上海市民办明珠中学2022-2023学年九年级上学期数学学科期中试卷

上海市民办明珠中学九年级数学学科活动

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm,则AB两地间的实际距离为（）

A.10mB.25mC.100mD.250m

【答案】C

【解析】

【分析】根据比例尺=图上距离+实际距离，变形计算，再转化单位即可.

【详解】解：因为比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm,

所以AB两地间的实际距离为：5x2000=1OOOO（cm）=100（m）,

故选C.

【点睛】本题考查了比例尺的计算，熟练掌握比例尺的定义即比例尺=图上距离+实际距离是解题的关键.

2.如果色=£,那么下列等式不成立的是（

ba

a+hc+daa+c

A.----=-----B.一二-----

bdbb+d

【答案】C

【解析】

【分析】根据比例的基本性质，正确变形计算即可.

【详解】解：因为？a=三c,

ba

a+bc+daa+cab

所以一；一=——,一=----,一=一，

bdbb+dcd

所以A、B、D都正确，C错误，

故选C.

【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握比例的性质，并准确进行变形是解题的关键.

3.已知在Rr.ABC中，ZC=90，NA=。，AC=3,那么A3的长为（）

A.3sinaB.3cosaC.----D.-----

sinacosa

【答案】D

【解析】

【分析】利用/A的余弦值解答即可.

【详解】解：cosA=-----,ZA=a>AC=3,

AB

cosAcosa

故选D.

【点睛】考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决

本题的关键.

4.如图所示，点A,B,C,D,E,F,G,H,K都是8x8方格纸中的格点，为使ADEMsaABC,则点

M应是F、G、H、K四点中的（）

【答案】C

【解析】

【分析】由图形可知△ABC的边AB-4,AC=6,DE=2,当ADEMs^ABC时，AB和DE是对应边，相似

比是1：2,则AC的对应边是3,则点M的对应点是H.

【详解】解：根据题意，

△DEM^AABC,AB=4,AC=6,DE=2,

ADE：AB=DM：AC,

；.DM=3,

，M应是H,

故选C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定.

5.已知△ABC,D.E，F分别是AB，BC>CA的中点，设AB=a，AC=b,则DE+DF是（）.

1厂，、1•1,1,•,、

A.一（a+b）；B.—ci+b；C.ci—b；D.一（a—b）.

【答案】B

【解析】

1111

【详解】解：・.・DE-^DF=-AC^-AC一一AB=AC一一AB,

2222

一1.r

•*.DE+DF—a+b

2

故选B.

6.如果抛物线4尸/一1通过左右平移得到抛物线B,再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：)=必一2%

+2,那么抛物线B的表达式为()

A.y=x2-h2B.y=x2~2x—1C.y=x2-2xD.y=x2~2x+1

【答案】C

【解析】

【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求

抛物线解析式.

【详解】抛物线A：y=x2-l的顶点坐标是(0,-1),抛物线C：y=x2-2x+2=(x-1)2+1的顶点坐标是(1,1).

则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C.

所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=(x-1)2-l=x2-2x.

故选C.

【点睛】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系.关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，

能用顶点式表示平移后的抛物线解析式.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.如果线段。功=5:3,且线段b是线段a、c的比例中项，那么c仍等于.

3

【答案】3:5##j

【解析】

【分析】根据得到a=Z,代入化简计算即可.

b3c

【详解】因为线段a:)=5:3,且线段6是线段〃、c的比例中项，

所以3=*,/=ac,a,

h3c

b1

所以工

T-3

所以2=9,

c3

所以£=3,

b5

故答案为：3:5.

【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.

8.已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB>PA，PB=2,那么PA=.

【答案】V5-l##-l+V5

【解析】

【分析】根据黄金分割点的定义，知总是较长线段；则PB=避二iAB，代入数据即可求解.

2

【详解】解：为线段AB的黄金分割点，且尸8>24，

则=即^^■A3=2，

22

；•AB=y[5+l

PA=AB-PB=y^+l-2=#-l

故答案为正-1

【点睛】本题考查黄金分割的概念，熟练掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短

线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割是解题的关键.

9.己知向量力和。方向相反，长度为4,则a用6来表示为：.

【答案】a=Te

【解析】

【分析】根据平面向量与单位向量方向相反，长度为4,即可得出结论.

【详解】解：因为向量a和2•方向相反，长度为4,

所以d=-Ae.

故答案为：a=-4e.

【点睛】本题考查了平面向量的线性表示法，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键.

10.如果抛物线>=32+(m-3)%-加+2经过原点，那么机=.

【答案】2

【解析】

【分析】根据图象上的点满足函数解析式，代入即可得答案.

【详解】；抛物线y=mV+（加一3）x-加+2经过原点,

—m+2=0,

解得：m=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式是解题的关键.

11.如果抛物线y=ax2-2ax+l经过点A（-1,7）>B（x,7）,那么x=.

【答案】3

【解析】

【详解】试题分析：先求出抛物线的对称轴方程，根据对称性即可求出x的值.

解：：抛物线的解析式为y^ajc2-2ax+\,

抛物线的对称轴为x=l,

•.•图象经过点4-1,7）、B（x,7）,

；.A、8两点关于对称轴户1对称，

故答案为：3.

12.如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米,

BE=5米，那么树的高度AB=米.

【答案】4

【解析】

DE

【分析】由ABJ_8E知CO〃A8,从而得△CQES/XABE,由相似三角形的性质有匚=——,

ABBE

将相关数据代入计算可得.

【详解】由题意知CDJ_BE,AB1BE,

：.CD//AB,

:.ACDESAABE,

.CDDE0n1.6_2

ABBEAB5

解得：AB=4.

故答案为4.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

13.如图所示，沿倾斜角为30。的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m,那么相邻两棵树的斜

坡距离AB为m.

【答案】逑##&百

33

【解析】

【详解】解：在RSABC中，ZC=90°,ZA=30°,AC=2m,

AC

cosZA=-----,

AB

2

cos30°=-----,

AB

•A*2（、

cos3003

故答案为：巫.

3

3

14.已知0°vav90°,如果cos0=—,那么tana=.

4

【答案】也

3

【解析】

3

【分析】由cosa=一设出直角三角形的邻边和斜边长，由勾股定理求出另一直角边的长，再根据正切定义

4

求值即可.

【详解】解：如图：

八

B

在RtABC中，ZB=9()°,AC=a,

Qc°si=3

AC4

设BC-3a,AC-4。，

则AB=y]AC2-BC2=币a，

AB#iaV7

tana=---=----=—，

BC3a3

故答案为：互

3

【点睛】此题考查了锐角三角函数的求值，掌握定义是解答此题的关键.

15.如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC、3。相交于点。，如果：S0co=3：7,如果

S4Boc=32,那么SABC=-----

【答案】56

【解析】

A030C4S.432

【分析】根据4A8：SNCO=3：7,得到嘿=3,从而得到方=故产Rnr"=一计算

AC7AC7%ABC/

即可.

【详解】因为S&ACD=3：7,

所以也3

AC7

g,OC4

所以——=一

AC7

Sfoc432

所以《但二弓=三一

解得SABC=56,

故答案为：56.

【点睛】本题考查了等高或同高的三角形面积之比等于对应底的比，熟练掌握性质是解题的关健.

16.如图，ZA=ZADC=ZDBC=90°,AB=4，CD=9,则BC=.

【答案】3布

【解析】

【分析】证得△/3。/△比心，利用相似三角形的对应边成比例，求得BO的长，在直角三角形BOC中

利用勾股定理求解即可.

【详解】解：；NA=NADC=NDBC=90°,

CD//AB,

：.ZABD^ZCDB,且NA=ND3C=90。，

公ABDsgDC,

.ABBD

"~BD~~DC'

；•BD=yjABxCD=屈=6，

BC=CDr-BDr=V92-62=375•

故答案为：3后.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质.熟练运用相似三角形的性质解决问题是本题的关键.

17.在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=2BC,若点。是.ABC的重心，贝iJcosNOBC=.

【答案】也##\五

22

【解析】

【分析】连接8。并延长交AC于E,根据重心的定义可知AC=2CE,可证_8CE为等腰直角三角形，

最后根据锐角三角函数的定义进行求解.

【详解】解：如图，连接8。并延长交AC于E,

•.•点。是一ABC的重心，

AC=2AE=2CE.

,/AC^IBC,

BC=CE,

ZC=90°,

，,BCE为等腰直角三角形,

，NC3E=45。，

cosZ.OBC=cos45°=-

2

故答案为：YZ.

2

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质和三角形重心的知识点，解答本

题的关键是掌握重心的定义和锐角特殊角的三角函数值.

18.在一ABC中，AB=6,BC=8,C4=7,点P在直线4c上，"BA=NC,则AP=.

【答案】9

【解析】

【分析】首先证明出△出3〜AP3C，然后得到％■=〃■=竺，设必=3x,则有主=）匚，然后

PBPCBC4x3x+7

求解计算即可.

【详解】解：；NPB4=NC,ZP=ZP

.,.二PABs一PBC

.PAPBA663

；・设以=3x,PB=4x

.3x_4x

解得:

4x3x+7

x=3

，AP=3x=9

故答案为：9.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

1

19计算:2cos2300-sin30°+

cot300-2sin45°

【答案】1+6+0

【解析】

【分析】根据特殊角三角函数即可得到答案.

1

【详解】解：2cos2300-sin30°+

cot30°-2sin45°

2

=2x—L_

2豆-2x也

2

_311

=l+G+&.

【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，分母有理化，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

20.已知抛物线y=x2+fcr+c与y轴交于点C（0,2）,它的顶点为M,对称轴是直线x=-l.

（1）求此抛物线的表达式及点〃的坐标；

（2）将上述抛物线向下平移〃？（机＞0）个单位，所得新抛物线经过原点。，设新抛物线的顶点为M请

判断△M0N的形状，并说明理由.

【答案】（1））=N+2X+2,顶点M（-1,1）

（2）等腰直角三角形；理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式求得顶点M的坐标；

（2）设新抛物线的解析式为广（x+1）2+1加，把（0,0）代入求得，"的值，即可根据平移的原则得到顶

点N的坐标，根据勾股定理求得。^^。知二2，Mg,即可得到结论.

【小问1详解】

解：•••抛物线产N+bx+c与y轴交于点C（0,2）,对称轴是直线4-1.

c-2

f/>=2

/Jb，解得〈c

一一=-lc=2

I2I

抛物线的表达式为)=N+2X+2,

y-x1+2x+2=(x+1)2+1,

顶点M(-1,1)；

小问2详解】

解：♦.•抛物线向下平移机(相＞0)个单位，所得新抛物线经过原点O,

设新抛物线的解析式为广(x+l)2+1一”3

把(0,0)代入得，0=1+1-m，

m=2,

，顶点N为(-1,-1),

•：M(-1,1),

Z.0!^=(-1)2+口=2,0町=(-1)2+(-1)2=2,MM=22=4,

：.OM=ON,OM2+OM=MM,

AMON是等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的

坐标特征，求得顶点M、和顶点N的坐标是解题的关键.

AFAE

21.如图，在ABC中，点。在边A8上，点E、点厂在边AC上，B.DEHBC,—=—.

FEEC

(2)如果A尸=2,EF=4,AB=661—,求U——匚的值•

BE

【答案】(1)见解析；(2)B

3

【解析】

ApAFyAp

【分析】(1)由平行线分线段成比例，得到——=——=—,即可得到。P〃BE；

ECBDFE

DE

（2）根据题意，由相似三角形的判定定理，先证明即可求出——的值.

BE

详解】证明：(1):DE//BC,

.AEAD

"~EC~~BD'

,,AF_AE

,~FE~~EC'

.ADAF

"~BD~~FE'

：.DF//BE；

(2)-：AF=2,EF=4,AB=673.

.ADAF21

"~BD~~FE~4^2

AD=26>BD=46，AE=AF+EF=6,

.AD_2百一百AE_6_V3

••---------------，--―,

AE63AB6y/33

.ADAE

・•—，

AEAB

又NA=NA，

△ADEs&AEB,

.DEAEyf3

"BE~AB~3'

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例.解题的关键是利用平行线得出相似

三角形及比例，从而进行解题.

22.为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位

于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为

30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平

面）.

（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；

（2）当下引桥坡度j=l：26时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）.

【答案】（I）BQ=3百米；（2）A8=2而米

【解析】

【分析】（1）由题意可得/PBQ=60。，然后在Rt^PQB中利用60°的三角函数求解即可；

（2）作于点H,40，3。于点乂，如图，则四边形AMQH是矩形，设AM=a,根据矩形

的性质和坡度的定义可用含a的代数式表示出PH和AH,易得NPAH=30。，然后利用30°角的三角函数

即可求出a,再根据勾股定理即可求出结果.

【详解】解：（1）作PD〃QB,如图，由题意得:ZPBQ=ZDPB=60",

PO9

则在RSQB中，%=sin/PBQ=sin6。。：3出,

即8。=3百米；

尸-------------3

'、、、、〜

QB

（2）作于点H,4知，8。于点乂，如图，则四边形AMQH是矩形，设A"=a,

；.HQ=AM=a,AH=MQ,

.*.PH=9-a,

■:i=AM:BM=1:25

BM=26a，

，AH=QM=QB+BM^3y[3+2岛,

由题意得：NDPA=NPAH=30。，

PH

在RtAPAH中，：tanNPAH=­~,

AH

tan300=/一"走，解得：a—2,

2y/3a+3y/33

；.AM=2,BM=4g，

AB=4?2+（4司=2小米.

电子眼区间测速路段AB长为2屈米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的相关知识

是解题的关键.

23.如图，在_48。中，点。、G在边AC上，点E在边8c上，DB=DC,EG//AB,AE、BD交

于点尸，BF-AG.

(1)求证：ABFEACGE；

（2）当ZAEG=NC时，求证：AB2AG-AC.

BE

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

【分析】（1）由EG//A3易证△CGEs^CAB,由性质得29=笠由比例性质得=由已知

CACBAGBE

BF=AG比例式变为J=—，由已知DB=£）C,利用等边对等角得NFBE=NGCE,利用两边成比例夹

BFBE

角相等知ABFEs^CGE；

（2）由EG〃AB,利用性质内错角相等NBAE=NAEG,由己知NAEG=NC,推出NBAE=NC,又

ABBE

NABE=NCBA共用，可证AABES^CBA,由性质——二——，NBEA=NBAC,把比例变等积得

BCAB

AB?=BC.BE，由(1)利用性质/BEF=/CEG,ZBFE=ZCGE,推出

ZBAC=ZGEC=ZABC=ZEGC,利用等角对等边得AC=BC,GC=EC,利用等量代换得AG=BE,可证

AB2=AC.AG.

【详解】（1）VEG//AB,

\ZCGE-ZCAB,NCEG=NCBA,

\ACGE^ACAB,

•CG——CE

CGCECGCE

-------=-------即nn----=---

CA-CGCB-CEAGBE

「BF=AG

•CG__C__E

'BF-BE

••DB=DC,

\ZDBC=ZDCB,即NFBE=NGCE,

•.△BFE—ACGE,

(2)'：EG//AB,

NBAE=/AEG,

又•••NA£G=NC,

NBAE=NC,

又：NABE=NCBA共用,

.".△ABE^ACBA,

ABBE

-----=-----9NBEA=NBAC,

BCAB

•••AB2=BC.BE.

由（1）△BFEsACGE,

.\ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,

EG//AB,

NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,

NBAC=NGEC=/ABC=/EGC,

；.AC=BC,GC=EC,

；.AG=BE,

AB2=BC.BE-AC.AG.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质,

等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似证角等转化边角关系是解题关

键.

24.已知顶点为〃（一2,-1）的抛物线经过点C（0,3）,与轴交于、两点（点在点的左侧）.

1-

O1X

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)联结AC、MC,求NACM的正切值；

(3)点在R4的延长线上，如果NMPC=45。，求点的坐标.

【答案】(1)y=x2+4x+3

⑵-

3

(3)尸(-3-跖())

【解析】

【分析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)2-1,把C(0,3)代入解析式，确定a值即可.

(2)设直线MC与x轴的交点为点F,且设直线MC的解析式为y=^+b,把C(0,3),M(—2,—1)代

入解析式，确定F的坐标，过点F作尸6人AC于点G,根据Q4=OC得到等腰直角三角形AGE,根据

勾股定理，确定AC=30，AG=GF=-AF=—x-=^,计算

2224

CG=AC-AG=3y[2--=^-.根据正切的定义tanNACM=丝计算即可.

44CG

(3)过点M作肱于点N,则N(-2,0),从而得到24=-2—(—3)=1=MW=0—(-1),得到

等腰直角三角形AAW,得到=NOLO=45°,=NC4尸=135°,结合已知和外角性

质，得到NMPC=45°=NCQ4+NAPM=NC4O=NCR4+NACP,得证NAPM=NACP,从而

ApA^J

证明一APA/s_ACP,列比例式——=——，求得AM=0，代入计算出24,计算PO即可确定坐

ACAP

标.

【小问1详解】

因为顶点为M(-2,-1)的抛物线经过点C(0,3),

设抛物线解析式为y=a(x+2/一1,

把C(0,3)代入解析式，

得3=4。—1,

解得a=l,

所以抛物线的解析式为y=(x+2)2-1即y=炉+4x+3.

【小问2详解】

设直线与x轴的交点为点F,且设直线的解析式为y=+把C(0,3),代入解析

f—2k+b=—l

式，得匕R>

心=3

%=2

解得q

b-3

所以直线解析式为y=2x+3,

3

所以F的坐标为(一一,0),

2

因为y=x2+4x+3,

所以0=d+4x+3，

解得X1=-1,工2=-3，

所以点A(-3,0),8(-1,0),

所以Q4=OC,

所以NOAC=NOC4=45，

过点F作尸GAAC于点G,

33

所以等腰直角三角形AGE,且AR=——(-3)=-,

22

所以AG=GF=^AF=显乂,=迫,

2224

根据勾股定理，得=行=30，

所以CG=AC-AG=3痣一乎=乎

GF_372972_1

根据正切的定义tanZACM

而一丁‘丁一3

【小问3详解】

过点M作MN上A3于点N,则N（-2,0）,

所以g=一2-(-3)=1=%加=0-(-1),

所以等腰直角三角形AMN,AM=6,

所以ZNAM=NC40=45°,

所以NMPC=45°=ZCPA+ZAPM=ZCAO=ZCPA+ZACP，

所以NAPM=NACP,

所以_APMs=ACP,

…APAM

所以一=——

ACAP

所以丛2=AC.AM=3五•上=6,

解得PA=V6,PA=—y/()(舍去)，

所以P0=3+指，

因为点P在x轴的负半轴上，

所以点P(-3-#,0).

【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的

判定和性质，一次函数的解析式，抛物线、一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法，三角形相

似的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

25.已知，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD=5,BC=8,A£>=2，点E是边CO上的一个动

点，点F是边8C上的一个动点，线段”与线段BE交于点G,且NAGE=NC,设C£=x，BF=y.

BFC

(l)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)当BE平分/ABC时，求AQCV的值；

(3)分别延长C。、£4相交于点P,当.PGE是等腰三角形时，求CE的长.

【答案】(1)y=|x(0<x<5)

8

.1260石

(2)AFCF---------

121

44

(3)——

15

【解析】

【分析】(1)根据等腰梯形的性质结合，三角形内角和等于180，证明AEBS.BEC,得到

BF5

——=——=——，将C£=x,BF=y,AB=CD=5,BC=8代入计算可得y=/x(0<x<5).

BEBCCE8

(2)延长BE和AO交于点H,过点A作3。的垂线，交BC于点/,证明,A6”是等腰三角形，得

DHDE

AB=AH=5，得DH=3，证明△DHEs/\CBE，得----=，将CE=x，AB=CD=5，BC=8

BCEC

代入计算得到X和〉的值，再分别计算CF和.的值，即可求得答案.

(3)过点A、。分别作BC的垂线交6c于点K、L,M为PC中点，连接FM,证明、

/\PFC、.PAD是等腰三角形，得到Q4、CF、■的用y表示的值，根据梯形ABC。是等腰梯形，

TC3

4/^_18。,8，3。得到心。的值，得到cos/C=—2='，利用得到P。、PC的

DC5

用y表示的值，根据△/>”1是等