苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十一、反比例函数与平行四边形结合(原卷版+解析)

类型十一、反比例函数与平行四边形结合【解惑】方法：平行四边形ABCO，已知ABC，求点B的坐标——1.先设B坐标，根据平行四边形坐标公式；2.点B不固定时，分三种情况去讨论。【融会贯通】1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，D在函数的图象上，轴于点C，，点D的纵坐标为2，则的长为（

）A． B． C．4 D．62．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（

）A． B． C． D．3．如图，在平面直角坐标系中，．反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，则________【知不足】1．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______．2．如图所示，点为坐标原点，点在双曲线上，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，若四边形是平行四边形，则四边形的面积为________．3．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“关爱点”．如图，平行四边形的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数的图象与交于点A．若点B是点A的“关爱点“，且点B在的边上，则的长为_____．4．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．(1)当点A的横坐标为2时，求k的值；(2)若，点C为y轴正半轴上一点，，①求点C的坐标及的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，请求出第四个顶点D的坐标．【一览众山小】1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______．2．如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_____．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是______．4．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________．5．如图，在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象经过平行四边形的顶点A，函数（其中）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，的面积为6．(1)求k的值；(2)求直线的解析式．【温故为师】1．如图，点，都在反比例函数的图象上．(1)求，的值；(2)如果为轴上一点，为轴上一点，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．2．如图一次函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式(2)求的面积．(3)根据图象直接写出时,的取值范围;(4)已知点,设点是坐标平面内一个动点,当点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点的坐标.3．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．(1)求和的值．(2)若点与点关于直线对称，连接．①求点的坐标；②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．(1)求k与m的值；(2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值．(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由．5．如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．(1)求m、n的值；(2)求一次函数的表达式；(3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；(4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．6．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题：(1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______．(2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交边于点E，作直线．(1)求反比例函数的解析式和E点坐标；(2)在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．8．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)若的面积为9，求点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．类型十一、反比例函数与平行四边形结合【解惑】方法：平行四边形ABCO，已知ABC，求点B的坐标——1.先设B坐标，根据平行四边形坐标公式；2.点B不固定时，分三种情况去讨论。【融会贯通】1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，D在函数的图象上，轴于点C，，点D的纵坐标为2，则的长为（

）A． B． C．4 D．6【答案】A【详解】解：∵D在函数的图象上，点D的纵坐标为2，∴，得，∴，∵轴于点C，，∴点的纵坐标为2，又∵四边形为平行四边形，∴轴，且，∴点的纵坐标为4，∴，得，则：，，∴，由勾股定理可得：．2．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图所示，，中点恰好落在轴上，，，（AAS），，点在双曲线上，，点在双曲线上，且从图像得出，，，四边形是平行四边形，，，解得：，，，3．如图，在平面直角坐标系中，．反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，则________【答案】【详解】解：∵，∴点A平移到点B，横坐标减2，纵坐标加1，根据平行四边形的性质可知，点O平移到点C也是如此，∴C点坐标为，代入得，，解得，，【知不足】1．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______．【答案】6【详解】解：过点A作于，如图，四边形为平行四边形，轴，四边形为矩形，，∵，2．如图所示，点为坐标原点，点在双曲线上，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，若四边形是平行四边形，则四边形的面积为________．【答案】5【详解】解：如图所示，连接，分别过点，作轴垂线，垂足分别为点，，由题意可知，，，，3．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“关爱点”．如图，平行四边形的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数的图象与交于点A．若点B是点A的“关爱点“，且点B在的边上，则的长为_____．【答案】【详解】解：设，∵点B是点A的“关爱点“，∴，当B点在上时，则，解得，∴，∴；当B点在上时，设的解析式为，∴，解得，∴的解析式为，∴，解得，∴，∴，∴（舍去）；综上所述：的长为，4．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．(1)当点A的横坐标为2时，求k的值；(2)若，点C为y轴正半轴上一点，，①求点C的坐标及的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，请求出第四个顶点D的坐标．【答案】(1)(2)①，；②D坐标为或或【详解】（1）当时，，∴点A坐标为，∵点A的反比例函数的图像上，∴，（2）①∵，∴反比例函数解析式为，联立方程组可得：，解得：或，∴点，点，∴，又∵，∴，∴点，∴的面积；②设点D坐标为，若为对角线，则四边形是平行线四边形，∴与互相平分，∴，，∴，，∴点；若为对角线，则四边形是平行四边形，∴与互相平分，∴，，∴，，∴点；若为对角线，则四边形是平行线四边形，∴与互相平分，∴，，∴，，∴点，综上所述：点D坐标为或或．【一览众山小】1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______．【答案】【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，，，∴，，解得，，∴，将代入并解得，2．如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_____．【答案】12【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，四边形是平行四边形，，，，∴，，同理可得：，，点在反比例函数上，，点在反比例函数上，，平行四边形的面积为：．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是______．【答案】【详解】如图，连接，设交y轴于点C，∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，∴，，∴轴，∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，∴，∴，解得：．4．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________．【答案】11【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，四边形是平行四边形，，，，，，同理可得：，，点在反比例函数上，，点在反比例函数上，，平行四边形的面积为：，5．如图，在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象经过平行四边形的顶点A，函数（其中）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，的面积为6．(1)求k的值；(2)求直线的解析式．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：∵点C的横坐标是2，∴，，∴，∵四边形是平行四边形，∴轴，∵，即，∴，∴，∴点A的坐标为，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为．【温故为师】1．如图，点，都在反比例函数的图象上．(1)求，的值；(2)如果为轴上一点，为轴上一点，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．【答案】(1)，；(2)或【详解】（1）解：由题意可知，，解得，∴，∴；（2）解：设直线的解析式为：，∴，解得：，∴直线的解析式为：，，∵点，，，为顶点的四边形是平行四边形，且为轴上一点，为轴上一点，∴且，设直线的解析式为：，∴，，∴，解得，所以满足条件的的解析式为：或．2．如图一次函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式(2)求的面积．(3)根据图象直接写出时,的取值范围;(4)已知点,设点是坐标平面内一个动点,当点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点的坐标.【答案】(1)；(2)8(3)或(4)点的坐标为或或【详解】（1）解：，在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式是．，解得，，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．，解得，一次函数解析式为；（2）解：设直线与轴相交于点，令，得，的坐标是，，．（3）解：观察函数图象可知，当时，直线在图象的上方，另外，当时，直线在第二象限，在第三象限，因此直线在图象的上方，综上可知，当时，x的取值范围为：或；（4）解：当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示，,，，即，点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；当平行四边形中，为边时，如下图所示，,，，即，点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示，,，，即，点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；综上，点的坐标为或或．3．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．(1)求和的值．(2)若点与点关于直线对称，连接．①求点的坐标；②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)①②的坐标为或或【详解】（1）将点代入得：，，直线的表达式为，把点代入，得：，，将代入得：，；（2）①连接，过作轴于，如图：，，是等腰直角三角形，，由点与点关于直线对称，知≌，，即，，点的坐标为；以点为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：设，又，Ⅰ若是对角线，则的中点重合，，解得，；Ⅱ若为对角线，则的中点重合；，解得，；Ⅲ若为对角线，则的中点重合，，解得，，综上所述，的坐标为或或．4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．(1)求k与m的值；(2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值．(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由．【答案】(1)3，6；(2)(3)存在，坐标为或或【详解】（1）解：将代入一次函数得，，解得：，∴，将代入得，，将代入反比例函数得，，（2）解：当时，，∴，由题意可得，，解得：；（3）解：由（2）得，，，，当是对角线时，根据对角线互相平分可得，，，∴；当是对角线时，根据对角线互相平分可得，，，∴；当是对角线时，根据对角线互相平分可得，，，∴；综上所述Q的坐标为：或或．5．如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．(1)求m、n的值；(2)求一次函数的表达式；(3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；(4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．【答案】(1)，(2)(3)(4)，或，或【详解】（1）将点代入反比例函数，得，，，∴，将代入，得，，，∴，；（2）将点和分别代入一次函数，得，，解得，，∴；（3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，理由：的周为最小，设的表达式为∵点、，∴，解得，，∴的表达式为，∴时，，（4）D的坐标为，或，或．理由：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，设点D的坐标为，①当是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，则0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t，解得或；②当AB是对角线时，由中点公式得：，，解得；故点D的坐标为，或，或．6．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题：(1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______．(2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1，2(2)①，周长最小值为；②存在，或或【详解】（1）解：由题意，当且仅当，即（负值舍去）时，，即有最小值，最小值为2；（2）解：①∵点P为双曲线上的任意一点，

∴设，∴四边形OAPB的周长，当四边形OAPB的周长取得最小值时，即，

即的最小值为，此时，解得：（负值舍去），∴，周长最小值为；②存在．∵点P为双曲线上的任意一点，

∴设，，，当时，解得：（负值舍去），即当时，有最小值，从而有最小值，；轴，且点Q在，∴点Q的纵坐标为，且，即，；当以、为平行四边形的邻边时，则，，；当以、为平行四边形的邻边时，则，，；当以、为平行四边形的邻边时，则，只要把点Q沿方向平移，平移距离为长度，即可得到点C，综上，点C坐标为或或．7．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交边于点E，作直线．(1)求反比例函数的解析式和E点坐标；(2)在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在