吉林省长春市北湖学校2023-2024学年九年级上学期假期检测数学试题

吉林省长春市北湖学校2023-2024学年九年级上学期假期检

测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x2+4y+5=0B.x2+5x=x2+\C.4x2-6.r=7D.2x3-x-5=O

2.已知某种冠状病毒的直径为0.00000031米,数据0.00000031用科学记数法表示为（）

A.0.31x10^B.3.1x10-C.31x10-8D.3.1x10-7

3.下列等式成立的是（）

x+3_1孙_yx+2

A.QQB.C.D.

22x2+9x-3x2-xyx-yx2+2x

4.如图，在平行四边形ABC。中，AB=4,AD=1,/ABC的平分线仍交AO于点E,

C.3.5D.2

5.2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可

支配收入的平均增长率为x,下列方程正确的是（）

A.5.76（1+x）2=6.58B.5.76（1+/）=6.58

C.5.76（1+2x）=6.58D.5.76/=6.58

6.如图，数轴上，AB=AC,A、B两点对应的实数分别是与G和-1,则点C所对应

的实数是（）

BAC

----、，•/--------1-------->

T°Q

A.1+73B.26+1C.2+5/3D.2A/3-1

7.如图，在矩形ABC。中，以点8为圆心，BC的长为半径画弧，交AO于点E,再分

别以点C,E为圆心，大于;CE的长为半径画弧，两弧交于点F,作射线8尸交8于点

G.若AB=8,BC=10,则CG长为（）

A.5B.—C.2>/2D.—

32

8.已知点4（a,yJ,B（«+2,y2）,在反比例函数y=比1的图像上，若y-y?〉。，则

X

“的取值范围为（）

A.a<0B.a<-2C.-2<a<0D.”-2或a>0

二、填空题

9.2a-6^+3屈=—.

10.一组数据：1,2,4,3,2,4,2,561,它们的平均数为,众数为,中位数为

11.如图，在A6C中，NACB=90。，中线AO、BE相交于点O.若AC=4,CB=3,

则OB的长为.

ni3

12.若关于x的方程」\+2=一—会产生增根，则”的值为.

13.若关于x的一元二次方程d+2x-%=0无实数根，则左的取值范围是.

14.如图，己知四边形ABCO是边长为4的正方形，点E是BC边的中点，连接DE,

将△DCE沿。E翻折得到连接AC',则AC'的长为.

三、解答题

试卷第2页，共6页

15.先化简，再求a值—七2a丝（+卜4一a—丝4、广>其中4=-1

16.解方程：X2-4X+2=0.

17.某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔.己知毛笔单价是钢

笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买钢笔的数量比

购买毛笔的数量多30支.求钢笔的单价.

18.为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组

织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环

节.为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随

机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述

和分析.下面给出了部分信息.

甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40<x<50,50Vx<60,

60Vx<70,70<x<80,80Vx<90,90<x<100）：

A频数（学生人数）

分

.绩

b.甲学校学生成绩在80Vx<90这一组的是：

80808181.582838384858686.5878888.58989

c.乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下:

平均数中位数众数优秀率

83.3847846%

根据以上信息，回答下列问题：

（1）甲学校学生4乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生

中的综合素质展示排名更靠前的是（填“A”或"8”）；

（2）根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为

（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；

（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分

数至少达到分的学生才可以入选.

19.如图，在YABCZ）中,对角线AC与8。相交于点O,NC4B=ZACB,过点B作

交AC于点E.

(1)求证：ACJ.BD；

(2)若A3=10,AC=16,求OE的长.

20.图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长为1,小正方形

的顶点称为格点，线段A8的端点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，

按要求画出相应图形.

⑴在网格①中画出中点，中点为C

(2)在网格②中画出：A8C,使ABC为钝角等腰三角形，点C在格点上.

(3)在网格③中画出以A、B、C、。为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形，

且AB=V5BC，点C、点。均在格点上.

21.甲、乙两个工程队修筑一条公路，甲队从南向北方向修筑，乙队从北向南方向修筑.甲、

乙两队同时开工，乙队施工几天后因另有任务提前离开，甲队继续修筑公路.当乙队任

务完成后，因赶时间，乙队回来继续修筑公路，直到公路修通.在修路过程中，甲、乙

两队的工作效率保持不变.设甲、乙两队修筑公路的长度为y(米)，施工时间为x(天)，

y与x之间的函数图象如图所示.

(1)甲队每天修筑公路米，乙队每天修筑公路米；

(2)求乙队离开的天数；

(3)求乙队回来后修筑公路的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值

范围；

(4)求这条公路的总长度.

试卷第4页，共6页

22.综合与实践：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.

在矩形ABC。中，E为AB边上一点,尸为AO边上一点，连接CE、CF,分别将BCE

和.CDR沿CE、CF翻折，点。、B的对应点分别为点G、，，且C、H、G三点共线.

(1)如图1,若F为AE＞边的中点，A8=BC=6,点G与点H重合，则NECF=

BE—;

(2)如图2,若尸为的中点，CG平分NECF,AB=6+l，BC=2,求/EC尸的度

数及8E的长；

(3)AB=5,AO=3,若尸为A£＞的三等分点，请直接写出庭的长一.

23.如图，在二MC中，BA=BC=IO,8c边上高为8,点力为边BC的中点点P从点

8出发，沿折线BA—AC向点C运动，在R4、AC上的速度分别为每秒5个单位长度和

每秒2石个单位长度.当点P不与点A重合时,连接PZ),以％、PD为邻边作,APDE.设

点P的运动时间为，秒。＞0).

(1)①线段AC的长为：

②用含，的代数式表示线段AP的长；

(2)当点E在:A8C内部时，求/的取值范围；

⑶当二"DE是菱形时，求f的值；

(4)作点B关于直线尸。的对称点8,，连结87),当8Z)_LBC时，直接写出f的值.

24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=^+l的图象与y轴相交于点A,与x轴

相交于点8(4,0),过点醺2,0)作平行于y轴的直线/,交直线A8于点。，点P是直线

/上一动点，且点尸不与点。重合，连结P4、PB,设点尸的纵坐标为〃?，的面

积为S.

(2)求女的值;

(3)求S与m之间的函数关系式；

(4)当5=3时，以点8为直角顶点作等腰直角△BPC,直接写出点C的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可.

【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

B、整理后，不含二次项，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

C、它是一元二次方程，故此选项符合题意；

D、未知数次数为3,不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程

应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数

不等于0"；“整式方程”.

2.D

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为4X10-〃，与较大数的

科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定.

【详解】数据0.00000031用科学记数法表示为：

0.00000031=3.以10々，

故选：D.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(T〃，其中上同＜10,〃为由

原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.C

【分析】将各选项进行化简判断即可.

【详解】解：A、菅NX'/，故不符合题意；

B、3故不符合题意；

x'+9x-3

C、--=,故符合题意；

X-xyX(x-y)x-y

x+2%+21

D、=丁二=一，故不符合题意，

x+2xx(x+2)x

故选：C.

【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键.

答案第1页，共23页

4.B

【分析】先证明NA£B=N£8C,可得AB=AE,根据ED=">-即可得出答案.

【详解】解：•••四边形A3C£>是平行四边形，

AD//BC,

二ZAEB=NEBC,

又YBE平分/ABC,

，ZABE=NEBC,

ZABE=ZAEB,

•••AB=AE,

：.ED=AD-AE=AD-AB^7-4=3.

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解答本题的关键是得出

ZAEB=NEBC.

5.A

【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即

可.

【详解】解：由题意得:5.76(1+x)2=6.58.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

6.B

【分析】求出A3的距离，再求出点C所表示的数•

【详解】解：设点C所表示的数是m,

,:A、B两点对应的实数分别是与右和-1,

AB=G-(-l)=G+l,

•••AB=AC,点A表示的实数是点C在点A的右侧，

•，•m—5/3=5/3+1,

.♦.〃?=20+1•

答案第2页，共23页

.,.点C所对应的实数是26+1-

故选：B.

【点睛】本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离.掌握数轴上两点间的距离

是解题的关键.

7.A

【分析】根据作图过程可得斯是ZEBC的平分线，然后证明AEBG二△C8G,再利用勾股定

理即可求出CG的长.

【详解】解：如图，连接EG,

根据作图过程可知：8尸是/EBC的平分线，

:"EBG=NCBG,

在，£BG和CBG中，

EB=CB

-NEBG=ZCBG,

BG=BG

△E8G学△CBG(SAS),

:.GE=GC,

在RtAABE中，A8=8,BE=BC=10,

:.AE=\lBE2-AB2=6>

:.DE=AD-AE=\0-6=4,

在RtADGE中，DE=4,DG=DC-CG=8-CG,EG=CG,

EG2-DE2=DG2

..,CG2-42=(8-CG)2,

解得CG=5.

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形

答案第3页，共23页

的性质.

8.D

【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（“，y/）、（a+2,”）在图象

的同一分支上时；②当点（a,y/）、（a+2,”）在图象的两支上时，分别求解即可.

【详解】解：；陶+1>0,

，图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，

%一%>0.

•*-y/>y2f

①当点（〃，y/）>（Q+2,yj）在同一象限时，

Vy/>y2,

上当在第一象限时，

/.0<a<a-t-2,解得。〉0；

近当在第三象限时，

/.a<a+2<0,解得av-2；

综上所述：av-2或。>0；

②当点（小y/）、（a+2,J2）不在同一象限时，

Vy/>y2r

.,.^>0,〃+2<0,此不等式组无解，

因此，本题。的取值范围为。<-2或。〉0,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数2的正负对增减性的

影响，当左<0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当人>0时，在图象的每一支

上，y随x的增大而减小.

9.14y/3

【分析】先根据性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】原式=46-26+126，

=14后,

答案第4页，共23页

故答案为：146.

【点睛】此题考查了二次根式的性质和加减运算，解题的关键是熟练掌握利用二次根式性质

的化简及其应用.

10.322.5

【分析】根据平均数、众数与中位数的定义求解.

【详解】解：平均数=木（1+2+4+3+2+4+2+5+6+1）=3

将这组数据从小到大的顺序排列1,1,2,2,2,3,4,4,56

处于中间位置的数是2,3,那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是等=2.5

2出现的次数最多为众数.

故答案为：3；2；2.5.

【点睛】本题考查了考查平均数、众数与中位数的意义.将一组数据从小到大（或从大到小）

重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.掌握以

上知识是解题的关键.

11.

33

【分析】先运用勾股定理求出8我=如，再根据三角形的中位线得到OEAB,DE=~AB,

进而得到,ODEjOAB解题即可.

【详解】解：YE为AC的中点，

CE=-AC=2

2

：•BE=y/CE2+BC2=>/22+32=V13

连接E。，

则E£>是ABC的中位线，

:.DE\AB,DE=；AB,

：.ZOED=ZEBA,NODE=ZDAB,

，ODE^-OAB

,OEDE1

..---------,

OBAB2

答案第5页，共23页

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形

的中位线定理是解题的关键.

12.3

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.有增根，那么

最简公分母x-l=O,所以增根是kl,把增根代入化为整式方程的方程即可求出机的值.

【详解】解：方程两边都乘(x-1),得

m+2(x-1)=3,

•••原方程有增根，

二最简公分母x-l=O,即增根是41,

把41代入整式方程，得m=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定

增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得未知字母的值.

13.k<-\

【分析】方程无实数根，则△<(),建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围.

【详解】：a=1,b=2,c=-k,

由题意知，A=£>2-4ac=22-4x1x(-/：)=4+4Z:<0,

解得：k<-l,

故答案为：k<-l.

【点睛】本题考查了一元二次方程a?+乐+c=0(。片0,a,b,c为常数)的根的判别式

^=b2-4ac.当A>0,方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；

当△<(),方程没有实数根.

14.巫

5

【分析】过点C'作NM-LBC于点M，交AO于点M得到矩形ABMV,设4V=8M=x,

答案第6页，共23页

AB=MN,证明MC'EsNDC,求得MC'=2x,C'N=4-2x,运用勾股定理解答.

【详解】如图，过点C'作NMJLBC于点M,交AO于点M

则得到矩形"MN，

T§1AN=BM=X,AB=MN=4,

:四边形4?C£＞是边长为4的正方形，/XOCE沿DE翻折得到一DC'E,

:.DC=DC'=4,ZDCE=90°,

：.ZMCE=90°-ZNCD=ZNDC,

.MC'EsNDC,

.EM_C'E

,•而一而‘

•.•点E是BC边的中点，

/.C'E=CE=-BC=2,

2

・2-X_2

"~CN~4,

：.MC'=2x,C'N=4-2x,

在Rt-MCE中，（2xy+（2-x）2=22

解得冗三4，

12

CW=4-2x=y,

故答案为：生叵.

5

【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟

练掌握折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

答案第7页，共23页

1

15.

~a^2；-3

【分析】根据分式的加减计算括号内的，然后根据分式的除法进行计算，最后将，=-1代入

进行计算即可求解.

【详解】解：原式=幺姿+14〃+4

a'a

_a(a-2)a

一42(4-2)2

1

~a-2

当。=-1时，原式=J〜=一?

-1-23

【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键.

16.X]=>/2+2,七-+2

【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤解方程即可.

【详解】解：x2-4x+2—0

移项得x2-4x=-2,

配方得X2-4X+22=-2+22,

即(X-2)2=2,

x—2=±>/2>

•*.飞=>/2+2,X2=—>/2+2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的

关键，此题也可以用公式法解方程.

17.10元.

【分析】设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为15x元/支，根据数量=总价+单价结合购

买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可

得出结论.

【详解】设钢笔的单价是x元，则毛笔的单价为L5x元.

根据题意,得幽-幽=30.

x1.5x

解得x=10.

经检验，x=10是原方程的解，且符合题意.

答案第8页，共23页

答：钢笔的单价是10元/支.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

18.(1)A：(2)乙；理由；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校：(3)88.5

【分析】(1)先算出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中

位线以下，以此判断排名：

(2)计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；

(3)先计算90-100分的人数为96人,不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x

12+Y

个人，根据题意，得±±±x400=120,解得x即可.

50

【详解】解：(1)甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩

由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5

n

.••中位数为：813苜=81.25

YA成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分

成绩为83分，低于乙校中位数84,则B排名在乙校为后半部分

故A的排名更靠前；

故答案为：4

(2)乙校，理由如下：甲校的优秀率为：100%-40%,由(1)甲校的中位数是81.25

分，乙校的中位数是84,优秀率为46%,从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高

于甲校，故乙校高，

故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；

12

(3)根据题意，90-100分的人数为为：一x400=96人，不够120人，要从80-90分之

50

间补充，设需要补充x个人，

根据题意，得J19+、rx400=120,解得43,

50

而这个3个数依次为89,89,88.5,至少要88.5分，

故答案为：88.5.

【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的

定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键.

19.(1)见解析

答案第9页，共23页

⑵。£=]9

【分析】(1)可证A8=C8,从而可证四边形ABC。是菱形，即可得证；

(2)可求08=6,再证,EBOs,8AO,可得型=幽，即可求解.

BOA0

【详解】(I)证明：VZC4B=ZACB,

:.AB=CB,

・・•四边形A3CO是平行四边形，

・•・四边形ABCQ是菱形，

・・・AC1BD.

(2)解：•・•四边形A5CO是平行四边形，

OA=-AC=S

2

VAC1BD,BE1AB,

・•・ZAOB=ZB0E=ZABE=90。,

•**OB=VAB2—OB2=JlO?-8?=6,

•.・NEBO+ZBEO=90°,ZABO+NEBO=90°

・・・NBEO=ZABO,

：.EBOsjBAO,

.EOBO

••---=---.

BOAO

.EO6

••---=一

68

9

解得：OE=j.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定

及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.

20.⑴见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)根据矩形的性质即可画出点G

答案第10页，共23页

(2)找出大于直角的角度画出点C即可；

(3)当四边形AC6O为正方形时，满足中心对称和A8=夜BC的条件.

【详解】(1)解：如下图所示，

IIIIII

IItIII

IIIIiI

图①

(2)解:如下图所万

(3)解：•.•当三角形..ABC是等腰直角三角形，且4c=8C,NACB=90。时，AB=4iBC，

.♦.当四边形为正方形时，满足中心对称和=的条件，

图形如下图所示.

【点睛】本题考查矩形、正方形、三角形和中心对称图形的性质，解题的关键是熟练掌握相

关知识.

21.(1)40,60；(2)3；(3)>=60A-180(9<X<20)；(4)1820.

【分析】(1)用甲队修800米路除以用的时间20天即可求出甲队每天修筑公路的长度，用

甲队修360米路除以用的时间6天即可求出乙队每天修筑公路的长度；

(2)用甲修360米用的天数减去6,即可求出乙队离开的天数；

答案第II页，共23页

(3)设乙队的函数解析式为)，=ax+8,用待定系数法求解；

(4)把420代入(3)中求得的解析式中，求出乙队修的长度，再把甲、乙修的长度相加

即可.

【详解】解：(1)甲：800-20=40(天/米)，

乙：360+6=60(天/米)；

(2)360+40-6=3(天)；

(3)(20-9)x60-360=1020米，

设乙队的函数解析式为y=ax+b,

把x=9,y=360和x=20,y=1020代入，得

僧+b=36O

120mo20'

解之得

卜=60

M=-180，

.,.y=60x-180(9<x<20);

(4)当x=20时,

y=60x-180=1200-180=1020米，

800+1020=1820米.

【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，以及待定系数法确定函数关系式，正确理

解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解(1)(2)的关键；熟练掌握待定系数法是

解(3)的关键；掌握一次函数图像上点的坐标特征是解(4)的关键..

22.(1)45；2

⑵NEB=45°；BE=2丘-2

9

⑶2或'

【分析】(1)根据正方形的性质和翻折的性质，可得出NECF=!NBCO=：X9()O=45。；设

22

BE=x,用x表示出RLAE尸的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出2E的长；

(2)如图，由折叠性质和CG平分/ECF,得出N1=N2=N3=N4,即可求出/EC尸的度

数；先证明和.是等腰直角三角形，得出BM=BC=2,EM=&E，即可求

答案第12页，共23页

出5E的长；

（3）根据尸为AO的三等分点，分两种情况：当AF=2£＞尸时，过点E作EP〃GH,交尸G

的延长线于点P，连接EF,证明RtzXE/ZRt/XPEA,得出A£=尸P,进而求出BE的长;

当£＞F=2AF时，点E作EP〃G”,交FG的延长线于点P,连接EF,根据

EF?=AF2+AE2EP2+FP2，计算即可求出BE的长.

【详解】（1）AB=BC,四边形ABCD是矩形，

，四边形ABCD是正方形，

,AD=BC=6,/BCD=90°,

•.•将8CE和COF沿CE、C/翻折，点。、B的对应点分别为点G、H,

：.NBCE=NGCE,ZDCF=NGCF,

ZBC£）=90°,

NECF=-NBCD=1x90°=45°,

22

•.•尸为A£＞的中点，

DF=-AD=3,

2

•.•将8C£和COF沿CE、C/翻折，点£＞、2的对应点分别为点G、H,

:.BE=EG,DF=FG=3,

设BE=Xf则AE=6-x,

:.EF=3+x,

EF=AE2+AF2，

（3+X）2=（6-X）2+32,

；・x=2,

:.BE=2.

故答案为：45；2；

（2）如图2,延长CG,交A8于点M,

答案第13页，共23页

图2

•：CG^-^AECF,

：.N2=/4,

由折叠的性质可知，Z1=Z2.23=/4,

Z1=Z2=Z3=Z4=-ZBCD=22.5°,

4

，NECF=45。,

VCD//AB,ZEMH=ZDCM=45°,

，CBM和均为等腰直角三角形，

ABM=BC=2,EM=-J2BE-

BM=BE+EM=2,

即BE+近BE=2,

解得BE=2&-2.

(3)分两种情况：①当AF=2£)/时，

如图3,过点E作欧〃G”,交尸G的延长线于点P,连接所，则四边形G”EP为矩形,

由折叠的性质可知，CD=CG=5,BC=CH=3,

二HG=CG-CH=2,

'：AF=2DF,

AAF=2,DF=FG=l,

:.AF=EP,

答案第14页，共23页

在RtZ\EFP和RtAFE4中,

AF=EP

[EF=EF

：.RtAEFP^RtAF£A(HL),

/.AE=FP,

设BE=EH=a,FP=GP+FG-a+1,AE-FP=5—a,

••a+l=5—a,

解得a=2,

二BE=2.

②当r>p=2A尸时，

如图4,过点E作EP〃GH,交FG的延长线于点P,连接EF,则四边形GaEP为矩形,

GH=EF,EH=GP,

由折叠的性质可知，CD=CG=5,BC=CH=3,

：.EP=HG=CG-CH=2,

<•,DF=2AF,

：.AF=\,DF=FG=2,

设BE=EH=a,FP=GP+FG=a+2,AE^5-a,

*-■EF2=AF2+AE2=EP2+FP2，

Al2+(5-«)2=22+(a+2)2,

9

解得4=]

答案第15页，共23页

9

综上可知，BE的长为2或，.

【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质,

轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练

掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键.

23.(1)①4石；②AP=2吕-4石

⑵当1C<2或2<r<3时，点E在A8C内部

⑶得端

（呜或£

【分析】（1）①如图1中，过点4作A〃_L8C于点H.利用勾股定理求出母/,AC即可;

②分两种情形：当0<f42时，当2044时，分别求解即可.

（2）分别判断出点E落在AC,AB上的时间，结合图形判断可得结论.

（3）分两种情形：如图3中，当AP=P。时，四边形APDE是菱形，过点P作R/LBC于

点、J.如图4中，当AP=P。时，四边形APDE是菱形.过点尸作PTJLBC于点厂分别构

建方程求解即可.

（4）分两种情形：如图5中，当点尸在A8上时，过点尸作PKL8C于点K.如图6中，

当点P在AC上时，过点P作PTL8C于点T.分别构建方程求解即可.

【详解】（1）解：①如图1中，过点A作A”,8c于点H,

VAB=BC=10,AHS,

BH=dAB?-AH2=>/102-82=6，

，CH=BC-BH=10—6=4,

答案第16页，共23页

,AC^yjAH2+CH2-V82+42=45

故答案为：45/5；

②当0<fV2时，

AP=AB-PB=lO-5t；

当2<f44时，

AP=2同-2)=2后-4石.

(2)解：如图1中，当t=l时，BP=AP,

此时，点E落在4C,

观察图象可知，当l<f<2时，点E在A3C内部,

如图2中，

当/=3时，AP=PC,

此时，点E落在48上，

观察图象可知，当2</<3时，点£在_筋。内部，

综上所述，当l<f<2或2<r<3时，点E在ABC内部.

(3)解：如图3中，当AP=P。时，四边形APDE是菱形.

图3

答案第17页，共23页

过点尸作RQBC于点J.

在RtLPBJ,PB=5t,

：.PJ=4t,BJ=3t,

：.DJ=BD-BJ=5-3t,PD=AP=\G-5t,

由勾股定理得：PJ2+DJ2=PD2,

即:（4f）2+（5-3f）2=（10-5f）2,

解得：f书;

14

如图4中，当4尸=尸。时，四边形APDE是菱形.

过点P作乃T,8c于点T.

在R/aPCT中，PC=4亚-2凤t-2)=8亚-2®,CT=8-2f,PT=16-4f,

£>T=C£>-CT=5-(8-2r)=2r-3,

由勾股定理得：PT2+DT2=PD2，

即：(16_4r『+(2f-3)2=[2百«_2)『，

解得：七3嗫7

综上所述，满足条件的r的值为"15或37

1412

(4)解：如图5中，当点P在AB上时，

答案第18页，共23页

过点P作尸K，8c于点K.

:DB'1.CB,

二NPDK=NPDB'=45。,

：.PK=DK=4f,

BK=3t,

BD=BK+DK=3t+4t=5,

如图6中，当点P在AC上时，过点P作PT，8c于点T.

同理可证：PT=DT=16-4t,

•••CT=8-2t,

CD=16-4r+8-2r=5,

••'-不；

综上所述，满足条件的，的值为二5或：19.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，平行