线代线性相关与线性无关

关于线代线性相关与线性无关

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一、向量、向量组与矩阵第2页,共25页，2024年2月25日，星期天向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．第3页,共25页，2024年2月25日，星期天

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.第4页,共25页，2024年2月25日，星期天线性方程组当时，称为齐次线性方程组当不全为零时，称为非齐次线性方程组第5页,共25页，2024年2月25日，星期天线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应第6页,共25页，2024年2月25日，星期天定义１线性组合二、线性表示的概念及判定第7页,共25页，2024年2月25日，星期天第8页,共25页，2024年2月25日，星期天注意定义3三、线性相关性的概念及判定则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关第9页,共25页，2024年2月25日，星期天第10页,共25页，2024年2月25日，星期天第11页,共25页，2024年2月25日，星期天证第12页,共25页，2024年2月25日，星期天第13页,共25页，2024年2月25日，星期天定理1

向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有四、线性相关性的有关结论第14页,共25页，2024年2月25日，星期天故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使第15页,共25页，2024年2月25日，星期天因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.第16页,共25页，2024年2月25日，星期天定理2向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的.向量组中一部分向量构成的向量组，称为该向量组的子向量组.定理3第17页,共25页，2024年2月25日，星期天定理4第18页,共25页，2024年2月25日，星期天１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；

２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，四个定理．（难点）五、小结第19页,共25页，2024年2月25日，星期天作业：P1131,3（1）第20页,共25页，2024年2月25日，星期天题型Ⅰ向量组的线性相关性的判断方法一利用定义或结论判别（1）两向量线性相关的充要条件是其分量成比例（2）单独一个零向量组成的向量组线性相关；含有零向量的向量组必线性相关（3）向量组线性无关，则该向量组的任何部分向量组必线性无关；向量组的部分向量组线性相关，则该向量组必线性相关。（4）一向量组线性无关，则在相同位置增加相同个数的分量所得的向量组必线性无关；一向量组线性相关，则在相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关。（5）任意n+1个n维向量必线性相关第21页,共25页，2024年2月25日，星期天方法二

第22页,共25页，2024年2月25日，星期天题型Ⅱ判断向量能否由向量组线性表出第23页,共25页，2024年2月25日，星期天练习题1