，a＝时，S△PBC最大∴P(，)∵直线BC的解析式为y＝﹣x+．∴∠CBO＝30°，EN⊥x轴∴EN＝BE∴PE+BE＝PE+EN∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE+BE值最小．∴PE+BE＝PE+EN＝PN＝题组2：PA+QB+k•PQ例2．如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B(点A在点B左边)，O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．(1)当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．【解答】解：(1)如图1，当x＝0时，y＝3．当y＝0时，．∴∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且设D(a，)，则E()∴DE＝a﹣∴当a＝﹣时，DE最大．此时D()∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠CAB＝30°，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴AQ＝PQ，∴＝，将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．当Q运动到Q′时，有＝DM，过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，DN＝Dy＝，AN＝∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝∴Q′M＝，∴DM＝DQ′+Q′M＝＝DM＝．练2.1如图1，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AD、BD．(1)求△ABD的面积；(2)如图2，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，将△PQE沿着直线AC平移，记移动中的△PQE为△P′Q′E′，连接CP′，求△PQE的周长的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；【解答】解(1)对于抛物线y＝﹣x2+x+2，令y＝0，得到x＝6或﹣2，∴A(6，0)，B(﹣2，0)，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣(x﹣2)2+，∴D(2，)．∴S△ABD＝×8×＝．(2)∵A(6，0)，C(0，2)，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设P(m，﹣m2+m+2)，则Q(m，﹣m+2)，∴PQ＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣(m﹣3)2+，∵△PEQ∽△AOC，∴＝＝，∴PQ的值最大时，△PEQ的周长最大，∵m＝3时，PQ有最大值，此时：＝＝，∴PE＝，QE＝，∴△PQE周长的最大值＝++＝．此时P(3，)，E(，)．在Rt△BOC中，tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝30°，同法可得：∠ACO＝60°，∴∠ACB＝90°，如图2中，作P′M⊥BC于M，E′H⊥AB于H，MH′⊥AB于H′，连接ME′、CP′．∵四边形MCE′P′是矩形，∴CP′＝ME′，∵E′H＝AE′，∴CP′+P′E′+AE′＝ME′+E′H+P′E′，∴当M，E′，H共线时，CP′+P′E′+AE′的值最小，最小值＝MH+P′E′，易知M(，)，∴CP′+P′E′+AE′的最小值＝+＝．练2.2在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．(1)求点D的坐标及直线BD的解析式；(2)如图1，连接CD、AD、BD，点E为线段CD上一动点．过E作EF∥BD交线段AD于F点，当△CEF的面积最大时，在x轴上找一点P，在y轴上找一点Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；【解答】解：(1)对于抛物线y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则x＝2