2023-2024学年江苏海安市实验高二数学下学期3月考试卷及答案解析

-2024学年江苏海安市实验高二数学下学期3月考试卷考试时间：120分钟；总分：150分2024.03一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（

）A．， B．，C．， D．，2．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有()A．512个B．192个C．240个 D．108个3．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（

）A．B．C． D．4．已知平行六面体，则下列四式中错误的是（

）A．B．C．D．5．地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（

）种.A．84 B．72 C．48 D．246．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．7．如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（

）A． B． C． D．8．设，分别是正方体的棱上的两点，且，，则当在上沿的方向运动时，三棱锥的体积（

）A．不断变大 B．不断变小 C．保持不变 D．先减小再增大二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．11．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（

）A．线段是异面直线与的公垂线段B．异面直线与的距离为C．点到直线的距离为D．点到平面的距离为三、填空题（共3题，每题5分，共15分）12．在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为.13．已知，，则不同的有序集合对有种.14．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知．(1)求在上的投影向量；(2)若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标；(3)若点，求点P到平面的距离．16．如图，在长方体中，，，点在线段上.

(1)求证：；(2)当是的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.17．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

(1)若，，求的斜60°坐标；(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．①求的斜60°坐标；②若，求与夹角的余弦值．18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.(1)若平面AEF，求的值；(2)在（1）的条件下，求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值．19．已知函数.(1)若，且与函数的图象相切，求的值；(2)若对成立，求实数的取值范围.1．A【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案．【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，，若，即，又由，则有，依次分析选项：对于A，，，，即成立，符合题意；对于B，，，，即不成立，不符合题意；对于C，，，，即不成立，不符合题意；对于D，，，，即不成立，不符合题意．故选：A．2．D【详解】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D．考点：排列组合．3．C【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解.【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为所以，整理得，而，，，，所以对比选项可知只有在平面内.故选：C.4．D【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A正确；对于B：因为，所以，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，故D错误.故选：D5．A【分析】先将区域分为上下左右，再分上下颜色相同与不同，最后用分步计数原理求解.【详解】将图形区域氛围上下左右，若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种；若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种，所以共有种，故选：A6．B【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B7．C【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果.【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，由题意可得：，∵，则，即，解得，由，可得，故平面ABD与平面CBD的夹角为.故选：C.8．C【分析】由，结合锥体体积公式判断即可.【详解】因为，设点到平面的距离为，则如图，到平面的距离即到平面的距离，且到平面的距离为，又的面积，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选：C.9．AB【分析】根据空间向量基底的概念结合共面定理一一判定即可.【详解】因为，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以，，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为，所以，，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误．故选：AB．10．BCD【分析】由排列数的公式计算逐项判断即可.【详解】A：，故A错误；B：，，故B正确；C：，，故C正确；D：，故D正确；故选：BCD.11．ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断.【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，，，，，，，，，，.对于A，，，，，，即，，所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确；对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为，又，所以异面直线与的距离为.故B错误；对于C，，，所以在方向的投影向量的模为，所以点到直线的距离为.故C正确；对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，，又，所以点到平面的距离为.故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解.12．【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可.【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，又，所以，解得，所以点P的坐标为.故答案为：.13．27【分析】先根据条件将集合分类，列举出满足条件的集合.【详解】AB、、、、、、、、、、、、、、、、、、、如上表，每一种集合可确定满足条件的集合，不同的有序集合对有27种.故答案为：27.14．【分析】根据空间向量基本定理可判断，，共面，又平面，所以.【详解】因为，所以，，所以，，共面，又，，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点，由已知平面，所以，又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以，所以的最小值为，故答案为：.15．(1)(2)(3)【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；（2）根据可求的坐标；（3）根据点面距公式可求点P到平面的距离．【详解】（1），，故在上的投影向量为，而.（2）设，则，故，故的坐标为.（3），设平面的法向量为，则即，取，则，，故，故点P到平面的距离为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）建系，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）在长方体中，连接，则，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)①；②【分析】对于小问（1），因为，，可以通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.对于小问（2），设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到的斜60°坐标；②中，因为，所以，结合①中的的斜60°坐标，并通过，计算与夹角的余弦值.【详解】（1）由，，知，，所以，所以；（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①，.

②因为，所以，则，∵，

.∴，，所以与的夹角的余弦值为18．(1)(2)【分析】（1）建系，求平面的法向量，结合线面平面的向量关系分析求解；（2）由（1）可得平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）因为平面，平面，则，且，平面，所以平面，如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，可得，，，因为，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，若平面AEF，则，解得.（2）由（1）可得：平面的法向量为，由题意可知：平面的一个法向量，设平面与平面