2024年江苏省四校联合高考数学适应性试卷

立节立节2024年江苏省四校联合高考数学适应性试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一1.(5分)采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的B.必要而不充分条件3.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,Sg=4,则a17+a18+a19+a20=()A.7B.84.(5分)设i为虚数单位，若复数为纯虚数，则a=()A.-1B.1C.05.(5分)甲、乙、丙、丁四人参加垃圾分类竞赛，四人对于成绩排名的说法如下若四人中只有一人说法是错误的，则甲的成绩排名为()A.第一名B.第二名C.第三名D.第四名分别为A,B,则cos∠APB的最小值是()7.(5分)若全集为U,定义集合A与B的运算：A×B={x|x∈AUB且xEA∩B},则(A×B)A.AB.BC.A∩CuBD.B∩CA.a<b<cB.b<a<cC.c<b<a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(多选)9.(6分)若m,n为正整数且n>m>1,(多选)10.(6分)设函数f(x)=2sin²x-3sinxl+1,D.f(x)在[-π,π]上有4个零点(多选)11.(6分)已知定圆M:(x-1)²+y²=16,点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹可能为()三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(5分)有一组按从小到大顺序排列的数据：3,5,x,8,9,10,若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为13.(5分)围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算.假设大小为n的眼有an口气，大小为n+1的眼有an+1口气，则an与an+1满足的14.(5分)A,B,C,D四点均在同一球面上，∠BAC=120°,△BCD是边长为2的等边三角形，则△ABC面积的最大值为,四面体ABCD体积最大时_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD,二面角A-CD-P为直二面角.(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.16.(15分)在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器.某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率po=0.006;②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立.设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止(1)求X的概率分布；(2)求X的数学期望.17.(15分)已知函数f(x)=a-elogax-e,其中a>1.(1)若a=e,证明f(x)≥0;(2)讨论f(x)的极值点的个数.18.(17分)已知等轴双曲线C的顶点分别为椭圆F:(1)求C的方程；(2)若Q为C上异于顶点的任意一点，直线QFI,QF2与椭圆F的交点分别为P,R与19.(17分)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用.设A,B,C,D是直线1上互异且非无穷远的四点，则称(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A,B,C,D四点的交比，记为(A,B;C,D).(2)若li,l2,l3,l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L₁,L2的交点分别为A1,Bi,Ci,D1,L₂的交点分别为A1,Bi,Ci,D1,L₂(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若△EFG与△E’F′G′为不过点P且互异对应顶点的连线交于同一点，则△EFG与△E’F′G’对应边的交点在一条直线上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5分)采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的倍【解答】解:水平放置的平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是2V2,所以用斜二测画法作一个五边形的直观图，其直观图的面积是原来五边形面积的倍，即A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件当λ>0,且μ>0时，3.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,Sg=4,则a17+a18+a19+a20=()A.7B.8其首项S4=1,第二项Sg-S₄=3,则其公差d=3-1=2,则S2o-S16=1+2(5-1)=9,故a₁7+a184.(5分)设i为虚数单位，若复为纯虚数，则a=()解得a=1.5.(5分)甲、乙、丙、丁四人参加垃圾分类竞赛，四人对于成绩排名的说法如下若四人中只有一人说法是错误的，则甲的成绩排名为()A.第一名B.第二名C.第三名D.第四名④如果只有丁说的是错误的，顺序为丁、甲、乙、丙，符合题意.6.(5分)已知P为抛物线x²=4y上的一点，过P作圆x²+(y-3)²=1的两条切线，切点分别为A,B,则cos∠APB的最小值是()因为∠APB=2∠APC,7.(5分)若全集为U,定义集合A与B的运算：A×B={x|x∈AUB且xEA∩B},则(AB)A.AB.B【解答】解：由题意得，A×B={x|x∈AUB且xEA∩B},即图中的区域I,Ⅲ,则(A×B)×B为图中区域I和Ⅱ,即为A.)A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b设h(x)=x-sinx,x∈(0,+～),则h'(x)=1-cosx≥0,所以h(x)在(0,+~)上单调递增，所以h(x)>h(0)=0,所以x>sinx在(0,+)上恒成立，贝设g(x)=x-ln(x+1),x∈(0,+),则g(x)>g(0)=0,,则x>n(x+1)在(0,+～)上恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0,在(0,1)上恒成立，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(多选)9.(6分)若m,n为正整数且n>m>1,则(),故A正确.故B错误.由m,n为正整数且n>m>1,Am+mAm-1=n(n-1)(n-2)·(n-m+1)+mn(n-1)(n-2)(n-m+2)=D.f(x)在[-π,π]上有4个零点其对称轴方程不不时取等号),C正确；(多选)11.(6分)已知定圆M:(x-1)²+y²=16,点A是圆M所在平面内一定点，点P若A在圆M外部，则IQA|-IQMI=IIPQI-IQMII=IPM|=4,MAI>4,若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M,即Q此时点Q的轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆，故D正确.线，故C错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(5分)有一组按从小到大顺序排列的数据：3,5,x,8,9,10,若其极差与平均数相13.(5分)围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算.假设大小为n的眼有an口气，大小为n+1的眼有an+1口气，则an与an+1满足的关系是a1=1,az=2,an+1-n=an-1(n≥2,n∈N*),则an的通项公式为_an=【解答】解：已知an+1-n=an-1(n≥2,n∈N*),14.(5分)A,B,C,D四点均在同一球面上，∠BAC=120°,△BCD是边长为2的等边三角形，则△ABC面积的最大值为四面体ABCD体积最大时球的表面积为又BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cos120°,即4=AB²+AC²+AB·AC≥2AB·AC+AB*AC=3AB·AC,即△ABC面积的最大值②过A作AH⊥BC,垂足为H,设O为四面体ABCD外接球的球心，O1,O₂分别为△ABC,△BCD的外接圆的圆心.OO₁⊥平面ABC,OO₂⊥平面BCD,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD,二面角A-CD-P为直二面角.(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.【解答】解：(1)证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD,由于二面角A-CD-P为直二面角，则BC⊥平面PCD,由于PDc平面PCD,则PD⊥BC,又PC⊥PD,PC∩BC=C,PC、BCc平面PBC,则PD⊥平面PBC,由于PBC平面PBC,则PB⊥PD.则PF⊥平面ABC,于是PF⊥BF,由于底面ABCD是边长为2的正方形，则,故直线PC与平面故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为：(1)求X的概率分布；(2)求X的数学期望.将每次祈愿获取五星角色的概率记为po,X的所有可能取值为1,2,3,…,90,从而P(X=1)=po,P(X=2)=(1-po)po,P(X=3)=(1-po)²p=1×po+2×(1-po)po+3×(1-po)²po+…+90×((1-Po)E(X)=1×(1-po)Po+2×(1-po)²po+3×(1-po)³po+…+90p₀E(X)=Po+(1-Po)Po+(1-po)²p₀+…+(1-Po)⁸po+90×(1-P)⁸⁹17.(15分)已知函数f(x)=a²-elogax-e,其中a>1.(1)若a=e,证明f(x)≥0;设g(x)=xa²n²a-e,a>1,则g(x)在(0,+～)上单调递增，②当a=e时，由(1)知，函数f(x)在(0,+～)上有且仅有一个极值点；(1)求C的方程；解得c=2,即Fi(-2,0),F₂(2,0),IMNI=√(x3-x₄)²+(V₃-y₄)²=vn²+1√CV₃+IMNI=√(x3-x₄)²+(V₃-y₄)²=vn²+1√CV₃+因为点Q在双曲线C上，19.(17分