2019-2023全国各高考数学真题按分项汇编 计数原理含详解

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

当象18计裁原理

哥瑞•存瓶力析

计数原理作为高考知识点主要考查题型文小题。主要考查题型为：

考点01分类加法与分步乘法计数原理、排列组合

考点02二项式定理

奇/真虎精折

考点01分类加法与分步乘法计数原理、排列组合

1（2020•上海）已知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},a、b^A,则|a|<|6|的情况有种.

2.（2023•新高考I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门

课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一种（用数字作答）.

3.（2023•新高考H）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟

从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结

果共有（）

A.器种

D.谓.嗡种

4.（2022•新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不

同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

5.（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，

则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

6.（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排

2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

7.（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安

排2个人，则共有种安排情况.

8.（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续

参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有一种（结果用数值表示）

考点02二项式定理

1.（2022•新高考I）（1-马（尤+»的展开式中的系数为（用数字作答）.

X

5（2021•浙江）已知多项式（X-1）3+（x+l）4=d+卜2工2+r―+%，则%=；%+%+。4=-

2.（2021•上海）已知二项式（x+a）5展开式中，/的系数为80,则。=.

3.（2020年高考数学课标II卷理科•第14题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区,

每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

4.（2020年高考数学课标III卷理科•第14题）（/+-）6的展开式中常数项是（用数字作答）.

X

5（2020•浙江）二项展开式（1+2%）5=。0+〃]%+〃2%2+4丁+。4尤4+。5丁，贝（J〃4=,q+。3+%=,

6.（2020•上海）已知二项式（2x+6f,则展开式中/的系数为.

7.（2019•上海）已知二项式（2X+1）5,则展开式中含Y项的系数为.

8.（2019•浙江）在二项式（亚+x）9展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数是—.

9.（2019•上海）在（x+3）6的展开式中，常数项等于—.

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

当象18计裁原理

哥存•存瓶力折

计数原理作为高考知识点主要考查题型文小题。主要考查题型为：

考点01分类加法与分步乘法计数原理、排列组合

考点02二项式定理

奇存真魅精折

考点01分类加法与分步乘法计数原理、排列组合

1（2020•上海）已知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},a、b^A,则|a|<|6|的情况有种.

【解析】当。=—3,0种，

当a=—2,2种，

当a=—1,4种；

当a=0,6种，

当。=1,4种；

当a=2,2种，

当a=3,。种，

故共有：2+4+6+4+2=18.

故答案为：18.

2.（2023•新高考I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门

课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一种（用数字作答）.

【解析】若选2门，则只能各选1门，有C：C；=16种，

如选3门，则分体育类选修课选2,艺术类选修课选1,或体育类选修课选1,艺术类选修课选2,

则有C：C：+C：C：=24+24=48,

综上共有16+48=64种不同的方案.

3.（2023•新高考II）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟

从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结

果共有（）

A.编C。种B.璨«。种

C-C；*C款种D.C%啕种

【解析】初中部和高中部分别有400和200名学生,

人数比例为400:200=2:1,

则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，

则有C%嗡种.

故选：D.

4.（2022•新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不

同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有&=48种情况，

甲站在两端的情况有嫖禺&=24种情况，

，甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种，

故选：B.

5.（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，

则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

【解析】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，

每个村里至少有一名志愿者，

则不同的安排方法共有：

C；C；隹=6.

故选：C.

6.（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排

2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

【解析】因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，

甲场馆从6人中挑一人有：C：=6种结果；

乙场馆从余下的5人中挑2人有：以=10种结果；

余下的3人去丙场馆；

故共有：6x10=60种安排方法；

故选：C.

故答案为：64.

7.（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安

排2个人，则共有一种安排情况.

【解析】根据题意，可得排法共有C：C；C；=180种.

故答案为：180.

8.（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续

参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有一种（结果用数值表示）

【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有4禺=24种,

故答案为:24.

考点02二项式定理

1.（2022•新高考I）（1-马（元+4的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）.

X

【解析】（X+y）8的通项公式为（+1=C"8-y,

35

当厂=6时，4=C；尤2y6,当r=5时，T6=C^xy,

，（1一马（尤+炉的展开式中的系数为或-C；=-^--^-=28-56=-28.

心/5»,3!

故答案为：-28.

5（2021•浙江）已知多项式（x-l）3+（彳+1）4=彳4+平3+q/2+%.+%,则％=；a2+a3+a4=.

【解析】4即为展开式中丁的系数，

所以q=C；（-l）°+C；=5；

令x=1,贝!|有1+q+/+/+%=（1—Ip+（1+1）“=16,

以d+%+。4=16—5—1=10.

故答案为：5；10.

2.（2021•上海）已知二项式（x+a）5展开式中，Y的系数为80,则。=.

【解析】（x+a）5的展开式的通项公式为酊=0尤5-"，

所以x2的系数为C：a3=80,解得4=2.

故答案为：2.

3.（2020年高考数学课标II卷理科•第14题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，

每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

【答案】36

解析：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学

二先取2名同学看作一组，选法有：C；=6

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：喜=6

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种

故答案为：36.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能

力和计算能力，属于中档题.

【题目栏目】计数原理'两个计数原理的综合应用

【题目来源】2020年高考数学课标n卷理科•第14题

4.（2020年高考数学课标III卷理科•第14题）（f+-）6的展开式中常数项是（用数字作答）.

【答案】240

解析：p+-^l

其二项式展开通项:

=C；（2）r-x12-3r

当12—3厂=0,解得厂=4

p+-^）的展开式中常数项是：C^-24=Cj-16=15xl6=240.

故答案为：240.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握（。+人）"的展开通项

公式7；+i=C，"-7/,考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2020年高考数学课标III卷理科•第14题

5（2020•浙江）二项展开式（l+2x）5=g+4龙+为尤②+/尤3+%,/+%*5,贝,4+4+。5=

5344

【解析】（1+2x）-aQ+aYx+a^+a3x+a4x+aix",贝!]%=C；-2=8。.

q+%+%=C；x2+C；x2^+C；2'=122.

故答案为：80；122.

6.（2020•上海）已知二项式（2尤+石