专题11 电容器带电粒子在电场中的运动（原卷版）

专题10电容器带电粒子在电场中的运动目录TOC\o"1-3"\h\u题型一有关平行板电容器的问题分析 1题型二带电粒子在电场中的加速直线与偏转 5题型三带电粒子在交变电场中的运动 14题型四带电粒子（带电体）在电场中的力电综合问题 25题型一有关平行板电容器的问题分析【解题指导】(1)两类动态问题的分析要抓住C＝eq\f(Q,U)、C＝eq\f(εrS,4πkd)和E＝eq\f(U,d)三个基本关系．(2)板间粒子的运动常用动力学方法或动能定理分析．【典例分析1】（2023上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期中）如图甲所示，计算机键盘为电容式传感器，每个键下面由相互平行、间距为d的活动金属片和固定金属片组成，两金属片间有空气间隙，两金属片组成一个平行板电容器，如图乙所示。其内部电路如图丙所示，则下列说法正确的是（）A．按键的过程中，电容器的电容减小B．按键的过程中，电容器的电荷量增大C．按键的过程中，图丙中电流方向从a流向bD．按键的过程中，电容器间的电场强度减小【典例分析2】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）如图所示，平行板电容器与电动势为的直流电源（内阻不计）连接，下极板接地，静电计所带电荷量很少，可被忽略。一带负电的油滴被固定于电容器中的P点。现将平行板电容器的上极板竖直向下平移一小段距离，则下列说法正确的是（）A．平行板电容器的极板所带电荷量不变B．静电计指针张角变小C．带电油滴的电势能增加D．若将上极板与电源断开后再将下极板左移一小段距离，则油滴所受电场力变大【方法提炼】平行板电容器的动态问题分析秘籍(1)抓住三个基本公式：C＝eq\f(εrS,4πkd)，C＝eq\f(Q,U)，E＝eq\f(U,d)。(2)两类动态分析d、S、εr变化时U、Q、C、E变化的判断依据：①充电后与电池两极相连：U不变，C＝eq\f(εrS,4πkd)，Q＝CU(变化同C)，E＝eq\f(U,d)。②充电后与电池两极断开：Q不变，C＝eq\f(εrS,4πkd)，U＝eq\f(Q,C)(变化与C相反)，E＝eq\f(U,d)＝eq\f(4πkQ,εrS)。(3)电势和电势能的变化结合电场的相关公式分析。【变式演练】1．（2023上·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考期中）前智能手机普遍采用了指纹识别，常用的指纹识别传感器是电容式传感器，指纹的凸起部分叫“嵴”，凹下部分叫“峪”。传感器上有大量面积相同的小极板，当手指贴在传感器上时，这些小极板和正对的皮肤表面部分形成大量的小电容器，这样在嵴处和峪处形成的电容器的电容大小不同。此时传感器给所有的电容器充电后达到某一电压值，然后电容器放电，电容值小的电容器放电较快，根据放电快慢的不同，就可以探测到嵴和峪的位置，从而形成指纹图像数据。根据文中信息，下列说法正确的是（

）

A．峪处形成的电容器电容较小 B．在峪处形成的电容器放电较慢C．充电后在嵴处形成的电容器的电荷量小 D．湿的手指头对指纹识别也绝对没有影响2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲所示，计算机键盘为电容式传感器，每个键下面由相互平行、间距为d的活动金属片和固定金属片组成，两金属片间有空气间隙，两金属片组成一个平行板电容器，如图乙所示。其内部电路如图丙所示，已知只有当该键的电容改变量大于或等于原电容的40％时，传感器才有感应，则下列说法正确的是（

）A．按键的过程中，电容器的电容减小B．按键的过程中，电容器的电量减小C．按键的过程中，图丙中电流方向从a流向bD．欲使传感器有感应，按键需至少按下3．（2023上·江苏镇江·高三统考期中）电容式位移传感器工作原理如图所示，当被测物体在左、右方向发生位移时，电介质板随之在电容器两极板之间移动。若电介质板向左移动一微小位移x，下列说法正确的是（

）A．电容器两极板间电压变小B．电容器电容C变大C．电容器带电量变少D．有方向的电流流过电阻题型二带电粒子在电场中的加速直线与偏转【解题指导】(1)带电粒子在匀强电场中做直线运动时，一般用牛顿第二定律与运动学公式结合处理或用动能定理处理．(2)在匀强电场中做类平抛运动时一般从分解的角度处理．(3)注意带电粒子重力能否忽略．【典例分析1】（2023上·北京西城·高三北京市第一六一中学校考期中）如图所示，电子从灯丝K发出（初速度不计），在KA间经加速电压加速后，从A板中心小孔射出，进入由M、N两个水平极板构成的偏转电场，M、N两板间的距离为d，电压为，板长为L，电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，射出时没有与极板相碰。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力及它们之间的相互作用力。求：（1）电子穿过A板小孔时的速度大小v；（2）电子从偏转电场射出时沿垂直于板方向偏移的距离y；（3）电子在离开偏转电场时的动能。【典例分析2】（2023·广东东莞·高三校联考期中）如图所示，离子发生器发射出一束质量为m，电荷量为q的离子，从静止经加速电压U1加速后，获得一定的速度，并沿垂直于电场方向射入两平行板中央，受偏转电压U2作用后，离开电场。已知平行板长为L，两板间距离为d，求：（1）离子出加速电场时的速度大小；（2）离子在离开偏转电场时的偏移量y；（3）离子在离开偏转电场时的动能Ek的大小。

【方法提炼】1．带电粒子在电场中的偏转规律2．处理带电粒子的偏转问题的方法(1)运动的分解法一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动．(2)功能关系当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，其中Uy＝eq\f(U,d)y，指初、末位置间的电势差．3.计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离的方法(1)y＝y0＋Ltanθ(L为屏到偏转电场的水平距离)；(2)y＝(eq\f(l,2)＋L)tanθ(l为电场宽度)；(3)y＝y0＋vy·eq\f(L,v0)；(4)根据三角形相似eq\f(y,y0)＝eq\f(\f(l,2)＋L,\f(l,2)).【变式演练】1.（2023上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期中）如图所示，电荷量之比为的带电粒子A、B以相等的速度v，从同一点出发，沿着与电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在极板上的C、D点，若OC=CD，忽略粒子重力的影响，则下列说法正确的是（）A．A和B在电场中运动的时间之比为2∶1B．A和B运动的加速度大小之比为4∶1C．A和B的位移大小之比为1∶2D．A和B的质量之比为1∶122.（2023上·河北邢台·高三河北内丘中学校联考期中）如图所示，边长为的正方形区域内存在沿方向、大小为的匀强电场，带电荷量为的粒子从点沿方向以速度射入匀强电场，从边的中点离开匀强电场，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是（）

A．带电粒子在匀强电场中运动的时间为 B．带电粒子经过点时的速度大小为C．带电粒子经过点时的动能为 D．带电粒子的质量为3.（2023上·江苏扬州·高三统考期中）如图所示，两金属板、竖直放置，间距为，两金属板正中间有一竖直放置的金属网，、、的尺寸相同，接地，、的电势均为。带电微粒在距离为的点由静止释放，恰好经过右侧距离也为的点。已知微粒的质量为，电荷量为，微粒与金属网不发生碰撞，重力加速度为。求：（1）P、N间电场强度的大小；（2）微粒第一次到达的时间；（3）A、B两点间的高度差。4．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电粒子从粒子源无初速度地飘入电压为U的加速电场，经加速后从小孔沿平行金属板A、B的中线射入，并打到B板的中心。已知A、B两极板长为L，间距为d，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用。（1）求A、B板间电场的电场强度大小；（2）仅将B板下移适当距离，其他条件不变，为使同种带电粒子原样射入且恰能射出电场，求B板下移的距离。5．（2023上·江苏镇江·高三统考期中）如图，静止于A处的质子（质量为m、电荷量为e），经电压为U的加速电场加速后，沿图中虚线垂直MP进入方向竖直向下的矩形有界匀强偏转电场区域MNPQ，区域边界、，质子经加速偏转后恰好能从PQ边距P点为2L处射出，粒子重力不计。（1）求质子离开加速电场时的速度大小；（2）求质子离开偏转电场时的速度大小；（3）若偏转电场的场强大小变为原来的三分之一、方向不变，求质子离开该区域时的速度大小。题型三带电粒子在交变电场中的运动【解题指导】1.在交变电场中做直线运动时，一般是几段变速运动组合．可画出v－t图象，分析速度、位移变化．2.在交变电场中的偏转若是几段类平抛运动的组合，可分解后画出沿电场方向分运动的v－t图象，分析速度变化，或是分析偏转位移与偏转电压的关系式．【典例分析1】（2023上·辽宁沈阳·高三校联考期中）如图甲所示为两块水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压U，电压U随时间t变化的图像如图乙所示。现有一群质量为m、重力不计的带电粒子以初速度沿中线射入两金属板间，经时间T都能从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述正确的是（）A．时入射的粒子，从进入电场到射出电场，电场力对粒子始终不做功B．时入射的粒子，离开电场时的速度方向沿水平方向C．时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最大D．时入射的粒子，离开电场时的速度大小等于初速度（2024·山东德州·校联考模拟预测）如图1，在矩形MNPQ区域中有平行于PM方向的匀强电场，电场强度为，一电荷量为，质量为m带电粒子以的初速度从M点沿MN方向进入匀强电场，刚好从Q点射出。，。现保持电场强度的大小不变，使匀强电场的方向按图2做周期性变化。使带电粒子仍以的初速度从M点沿MN方向进入，粒子刚好能从QN边界平行PQ方向射出。不计粒子重力，取图1中方向为电场正方向。则下列说法正确的是（）A．电场强度大小为B．电场强度大小为C．电场变化的周期可能为D．电场变化的周期可能为【典例分析3】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）如图1所示，竖直正对放置的平行极板间存在一匀强电场，从板处的放射源连续无初速度地释放质量为、电荷量为的电子，电子经极板间的电场加速后由板上的小孔离开，然后沿水平放置的平行极板的中心线进入偏转电场。两极板的长度均为、间距为，两板之间加有如图2所示的交变电压，时间段内极板的电势高于极板的电势。电子被加速后离开极板间的加速电场时的速度大小为，所有电子在极板间的偏转电场里运动时均不会打到两极板上，不考虑电子的重力及电子之间的相互作用和极板的边缘效应。求：（1）极板之间的电势差；（2）时刻进入偏转电场的电子离开偏转电场时的侧移距离；（3）时刻进入偏转电场的电子离开偏转电场时的侧移距离。【方法提炼】1．常见的交变电场常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．2．常见的试题类型此类题型一般有三种情况：(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．(2)粒子做往返运动(一般分段研究)．(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．3．解答带电粒子在交变电场中运动的思维方法(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件．(2)分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系．(3)注意对称性和周期性变化关系的应用．4.利用速度图象分析带电粒子的运动过程时的注意事项(1)带电粒子进入电场的时刻；(2)速度图象的切线斜率表示加速度；(3)图线与坐标轴围成的面积表示位移，且在横轴上方所围成的面积为正，在横轴下方所围成的面积为负；(4)注意对称性和周期性变化关系的应用；(5)图线与横轴有交点，表示此时速度改变方向，对运动很复杂、不容易画出速度图象的问题，还应逐段分析求解．5.交变电压的周期性变化，势必会引起带电粒子的某个运动过程和某些物理量的周期性变化，所以应注意：(1)分过程解决．“一个周期”往往是我们的最佳选择．(2)建立模型．带电粒子的运动过程往往能在力学中找到它的类似模型．(3)正确的运动分析和受力分析：合力的变化影响粒子的加速度(大小、方向)变化，而物体的运动性质则由加速度和速度的方向关系确定．【变式演练】1.（2023上·河南·高三校联考期中）如图甲所示，间距为d的平行金属板水平放置，两板间最高电压为，电压变化的周期为T，电压U随时间t变化的图象如图乙所示。一比荷的正离子以初速度沿平行金属板中心线方向从左侧射入，经过时间T从右侧射出，在运动过程中没有碰到极板，不计离子的重力。在离子从左侧射入到从右侧射出的过程中下列说法正确的是（）A．如果离子在0时刻进入电场，它在垂直极板方向的位移为B．如果离子在时刻进入电场，它在垂直极板方向的位移为C．如果离子在时刻进入电场，它在垂直极板方向的位移为D．如果离子在T时刻进入电场，它在垂直极板方向的位移为2．（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）图1的左侧平行金属板M、N间距为d，加有图2所示的交变电压，图1右侧为半径为R（）的圆形匀强磁场，磁感应强度为B垂直于纸面向内（图中未画出），AB为竖直方向直径。是M、N板间的中线并经过圆形磁场的圆心。不同时刻从O点沿中线射入初速度都为的不同粒子（不计粒子的重力），所有出射粒子都从A点离开磁场。则下列说法中正确的是（

）

A．粒子都带负电B．粒子在电场中运动时间都相同，且一定是电场周期T的整数倍C．所有粒子从电场中射出的位置相同D．粒子的比荷一定相等，都为3．（2023下·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右（图甲中由B到C），场强大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在时，从A点沿AB方向（垂直于BC）以初速度射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度射出，并恰好均能击中C点，若，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计重力和空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（）

A．电场强度和磁感应强度的大小之比为B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为C．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为D．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为4．（2023·黑龙江七台河·高三勃利县高级中学校考期中）如图甲，真空中的两平行金属板间距为d、板长为L。A、B两板间加上如乙图所示的方波形电压。在时刻，一质量为m、电量为e的电子以初速度从两板正中间沿板方向射入电场，并在时刻从板间射出，不计电子重力。下列说法正确的是（）A．电子沿板方向做加速运动B．板间距离必须满足C．电子从板间射出时机械能增加eU0D．电子从板间射出时的速度大小为v05.（2023上·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）如图甲所示，质量为m、电荷量为e的电子经加速电压，加速后，在水平方向沿垂直进入偏转电场。已知形成偏转电场的平行板电容器的极板长为L（不考虑电场边缘效应），两极板间距为d，为两极板的中线，P是足够大的荧光屏，且屏与极板右边缘的距离也为L。求：（1）粒子进入偏转电场的速度v的大小；（2）若偏转电场两板间加恒定电压，电子经过偏转电场后正好打中屏上的A点，A点与极板M在同一水平线上，求偏转电场所加电压；（3）若偏转电场两板间的电压按如图乙所示作周期性变化，要使电子经加速电场后，时刻进入偏转电场后水平飞出M板的右边缘，试确定偏转电场电压以及周期T分别应该满足的条件。题型四带电粒子（带电体）在电场中的力电综合问题【解题指导】1.匀强电场可与重力场合成用一合场代替，即电场力与重力合成一合力，用该合力代替两个力．2.力电综合问题注意受力分析、运动过程分析，应用动力学知识或功能关系解题．【典例分析1】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）在平面坐标系内，半径为圆形区域内有平行纸面的匀强电场，圆与坐标轴的交点分别为坐标原点轴上的点和轴上的点，为圆的直径，．质量为，电荷量为的带电粒子在纸面内自点以不同的速度先后进入电场区域．已知进入电场时速度为零的粒子，从轴上的点以速率穿出电场（粒子仅受电场力作用）．求：（1）圆形区域内电场强度的大小；（2）所有沿轴正方向进入电场的粒子中，穿出电场时动能增量的最大值；（3）某粒子以的速度沿轴正方向进入电场，求该粒子射出电场时的位置坐标。【典例分析2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）如图，在足够大的光滑、绝缘水平面上有两小球A和B，质量分别为3m、m，其中A带电量为，B不带电，开始时A与B相距，空间加有水平向右匀强电场，场强大小为E，此时小球A由静止释放，小球A、B发生弹性正碰且A电荷量不会转移，A与B均可视为质点，重力加速度为g。（1）求小球A与B第一次碰撞后的瞬间物块B的速度大小；（2）求从初始时刻，到两小球发生第二次碰撞时，小球A电势能的减少量；（3）求两小球第2023次碰撞后到第2024次碰撞前的时间间隔。【典例分析3】如图所示，BCD是光滑绝缘的半圆形轨道，位于竖直平面内，直径BD竖直，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，质量为m的不带电的滑块b静止在B点，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，场强大小为E。质量为m、带正电的小滑块a置于水平轨道上，电荷量为q＝eq\f(3mg,2E)，滑块a与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度为g。现将滑块a从水平轨道上距离B点12R的A点由静止释放，运动到B点与滑块b碰撞，碰撞时间极短且电量不变，碰后两滑块粘在一起运动，a、b滑块均视为质点。求：(1)滑块a、b碰撞后的速度大小；(2)滑块在圆形轨道上最大速度的大小，以及在最大速度位置处滑块对轨道作用力的大小；(3)滑块第一次落地点到B点的距离。【方法提炼】1带电粒子在电场中力电综合问题的分析思路(1)首先分析粒子的运动规律，确定粒子在电场中做直线运动还是曲线运动。(2)对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动分析，从以下两种途径进行处理：①如果是带电粒子受恒定电场力作用下的直线运动问题，应用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。②如果是非匀强电场中的直线运动问题，一般利用动能定理分析全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等。(3)对于曲线运动问题，通常有以下两种情况：①对于在匀强电场中的曲线运动，一般是类平抛运动，通常采用运动的合成与分解的方法处理。通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，借助运动的合成与分解，寻找两个分运动，再应用牛顿运动定律或运动学规律求解。②对于在非匀强电场中的曲线运动，一般是根据牛顿运动定律、曲线运动知识和动能定理、能量守恒定律定性分析。(4)当带电粒子从一个电场区域进入另一个电场区域时，要注意分析带电粒子的运动规律的变化及两区域电场交界处的有关联的物理量，这些关联量往往是解决问题的突破口。2.带电体在电场、重力场中运动的动力学问题1．等效重力法将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g′＝eq\f(F合,m)为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向．2．物理最高点与几何最高点在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题．小球能维持圆周运动的条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点．几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的最高点．而物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小(称为临界速度)的点．【变式演练】1.（2024·全国·高三专题练习）如图所示，虚线MN下方存在着方向水平向左、范围足够大的匀强电场。AB为绝缘光滑且固定的四分之一圆弧轨道，轨道半径为R，O为圆心，B位于O点正下方。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，以初速度vA竖直向下从A点沿切线进入四分之一圆弧轨道内侧，沿轨道运动到B处以速度vB射出。已知重力加速度为g，电场强度大小为，，空气阻力不计，下列说法正确的是（）A．从A到B过程中，小球的机械能先增大后减小B．从A到B过程中，小球对轨道的压力先减小后增大C．在A、B两点的速度大小满足vA>vBD．从B点抛出后，小球速度的最小值为2.（2023·广西玉林·高三校考期中）如图所示，匀强电场，方向水平向右，ABCD为竖直放置在电场中的绝缘导轨，半圆形轨道BCD光滑，半径，B为圆轨道最低点，水平轨道与其相切于B点，水平轨道粗糙，，一质量、电荷量的带正电的小滑块在A点有一个水平向右的初速度。已知水平轨道与小滑块之间的动摩擦因数，重力加速度g取10m