2021-2023年高考数学真题分类汇编导数及其应用（选择题、填空题）（文）

专题03导数及其应用（选择题、填空题）（文）

知识点目录

知识点1：切线问题

知识点2:单调性'极最值问题

知识点3：比较大小问题

近三年高考真题

知识点1：切线问题

1.（2023•甲卷（文））曲线y=上在点（1,与处的切线方程为（

)

x+12

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=-X+—

4244

2.（2021•新高考I）若过点（“,6）可以作曲线y=e'的两条切线，则（）

A.eh<aB.e"<bC.0<a<ebD.0<b<ea

3.（2022•新高考I）若曲线），=（x+a）e"有两条过坐标原点的切线，则.的取值范围是

4.（2022•新高考H）曲线y=/〃|x|过坐标原点的两条切线的方程为.

知识点2:单调性、极最值问题

5.（2023•新高考II）已知函数f（x）=ae'-而在区间（1,2）上单调递增，则a的最小值为（

A.e2B.eC.e-'D.e'2

6.（2023•乙卷（文））函数,f（x）=x3+ax+2存在3个零点，则。的取值范围是（）

A.(-oo,-2)B.(-oo,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

7.(2022♦乙卷(文))函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2m的最小值、最大值分别为()

,7Tc3冗71—71兀/n37c7T_

A.——,—B.----,—C.——,一+2D.----,—+2

22222222

8.(2022•甲卷(文))当x=l时，函数/(x)=a/nr+2取得最大值一2,则/'(2)=()

X

A.-1B.--C.-D.1

22

9.(2021•乙卷(文))设若x="为函数/(x)=a(尤-a)2(x-b)的极大值点，则()

A.a<hB.a>hC.ab<a2D.ab>a1

10.（多选题）（2023•新高考H）若函数/（x）=Hn%+2+§（aw0）既有极大值也有极小值，则（）

xx

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

11.（多选题）（2022•新高考I）已知函数/（此=/一工+1,贝I"）

A./（x）有两个极值点

B./（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y='f（x）的切线

知识点3：比较大小问题

12.(2022•天津)已知。=2°‘，万=g严，c=log21，贝4()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

13.（2022•甲卷（文））已知9'〃=10,。=10'”一11,〃=8加一9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

14.(2022•新高考I)设。=0.1*,b=：,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

15.（2023•甲卷（文））已知函数/（x）=e-（叫记。=八争，b=fq）,，=/（当），则（

A.h>c>aB.b>a>cC.c>h>aD.c>a>h

16.（2021•天津）设”log20.3,ft=log,0.4,c=0.403,则三者大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

17.（2021•新高考H）已知a=logs2,^=^3,c=-,则下列判断正确的是（）

A.c<h<aB.h<a<cC.a<c<hD.a<h<c

专题03导数及其应用（选择题、填空题）（文）

知识点目录

知识点1：切线问题

知识点2:单调性'极最值问题

知识点3：比较大小问题

近三年高考真题

知识点1：切线问题

1.（2023•甲卷（文））曲线y=±在点（1,口处的切线方程为（

)

x+12

A.y=-xB.y=-xC.y=—x+-D.y=f%+7

.4244

【答案】C

【解析】因为y=

x+1

,CX（X+1）—G*（X+1/X€X

y=­=许，

故函数在点（1,1）处的切线斜率k=~,

切线方程为y-W='（x-l）,即y=£x+E.

2444

故选：c.

2.（2021•新高考I）若过点（a,6）可以作曲线y=e*的两条切线，则（）

A.eh<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【解析】法一：函数y=e］是增函数，y=e*>0恒成立，

函数的图象如图，y>0，即切点坐标在x轴上方，

如果（a,b）在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.

点在x轴或下方时，只有一条切线.

如果3,6)在曲线上，只有一条切线：

在曲线上侧，没有切线；

由图象可知他,6)在图象的下方，并且在X轴上方时，有两条切线，可知0<b<e".

故选：D.

法二：设过点3,力的切线横坐标为t,

则切线方程为y=e'(x—f)+e',可得匕=e'(a+l-f),

设/⑺=3+lT)，可得/")=e'(a-f)，re(-00,a),f(t)>0,/(f)是增函数，

fe(tz,+oo),f\t)<0,/(f)是减函数，

因此当且仅当0<6<e"时，上述关丁1的方程有两个实数解，对应两条切线.

3.(2022•新高考I)若曲线y=(x+a)/有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

【答案】(7,-4)U(0,+00).

xx

［解析1/=e+(x+a)e,设切点坐标为(x0,(x(,+a)e"),

切线的斜率&=e&+(/+a)e%,

,切线方程为y-(x()+a)e*=(e&+(x()+a)e'")(x-Xo),

又•切线过原点,-(x0+a)e*,=(e*+(x0+a)e")(-%),

整理得：+ax0-a=0,

•切线存在两条，.•.方程有两个不等实根，

A=6z2+4a>0,解得或a>0,

即。的取值范围是(-8,-4)U(0,+00),

故答案为：(-co,-4)U(0,+oo).

4.(2022•新高考H)曲线y=/〃|x|过坐标原点的两条切线的方程为.

【答案】x-ey=O,x+ey=O.

【解析】当x>0时，y=Inx,设切点坐标为(玉)，///)，

.V=L,••.切线的斜率々=工，

X/

切线方程为y-lnx^=—(x-x0),

不

又二切线过原点，，一/叫)=一1,

x0=ef

切线方程为y-\=-(x-e),即x-ey=0,

e

当x<0时，y=ln(-x),与y=/nx的图像关丁,y轴对称，

.••切线方程也关于y轴对称，

.・.切线方程为x+ey=0,

综上所述，曲线尸历|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x—ey=0,x+ey=0.

故答案为：x-ey=0fx+ey=0.

知识点2：单调性、极最值问题

5.(2023•新高考II)已知函数f(x)=a婕-阮v在区间(1,2)上单调递增，则〃的最小值为(

A.3B.eC.exD.e2

【答案】C

【解析】对函数f(x)求导可得，((X)=4"-

X

依题意，ae*-L.O在(1,2)上恒成立，

X

即“…一!一在(1,2)上恒成立，

xex

设g(x)=±,xe(l,2),则er(x+1)

(xex)2

易知当X£(l,2)时，g'(x)v。，

则函数g(x)在(1,2)上单调递减,

则a.g(x)s=g6=」=e，

e

故选：C.

6.(2023•乙卷(文))函数/(幻=炉+办+2存在3个零点，则。的取值范围是()

A.(—00,—2)B.y,—3)C.M,-l)D.(-3,0)

【答案】B

【解析】f'(x)=3x2+a,

若函数/。)=1+分+2存在3个零点，

则/。)=3/+〃=0,有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0,

即判别式△=0—12a>0,得a<0,

由广(X)>0得x>后或x<-旧，此时/(幻单调递增，

由r(x)<0得一旧,此时/(x)单调递减，

即当》=-旧时，函数/(x)取得极大值，当x=，|时，f(x)取得极小值，

则，(-J_—)>01<o，

即一、"(一@+a)+2>0,且、"(一@+a)+2<0，

V33V33

即一1x,+2>0,①,且旧x5+2<0,②，

则①恒成立，

由fl楼+2<。，2<J|x当，

平方得4<-£x±二，即1<_27,

39

贝i]a<—3,综上a<—3,

即实数。的取值范围是(-oo,-3).

故选：B.

7.(2022•乙卷(文))函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间[0,2川的最小值、最大值分别为()

A.--,-B.--,-C.-+2D.--,-+2

22222222

【答案】D

【解析】/(x)=cosx+(x+l)sinx+l,xw[0,2组，

则=-sinx4-sinx+(x4-1)cosx=(x+1)cosx,

令cosx=0得，x=—BJC—,

22

.•.当xe［O,9时，;。)>0,/(x)单调递增：当x吗有)时，f'(x)<0,/(x)单调递减；当xe,,

2乃］时，f'(x)>0,/(x)单调递增，

.•./(X)在区间［0,2句上的极大值为/(,)="+2,极小值为/亨)=-昔，

X-/(0)=2,〃2万)=2,

函数/(X)在区间［0,2万］的最小值为—四，最大值为巴+2,

22

故选：D.

8.(2022•甲卷(文))当x=l时，函数/(x)=Hnr+9取得最大值—2,则广(2)=()

X

A.-1B.--C.-D.1

22

【答案】B

【解析】由题意/(1)=b=-2,^\f(x)=alnx--,

x

m.i、。2ax+2

则f(x)=一+「一厂，

Xx~X

一当X=1时函数取得最值，可得X=1也是函数的一个极值点，

f(1)=a+2=0,即。=—2.

—2x+2

AfM=―--，

X-

易得函数在(0,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，

故X=1处，函数取得极大值，也是最大值，

贝"⑵=2X2+2」.

222

故选：B.

9.(2021•乙卷(文))设若x=a为函数f(x)=a(尤-。)2(工一8)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】。

【解析】令f(x)=0,解得x=〃或x=b，即九=〃及％=〃是/(x)的两个零点，

当。>0时，由三次函数的性质可知，要使X=Q是/(x)的极大值点，则函数/(X)的大致图象如下图所示,

则0v。<人；

当。<0时，由三次函数的性质可知，要使工=。是f（x）的极大值点，则函数八幻的大致图象如下图所示,

综上，ab>a2.

故选：D.

10.（多选题）（2023•新高考II）若函数f（x）=Hnx+2+=3W0）既有极大值也有极小值，则（

）

X

A.be>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函数定义域为（0,®o）,

且尸（幻—一22cax2-hx-2c

XX"

由题意，方程r（x）=O即or?一反-2c=0有两个正根，设为玉，x2,

则有A；+X,=—>0，XjX,=—>0，△=Z?2+Sac>0»

~a

ab>0,ac<0»

/.abac-a2be<0,即be<0.

故选：BCD.

11.（多选题）（2022♦新高考I）已知函数f（x）=d—x+i,则（）

A.八幻有两个极值点

B./3）有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=,f(x)的切线

【答案】AC

【解析】r(x)=3x2-i,令八幻＞0,解得xv一向或%邛,令r*)＜o,解得-/。＜亭,

在(-co,-[),(¥，+oo)上单调递增，在(-y.y)上单调递减

且

〃-?=*＞。，鸣)二号＞。,

・•.f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项5错误;

又/(x)+f(-x)=V-x+l-x3+x+i=2，则/(x)关于点(0,1)对称，故选项C正确;

假设y=2x是曲线y=/(x)的切线，设切点为3力)，则厂/-1=2,解得或

[2a=b[b=2[b=-2

显然(1,2)和(-1,-2)均不在曲线y=f{x}上，故选项£＞错误.

故选：AC.

知识点3：比较大小问题

12.(2022•天津)已知a=2°,，b=(^)0-7,c=log,1,则()

A.a>obB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

【解析】因为y=2'是定义域火上的单调增函数，所以即。=2°，7>1；

因为y=g)x是定义域/?上的单调减函数，所以《严<(9。=1，且bug)。"所以0<人<1；

因为y=log2x是定义域(。,+8)上的单调增函数，所以log?；<log21=0,即。=log?：<0;

所以4>〃>C.

故选：C.

13.(2022•甲卷(文))已知9"'=10,a=10m-ll,b=8m-9,则()

A.a>O>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】•9m=10,.♦.m=log910,

1=logg9<log910</唱,729=g

1V"2<一，

2

wn,

6Z=10-ll=10-10-l,b=8'"-9二8'"-8—1,

构造函数1),

**-frM=rnx"，［-1，

a

<,l<m<—,x>l,/.ff(x)=mx,n~x-1>0,

・・.f(%)=/-％-1在(1,+co)单调递增,

/./(10)>/(8),又因为/(9)=9的“一9一1=0,

故。>0>Z?,

故选：A.

14.(2022•新高考I)设口=0.1盘，b=-,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】构造函数/(x)=/nx+L,x>(),

X

贝|J/，(X)=_L一二，x>0.

XX"

当ra)=o时，x=i,

0<%<1时，,［。)<0,“¥)单调递减；

x>i时，r(x)>o,y(x)单调递增，

.•./(X)在X=1处取最小值/(1)=1,

Inx>1--,(x>OKx*1).

x

.//10.9>1------——，—//?0.9<一,；.c<b；

0.999

,八八，1°191100J

910109

/.O.le01<-，.\a<h；

9

设g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<l),

2x

贝iJg，(x)=(x+l)e，+」一=(x-i)e+1

x-1x—1

令h(x)=ex(xz-1)+1,hr(x)=ex(x2+2x-l),

当O<x<0-1时，h'(x)<0,函数/z(x)单调递减,

当时，"(x)>0,函数〃(x)单调递增,

­/i(0)=0,.,.当0cxea-1时,h(x)<0,

当0cxe夜一1时，g，(x)>0,g(x)=xe*+/〃(l-x)单调递增，

.,.g(0.1)>g(0)=0,.-.O.le01>-/n0.91:.a>c,

:.c<a<b