正方形的判定

关于正方形的判定

你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是正方形有哪些方法？）第2页,共31页，2024年2月25日，星期天平行四边形矩形菱形正方形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？第3页,共31页，2024年2月25日，星期天平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）对角线相等对角线互相垂直第4页,共31页，2024年2月25日，星期天5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结第5页,共31页，2024年2月25日，星期天正方形的判定方法1：定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900,又∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是平行四边形,∠A=900.AB=BCABCD∴四边形ABCD是矩形.第6页,共31页，2024年2月25日，星期天正方形的判定方法2：有一个组邻边相等的矩形是正方形求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是矩形,又∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.ABCD∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.第7页,共31页，2024年2月25日，星期天正方形的判定方法3有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.证明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD第8页,共31页，2024年2月25日，星期天对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO正方形的判定方法4第9页,共31页，2024年2月25日，星期天对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO正方形的判定方法5第10页,共31页，2024年2月25日，星期天归纳：正方形的5种判定方法2、有一个组邻边相等的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形.4、对角线互相垂直的矩形是正方形.5、对角线相等的菱形是正方形.1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形第11页,共31页，2024年2月25日，星期天√√√×(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（）(3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形（）(5)四个角都相等的四边形是正方形()(6)四条边都相等的四边形是正方形()练习1判断题:××第12页,共31页，2024年2月25日，星期天1、下列命题正确的是（）

A、四个角都相等的四边形是正方形

B、四条边都相等的四边形是正方形

C、对角线相等的平行四边形是正方形

D、对角线互相垂直的矩形是正方形D例1:第13页,共31页，2024年2月25日，星期天练习2．四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D、平行四边形

练习

3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点能判定这个四边形是正方形的是：（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

B．AD∥BC∠A＝∠C

C．AO＝CO

BO＝DO

AB＝BCD．AC＝BD

CA第14页,共31页，2024年2月25日，星期天练习4．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形

A第15页,共31页，2024年2月25日，星期天练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（

）⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（）⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（）⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（）⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）菱形矩形矩形矩形正方形第16页,共31页，2024年2月25日，星期天例2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。ABCDEF∴四边形ABCD是正方形（)∴DE=DF()DE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四边形ABCD为矩形()而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB有三个角是直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形第17页,共31页，2024年2月25日，星期天

已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ达标检测5第18页,共31页，2024年2月25日，星期天达标检测6：已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ123第19页,共31页，2024年2月25日，星期天例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ123证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠

B=∠

C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC又∵AE=BF=CG=DH∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF即BE=AH=DG=CF∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．∴EH=EF=GF=HG∵∠1=∠3．又∠3+∠2=90°∠1+∠2=90°∴∠EFH=90°∴四边形EFGH是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形）第20页,共31页，2024年2月25日，星期天

在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？设计花坛第21页,共31页，2024年2月25日，星期天

第22页,共31页，2024年2月25日，星期天例2、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°证明：∴DM=DF∴Rt△ADF≌Rt△CDM

(ASA)又∵AD＝CD，∠ADF＝∠MDC=90°∴∠1＝∠2又∵∠CMD＝∠AME（对顶角）∴∠ADC＝∠AEM＝90°∵CE⊥AF四边形ABCD是正方形∴∠MFD＝45°第23页,共31页，2024年2月25日，星期天例3：如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B的角平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形AEDF是正方形。DABCEFM第24页,共31页，2024年2月25日，星期天1、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。ABCDEPFO第25页,共31页，2024年2月25日，星期天思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.探究2:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN，试判断线段AM于BN之间的关系.探究1:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？探究3:若正方形ABCD的边长为1，则阴影部分面积BMON为多少？第26页,共31页，2024年2月25日，星期天例5、如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2AB＝AD，点P是边BC上一动点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？第27页,共31页，2024年2月25日，星期天2、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E，①求证：四边形ADCE是矩形。②当△ABC满足什么条件时，四边形

ADCE是正方形，说明理由。ABCEMND第28页,共31页，2024年2月25日，星期天3、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC第29页,共