2023-2024学年山东省青岛市高一年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年山东省青岛市高一上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.下列能正确表示集合例={-1,。,1}和"=卜,2+2*=0}关系的是（）

【正确答案】A

【分析】求出集合M再求出A/CN即可得答案.

【详解】解：％={小2+2"0}={-2,0},

故用N={0},

故选：A

4

2.若sin。=《，。是第二象限的角，则tana的值等于（）

434

A.-B.-C.—D.-

343

【正确答案】C

【分析】先求得cosa,然后求得tana.

【详解】由于sina=1,a是第二象限的角，

所以cosau-Jl-sin%=-—,

sina4

所以tana=-------=

cosa3

故选：C

3.半径为1,圆心角为2弧度的扇形的面积是（）

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】A

根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果

【详解】半径为1,圆心角为2弧度的扇形的面积是S==:ra=:xl2x2=l(其中/为

222

扇形所对应的弧长，"为半径，。为扇形所对应的圆心角).

故选：A.

,

4.己知a=logz；,6=(g)，c=i则0，匕，°的大小关系是()

A.h<c<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【正确答案】C

根据对数函数与指数函数的性质，分别判断。，。的范围，即可得岀结果.

【详解】因为〃2,

a=log2g<log21=0,==2=4,1<C=25=72<4

所以a<c<b.

故选：C.

(^z-2)x,x>2

图-X2'满足对任意的实数…都有空守<°成立'

5.已知函数=

则实数。的取值范围为()

A.(7,2)B.1-8,?C.(e,2]D.*2)

【正确答案】B

本题先判断函数是定义在R上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.

【详解】因为函数/(x)满足对任意的工户々，都有’?”一<0成立,

(t7-2)x,x>2

所以函数r(x)=«(I]是定义在R上的减函数,

l,x<2

。一2<0a<2

所以-2)'解得13所以ae

——>a

8

故选：B

本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.

6.Log川ic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了

某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑺（f的单位：天）的LogiWic模型：，⑺理工“一⑼，其中K

为最大确诊病例数.当/（r*）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情,则「约为（）（11119=3）

A.60B.63C.66D.69

【正确答案】C

【分析】将f=门弋入函数/«）=布结合/丫）=095K求得「即可得解.

【详解】4）==£；吊，所以％*”,=095K,则叫

所以，0.23（r-53）=lnl9»3,解得八丄+53怒66.

故选：C.

本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

7.在同一直角坐标系中，二次函数y=/+法与幕函数,=/（尤>0）图像的关系可能为（）

A.B.

【正确答案】A

【分析】根据题意，结合二次函数和事函数的性质依次分析选项，即可得到答案.

【详解】对于A,二次函数丫=«?+公开口向上，则q>0,其对称轴》=-3>0,则2<o,

2aa

b

即幕函数y=/*>0)为减函数，符合题意：

对于B,二次函数>=«?+公开口向下，则“<0,其对称轴x=-3>0,贝lj2<0,即第

2aa

b

函数y=/(X>0)为减函数，不符合题意；

对于C,二次函数y=o?+公开口向上，则。>0,其对称轴x=—==—I,则9=2,即幕

2aa

b

函数y=J(X>0)为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；

对于D,二次函数y=o?+云开口向下，则〃<0,其对称轴则0<2<1,

2a2a

b

即幕函数y=R(X>0)为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；

故选：A

关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和瘍函数性质

即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.

8.已知函数y=-f+6x+c只有一个零点，不等式-d+bx+c—n?>。的解集为小，与+2),

则m的值为()

A.-4B.-2C.-1D.1

【正确答案】C

【分析】根据函数>=-》2+法+。只有一个零点可得厶=尸+4c=0,又不等式

+法+cr”>o的解集为小,与+2),转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程

方程的根与系数的关系最终可得匕2+4C-4〃?=4,联合即可得机的值.

【详解】解：函数>=-/+云+。只有一个零点，则A=/?2+4C=0,

不等式-x?+bx+c-m>0的解集为(毛,毛+2),即x?-Z?x-c+〃?<0的解集为(x(),七+2).

设方程x,—bx-c+/n=0的两根为芭，2，则X[+々=b,X|飞=-c+”?,且卜—xj=2,

22

(x2-x,)=(x2+x,)-4X,X2=4,则从-4(-c+m)=4,整理得加+4c—4俏=4,1.

故选：C.

二、多选题

9.已知募函数/8=(>-2加-2)^”的图象过点(2，)，则()

A."x”%3

B./(x)=x-1

C.函数f(x)在(7,0)上为减函数

D.函数/(x)在(0,+s)上为增函数

【正确答案】BC

【分析】根据塞函数的定义以及图象过点(2,；)可得/(司=厂|,故选项A错误、故选项B

正确.根据基函数/(x)=x-'的单调性可判断C正确、D错误.

【详解】；/(x)=("-2*2)/为鼎函数，.•.m-2加-2=1,即>-2机一3=0,

•**"2=3或6=—1,

当〃=73时，/(x)=d此时/■⑵=8,函数图象不过点(2,；),故故选项A错

误:

当机=-1时，/(x)=x-',此时"2)=；,函数图象过点(2,；),故〃司=/，故选项B正

确；

因为募函数/(対=/在(-8,0)上为减函数，故选项c正确；

因为基函数/(x)=xT在(0,+8)上为减函数，故选项D错误.

故选：BC

10.下列各式的值等于1的有()

A.sin2(-x)+cos2x

C.COS(-571)

sin（-3兀+a）

【正确答案】AD

【分析】根据同角平方关系可判断A,根据诱导公式可判断BCD.

【详解】sin2（-x）+cos2x=sin2x+cos2x=l,选项A正确;

COS（-57C）=COS（-67C+7C）=COS7T=-1,选项C错误：

COSI—+«I、

（2丿二-sma=],选项D正确,

sin（-3兀+二）-sincr

故选:AD

11.定义在R上的函数/(x)满足：对任意的“二斗,有/㈤="Ao,八1)=2,集合

A={X|/(X)-2A)0},若“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，则集合8可以是()

A.{x|x<0}B.{x|x<l}

C.{x|x<2}D.{x|x<3}

【正确答案】CD

【分析】可先判断出函数〃x)在R上单调递减，结合图象即可得A={x|x<l},再由“xeA”

是“xG8”的充分不必要条件，对应集合A是集合B的真子集即可求解.

【详解】依题意得，函数/(力在R上单调递减，且图象过点(1,2)

/(x)-2，>0o〃x)>2，

在同一坐标系下画出函数y=/(x)与y=2'的图象，

由图易知不等式/")—2，>0的解集为{x|x<l},即4={*|%<1},

因为“xeA”是的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集.

可以取8=k|工<2},3={*|工<3}满足集合厶是集合8的真子集.

12.若函数对(玉片々)，不等式“办厂华)<]成立,则称/⑴在

5~X2

(1，+8)上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有()

A./(x)=-2x+lB./(x)=x2+2x4-1

2

22

C./(x)=x-log2xD.f(x)=x-x+-

【正确答案】ACD

令g(x)=/。)--,题中条件转化为判断g(x)在(1,3)上是减函数，再逐项构造函数，进

行判断即可.

【详解】若函数Ax)满足对Tx-々w(l,+8),当x尸修时，不等式，尊7产<1恒成立,

x\一Z

则/(4牛)_1=[/))-」]-[/(£)r2]<0,

22

Xi-X2(王一/)(王+工2)

令g(x)=/(x)-x2,因为西+々>2,则<0,Vx,,々€(1，+°°)且士恒成立，

再一Xg?"“

g(x)=，(x)-f在(1,-H»)上是减函数,

对于A选项，/(x)=-2x+l,则双幻=/⑴-/=_%2_2x+],对称轴是户一1,开口向下，所

以g(x)在(1,物)递减,故A正确;

对于B选项，/(X)=X2+2X+1,则g(x)=/(x)-x2=2x+l在(1,啓)上单调递增，故B错；

2

对于C选项，/(x)=x-log2x,则g(x)=/(x)-x2=-10g2X在(1,+00)上显然单调递减，故C正

确；

272

对于D选项，/(x)=x2-x+-,则g(x)=/(x)-x2=-x+-,因为丁=一％与y=—在(L+oo)都

XXX

是减函数，所以g(x)在(L+00)递减，故D正确；

故选：ACD

关键点点睛：

求解本题的关键在于将小仁岑2<1恒成立转化为新函数g(x)=/(X)--满足

X\一工2

g(*卜g(”j<0上恒成立,根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.

三、填空题

13.若sina<0且tana>0,则a是第象限角.

【正确答案】第三象限角

【详解】试题分析：当sinaVO,可知a是第三或第四象限角，又tana>0,

可知a是第一或第三象限角，所以当sina<0且tana>0,

则a是第三象限角.

三角函数值的象限符号.

14.已知募函数丫=/。)的图象经过点(2,4),则/(-2)=.

【正确答案】4

【分析】由某函数图象所过点求出幕函数解析式，然后计算函数值.

【详解】设〃x)=£,则2"=4，。=2,即，(x)=f,

所以〃-2)=4.

故4

15.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了

当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了

对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a"=N=b=logf,N,现已知a=log36,

2%=36则弓+讣3三.

【正确答案】2月

12-

由题〃=log236=210g26,分别化简丄+丄3的值代入即可.

ab

【详解】因为2〃=36,所以6=1暇36=21吗6,

1212，

所以一+£=：；~-+-----=log63+log62=l,

ablog36210g26

In6

而

a幅621n6In2%i1

3*=32k^6=3,=3漏=3^°s，=35X3'08'2=&2=2退

所以1x26=26.

故答案为.26

本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.

16.设函数y=f(x)是定义在［-1,1］上的偶函数，且/(X)在［0,1］上单调递减，若

/(1-«)</(a),则实数”的取值范围是.

【正确答案】［0,g)

【详解】•••函数》=/(力是定义在卜1』上的偶函数，且〃x)在［0』上单调递减，若

/(1-«)</(«)，

0<a<2

-l<a<l,解得:<0<a<—

2

1

a<—

[2

故答案为°［)

四、解答题

17.求值:

⑴8鼻+2啕3_电尹21g2

⑵sin与-cos处+tan13兀

63

【正确答案】(1)6

(2)0

【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可;

(2)根据诱导公式化简求值即可.

【详解】(1)1+2'%3-呜-2lg2

2

=(23)5+2^3-(lg5-lg2)-21g2

=22+3-lg5+lg2-21g2

=7-(lg5+lg2)

=7-1

=6；

.兀7T71

=sin—+cos——tan—

634

111

=—I-----1

22

=0.

18.已知全集0=1i,集合A={x,2一1_12WO},集合B={x帆一IKX〈机+1}.

(1)当机=4时，求；

⑵若3口(电厶)，求实数用的取值范围.

【正确答案】(1){X|XK4或x＞5}；

⑵机＜-4或＞5.

【分析】(1)确定集合A,B,求岀集合8的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.

(2)求出集合A的补集，根据8u(q,A),列出相应不等式，求得答案.

【详解】(1)A={X|X2-X-12<0}={X|-3<X<4},

当〃?=4时，fi=（x|3<x<5},则4,3={x|x<3或x>5},

故A（q,B）={x|x44或x>5}；

（2）由题意可知a，A={x[x<-3或x>4},B=[x\m-\<x<m+\\^0,

由则〃?+1<-3或加一1>4,

解得，*<-4或加>5.

、2

19.已知函数/（力=——x,

（1）判断的奇偶性；

（2）用定义证明“X）在（。,+8）上为减函数.

【正确答案】（1）奇函数；（2）证明见解析.

【详解】试题分析：

⑴首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用〃r）=-/（x）可说明

f（X）是奇函数.

⑵利用函数单调性的定义设设玉，乡是（0,啓）上的任意两数，且占<%,讨论

/⑷-〃毛）的符号即可证明函数在（0，叱）上为减函数.

试题解析：

（1）函数〃x）=：-x的定义域为{x|x*O},

又/（_x）=A+x=_（：_x）=_"x）

是奇函数.

（2）证明：设对刍是（O,+oo）上的任意两数，且看<马，

/、/、222（X.-x.）/2'

则f（xj-/（w）=7-X|-T+X2=-----------^+（赴一%）、=（,々-西）|1+—

X[*2X|X21x,x2丿

■:X|>0,W>0且芭V%2，

（2、

一X）]------〉0

即/(%)>/(£).

.•./(x)在(0,一)上为减函数.

点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不

对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断

其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或

作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Or轴为始边作两个锐角a,夕，它们的终边分别

34

与单位圆相交于P,。两点，P，。的纵坐标分别为p

(1)求sina的值；

(2)求a+户.

371

【正确答案】(1)I；(2)

(1)由三角函数的定义即可求解；

(2)由三角函数的定义分别求出cosa、sin/、cos?的值，再计算cos(a+£)的值即可出

a+夕的值.

【详解】(1)因为点P的为角a终边与单位圆的交点，且纵坐标为

将y=?弋入V+y2=l，因为a是锐角，x>0,所以X=,呜,|)

3

由三角函数的定义可得：sina=p

34

(2)由sina=g,。是锐角，可得cosa=g,

因为锐角夕的终边与单位圆相交于。点，且纵坐标为，4,

将代入/+/=1,因为尸是锐角，x>o,可得x=g,

43

所以sin夕=g,cos^=-,

.4334

所以cos(a+/?)=cosacos^-sinasin/3==®,

7T冗

因为0<a<g,O<J3<~,所以0<a+4<兀，

所以a+/?=(

21.设函数/(x)=sinx+辰osx+1,若实数a,b,c使得W(x)+冴'(x-c)=l对任意xeR恒成

立，求匕三的值.

a

【正确答案】T

下>[i①(吟[

【分析】整理得，/(x)=sinx+V3cosx+l=2—sinx4-——cosx+l=2sinx+—+1,

2)I3丿

则4(x)+"(%—。)=1可整理得，

(2a+2/?cosc)sin+2Z?sinccos^x+-\-a-b,

据此，列出方程组，

2a+2Z?cosc=0

<2bsinc=0,解方程组，可得答案.

1-a-b=O

r]73、1o•())1

【详解】解：/(x)=sinx+V3cosx+1=2—sirLr4-^-cosx+l=2smx+—+1,

丿I3丿

，2

:.cif^x)-\-bf^x-c^=a2sin(x+g)+l+b2sin^x+^-.+1=1,

即2asi11卜+口+2加皿[+]一0]=1-67-/?,

即2asin[+])+2/?sin(x+三卜osc-2Z?cos(x+^sinc

=l-a-b,

化为：(2Q+2bcosc)sin(x+T)-2加inccos(x+=1-

a-b,

依题意,(2a+2bcosc)sin(x+鼻)一20sinccos(x+三)=

1一。一人对任意xeR恒成立，

2a+2Z?cosc=0

...<20sinc=0,

l-a-b=O

」-2bcosc.

由2^+2/xx)sc=0得：-----=-1,

a

故-1

22.若函数y=/(x)对定义域内的每一个值4，在其定义域内都存在唯一的4,使

〃百)/'仇)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.

(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)若函数/(X)=2&T在定义域［加,〃］(m>0)上为“依赖函数”，求姉的取值范围；

⑶已知函数/7(x)=(x-a)［"**在定义域:4上为“依赖函数”，若存在实数：

~A~|

xe-.4,使得对任意的reR,不等式/Z(X)NT2+(ST)X+4都成立，求实数s的最大值.

【正确答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析；(2)(0,1)；(3