河北省承德市兴隆县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

2022-2023学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）

密（D

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2.下列约分正确的是（）

x+y

=0

B.x+y

3.下列二次根式中，不能与丁工合并的是（）

B.7~8C.V-l2D./J8

4.如图，在Rt△4BC中，L.C=90°,AC=3B,C=4,4B的垂直平分线交BC

于点0,连接4。，则△4CO的周长是（）

A.7

B.8

C.9

D.10

5.化简x+嬴；的结果为（）

XV一

A.-B.-C.xyD.1

yx7

6.若方程乜+J-=3有增根，则a的值为（）

A.1B.2C.3D.0

7.如图，在△ABC中，4ABC和NACB的平分线相交于点F,过尸作DE//BC,交AB于点D,交4c于点E.若BD=4,

DE=7,则线段EC的长为（）

A.3B.4C.3.5D.2

8.下列命题正确的是（）

A.内错角相等B.-1是无理数

C.1的立方根是±1D.两角及一边对应相等的两个三角形全等

9.施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才

能按时完成任务，求原计划每天施工多少米.设原计划每天施工工米，则根据题意所列方程正确的是（）

A20002000n口20002000n

xx+50x+50x

c20002000o「20002000n

xx—50x—50x

10.如图，AD是△ABC的角平分线，DELAB,DFLAC,垂足分别为点E、点尸，连接E尸与4D相交于点0,

下列结论不一定成立的是（）

A.DE=DFB.AE=AFC.OD=OFD.OE=OF

1L已知Q=b=3»则V18=()

A.2aB.abC.a2bD.ab2

12.我国是最早「解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是（）

A.5B.6C.7D.8

14.下列说法：

①数轴上的点都表示有理数；

②不带根号的数一定是有理数；

③负数没有立方根；

④19的平方根是，丽.

其中正确的说法有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

15.三个等边三角形的摆放位置如图，若43=60。，则41+42的度数为()

A.90°

B.120°

C.270°

D.360°

16.如图，直线2上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为1和9,则b的面积为()

1

A.8B.9C.10D.11

二、填空题(本大题共4小题，共12.()分)

17.等腰三角形的一个角为80。，则这个等腰三角形的顶角的度数为

18.如图，Z.OAB=Z.OBC=Z.OCD=90°,AB=BC=CD=1,OA=2,贝ij。。？=

19.小明在解答“已知AABC中，AB=AC,求证NB<90。”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题

过程中的四个推理步骤：

(1)所以NB+NC+44>180°,这与三角形内角和定理相矛盾.

(2)所以<90°.

(3)假设>90°.

（4）那么，由力B=AC,得48=Z_C290。，即NB+4CN90。，即NB+/C2180。.

请你写出这四个步骤正确的顺序.

20.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A,B为格点在如图所示的网格

中求作一点C,使得=AB且△4BC的面积等于会则此时BC的长为.

B

A

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.（本小题8.0分）

计算：

⑴++C；

（2）（＞ri3+2d-2V~T1）.

22.（本小题8.0分）

如图，在△ABC中，点。是BC的中点，DE//A8交4c于点E,DP//4C交AB于点P.求证：ABDP^ADCE.

23.（本小题8.0分）

小红家到学校的路程为38km,小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2km,才能到达学校，路

途所用时间为1八.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.

24.（本小题8.0分）

应用题.

某校八年级学生进行实践活动，测量池塘两端4、B的距离（4B不能直接测量），请你根据学过的三角形的知

识设计方案.

要求：①画出图形并简述你的方案；②方案中用到的线段长用小写字母a、b、c等表示，角度用41,42等

表示；③表示出4B的长.

25.(本小题8.0分)

如图，乙408=60°,射线OC是N40B的平分线，OC=4,E、F分别是04和。8上的两个动点，且始终有。尸=

2OE.

问题：当CF长度最小时，在图中画出C尸和CE拼求出此时OE的长和四边形EOFC的面积.

26.(本小题8.0分)

设M=2+(。-当)・

1+2。+屋'a+r

(1)化简M；

(2)当a=3时，记M的值为/(3),当a=4时，记M的值为f(4).

①求证：岛15=’一磊；

②利用①的结论,求/(3)+/(4)+…+f(11)的值；

③解分式方程套一喜=/(3)+/(4)+…+/(II).

27.(本小题8.0分)

【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

A

E

图1图2

如图1,△ABC中，若4B=8,AC=6,求BC边上的中线40的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到

了如下的解决方法：延长4。到点E,使0E=4D,请根据小明的方法思考：

⑴由已知和作图能得到A4DC三AEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得4D的取值范围是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.l<AD<7DA<AD<7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,AD是A4BC的中线，BE交4c于E,交4。于F,且4E=EF.求证：AC=BF.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

8、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

。、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.

故选：B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合四种标志的特点求解.

考查中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查分式的基本性质及变号法则，正确确定公因式是关键，要特别注意性质中“都”和“同”的

含义.

根据分式的基本性质作答.分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变.易

知C正确.

【解答】

解：A、好尤4,故A选项错误；

8、常=1，故8选项错误；

C,4=-＞故C选项正确；

xLX

。、智=在，故。选项错误.

故选C.

3.【答案】C

【解析】解：力、=与，故4能与。合并；

B、=攵，故B能与，2合并；

c、yTn=故c不能与。合并；

D、C宙=3/1，故。能与C合并；

故选：c.

本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式.

4.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出ZD=BD是解题关键.

直接利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD,进而得出答案.

【解答】解：•••4B的垂直平分线交BC于点。，

•••AD=BD,

•­■BC=4,AC=3,

•••CD+AD=CD+BD=BC=4,

•••△4C0的周长为：4+3=7.

故选A.

5.【答案】B

【解析】解：原式="匕工=?,

XXX

故选B

原式利用除法法则变形，约分即可得到结果.

此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.【答案】A

【解析】【分析】

增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化为整式方程的方程即可求

出a的值.

本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整

式方程即可求得相关字母的值.

【解答】

解：方程两边都乘（X-2）,得

x—1—a=3(x—2)

•.•原方程增根为x=2,

.•.把x=2代入整式方程，得a=l,

故选：A.

7.【答案】A

【解析】解：•••1BC和乙4cB的平分线相交于点F,

:•乙DBF=LFBC,乙ECF=LBCF,

vDF//BC,交4B于点D,交AC于点E.

•••乙DFB=乙FBC,乙CFE=ABCF,

Z.DFB=乙DBF,Z.CFE=乙ECF,

BD=DF=4,FE=CE,

:.CE=DE-DF=7-4=3.

故选：A.

根据△ABC中，NABC和ZACB的平分线相交于点凡求证408尸=ZFBC,NECF=4BCF,再利用两直线平行

内错角相等，求证出4。/8=乙FBC,乙CFE=乙BCF,则可推出4。尸8=4DBF,4CFE=Z.ECF,即B。=DF,

FE=CE,然后利用等量代换即可求出线段CE的长.

此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质、平行线的性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角

相等.

8.【答案】D

【解析】解：4、两直线平行，内错角相等，故错误；

B、-1是有理数，故错误；

C、1的立方根是1,故错误；

。、两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确；

故选：D.

根据平行线的性质，三角形全等的判定定理，立方根，无理数的定义即可解答.

本题考查了定义与命题、平行线的性质，三角形全等的判定定理，立方根，无理数的定义，解决本题的关

键是熟记平行线的性质，三角形全等的判定定理，立方根，无理数的定义.

9.【答案】4

【解析】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+50)米，

根据题意，可列方程：迎2_鬻=2,

xx+50

故选：A.

设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设(x+50)米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2,列

出方程即可.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程.

10.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关

键.首先运用角平分线的性质得出DE=DF,再由HL证明RtAADE三Rt△力DF,即可得出4E=AF；根据

SAS即可证明A4E。三△4月9,即可得到OE=OF.【解答】

解：•••4。是AABC的角平分线，DELAB,DF1AC,

DE=DF,Z.AED=UFD=90°,

在RMADE和中，

(AD=AD

IDE=DF'

■■Rt△ADE^Rt△ADF(HL),

AE=AF；

•••4。是△ABC的角平分线，

・•・/-EAO=Z.FAO,

在^AEO^L4尸。中，

AE=AF

乙EAO=4FAO,

AO=AO

•••△4E0wZi4F0(SAS),

・・.OE=OF；

故选C.

11.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了二次根式的乘法，是基础题，难点在于对18的分解因数.

将18写成2x3X3,然后根据二次根式的乘法的法则解答即可.

【解答】

解：a=\T~2，b=V-3>

V18-V2x3x3=yj~2xA/-3xV-3=a-b-b=ab2■

故选D

12.【答案】D

【解析】解：4、r^成1+；，+gab=g(a+b)(a+b),

・•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

8、r4xgab+c2=(a+b)2,

•••整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

4x+(b—a)2=c2,

•••整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

。、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

故选：D.

先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可.

本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键.

13.【答案】B

【解析】解：,.•V-36<V-37.

二与C7接近的是6.

故选：B.

直接利用已知得出接近G的有理数即可.

此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键.

14.【答案】4

【解析】解：①数轴上的点表示有理数和无理数，因此①不正确；

②兀是不带根号的无理数，因此②不正确；

③负数有立方根，没有平方根，因此③不正确；

④一个正数的平方根有两个并且互为相反数，因此④不正确.

故答案为：A.

根据有理数的概念，有理数与数轴的关系，立方根平方根的定义对每一项分析判断即可得出结论.

本题考查的是有理数无理数的概念，平方根立方根的定义等相关知识点，理解概念和定义是解题的关键.

15.【答案】B

【解析】解：•图中是三个等边三角形，43=60。,

A/.ABC=180°-60°-60°=60°,4ACB=180°-60°-Z2=120°-42,

4BAC=180°-60°-Z1=120°-Z1,

•••N4BC+乙ACB+NB4C=180°,

•••60°+(120°-Z2)+(120°-Z1)=180°,

Z.1+Z2=120°.

故选：B.

先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60。，用41,42,43表示出A/IBC各角的度数，再根

据三角形内角和定理即可得出结论.

本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60。是解答此题的关键.

16.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACBmxCDE.

运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得4BAC=ZCCE,然后证明AACBmZiCDE,再结合全等

三角形的性质和勾股定理求解即可.

【解答】

解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD,AACD=90°；

RCE

・・•乙ACB+乙DCE=Z-ACB+^BAC=90°,^Z.BAC=Z.DCE,

在AACB和△CDE中，

/.ABC=Z.CED=90°

乙BAC=Z-ECD

AC=CD

：・2ACB三〉CDE{AAS},

AB=CE,BC=DE；

在Rt△力BC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即Sb=S0+S’=1+9=10,

,­,b的面积为10,

故选：C.

17.【答案】20。或80。

【解析】解：分两种情况：

当80。的角是底角时，则顶角度数为180。-80。x2=20°；

当80。的角是顶角时，则顶角为80。.

故答案为：20。或80。.

等腰三角形的一个内角是30。，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论.

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注

意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

18.【答案】7

【解析】解：由勾股定理可知。B=仁，OC=V_6，OD=V-7

OD2=7.

连续运用勾股定理即可解答.

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

19.【答案】(3)(4)(1)(2)

【解析】证明：假设立B290。，

那么，由力B=AC,得/B=4C290。，即4B+4CN90。，即ZB+/C2180。，

所以4B+NC+乙4>180°,这与三角形内角和定理相矛盾，

所以4B<90°,

所以这四个步骤正确的顺序是(3)(4)(1)(2),

故答案为：(3)(4)(1)(2).

根据反证法的一般步骤解答即可.

本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论

证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.

20.【答案】<10

【解析】解：-■CA=AB,AB=Vl2+22=y/~5,

•1.CA=AB=5>

•••△ABC的面积等于I，^CA-AB=1，

二点C所在的位置如图所示，

CVB

\

A

BC=712+32=

故答案为：Vio.

△ABC的面积等于I，CA=AB=确定点C所在的位置，即可求解.

本题考查勾股定理求三角形线段的长，确定点C所在的位置是解题的关键.

21.【答案】解：(1)原式=飞卷』

=712+^^15

—2>/~3+5;

(2)原式=13-44

=-31.

【解析】(1)根据二次根式的除法进行计算即可求解；

(2)根据平方差公式进行计算即可求解.

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

22.【答案】证明：■.-DE//AB,

・•・Z.EDC=乙B,

・・•DP//AC,

・•・乙PDB=ZC,

•••点。是2C的中点，

・・.BD=DC.

••△BDP三ADCE(ASA).

【解析】根据平行线的性质得出NEDC=乙B,4PDB=",根据点。是BC的中点，得出80=DC,根据4s4

即可得证.

本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键.

23.【答案】解：设小红步行的速度为xkm/无，根据题意得：盛+：=1，

解得x=6,

经检验，x=6是方程的解.

答：小红步行的速度是60n".

【解析】设小红步行的速度为xkm/h，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解.

本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

24.【答案】解：如图所示，以AB为斜边构造直角三角形ABC,使得41+42=90。，测量线段a,b,

C

•.Rt△ABC是直角三角形,

:,AB=c=Va2+b2-

【解析】以力B为斜边构造直角三角形力BC,测量线段a,b,根据勾股定理即可求解.

本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键.

25.【答案】解：如图，过点C作CFJ.0B于点尸，此时CF最小

1

在04上取0E=/0F,过点C作CG1。4于点G,

V0C是N40B的平分线,

Z.AOC=Z.BOC=30°,CG=CF,

在RtACOF中，OC=4,^BOC=30°,

CF=2=CG,

根据勾股定理OF=VOC2-CF2=2—5，

OE=V-3>

••・四边形EOFC的面积=(2<3X2+<3X2)X1=3c.

【解析】根据线段垂直平分线的性质可以画出线段CF长度最小时在图中的位置；根据线段垂直平分线的性

质求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长，进而求出0E的长，即可求出四边形EOFC的面积.

本题考查角平分线的性质和含30。直角三角形的性质，解题的关键是根据题目的条件进行推论求解.

26.【答案】解：⑴M=9+(a-簿

a—2.Q(Q+1)—3a

一(a+1)2•Q+]

a—2.a2—2a

一(a+1)2•Q+l

a-2a+1

=2X

(a+1)a(a-2)

_]

—Q(Q+1)

]

-Q2+Q，

(2)①证明.-———=a+1—=------

9"刀.

aa+1Q(Q+1)a(a+i)，

②f(3)+f(4)+・・・+f(ll)

=L+―+・•・+,

3x44x511x12

=1_工+工_14，

-544g十…十1112

_1_J_

=3-12

——1•

4，

③由②可知该方程为%匕-岛