重庆市田家炳中学2023-2024学年高一年级上册期中 数学试题（含解析）

田家炳中学高2026级高一上期中试题(数学)

时间120分钟满分150分

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1.已知集合加={-1,1,2},集合N={y|y=N,x^M},则MC1N=()

A.{1,2,4}B.{1}

C.{1,2}D.{4}

2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是()

A.=g(x)=x-l

X

B./(力=必，g(x)=(五)

C./(x)=X2-2,g(t)=产一2

D./(X)=y/x+l-dx-1,g(x)=yjx2—1

f3x+l,x<2,_(

3.已知函数f(x)={2、c若//-=-6.则实数”()

[x+ar,x>2,(13〃

A.-5B.5C.-6D.6

4.若a<b<。,下列不等式中成立的是()

A.一<1B.C.6D.b1>a1

bab11

5.若a,〃是两个实数，且出b,有如下三个式子：①/+户>〃/+"63,②

。2+从22(。一6-1),③£+2>2.其中恒成立的有.

ba

A.0个B.1个C.2个D.3个

OY

6.函数/(x)=-F、的图象大致为()

7.已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数占，电40,物)，不等式

(与一切(/(西)—〃々))<0恒成立，则不等式〃2x)>/(x—l)的解集为()

A.k小x\x<-\^x>^

B.

C.卜D.卜或

8.已知函数/(x)=V+3x,若正实数”，匕满足/(次一1)+/。—1)=0,则2+］的最

ab

小值为()

A.4B.V2+1C.2aD.25/2+l

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分)

9.下列关系中，正确的是()

A.le{(l,2)}B.(l,2)e{(l,2)}

C-0。{(1，2)}D.le{l,2}

10.已知正数〃，6满足2。+。=1,则(

A.必的最大值为:B.4〃2+b2的最小值为g

O

12

C.上+1的最小值为4D."+二■的最小值为2

ab

i1.下列命题正确的是()

A.是“2<1”的充分不必要条件

a

B.命题“训e(0,+<»),Inx。=%-1"的否定是“Vxe(0,+oo),InxWx-l”

C.设x,yeR,则“xN2且”2”是+y?24”的必要不充分条件

D.设a,beR,则“aw0”是“而KO”的必要不充分条件

12.设函数/(X)=X2-4X+3,g(x)=ax-2(aeR),则下列说法正确的有()

A.函数y=J7闰的单调递减区间为(-w,2)

B.若函数y=/(x)+g0)为偶函数，则a=4

C.若函数y=J/(x)+g(x)定义域为R,则ae[2,6]

D.%e[0,3],叫<1,2],使得/(xJWgK),则.41

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的

横线上）

13.已知12<。<60,15<6<36,则a—6的取值范围为__,；的取值范围为_____.

b

14.若函数/（x）的定义域为［1,5］,则函数g（x）=〃2x-l）+73的定义域为

15.已知关于x的不等式2x+^27在x«a,+a））上恒成立，则实数。的最小值

x-a

为.

/、-x2+2ax,x<1

16.若/x=J八°<，对任意的实数x产当，都有

（2〃一l）x-3a+6,x>1

（%-9）卜（不）-〃毛）］>0成立，则实数a的取值范围是.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分，

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知集合A={x［x>a-1},8=卜|^^>。:.

⑴若”=1,求AC（6R3）；

（2）若xeA是xeB的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

18.已知函数f（x）=署/是定义在（T1）上的奇函数，且=

（1）求实数机，〃的值；

（2）用定义证明"X）在（T1）上是增函数.

19.若不等式（1一。）/-4》+6>0的解集是{x|-3<x<l}.

⑴解不等式2x?+（2—a）x—ci>0；

⑵当（后—1卜2—2（6—l）x+。—440的解集为R时，求匕的取值范围.

20.已知定义在R上的函数Ax）满足：2/（》）一〃-外=炉+2.

（1）求函数/（x）的表达式；

⑵若函数g（x）=/（x）-ar（aeR）在区间［-1,2］上最小值为1,求实数。的值.

21.今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦.某公

司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产无（单位：百台）发电机组需

2x2+40x,04x<40

增加投入y（单位：万元），其中y=18000，该光伏发电机年

165x+------2250,40<%<100

x

产量最大为10000台.每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部

售完.

(1)将利润P(单位：万元)表示为年产量x(单位：百台)的函数；

(2)当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？(总收入=总成本+

利润).

22.已知f(g+l)=g-1

⑴求函数的解析式；

(2)若g(x)是定义在R上的奇函数，且xVO时,g(x)=/(x)-x3-x2+2x,求函数g(x)

的解析式；

(3)Vxe[2,6],若不等式g(x2-6x+2f)+g(12—a)<0恒成立，求实数/的取值范围.

1.B

【分析】根据题意，求得集合N,再求集合交集即可.

【详解】VAf={-l,1,2},

；・x=-1或1或2.

由y=x2^y=l或4,

・・・N={1,4}.

・・・MnN={l}.

故选：B.

【点睛】本题考查集合交集得运算，属简单题.

2.C

【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：/(幻=片=的定义域为{x|x*O},g(x)=x-l的定义域为R,所以这两个函

X

数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；

对于选项氏/(幻=必的定义域为区，g(x)=(&y的定义域为{尤I》之。},所以这两个函

数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；

对于选项C：/(x)=Y-2的定义域为R,g⑺=*-2的定义域为R,这两函数的定义域

相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；

对于选项D：f(x)=^/77T・5/7二T的定义域为{x|xNl},g(x)=V7二I的定义域为3x4-1

或*21},所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.

故选：C

3.A

【分析】先求了(1}再由/“|))=-6列方程求解即可.

【详解】由题意可得/(|)=3x|+l=3,

因为=即/(3)=-6,

所以3?+3々=—6,得。=—5,

故选：A

4.C

【解析】利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】若。<》<0,

对于A,£-1=?>0,所以£>1,故A不成立；

bhh

对于B,=所以故B不成立；

ababab

对于C,因为"b<0,:.-a^\a\>-b,:.\a\>-b,故C成立；

对于D,由一a>-6>0,所以(-“J,即a?>,故D成立.

故选：C.

5.B

【分析】利用作差法以及举例的方法证明每个不等式是否恒成立.

55322322222233

［详解］①a+b-(ab+ab)=/(a-b)+b'(b-a)=(a-b)(a-b)

=(“-6)2(4+与(“2+a〃+Z>2)>0不恒成立；

②片+〃-2(々-6-1)=/-24+从+力+2=(4-1)2+(6+1)220恒成立；

③当〃<0力<0时，-+y<0,所以>2不恒成立.故选A

abab

【点睛】本题考查不等式的证明，难度一般.利用作差法证明不等式时，可通过因式分解的

方式然后判断与0的大小关系得出结果.

6.A

【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论.

【详解】由题可得函数“X)定义域为{x|xr±l},且==故函数为奇

X—1

函数，故排除BD,

由〃2)=：>0,/(5)=工=-1,故C错误，

~4

故选：A.

7.C

【分析】由已知判断出函数/(X)的单调性，结合奇偶性可得|24「卜-1|,再解不等式可得

答案.

【详解】函数/(X)是定义在R上的偶函数，所以川2动>/(卜-力，

对于任意不等实数4,％2w[o,w),不等式(与-毛乂/(3)-/(々))<0恒成立，

所以/(X)在[0,+8)上单调递减，

所以12H<卜-1|,解得_l<x<g.

故选：C.

8.D

【分析】由函数解析式判断了(x)的单调性、奇偶性，结合已知条件可得24+5=2,进而有

%3%当+1,应用基本不等式求最值即可.

abab

【详解】由解析式易知/(X)在定义域上单调递增，且为奇函数即/(T)=_/(X),

•••/(2aT)—)"(j),

二2。-1=1-6,则2。+6=2,且a,6>0,

.•心+]=」+学+122*岑+1=2a+1,当且仅当匕=缶时等号成立.

abab\ab

-的最小值为2>/^+L

ab

故选：D

9.BCD

【分析】根据元素与集合的关系及集合与集合的包含关系即可求解.

【详解】解：对A：1/{(1,2)},故选项A错误；

对B：(l,2)e{(l,2)},故选项B正确；

对C：0a{(1,2)},故选项C正确；

对D：le{l,2},故选项D正确.

故选：BCD.

10.AB

【分析】由2〃+。=1利用基本不等式求助的最大值，再求必+二的最小值，由

ab

上1+：?=二1+.2)(2。十份利用基本不等式求其最小值，再求4a2+〃的最小值.

abab

【详解】vmb为正实数，

，2a+b>2\[2cTb,当且仅当2n=b时等号成立，又2。+6=1,

ab4,当且仅当4=J,b=:时等号成立，

o42

的最大值为：，A对，

O

ab+—>2,出?=1时取等号，因为〃匕工!，

ab8

•**淇最小值不是2,D错，

由基本不等式可得(2a+h)2=4/+/+4ab<Sa2+2〃，当且仅当2a=〃时等号成立，

又2。+8=1,

4a2+b2>~,当且仅当。=1,%=1时等号成立，

242

+°2的最小值为B对，

•Z2。+人=1,

二-+-=(2a+/?)(-+-)=2+—+-+2>4+2.1—--=8,当且仅当。=!，人=!时等号

ababba\ba42

成立，

，上1+12的最小值为8,C错，

ah

故选：AB.

11.ABD

【解析】对于ACD项，根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的包含关系进行判断即

可.

对于B项，根据存在量词命题的否定形式可判断.

【详解】A.若贝Ua>l或〃<0

a

“a>1”是“：<1”的充分不必要条件.

B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，B正确.

C.设x,yeR,若“x22且”2"，则"x'y?""

若r+y?",不一定有xN2且”2,比如x=3,y=l也可

“x22且y22”是+/>4”的充分不必要条件.

D.若awO,不一定有a/?#O

若ab#0,则一定有axO

“"0”是“必H0”的必要不充分条件.

【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件?和结论4分别是什么，然后直接

依据定义、定理、性质尝试。=4,q=P

12.BCD

【分析】对A求得定义域，根据复合函数“同增异减”判断即可；对B,x的多项式为偶函数，

奇此项为0;对C,/。)+8(犬)20在/?上恒成立，计算AMO；对D,计算7mM(x),然后

使用分离参数计算即可.

【详解】对A,令/(x)=x2-4x+3N0=>x41或x23,

所以函数y=773的定义域为(—，1]」3,物)，且，(x)在(F,1]单调递减

所以函数y=的单调递减区间为(3/，故A错；

对B,y=/(x)+g(x)=x2-(4-a)x+l,由该函数为偶函数，

故4一。=0=>。=4,故B正确；

对C,等价于寸-(4-白卜+1之0在R上恒成立，

所以△=(4-a)：：-440=>2Wa46,所以ae[2,6],故C正确；

对D,〃力=炉-4x+3,xw[0,3],篇⑵=-1,依题意等价于3%«1,2],-lNg(x)

即七41,2],a<-,BPa<|-|所以“S1,故D正确；

故选：BCD

13.(-24,45)(；,4)

【分析】先由15<6<36得一36<—人<一15,再由同向不等式的可加性可得a—力的取值范围，

再由6的范围，求得。的范围，再利用同向不等式的可乘性，即可求得多的取值范围.

bb

【详解】解：由15v/?v36得一36v—bv—15.又因为12vav60,所以一24<a—〃<45.

由15<6<36得!<：<上.又因为12<a<60,所以《<£<4.

36b153b

【点睛】本题考查了同向不等式的可加性及可乘性，属基础题.

14.（2,3]

【分析】根据函数有意义及抽象函数定义域的求法求解即可.

【详解】由题意，得{.八，

[x-2>0

解得2<x43,

所以函数雇工）=〃2x-1）+7三的定义域为（2,3].

故答案为：（2,3].

15.3

2

2

【分析】根据基本不等式，求出2x+——的最小值，根据题意，得到2a+427,即可求出

x-a

结果.

【详解】因为人>〃，

22/2-

所以2x+----=2（x-a）+-----1-2a>2J2（x-a]-----+2a=4+2。，

x-ax-avx-a

o

因为关于X的不等式2X+&W7在上恒成立，

33

即2。+427,所以"2]，即〃的最小值为不.

__3

故答案为：~■

【点睛】本题主要考查由基本不等式研究不等式恒成立的问题，熟记基本不等式即可，属于

常考题型.

16.[1,2]

【分析】由（X1-X2）[/（xJ-/（X2）]>0可得函数“X）为增函数，再由分段函数递增，则各段

递增、整体递增即可求解.

【详解】依题意，得函数f（x）是R上的增函数，则有

a>\

-2a-}>0,解得l〈aW2.

-l2+2«xl<（2a-l）xl-3a+6

所以实数。的取值范围是口，2].

故答案为：口，2]

17.(1)(0,1]

⑵[2,同

【分析】(1)先求得集合8,然后求得AC(6R3).

(2)根据A是6的真子集求得。的取值范围.

【详解】⑴+^>0o(x-l)(x+3)>0nx<-3或x>l,

所以3=(-a>,-3)^(1,y),QB=[—3,1],

当a=l时，A=(0,+oo),

所以AC(6RB)=(0,1].

(2)若xeA是xeB的充分不必要条件，

则A是B的真子集，

所以a-121,2,所以。的取值范围是.

18.(1)m=\,7?=0(2)证明见解析

【分析】(1)奇函数在原点有定义时，/(o)=o.从而可求得〃=0,而由/(；)=1可求出

(2)根据增函数的定义，设巧，x,e(-l,l),且为<马，通过作差的方法证明〃%)</(9)即

可.

【详解】⑴/6)为(T1)上的奇函数，

/./(0)=0,

(2)〃x)=j^；

设X],且再<々,则:

2

“JJ⑸一1+x：1+xj(i+X,)(l+v)

为，X,e(-l,l),且X|<*2；

x<0,1-芭/>0；

・・•/a)-〃W)<0，B|J/(X,)</(%,)；

\/(X)在(-1,1)上是增函数.

【点睛】本题考查奇函数的定义，以及根据增函数的定义证明函数为增函数的方法与过程.属

于一般题.

19.(l)|xx>|g!tx<-l|

⑵[0』

【分析】(1)由题意可得-3和I是方程(1-。)/-4\+6=0的两个根，从而求得”的值，进

而解不等式2f+(2-a)x-。>0即可，

(2)由(1)可知他2-1)x2-2(。-1)x-IW0的解集为R,从而分类讨论，结合二次函数的

性质即可得解.

【详解】(1)因为(1一。)——叙+6>0的解集是{x|—3<x<l},

所以一3和1是方程(1-a)/-4x+6=0的两个根，且1一。<(),即a>l,

-…3+1=---4--

所以1/，解得。=3,

-3x1，

I1-«

所以不等式2炉+(2-a)x-a>0化为2X2-X-3>0,

3

即(x+l)(2x-3)>0,解得》<一1或

所以不等式的解集为卜卜>|或

(2)因为(从-1)丁-2。-l)x+a-440的解集为R,

由⑴可知他2-1卜2_20_1)%_14()的解集为R,

当〃-1=0,即。=±1时，

若b=l,不等式可化为TWO,显然满足题意；

若b=-l,不等式可化为4x740,显然解集不为R,不满足题意；

b2-l<0

当从—1工0时，则有人，N解得046<l；

△=4(6k-1)-4p--ljx(-l)<0

综上：04641,所以匕的取值范围为［()/］.

20.(1)/(X)=X2+2；

⑵。=±2.

【分析】(1)由题可知函数f(X)满足2/(x)-f(-x)=x2+2®,将①式中X换成-X可得②式，

联立①②，即可求出函数f(x)的表达式；

(2)由(1)可求出g(x)=f-奴+2,根据二次函数的图象与性质易知g(x)开口向上且关

于x对称，结合题目条件，分类讨论当《4-1,W22三种情况下的函数g(x)

2222

在区间［T,2］上的单调性，进而求得g(x)的最小值，从而可得实数。的值.

【详解】(1)解：根据题意，可知函数/(幻满足：2/(幻-/(-幻=丁+2①,

将①式中x换成T可得②式：

即：2/(-X)-/(X)=X2+2(2),

2f(x)-f(-x)=x2+2

联立①②得《

2f(-x)-f(x)=x2+2

解得：/(x)=x2+2,

所以函数/(x)的表达式为/(x)=X2+2.

(2)解：由(1)可得f(x)=x2+2,

而g(x)=y(x)-ac(awR)在区间［T,2］上最小值为1,

2

:.g(X)=x-cvc+2,易知二次函数g(x)开口向上且关于x对称,

当］4-1,即aW-2时，g(x)在区间［7,2］上单调递增,

则g(x)min=g(-D=3+a=l,解得：。=一2,满足题意,

当-1苦＜2,即-2＜。＜4时，g(x)在［-1,会上单调递减，在g,2］上单调递增,

2

则g(X)min=g《)=2—?=l，解得：4=2或。=一2(舍去)，

当晟22,即“24时，g(x)在区间［-1,2］上单调递减，

则g(x)min=g(2)=6-2a=l,解得：«=|g［4,+＜»)(舍去)，

所以综上得：。=±2.

-2x2+120x-1000,0<x<40

21.18000

+1250,40<x<100

(2)当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元

【分析】(D根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可;

(2)根据二次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】(1)当04x<40时，P=160x-(2x2+40x)-1000=-2x2+120x-1(XX)；

当404x5100时，P=160x-|165x+^^-2250|-1000=-5x—^^+1250,

y