2024届河北省保定市冀英学校九年级数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2024届河北省保定市冀英学校九年级数学第一学期期末统考模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.已知XI,X2是一元二次方程χ2-2x=0的两根，则X1+X2的值是（）

B.2C.-2D.4

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

ʌə

©

3.如图，AB是半圆。的直径，半径OC_LA3于O,Ao平分NC4B交BC于点。，连接C。，OD,BD.下列结论中

B.CE=OE

C.^ODE^Δ,ADOD.AC—2.CD

4.如图，抛物线y=aχ2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1,给出下列结论:

①b2=4ac;②abc>O;③a>c；④4a-2b+c>0,其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.方程(x—I)?=O的根是()

A.Xl=X[=ɪB.x1=l,x2=0

c.%=-1，％2=OD∙玉—-1,——1

6.关于X的一元二次方程%2—3%+相=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为()

、99,9

A.m>—B.m<—C.m=-D.m<-一

4444

7.已知二次函数y=aχ2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>O;②b<a+c；③4a+2b+c>0;(4)2c-3b<0;

⑤a+b>n(an+b)(n≠l),其中正确的结论有()

C.4个D.5个

下列说法中错误的是()

A.顶点坐标为(1,-2)

B.对称轴是直线X=I

c.当x>ι时，y随X的增大减小

D.抛物线开口向上

9.点A(-3,j1),B(0,J2),C(3,J3)是二次函数y=-(x+2)2+”,图象上的三点，则山，及，山的大小关系是

()

A.JI<J2<J3B.jι=j3<j2C.yy<yι<y∖D.y∖<y3<y2

10.已知m是方程χ2一2006x+1=0的一个根，则代数式苏-2005，〃+当竺+3的值等于()

m^+l

A.2005B.2006C.2007D.2008

二、填空题(每小题3分,共24分)

11.如图，在正方形ABCD中，Aβ=a,点E,尸在对角线8。上，且NEC尸=NA8。，将CE绕点C旋转一定角

度后，得到AOCG,连接尸G.则下列结论:

①NFCG=NCDG；

②△CE尸的面积等于L/；

4

③尸C平分NB尸G；

@BE2+DF2=EF2；

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

12.以原点O为位似中心，将AAOB放大到原来的2倍，若点A的坐标为（2,3）,则点A的对应点4的坐标为.

13.如图所示，矩形DEFG的边EF在ΔABC的边BC上，顶点O,G分别在边AB,AC上.已知AC=6,AB=S,

BC=I0,设律=x,矩形。EFG的面积为丁，则丁关于X的函数关系式为.（不必写出定义域）

14.如图，AABC是不等边三角形，DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与aABC

全等，这样的三角形最多可以画出_____个.

3

15.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A（加,6）在第一象限，与X轴所夹的锐角为α,且Sina=《，

则机的值是.

16.若代数式4χ2-2χ-5与2招+1的值互为相反数，则X的值是一.

17.在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中绿球1个，红球2个，摸出一个球放回，混合均匀

后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是.

18.已知抛物线y=0√+2αχ+c与X轴的一个交点坐标为（2,0）,则一元二次方程62√+2依+。=（）的根为

三、解答题（共66分）

19.（10分）在面积都相等的一组三角形中，当其中一个三角形的一边长X为1时，这条边上的高y为L

（1）①求）'关于X的函数解析式；

②当xN3时，求）'的取值范围；

（2）小明说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4,你认为小明的说法正确吗？为什么？

20.（6分）综合与探究

如图，已知抛物线丁="2-2%+。与4轴交于4（-3,0）,B（LO）两点，与》轴交于点C,对称轴为直线/,顶点为D.

⑴求抛物线的解析式及点O坐标；

⑵在直线/上是否存在一点加，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

⑶在X轴上取一动点尸（加,0）,-3<m<-l,过点P作X轴的垂线，分别交抛物线，AD,AC于点E，F,G.

①判断线段EP与FG的数量关系，并说明理由

②连接E4,ED,CD,当机为何值时，四边形AEz）C的面积最大？最大值为多少？

21.（6分）综合与探究：三角形旋转中的数学问题.

ZABO+ZOBC=90o.∙.ZDAO+ZDCO=90°

实验与操作：Rt∆ABC中，ZABC=90o,NACB=30。.将Rt∆ABC绕点A按顺时针方向旋转得到Rt∆ABC（点

B,,。分别是点B,C的对应点）.设旋转角为α（（ΓVa<180D,旋转过程中直线B，B和线段CC相交于点D.

猜想与证明：

（1）如图1,当AO经过点B时，探究下列问题：

①此时，旋转角a的度数为。；

②判断此时四边形AB，DC的形状，并证明你的猜想；

（2）如图2,当旋转角a=90。时，求证：CD=CD；

（3）如图3,当旋转角a在0。VaVl80。范围内时，连接AD,直接写出线段AD与CC'之间的位置关系（不必证明）.

(1)求k的取值范围；

(2)若方程的两实数根分别为XI,X2,且xF+X22=6x∣X2-15,求k的值.

k

23.(8分)如图，已知一次函数y=-x+n的图象与反比例函数y=—的图象交于A(4,-2),B(-2,m)两点.

X

k

(1)请直接写出不等式-x+nW-的解集；

X

(2)求反比例函数和一次函数的解析式；

(3)过点A作X轴的垂线，垂足为C,连接BC,求AABe的面积.

24.(8分)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y轴上，点A在反比例函数M=K(X>0)的图象上,

X

63

点B在反比例函数为=\0>0)的图象上，AB交X轴与点E,S矩形OCBE=]S矩形8AE∙

(1)求k的值;

(2)若AZ)=2,点P为y轴上一动点，当PA+P3的值最小时，求点P的坐标.

25.(10分)已知：如图,在。O中,弦A8、CD交于点E,AD=CB.

求证：AE=CE.

26.(10分)如图1,矩形ABCD中，AD=2,AB=3,点E,尸分别在边AB,BC±,且8尸=连接OE,EF,

并以OE,E尸为边作。。EFG.

(1)连接。尸，求。尸的长度；

(2)求。OE尸G周长的最小值；

(3)当□OE尸G为正方形时(如图2),连接BG,分别交EF,CD于点P、Q,求BP：QG的值.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、B

【解析】Vxι,Xi是一元二次方程χ2一2x=0的两根，∙'∙xι+xι=L故选B.

2、C

【分析】根据轴对称，中心对称的概念逐一判断即可.

【详解】解：A、该图形为轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；

B、该图形为中心对称图形，但不是轴对称图形，故B错误；

C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C正确；

D、该图形为轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误；

故答案为C.

【点睛】

本题考查了轴对称，中心对称图形的识别，掌握轴对称，中心对称的概念是解题的关键.

3、A

【分析】A.根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证NCAD=NADo即可；

B.过点E作EF_LAC,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=EF,再根据直角三角形斜边大于直角边可

证；

C.两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③^ODEs^ADO;

D.根据角平分线的性质得出NCAD=NBAD,根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可得CD=BD,又因

为CD+BD>BC,X⅛AC=BC可得AC<2CD,从而可判断D错误.

【详解】解：解：A.∙.∙AB是半圆直径，

ΛAO=OD,

ΛZOAD=ZADO,

VAD平分NCAB交弧BC于点D,

ΛZCAD=ZDAO=ɪNCAB,

ΛZCAD=ZADO,

.,.ACZzOD,

...A正确.

B.如图，过点E作EFJ_AC,

VOC±AB,AD平分NCAB交弧BC于点D,

ΛOE=EF,

在RtAEFC中，CE>EF,

ΛCE>OE,

.∙.B错误.

C.;在AODE和AADO中，只有NADo=NEDO,

•：ZCOD=2ZCAD=2ZOAD,

.∙.ZDOE≠ZDAO,

.∙.不能证明AODE和AADO相似，

.∙∙C错误;

D.VAD平分NC48交BC于点。，

.∙.ZCAD=ZBAD.

ΛCD=BD

二BC<CD+BD=2CD,

：半径OCJ于0,

ΛAC=BC,

ΛAC<2CD,

.∙.D错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定

理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练.

4,C

【详解】试题解析：①•••抛物线与X轴有2个交点，

.,.∆=b2-4ac>0,

所以①错误；

②；抛物线开口向上，

Λa>O,

Y抛物线的对称轴在y轴的左侧，

.♦.a、b同号，

Λb>O,

∙.∙抛物线与y轴交点在X轴上方，

Λc>O,

.∖abc>O,

所以②正确；

③∙.∙χ=-1时，y<0,

即a-b+c<O,

T对称轴为直线χ=-l,

b=2a,

Λa-2a+c<0,即a>c,

所以③正确；

④•••抛物线的对称轴为直线X=-1,

X=-2和x=0时的函数值相等，即X=-2时，y>0,

Λ4a-2b+c>0,

所以④正确.

所以本题正确的有：②③④，三个，

故选C∙

5、A

【分析】利用直接开平方法进行求解即可得答案.

【详解】（x-l）2=0,

X-I=O,

.*.X1=X2=1,

故选A.

【点睛】

本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法是解题的关键.

6、B

【分析】根据方程有两个不等的实数根，故白>0,得不等式解答即可.

【详解】试题分析：由已知得A>0,即（-3）2-4m>0,

9

解得mV丁.

4

故选B.

【点睛】

此题考查了一元二次方程根的判别式.

7、B

【分析】①观察图象可知a<0,b>0,c>0,由此即可判定①；②当X=-I时，y=a-b+c由此可判定②；③由对称知,

b

当x=2时，函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,由此可判定③；④当x=3时函数值小于0,即y=9a+3b+c<0,且X=------

2a

b

=L可得a=-5,代入y=9a+3b+c<0即可判定④；⑤当x=l时,y的值最大.此时，y=a+b+c,当x=n时,y=an2+bn+c,

由此即可判定⑤.

【详解】①由图象可知：a<0,b>0,c>0,abc<O,故此选项错误；

②当X=-I时，y=a-b+c<O,即b>a+c,故此选项错误；

③由对称知，当x=2时，函数值大于0,即y=4a+2b+c>(),故此选项正确；

④当x=3时函数值小于0,v=9a+3b+c<0,且X=——=1BPa=--,代入得9(--)+3b+c<0,得2cV3b,故此

2a22

选项正确；

⑤当x=l时，y的值最大.此时，y=a+b+c,而当x=n时，y=an2+bn+c,所以a+b+cAaM+bn+c,⅛a+b>an2+bn,即

a+b>n(an+b),故此选项正确.

二③④⑤正确.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图象与二次函数系数之间的关系是解决本题

的关键.

8、C

【分析】A.将抛物线一般式化为顶点式即可得出顶点坐标，由此可判断A选项是否正确；

B.根据二次函数的对称轴公式即可得出对称轴，由此可判断B选项是否正确；

C.由函数的开口方向和顶点坐标即可得出当x>1时函数的增减性，由此可判断C选项是否正确；

D.根据二次项系数a可判断开口方向，由此可判断D选项是否正确.

［详解］jy=x2-2x-l=(Λ-l)2-2,

,该抛物线的顶点坐标是(1,-2),故选项A正确，

对称轴是直线尤=1,故选项B正确，

当x>l时，丁随X的增大而增大，故选项C错误，

a=l,抛物线的开口向上，故选项D正确，

故选：C.

【点睛】

bb

本题考查二次函数的性质.对于二次函数y=αχ2+必+cQ≠勿，若。>0,当x≤-丁时，y随X的增大而减小；当x≥-丁

2a2a

时，y随X的增大而增大.若a<0,当xS—3时，y随X的增大而增大；当x≥-3时，y随X的增大而减小.在本

2Q2a

题中能将二次函数一般式化为顶点式(或会用顶点坐标公式计算)得出顶点坐标是解决此题的关键.

9、C

【解析】先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小.

【详解】二次函数y=-(X+2)2+加图象的对称轴为直线X=-2,

又a二l,二次函数开口向下，

.∙.xV∙2时，y随X增大而增大，x>・2时，y随X增大而减小，

而点A(-3,jι)到直线X=-2的距离最小，点C(3,J3)到直线X=-2的距离最大，

所以gVyzVyi.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.

10、D

【分析】由m是方程χ2.2006x+l=0的一个根，将x=m代入方程，得到关于m的等式，变形后代入所求式子中计算，

即可求出值.

【详解】解：Tm是方程X2-2006X+1=0的一个根，

Λm2-2006m+l=0,即m2+l=2006m,m2=2006m-l,

,2Ce2006.

贝rι!]"-2005/72+—ɔ——+3

m+1

=2006加-1-2005/H+2006+3

2006机

1C

=m-i——+2

m

m2+1C

=---------+2

m

2006mC

=----------+2

m

=2006+2

=2008

故选：D.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、®@®

【分析】由正方形的性质可得A5=bC=CD=AD=α,ZABD=ZCBD=ZADB=ZBDC=45o,由旋转的性质可得

NCBE=NCDG=45°,BE=DG9CE=CG9ZDCG=ZBCEf由SAS可证∏T<EF=FG9NEFC

=Z-GFC9SAECF=SACFG,即可求解.

【详解】解：・・・四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD=a,NABD=NCBD=NADB=NBDC=45°,

ZECF=ZABD=45o,

:∙NBCE+NFCD=45°,

•・,将绕点。旋转一定角度后，得到aDCG,

INCBE=NCDG=45°,BE=DG9CE=CG9ZDCG=ZBCE9

：.ZFCG=ZECF=45o,

；・NFCG=NCDG=45°,故①正确，

VEC=CG,NFCG=NECF,FC=Fa

：.AECF/AGCF(SAS)

:・EF=FG,/EFC=∕GFC,SAECF=S&CFG,

，C/平分NB/G,故③正确，

YNBDG=NBDC+NCDG=9Q°,

.∙.DG2+。尸=FG2,

••.KEZ+。尸2=E772,故④正确，

VDF+DG>FG,

:∙BE+DF>EF,

∙"∙SACEF<SAREC^SADFC,

11ʌ

.∙.ACEF的面积C-SABCD=一才，故②错误；

24

故答案为：①③④

【点睛】

本题是一道关于旋转的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，考查了旋转的性质、正方形

的性质、全等三角形的判定及性质等知识点.

12、(4,6)或(-4,-6)

【分析】由题意根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的

坐标的比等于k或-k,即可求得答案.

【详解】解：∙.∙点A的坐标分别为（2,3）,以原点O为位似中心，把4AAOB放大为原来的2倍，

则A'的坐标是：（4,6）或（-4,-6）.

故答案为：（4,6）或（-4,-6）.

【点睛】

本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么

位似图形对应点的坐标比等于k或-k∙

13、y=4.8x-0.48Y

【分析】易证得AADGS^ABC,那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP的表达式，进而可求出PH

即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、X的函数关系式；

【详解】如图，作AH为BC边上的高，AH交DG于点P,

.∙.三角形ABC是直角三角形，

二△ABC的高==4.8,

10

；矩形DEFG的边EF在白ABC的边BC上，

.∙.DG"BC,

Λ∆ADG^ΔABC,

VAH±BC,

ΛAP±DG

.APDG

"AH-BC'

.APDG

,,48^ʒ0^,

.AP_.QDG_

*•—zz4.8X=0.48X

4.810

ΛPH=4.8-0.48Λ,

Λy=DG-PH=x(4.8-0.48x)=4.8x-0.48x2

故答案为：y=4.8x-0.48f

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出矩形的边长.

14、4

【解析】试题分析：如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆.两圆相交于两

点（DE上下各一个），分别于D、E连接后,可得到两个三角形：以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画

圆.两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D、E连接后,可得到两个三角形.因此最多能画出4个

考点：作图题.

15、8

【分析】过A作AB_LX轴，根据正弦的定义和点A的坐标求出AB,OA的长，根据勾股定理计算即可.

【详解】如图，过A作AB_LX轴,

.AB

sina=----,

OA

.3

Vsɪna=-,

5

.AB3

••—■一,

OA5

•：A(m,6),

.∙.AB=6,

.∙.0A=空=10,

根据勾股定理得：OB=y∣OA2-AB2=√102-62=8>

即m=8,

故答案为8.

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的性质，掌握直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比是解题

的关键∙

16、1或——

3

2

【解析】由题意得：4x2-2x-5+2√+1=0,解得：x=l或x=--,

3

2

故答案为：1或--.

3

4

17、-

9

【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求

解即可求得答案.注意此题属于放回实验.

【详解】解：画树状图得：

开始

Y共有9种等可能的结果，两次都摸到红球的只有4种情况，

-4

,两次都摸到红球的概率是：一.

9

4

故答案为

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.正确的列出树状图是解决问题的关键.

18、xl=2,X2=-4

【分析】将x=2,y=l代入抛物线的解析式可得到c=-8a,然后将c=-8a代入方程，最后利用因式分解法求解即可.

【详解】解：将x=2,y=l代入y=αχ2+20x+c得：2a+2a+c=l.

解得：c=-8a.

将c=-8a代入方程得：0r2+20r-8α=0

a(x2+2x-8)=0.

∙*∙a(X—2)(x+2)=1.

•∙XiX2^∙2∙

【点睛】

本题主要考查的是抛物线与X轴的交点，求得a与C的关系是解题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)①>，=9；②0<y42;(2)小明的说法不正确.

X

【分析】(I)①直接利用三角形面积求法进而得出y与X之间的关系；

②直接利用X≥3得出y的取值范围；

(2)直接利用X+y的值结合根的判别式得出答案.

【详解】(1)①S=LXIX6=3,

2

∙.∙χ为底，y为高，

ɪxy=3,

,6

•∙y=一；

X

②当χ=3时，y=2,

二当xN3时，)'的取值范围为：OVy42；

(2)小明的说法不正确，

理由：根据小明的说法得：%+-=4,

X

整理得：X2—4x+6=0,

∙.∙Q=1,h=-4>c=6,

二∕=4αc=(T)2-4x1x6=-8<0,

方程无解，

.∙.一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4,

.∙.小明的说法不正确.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与X之间的关系是解题关键.

20、(l)y=-x2-2x+3,点。坐标为(—1,4)；(2)点M的坐标为(T,2)；⑶①W=2FG；②当，”为-2时，四边

形AEZ)C的面积最大，最大值为4.

【分析】(1)用待定系数法即可求出抛物线解析式，然后化为顶点式求出点D的坐标即可；

(2)利用轴对称-最短路径方法确定点M,然后用待定系数法求出直线AC的解析式，进而可求出点M的坐标；

(3)①先求出直线AD的解析式，表示出点F、G、P的坐标，进而表示出FG和FP的长度，然后即可判断出线段FP

与FG的数量关系;

②根据割补法分别求出和的面积，然后根据四边形列出二次函数解析式，利用二次

aAEDAACDSWC=SΔZ4Q+SΔ4DC

函数的性质求解即可.

,∕9α+6+c=0

【详解】解：⑴由抛物线y=a√-2x+c与X轴交于4—3,0),8(1,0)两点得，

a-2+c=0

解得《

故抛物线解析式为y=-V-2x+3,

由y=-f-2x+3=-(x+l)2+4得点£)坐标为(-1,4)；

⑵在直线I上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小.

根据抛物线对称性MA=MB,

：.MB+MC^MA+MC,

：.使MB+Λ∕C的值最小的点M应为直线AC与对称轴/:X=-1的交点,

当X=O时，y=3,

∙∙.C(0,3),

设直线AC解析式为直线y=kx+h9

把A(-3,0)、C(0,3)分别代入y=丘+6得

—3k+0=0

,解之得：〈

二直线AC解析式为y=χ+3,

把X=T代入y=x+3得，y=2,

.∖M(-l,2)f

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2)；

⑶①PF=2EG,

理由为：

设直线AD解析式为y=Kx+力，

把A(—3,0)、0(—1,4)分别代入直线y=Kx+。'得

-3k'+b'=0k'=2

-4'解之得：

b'=β'

ʌ直线AD解析式为y=2x+6,

则点F的坐标为(m,2m+6),

同理G的坐标为(加,"7+3),

则FG=(2m+6)-(w+3)≈m+3,FP=2m+6=2(m+3),

ʌFP=ZFG；

②∙.∙A(-3,0),D(-1,4),M(-1,2),

ΛAO=3,DM=2,

.*.SΔACD=SΔADM+SΔCDM=—DM-AO=-×2×3>=^i.

22

设点的坐标为2

E(m,-fn-2m+3),

EF=(-W2—2m+3)-(2，〃+6)=-m2-4m-3=-(m+2)2+1,

∙*∙SAAED=^ΛAEF+ʒ'ʌffθ

=∣×EF[(m-(-3)]+ɪ×EF(-1-ʌw)

11ɔ

=—×EF(m+3-1-/71)=—×EF×2=EF=-(m+2')2+1,

.∙.当m为一2时，SMED的最大值为L

四边形22

∙,∙SAfDC=SMHɔ+SAADe=-(∕w+2)+l+3=-(m+2)+4,

二当机为-2时，四边形AEr)C的面积最大，最大值为4.

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，一般式与顶点式的互化，轴对称最短的性质，坐标与图形的性质，三角形的面

积公式，割补法求图形的面积，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答本题的关键.

21、(1)①60；②四边形AB，DC是平行四边形，证明见解析.(2)证明见解析；(3)ADlCC

【分析】(1)①根据矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定方法解题；

=吗，NABB

ZACD

DOOC

②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解题;

(2)过点C'作BC的垂线，交BD于点E,由旋转的性质得到对应边、对应角相等，进而证明ACDBgACQE,

即可解题；

(3)先证明_AOB'.DOC’,再由相似三角形的性质解题，进而证明.AoD_8。C即可证明4。，CC：

【详解】解：(1)①60；②四边形AB，DC是平行四边形.

证明：VZABC=90o,NACB=30。，

ΛZCAB=90o-30o=60o.

VRtΔAB，。是由Rt∆ABC绕点A顺时针旋转得到的，

.∙.NC'AB'=NCAB=60°,AB=A3，AC=AC.

.∙.-ACC'与.ABB’都是等边三角形•

ΛZACC,=ZAB,B=60o.

•：ZCAB,=ZCAB+ZC,AB,=120o,

：.ZACC,+ZCAB,=180o,NCAB'+NABB'=180°.

ΛAB7∕CD,AC//BD.

二四边形AB-DC是平行四边形.

(2)证明：过点C'作BC’的垂线，交BO于点E,

：.NB'C'E=90°.

,.,RtΔABc是由Rt∆ABC绕点A顺时针旋转90。得到的，

.∙.NCAC'=NBAB'=NB'C'E=90°,AB=AB>BC=BC.

ΛZAβB=ZABB=45o,BC〃AB'〃C'E

VZAB'C=NABC=90。，

ΛZBBC'=ZCBE=450.

ΛZBEC=90o-45o=45o=ZBβC.

ABC=CE=BC.

在ACBD和AC'ED中,

ZCDB=ZCDE

<ZCBD=ZCED

CB=CE

Λ∆CDB^∆CDE.

ΛCD=CD.

(3)ADjLCe',理由如下：

设AC与DB'交于点O,连接AD,

AC=AC,AB=AB,ZCAC=ZBAB,

:.ZABB=ZABB=ZACC=ZACC,

.∖ΔAOB_DOC

AODO

•••______，一______，

OBOC

/AOD=ZBOC

.-.ΛAOD一RoC

ZDAO=ZOBC

.∙.ZADC,=180o-ZDAO-ZAC,C=180o-ZOB,C,-ZAB,B,

ZADC=90°,

..ADLCC

【点睛】

本题考查几何综合，其中涉及三角形的旋转、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、全等三

角形的判定等知识，综合性较强，是常见考点，掌握相关知识、学会作适当辅助线是解题关键.

3

22、(1)k>-；(2)1

2

【分析】(1)根据判别式与根的个数之间的关系，列不等式计算即可；

2

(2)根据一元二次方程根与系数间的关系表示出xl+x2,X1X2,再由X1+√=(X1+々)2-2玉X?代入进行计算即可.

【详解】解：(1)由题意，得A=[-(k+l)]2-1(Lk2+1)=2k-3>0,

4

3

解得女≥二，

2

3

Jk的取值范围为k≥7.

2

(2)∙.∙由根与系数的关系，得Xl+X2=k+1,Xl∙X2=Lk2+l,

4

VXI2+X22=6XIX2-15,

：•(X1+X2)2-8X1X2+15=0,

.∖k2-2k-8=0,解得：kι=l,kι=-2,

又∙.∙k≥3,

2

：•k=l.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，根与系数的关系，熟知以上运算是解题的关键.

8

23、(1)-2SXVO或x≥4;(2)y=-----,y=-x+2；(3)6

X

【分析】(1)根据图像即可得到答案；

(2)将点A(4,-2),B(-2,m)的坐标分别代入解析式即可得到答案；

(3)过点B作BDJ_AC,根据点A、B的坐标求得AC、BD的长度，即可求得图形面积.

k

【详解】解：(1)由图象可知：不等式-x+nW—的解集为-2≤x<0或x≥4;

k

(2)V一次函数y=-x+n的图象与反比例函数y=—的图象交于A(4,-2),B(-2,m)两点.

X

.∖k=4×(-2)=-2m,-2=-4+n

解得m=4,k=-8,n=2,

Q

二反比例函数和一次函数的解析式分别为y=--，y=-x+2；

X

(3)由(2)知B(-2,4),

过点B作BD±ACJ交AC的延长线于D,

VA(4,-2),B(-2,4),

ΛAC=2,BD=2+4=6,

此题考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的关系，在求图像中三角形面积时用

点的坐标表示线段的长度.

24、(1)攵=-4；(2)(O,ɪ)

2

【分析】(D设B(a,b),由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b,进而可得S矩形OCBE=ab

3

=6,再根据S矩形OCBE=5S矩形ODAE可得S矩形OOAE=4,再设A(m,n),可得fnn=k,再根据m∙(-")=4即可求得

k的值；

(2)先根据AD=2求得点A、B的坐标，再利用轴对称找到符合题意的点P,求出直线A3'的函数关系式，进而可

求出点P的坐标.

【详解】解：(D设〃(a,b),

TB在反比例函数%=9(χ>0)的图象上，

X

6

・・b=-9

a

:•〃力=6,

即S矩形0CBE6,

矩形矩形

/S=-SOZME・

3

S=6

-矩

2形E

∙*∙S矩形0D4E=4

设ACm9〃)，

∙.∙A在反比例函数y=A(x>0)的图象上，

X

,k

π=—9

m

：•mn=k,

S矩形OQAE-4,

Λm∙(-π)=4,

：・-mn-4,

.*.inn=—4,

即左=T;

(2)∙.∙AD=2,

.∙.当a=2时，b=—=3,

2

ΛB(2,3),

当m=2时，n------2

m2

ΛA(2,-2),

作点B关于y轴的对称点8'(-2,3),连接AB',交y轴于点P,连接PB,

则PB=PB',

二PA+PB=PA+PB'=AB，

V两点之间，线段最短，

二此时的PA+PB即可取得最小值，

设AB'为y=kιx+bι,

将B'(23),A(2,-2)代入得

3=-2⅛∣+b[

-2=2k∣+b[

解得

令χ=o,则y=；

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点之间线段最短以及用待定系数法求一次函数关系式，熟练掌握反比

例函数和一次函数的性质是解决本题的关键.

25、证明见解析.

【分析】由圆周角定理可得NADE=NCBE,从而利用AAS可证明aADEg2∖CBE,继而可得出结论.

【详解】证明:Y同弧所对的圆周角相等，

.∙.ZA=NC,No=NB

在,AZ)E和ACBE中,

ZA=ZG

<AD=CB,

ZD=ZB,

：.^ADE^CBE

:.AE=CE

【点睛】

本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出NADE=NCBE.

63

26、(1)√iθ；(2)6√2;(3)一或二.

75

【分析】(1)平行四边形OE尸G对角线。尸的长就是RtAOCT的斜边的长，由勾股定理求解；

(2)平行四边形。EFG周长的最小值就是求邻边2(DE+EF)最小值，OE+EP的最小值就是以A3为对称轴，作点

尸的对称点M,连接。M交AB于点N,点E与N点重合时即。E+EF=。M