2023-2024学年上海市新川中学高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市嘉定区高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

1.已知数列｛0“｝是等差数列，％=2,%=20,则公差"=

【正确答案】3

【分析】由等差数列的基本量法求解.

【详解】由题意"=亭乌=型二=3.

7-16

故3.

2.过点前2,-3),8(1,1)的直线斜率大小为

【正确答案】-4

【分析】利用两点的斜率公式求解.

【详解】因为4(2,-3),8(1,1),所以线48的斜率为％=与4普=-4.

1-2

故-4

3.已知四棱锥的底面积为4,体积为8,则该四棱锥的高为

【正确答案】6

【分析】根据棱锥的体积公式，即可求得答案.

【详解】设该四棱锥的高为〃，则gx4x〃=8,，〃=6,

故6

4.抛物线V=2x的准线方程为.

【正确答案】x=-i

2

【分析1抛物线贯=2*的准线方程为x=-5,由此得到题目所求准线方程.

【详解】抛物线/=2x的准线方程是x=-；.

本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线V=2px的准线方程为x=-5,直接利用公式

可得到结果.属于基础题.

5.圆心为C(2,I),且与x轴相切的圆的标准方程为

【正确答案】(x-2)2+(^-1)2=1

【分析】由圆的圆心且与x轴相切可求厂=1,从而可得该圆的标准方程.

【详解】因为该圆的圆心C(2,l),且与》轴相切，

所以圆心C(2,l)到x轴的距离等于半径，则该圆的半径为r=I,

所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-l『=1.

故答案为.(x-2>+(y-l)2=1

6.已知双曲线与一2=1的实轴长为2后，离心率为2,则双曲线的标准方程为一

ab

【正确答案】《=1

26

【分析】由题意列出关于。、氏。的方程组，即可计算出双曲线标准方程.

2a=2V2

【详解】由题得“£=2.a=5/2,6-----―1.

a26

c2=a2+b2

2,>

故二-匕=1

26

7.已知片，鸟是椭圆卷+卷=1的左、右焦点，P是椭圆上的一点，若囱=2,则

忸勾=____________

【正确答案】4

【分析】由椭圆的方程及定义可求得结果.

【详解】由椭圆的方程1+占=1,可知。=3,

9o

又P是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，|PKI+|PE卜2a=6,

又|尸闻=2,则|%|=4.

故4.

8.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为

【正确答案】2:3,

根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.

【详解】设球的半径为七则圆柱的底面半径为R,高为2R.

S网柱=2nR-1R+2-兀R'=6TTR2,S现=4乃7?2,

二S球:S城柱=4TTR2:6兀R?=2:3.

故答案为：2：3.

本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.

9.双曲线二-片=1的两条渐近线的夹角大小为

28

4

【正确答案】arctan-

【分析】根据双曲线的标准方程，先求得渐近线方程，根据渐近线方程的斜率求得倾斜角,

从而利用正切的二倍角公式求得两条渐近线方程的夹角.

【详解】因为双曲线的标准方程为土-匕=1,所以0=04=2五，

28

设y=2%的倾斜角为，,则tan8=2＞l,

7TJT

又046＜兀，所以一＜e＜一,

42

由双曲线的对称性可得y=-2x的倾斜角为n-e,

7T7T

因为一＜2。＜兀，0＜兀一2。＜一,

22

所以两条渐近线方程的夹角为兀-2。,

因为tan（71-20）=-tan20=-------------=---------=—,

1-tan2^1-223

44

所以兀-20=arctan§,即两条渐近线方程的夹角为arctan.

4

故答案为.arctan§

10.求经过点”(2,20)且与圆N+V=4相切的直线的方程为.

【正确答案】》-6丁+4=0或x=2.

【分析】分类讨论，斜率不存在时，直接验证说明是否是切线，斜率存在时设出直线方程，

由圆心到直线的距离等于半径求得参数得直线方程.

【详解】由已知直线x=2是圆的切线，

斜率存在时设切线方程为夕-2道=&(x-2),即kx-y+2>/3-2k=0,

修12,解得％

切线方程为当x-y+2石-0，即x-Gy+4=0.

故X->/5J，+4=0或x=2.

11.若平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的轨迹存在，则该轨迹可以是

(1)椭圆；

(2)双曲线；

(3)抛物线；

(4)两条射线：

(5)一条直线.

【正确答案】(2)(4)(5)

【分析】设两定点分别为耳、F2,动点为P,则||尸耳|-|「用|为定值•分II冏国=。、

0<|忸制-|尸用卜闺周、归用-归用卜忻尸21三种情况讨论，分析出三种情况下点P的轨迹的

形状，可得出结论.

【详解】设两定点分别为百、%动点为尸，贝琳尸6Hp修为定值.

①若||3|-|空||=0,则|尸修=户闾，此时点尸的轨迹为线段耳月的垂直平分线，⑸满足；

②若0<||尸国-俨曰<|片段，则点P的轨迹是以与、鸟为焦点的双曲线，(2)满足；

③若||「片|-「周卜山闾，则点尸的轨迹是直线耳巴上去除线段耳用(不含端点)的两条射

线，(4)满足.

故(2)(4)(5).

12.定义国为不超过实数x的最大整数,例如：[-2.3]=-3,团=3,已知函数/(x)=[log2x],

29+1

则⑵-1）=

i=\

【正确答案】4107

【分析】根据已知结合对数函数的性质得出规律，即可得出答案.

29+1

【详解】£〃2>1）=/。）+/（3）+/（5）+―/*。+1）

1=1

根据已知可得:

/（l）=[log2l]-0,

/（3）=[log23]=l,

/⑸=/⑺=2,

/（9）=/（11）=/（13）=/（15）=3,共4个,

/(17)=/(19)=-=/(25-1)=4,共8个(由17、19、…2$_1之间含多少个奇数决定),

/（33）=-=/（26-1）=5,共16个,

/（65）=-=/（27-1）=6,共32个,

/（129）=-=/（28-1）=7,共64个,

./■（257）=-=/（29-1）=8,共128个,

/（513）=-=/（2,0-1）=9,共256个,

/（210+1）=10,

29+1

则Z/（2i-1）=0+1+2x2+4x3+8x4+16x5+32x6+64x7+128*8+256x9+10=410,

/=1

故4107.

二、单选题

13.下列条件不能确定一个平面的是()

A.不共线三点B.直线和直线上一点

C.两条平行直线D.两条相交直线

【正确答案】B

【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断.

【详解】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意；

经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意；

经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意；

经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意.

故选：B.

14.直线x+y=2与圆(*-2)2+(>-3)2=6交于A、B两点，则|力理=()

A.3〃B.76C.显D.2^/3

2

【正确答案】B

【分析】求出圆心到直线x+y=2的距离，利用勾股定理可求得|工目.

【详解】圆心(2,3)到直线x+y=2的距离为d=0：3-2|=殛,

VI2+122

圆(x-2)~+(7-3)2=6的半径为尸=而，

又苧=五一/=乎,故闷=卡,

故选：B.

15.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫

做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)若该同学所画的椭圆的离

心率为巫，贝犷切面”所在平面与底面所成的角为()

2

【正确答案】D

【分析】根据已知条件做出截面图，根据二面角的平面角的定义及锐角三角函数，结合椭圆

的离心率公式及三角函数的特殊值对应的特殊角的即可求解.

【详解】设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，

DELBC,则NCDE为“切面”与所在平面与底面所成的角，设NC0E=]

设圆柱的直径为2乙则为椭圆的长轴2a,短轴为。£=2r,则

椭圆的长轴长为2a=|。|=三,85。=2,短轴为=2人=2厂，

cos0a

所以。

故选：D.

16.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中

“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得

到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整

除的问题，现将1到2023这2023个数中，所有能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺

序排成一列，构成数列｛%｝,则该数列共有()

A.97项B.98项C.99项D.100项

【正确答案】A

【分析】先求出数列的通项公式，然后根据数列的通项公式求解项数.

【详解】所有能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，

所以，«„=1+21(/?-1)=21»-20,

2

由<2023可得1421〃一2042023,解得1。497—,

7

因此，数列｛/｝共有97项.

故选:A.

三、解答题

17.已知点P到点尸(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离，

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若4(2,2),求△打尸周长的最小值.

【正确答案】(l)/=8x

(2)6

【分析】(1)利用抛物线的定义得解；

(2)根据抛物线的定义可将问题转化成|P/|+|PN'|的最小值，根据三点共线即可求解.

【详解】(1)由题意知动点尸到尸(2,0)的距离与它到直线x=-2的距离相等，

所以动点P的轨迹为以尸(2,0)为焦点、以直线x=-2为准线的抛物线，

因此动点P的轨迹方程为V=8x.

(2)由题意知，焦点为尸(2,0),1M=丽芬=2,

当|尸闻+|尸耳的值最小时，△/>/斤的周长最小.

设点P在抛物线的准线上的射影为M,根据抛物线的定义，可知|/W'|=|PF|,

因此"|+户尸|的最小值即|阿+|PM的最小值.

根据平面几何的知识可得，当N',P,A三点共线时，即可A作NN工准线于M,

与抛物线交于此时N,M',A三点共线，

此时|「/|+|尸产|=为|+=网=2+2=4,

所以△P/尸周长的最小值为2+4=6.

18.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PZ)_L平面ABCD,PD=2,PA=2瓜E

为尸。中点

P

(1)求证：面P/CJ_面P8O

(2)求异面直线PA与BE所成角的大小

【正确答案】(1)证明见解析

0、5而

(2)arccos-------

【分析】(1)根据面面垂直的判定，结合题目条件，证明/C,而即可;

(2)建立空间宜角坐标系，利用空间向量的夹角公式来解决.

连接交于。点，根据正方形性质，对角线/C人8。，又PD上面4BCD,NCu平

面ABCD,

-f^AClPD,由尸Dc8Z)=。，PD,BDu面PBD,故NC_L面P8。，而/Cu面PZC,

根据面面垂直的判定，面PNC1■面P8O.

(2)由尸。，平面Z8CD,/。,C。u平面/8C1D,故尸。_LND,PD1CD,由/OJLC。，

故下以。为原点，Z)4DC,OP分别为xj,z轴建立空间直角坐标系，正方形边长为：

\IPA2-PD2=272>

则4(2技0,0),8(20,2后,0),m0,2),。(0,2五,0),根据中点坐标公式：E(0,V2,l),

—­/I-I—\广!~DA尸",BE—105^33

故BE士2艮卬，PA=Q瓜0,-2),故cos(尸4组=同网=运赤=K，

异面直线尸/与8E所成角的范围是(0微，

故所成角的大小为arccos“亘.

33

19.已知双曲线C：J-/=l(a>0,b>0)定义:把双曲线C的虚轴保持不变，渐近线的斜率变

为原来渐近线斜率的两倍得到的曲线称为曲线C的“a-线。把双曲线。的左支向右平移“

个单位，把它的右支向左平移。个单位得到的曲线称为曲线C的“尸-线”，若双曲线

C：W-4=l(a>0,6>0)是等轴双曲线，且焦距等于60，

a2b2

Ox

⑴求双曲线C的“a-线”和“p-线

(2)若由“a-线”和“/?-线”围成的封闭曲线上的点集都在圆"内或圆"上，求半径最小时圆

M的方程，并在坐标系中用尺规作图画出该封闭曲线和圆/大致图像.

2

匕

9

【正确答案】(l)“a一线”的方程为：\L£=i；“无线，，的方程为:

2

匕>O

9

(2)x2+y2=36；图象见解析

【分析】(1)根据给定的定义即可求出a-线”和“万一线;

(2)要满足由“a一线”和“万一线，，围成的封闭曲线上的点集都在圆/内或圆M上，则原点O

与“a-线”和“4-线”的交点P即为最小半径，求出0P的长度即可.

【详解】(1)依题意知，

因为双曲线C:捺-£=1(a>0,b>0)是等轴双曲线，且焦距等于6夜,

所以a=b,2c=672>c2=a2+b2,

解得：a=b=3>,c-3>/2，

所以双曲线。的方程为：—-^-=1

99

因为双曲线C的虚轴保持不变，渐近线的斜率变为

原来渐近线斜率的两倍得到的曲线称为曲线。的“a一线”，

所以只需。变为］即可，

所以“a-线，，的方程为："1一片=1；

99

因为双曲线C的左支向右平移。个单位，

把它的右支向左平移。个单位得到的曲线称为曲线C的“夕-线”，

2

(I)?y<o

户

一--

9

9

所以“耳-线”的方程为：2

Z

(x+3)O

-户>

9

9

(2)由(1)得，如图所示：

设“a-线”和“尸-线”在第二象限的交点为P,

(x-3)2/

=1

(x〈0，»0)，

99

解得：x=—3,广入G,即点尸卜3,3百)，

要满足由"a-线''和“夕-线”围成的封闭曲线上的点集都在圆”内或圆M上,

则原点。与“a一线，，和“尸一线，，交点尸的距离|。尸|即为最小半径，

所以[0砰=(-3)2+(36y=36,

所以半径最小时圆M的方程为52+/=36

20.已知数列｛《,｝中，a2=\,其前〃项和为S,,,“€N，

(1)若｛可｝是等比数列，邑=4,求通项公式4;

(2)若%+%=2〃+1，求津023；

(3)若｛““｝是等差数列，对任意的〃wN•都有S2“+〃20,求其公差d的取值范围.

【正确答案】(1)%=32一"；

(2)2047277；

(3)[0,3].

【分析】(1)由题意求出公比1和外即可得答案；

(2)由%+%“=2"+1可得4=2,a„-«+a„+1-(n+l)=0,令b“=a“-n,求出数列也,｝的通

项公式即可得数列｛a„｝的通项公式，再利用分组求和即可；

(3)由题意可得2加+3(140对任意的〃eN*成立，即(2〃-3)d+320对任意的〃wN•成

立，分〃=1、“22分别求解，再取交集即可.

【详解】(1)解：因为｛a,,｝是等比数列，%=1，$2=4,

所以数列｛4“｝的公比4工1，

所以4+%=4,

即一+1=4,

q

解得q=g,q=3,

所以a“=3xg)"T=32-"；

(2)解：因为=2〃+1,

即。,+?+1=〃+("+1)，且生+%=2x1+1=3,所以q=2,

所以%-〃+%+|-(〃+1)=0,

令4=%一〃，

则有4+%=0,

所以b,z=-b”,

所以数列也｝是等比数列，公比g=-i,首项4=《-1=1,

所以

即%-〃=(-1尸，

所以(="+(-1)1,

所以

2022

S2023=a,+a2+K+々023=(1+2+1+2023)+[(-1)°+(-1)'+L+(-1)]

些在+四匕9=1012x2023+1=2047277；

21-(-1)

(3)解：因为｛4｝是等差数列，

所以公差q=a2-d=1-(/,

*2

所以S?,=2nat+2〃(27)"=_")+n(2n-l)d=2dn+(2-3d)〃,

所以S2,+〃=2d/+3(i_d)〃，

又因为先+〃N0对任意的,,eN*成立，

即2而2+3(1-d)〃>0对任意的neN,成立，

即2dn+3(l-J)>0对任意的“eN*成立,

所以(2〃-3)d+320对任意的〃£N•成立，

当〃=1时，J<3,

当〃22时，〃2上一恒成立，

2M-3

又因为[-3,0),

2〃一3

所以"20,

综上所述,de[0,3].

22

21.在直角坐标系xOy中，椭圆C:「+《=l(a>b>0)的焦距为2百，长轴长是短轴长的

a~b-

2倍,斜率为〃(〃工0)的直线/交椭圆于4B

(1)求椭圆的标准方程

(2)若尸为线段N8的中点，设。尸的斜率为K，求证：为定值；

(3)设点/,8关于原点对称的点分别为C,D,求四边形Z8CD面积的最大值.

【正确答案】⑴二+F=1；

4

(2)证明见解析；

(3)4

【分析】(1)根据已知条件建立。力工的方程，求解即可；

(2)设4a,乂),3(&02),/〃?，〃)，利用点差法求得上利用两点斜率公式求得《'，计算

即可证明；

(3)设直线的方程为，=b+f,4X”M),Sa?,当),按照利用韦达定理法解决直线与圆锥

曲线相交问题的基本步骤可求得弦长,利用点线距离公式可求得原点到直线48的距离

为d.根据对称性可知四边形的面积S=4SA0B,求出面积后再利用基本不等式求得最

大值.

2c=c-A/3

【详解】(1)依题意可知：2a=46,解得，。=2,

a2=b2+c2b=\

丫2

故椭圆的标准方程为V=1.

(2)证明：设8a,%),尸("?,〃)，5WX1+X2=2m,y{+y2=In.

2

把,乂）,8（匕,％）代入椭圆方程?+j?=1得

Vj-ViX）+X.m

两式相减可得：==一值输即上=-而，

而《=△,则es=—2_2=J_.

m4〃m4

设直线48的方程为歹=云+/,”（国,必）,8（必,力），

y=kx+t