甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高二年级上册期中考试 数学试题

酒泉市实验中学2023-2024学年第一学期高二数学期中试题（附答案）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知数歹!!｛&｝满足4>0,2a+i=&,则数列｛&｝是（）

A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列

2.已知数列｛aj满足an=：+l(n22,neN"),若="则为=(

an-l3

A.1B.-C.2D.-

25

3.直线L=1的纵截距为()

A.—2B.—C.—D.3

23

4.等比数列｛a｝中，色a&5=6,a=3,则4=()

23

A.-B.5C.2D.12

o乙

5.经过两条直线A：x+y=2,72：2x—的交点,且直线的一个方向向量—（一3,2）的直线方程为

()

A.2x+3y-5=0B.|2x+y+2=0

C.x+2y—2=0.D.x-y—7=0

6.椭圆。：工+反=1的焦点为6，尸2,点P在椭圆上，若尸月=6,则点p至uy轴的距离为（）

2449

A.2.4B.2.8C.4.0D.4.8

7.抛物线y=2d的准线方程为（）

A.y=-—B.y=--c.x=—D.x=~-

4828

8.已知直线办+2y=0与直线4：x+（〃+l）y+4=0平行，则实数〃的值为（）

2

A.-2B.-C.1D.-2或1

3

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

9.已知数列｛七｝满足的=—；,an+i=J/，则下列各数是｛an｝的项的有（）

A.-2B.-2C.3-D.3

32

10.已知方程」+工=1表示的曲线为C则以下四个判断正确的为（）

4Tt-\

A.当lv，v4时，，曲线。表示椭圆B.当，>4或E<1时，曲线C表示双曲线

C.若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，贝D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则f>4

11.）若直线2x+y+Vm=。被圆/+y2=4截得的弦长为2次,则m不可能是（）.

A.V5B.5C.10D.25

12.设等比数列｛a,,｝的公比为0,其前〃项和为£,前〃项积为北，并满足条件a>l,&02la2022>1,

^Er<o,下列结论正确的是（）

&L02211

A.Sow〈Wo22B.a202132023-KOC.a022是数列｛北｝中的最大值D.数列｛用无最大值

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

13.直线y=x+1与圆/+y2+2丫­3=0交于A,B两点,贝.

14.数列｛a｝中，&=8,&=2,且满足a0+2=2a+i-aJ/jGN*）,则数列｛aj的通项公式为.

15.设｛a“｝是等比数列，且ai+az+a3=l,a;+a3+ai=2,则a+国+@8=.

16.如图，赛马场的形状是长100m,宽50m的椭圆.则距离顶点10m的宽度是.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知平面内两点A（8,-4）,B（2,2）.

①求过点P（2,-3）且与直线AB平行的直线/的方程；

②一束光线从点B射向（1）的直线/,若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程.

18.（12分）已知等差数列｛a｝的前〃项和为S,（〃GN*）,且团+a=&,&=9,数列｛&｝满足

bt=2,6”一6"-1=2"一’（〃》2,/?SN*）.

①求数列｛a｝和｛4｝的通项公式；

②求数列｛a4｝的前n项和T„,并求7,的最小值.

19.（12分）已知点P（a+1,2-V2）,M（3,l）,圆C:（x-I）2+（y-2）2=4.

①求过点P的圆C的切线方程；

②求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.

20.(12分)已知抛物线/=4x的焦点为E点"在抛物线上，称，垂直x轴于点M若|好1=6,

①求则点必的横坐标

②求△助V尸的面积

21.(12分)已知数列｛4｝为等差数列，数列也｝为等比数列，满足々=2q=2,—6+4=11.

①求数列｛4｝,也｝的通项公式；

②求数歹式4,也｝的前〃项和S..

22历

22.(12分)已知椭圆G2+看=13力0)的离心率为手，且过点4(2,1).

at)z

①求。的方程；

②点M,4在C上，且加吐4MADVMN,〃为垂足.证明：存在定点Q,使得I〃0为定值.

参考答案

一、二单选，多选题

题号123456789101112

答案BAAAADBI)BDBCDACDAB

三、填空题

13.27214.a„=10—2/?15.3216.30

四、解答题

2-(-4)=-1,因为直线〃/AB

17.解：⑴因为A(8,-4),B(2,2),所以左一

2-8

所以直线八的斜率&=—1.所以直线/的方程为y+3=(-1)(%-2),即x+y+1=0.

b-2

1

解得］二-3,即C(_3,—3),

(2)设B(2,2)关于直线/的对称点C(a,b),则〈fl-2

o+2Z?+2_b=-3

-----+-----+1=0

I22

-3-(-4)_1

-3-8~~Tl'

直线AC的方程为y+4=(—：)(x—8),即x+lly+36=0,所以反射光线所在直线方程为

x+1ly4-36=0.

(功+四)X6

18.解：(1)由数列｛4｝为等差数列可知：&===3Qx=9=Hi3,

2

故</=ai—a3=3.

则数列｛a〃｝的通项公式为a„—a3+(/?—3)X3=3〃-9(〃GN*).

当"22时，友一a=2',&-&=22,b,.-x-b„-z=2"~\b,-b,^=2"~',

将上述式子累加得：4一A=2'+22+…+2"T+2"T=2"—2,则6“=2"(〃22)；

当〃=1时，4=2'=2满足上式.

综上可得，&=2"(〃eN*).

(2)设c„—a„b„—(3n—9)X2",

则T„=c\-\-cz-\---FCLI+G

=(3-9)X2+(6-9)X224------9]X2"~1+(3〃―9)X2",

2。=(3-9)X22+(6-9)X23+-+[3(/?-1)-9]X2"+(3〃-9)X2"+1,

两式相减得：一Tn——12+3X2~+…+3X2"—(3〃-9)X2"'',

则北=(3〃-12)X2"+'+24(〃《N").

显然：当〃》4时，刀,与24且单调递增，

则依次求出方，T2,K,7,比较大小即可.

易得力=-12,为=-24,右=-24,看=24,

故｛窗的最小值为(7Xin=%=A=—24.

19.解：由题意得圆心为C(l,2),半径r=2.

(1)V(V2+1-1)2+(2-V2-2)2=4,点P在圆C上.

又kpc=-1,.••切线的斜率k=一六=1.

kpc

...过点P的圆C的切线方程是y-(2-V2)=x-(V2+l),即x-y+1-2&=0.

(2)V(3-l)2+(l-2)2=5>4,.•.点M在圆C外部.

当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(l,2)到直

线x—3=0的距离d=3—1=2=r,直线x—3=0是圆的切线.

当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离

d_M-2+i-3k|_?

解得k=*；.切线方程为y—1=(x—3),即3x—4y-5=0.

综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.

'：\MC\=7(3-I)2+(1-2)2=V5,

过点M的圆C的切线长为J|MC|2—产=V5^4=1.

20.解：因为抛物线的方程为/=4x,故0=2且尸(1,0),

因为I扬1=6,所以刈+苴=6,解得x.=5,故加=±24，所以以涧=；X(5—1)X24=44.

21.解：⑴4=",2=2"；

(2)S„=(n-l)-2n+1+2.

解：（1）设｛q｝的公差为"，也｝的公比为夕（#0），4=1,4=2,

h=2%,整理可得产学"E，解得［=:

联立＜2

a3+b3=11［夕=2\a=1

n

所以4=〃，bn=2.

(2由(1)知4A=-2",

则S“=1X2+2X22+3X2、++(n-l)x2n_1+/?x2n,①

2S„=1X22+2X23+3X24++(n-l)x2"+nx2"+',②

①-②，=2+22+23++2"-nx2"+'

i_?w

=2xL^-〃x2"i

1-2

=(1-n)x2n+l-2.

所以5〃=（九一1）・2'川+2.

4ia—//1

22.解：（1）由题意得F+R=1,「^=5,解得才=6,力2=3.

aba2

22

所以c的方程为三+W=1.

63

（2）证明：设材（乂，yi）,Ma,%）.

22

若直线册与X轴不垂直，设直线9的方程为尸加+加，代入卷+5=1,

06

得(1+2京9x'+4ARX+2ZZ/—6=0.

4km