吉林省吉大附中实验学校2022-2023学年高一年级下册期中考试数学试题

吉林省吉大附中实验学校2022-2023学年高一下学期期中考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列向量中不是单位向量的是（）

A.a=（1,0）B.a=（1,1）

C.a=（cose,sina）D.卜。）

2.在复平面内，复数z=二二的共舸复数对应的点位于（）

1+2;

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是

()

4.米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓

意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、

下底面正方形边长分别为30cm、20cm,侧棱长为5而cm，若将该米斗盛满大米（沿

着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（）

A.6.6千克B.6.8千克C.7.6千克D.7.8千克

jr

5.已知48c的外接圆圆心为O,且2AO=A3+ACNAC3=U，则向量C4在向量C8

6

上的投影向量为（）

3131

A.-CBB.一一CBC.--CBD.-CB

4444

6.在ABC中，内角ABC的对边分别为。力,c,已知"+些=」一，则伫0=（）

tanAtanBtanCc

A.2023B.2024C.4046D.4047

7.如图，在直角梯形A8CZ）中，BCJiCD,AB=BC=2,CD=4,E为CD中点,M,

N分别为A。，BC的中点，将VADE沿AE折起，使点。到2，〃到在翻折过

程中，有下列命题：

①的最小值为1；

②MN〃平面CRE；

③存在某个位置，使

④无论M位于何位置，均有M1N，AE.

其中正确命题的个数为

A.1B.2C.3D.4

8.如图，在43c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin4=sin8,且

73(acosC+ccosA)=2/?sinB,。是A6C外一点，DC=2,DA—6,则下列说法错误

的是()

试卷第2页，共6页

DC

A.是等边三角形B.若AC=2jl3,则A、B,C,。四点

共圆

C.四边形48C£＞面积最大值为10百+12D.四边形A8C。面积最小值为log-12

二、多选题

9.设有两条不同的直线〃2、〃和两个不同的平面。、夕，下列命题中错误的命题是（）

A.若m//a,n11a,则m//〃

B.若mua,〃ua,mlIp,nll/3,则a///?

C.若m//n,mua,则〃//a

D.若a///7,mua,则〃?///?

10.已知向量〃，b,满足。=〃=2,卜+〃|=26，则下列结论正确的是（）

A.a-b=-2B.a与人的夹角为g

C.卜一。|＜卜+0D.a一匕在上的投影向量为

11.在工3c中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,下列叙述正确的是（）

Hab

A.右.—,，则.AfiC为等腰三角形

sinBsmA

b

B.右_则一MC为等腰三角形

cos3cosA'

b

J有f则ABC为等腰三角形

cosAcosB

9b2

D.若，一一,则MC为等腰三角形

tanAtanB

12.如图，在正方体ABC。-AgG。中，E,b是底面正方形A8CQ四边上的两个不同

的动点，过点口、E、b的平面记为。，则（）

A.a截正方体的截面可能是正五边形

B.当E,尸分别是A8,8c的中点时，a分正方体两部分的体积匕,匕化<%）之比

是25：47

C.当E,F分别是ARAB的中点时，A片上存在点P使得AP〃0

D.当F是8c中点时，满足但。|=2|所|的点E有且只有2个

三、填空题

13.已知a=（l,2sin°）,=,0&R,aLb,贝（JtanO的值为.

14.若复数"（aeR,i为虚数单位）是纯虚数，则该复数的模为.

15.如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高”的液体，圆锥的轴

截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为矩形，H=^R,圆锥内液体体积为％,圆

四、双空题

16.如图，在棱长为2的正方体A8C£>-A81GA中，M，N分别是线段AA-AR的中

点，E是线段CG上的动点，过M,N,E的平面a截正方体A88-ABCQ所得的截

面面积记为S.当E为线段CG的中点时，S=；当E在线段CG（包括端点）上运

动0寸，S的取值范围是.

试卷第4页，共6页

五、解答题

17.已知点A(孙2),5(1,1),C(2,4).

(1)若IC4+C8I最小，求实数加的值:

(2)若CA与CB夹角的余弦值为。，求实数机的值.

18.如图，边长为4的正方形A8C。中，点反尸分别为的中点.将

,AED,BEF,DCF分别沿DE,EF,DF折起，使ARC三点重合于点P.

(1)求证：PDLEF；

(2)求三棱锥P-EFD的体积；

⑶求二面角的余弦值.

19.如图，在四棱锥尸-43CD中，底面A8CO是边长为。的正方形，侧面PAD_1底面

ABCD,且弘=?。=①",设E,F分别为PC,8。的中点.

2

(1)求证：EF〃平面PAD；

(2)求证：平面心8_L平面尸DC；

(3)求直线EF与平面A8CD所成角的大小.

20.已知.43C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若J5csinB=a-bcosC.

⑴求B；

(2)若DC=4。，BD=2,求一43c的面积的最大值.

21.如图，圆锥的底面直径和高均是“，过P0上的一点O'作平行于底面的截面,

以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若。'是PO的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；

(2)当00'为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值.

22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC,其中斜边BC的长度为400米，为迎接

“五一”观光游，欲在边界8c上选择一点尸，修建观赏小径其中分别在

边界A8,AC上，小径与边界BC的夹角都是60。，区域和区域PNC内种植

郁金香，区域内种植月季花.

(1)判断观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理

由；

(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN,当点尸在何处时，三条小径

PM,PN,MN的长度之和最小？

(3)求郁金香区域面积之和的最小值.

试卷第6页，共6页

参考答案：

I.B

【分析】根据单位向量的定义，一一判断各选项中的向量，即得答案.

【详解】由于a=(l,0),故向=1,即a=(l,0)为单位向量；

4=(1,1),则|〃|=4+]2=0,故4=(1,1)不是单位向量；

a=(cosa,sinc),则|〃|=Jcos?a+sir?a=1，a=(cosa,sincr)为单位向量;

根据单位向量的定义可知百(卜卜°)为单位向量,

故选：B

2.D

【分析】先对复数化简，从而可得其共规复数，进而可得答案

2

EH-iz(l-2z)i-2i2+i21.

【详解1解：因为Z=----=------------=------7=----=11,

1+2;(l+2/)(l-2f)1-⑵>555

所以-z=„21

所以三对应的点位于第四象限,

故选：D

3.A

【分析】利用斜二测画法判断.

【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，

平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，

故选：A

4.C

【分析】计算出米斗的高，进而可求得出该米斗的体积，结合题意可求得该米豆所盛大米的

质量.

【详解】设该正棱台为ABC。-A耳GR,其中上底面为正方形ABC。，取截面A4,CC，如

下图所示：

答案第1页，共17页

易知四边形A4〈C为等腰梯形，且AC=30&，AG=2M，例=。6=5而，

分别过点4、G在平面AAGC内作AE^AC,QFLAC,垂足分别为点E、F,

由等腰梯形的几何性质可得44产CG，又因为NA4E=NGCF,ZAE4,=ZCFC,=90,

所以，RtA/LA.E^RtACC.F,所以，AE=CF,

因为AG//4C,易知NEAg=ZAtEF=ZEFC,=N4G尸=90,

故四边形AC/E为矩形，则EF=AG=20及，AAE=CF=AC~EF=5^2,

所以，A1E=y]AA^-AE2=15.故该正四棱台的高为15cm,

所以，该米斗的体积为V=gx(202+3()2+42()2x301xl5=9500cm3,

所以，该米斗所盛大米的质量为9.5x0.8=7.6kg.

故选：C.

5.A

【分析】先根据已知条件分析出△ABC为以4为直角的直角三角形，NACB=3,由投影向

量的定义即可求得.

TT

【详解】因为△ABC的外接圆圆心为O,且2Ao=AB+AC，^ACB=—,

o

所以。为3c的中点，所以A为直角，如图示：

过4作AD_L8C于。，则向量CA在向量CB上的投影向量为CA

TT

在直角三角形A8C中，ZACB=-,所以

答案第2页，共17页

,\CD\=\CA\cos^-=^-\CA\

|CA|=|CB|cos?=

所以|C£>|=jcB|,

向量C4在向量C8上的投影向量为

故选：A.

6.D

【分析】根据同角的三角函数关系结合两角和的正弦公式化简可得2023x—=cosC,

sinAsinB

利用正余弦定理角化边可得4047c?=/+/,即可得答案.

【详解】由在,ABC中，当+竺勺=心得2023x（当+岑）=等，

tanAtanBtanCsinAsinBsinC

cosAsincosBsinAcosC

即2023x------------------------------=--------,

sinAsinBsinC

故2023x^1^=型，即2023x^^=/

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

所以2023xsm°=COsC,

sinAsinB

所以2023xJ=="工，即4047c2=4+从，

ablab

4.LCl~+b~

故一—=4（M7,

c

故选：D

7.D

【分析】通过连接直线MMMN等直线，结合直线与平面。平面与平面的平行与垂直，转化

判断4个命题的真假即可.

【详解】在直角梯形A8CO中，BC±CDfAB=BC=2,CD=4f

E为C。中点，M,N分别为AO,BC的中点，

将VAT应沿AE折起，使点。到口，M到M，

在翻折过程中，当。与C重合时，|M|N|的最小值为1；所以①正确；

连接交AE于尸连接％尸，可以证明平面FMN//平面C"E,所以％N//平面CRE,

所以②正确；

当平面ABCO时，可得平面RAE,所以所以③正确；

因为AEVM.F,所以直线在，平面八％E,所以无论M位于何位置，均有

答案第3页，共17页

所以④正确;

故选：D.

【点睛】本题考查命题的直接判断与应用，涉及空间几何体直线与平面的位置关系的综合应

用，属于中档题.

8.D

【分析】根据正弦定理，求得GsinB=2sin8-sin8,求得sinB,结合sinA=sin8,可判断

A；由圆内接四边形的性质得到。，结合余弦定理，可判定B正确；设AC=x,利用余弦

定理求得X,得出氧iwefZsinW-S+IO/，结合三角函数的性质，可判定CD.

【详解】对于A,因为G(acosC+ccosA)=2/?sin8,所以

G(sinAcosC+sinCcosA)=2sinsinB,

即百sin(A+C)=V3sinB=2sin8sinB,

由sinBHO,可得sin8=3,8为三角形内角，所以B=g或寻，

233

TT

又因为sinA=sin8,可得。=〃.所以8=NC4B=NAC8=石，故A正确；

对于B,在八位北中，因为DC=2,DA=6,4c=2，万，

所以COSO=4：3?-：2=_',。为三角形内角，所以。=M，此时四边形对角互补，

2x2x623

四点A,B,C,。共圆，故B正确；

对于CD,等边工/WC中，设AC=x,x>0,

在/\ADC中，由余弦定理得AC2=A。?+CD2-2ADCDcosD,

由于A£>=6,DC=2,可得x2=62+2?—2x2x6cos£)=40-24cos£),

2

所以氧边彩的=5ABc+SACO=1x-xsin^+1x6x2sinD=^x+6sinD=12sinfD-^+lO^,

ZJZ.4\/

答案第4页，共17页

因为£）€（0,无），年），所以--^<5桁（£）-三）41,

所以四边形ABCD面积的最大值为12+10百，无最小值，故C正确，D错误.

故选：D.

9.ABC

【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线

面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D.

【详解】对于A,若加//夕，〃//a,则私〃可能平行、异面或相交，A错误；

对于B,若机ua,〃ua,ml1/3,nll/3,也"不一定为相交直线，

只有当孙〃为相交直线时，才可得到故B错误；

对于C,当加〃“，机ua时，可能是“ua,推不出一定是〃〃a,C错误；

对于D,若a/l/J,mua,根据面面平行的性质可知根〃/，D正确，

故选：ABC

10.BC

【分析】求得“力的值判断选项A；求得a与。的夹角判断选项B；求得卜一0的值判断选项

C；求得8在6上的投影向量判断选项D.

【详解】选项A：由卜卜［4=2,卜+。卜2道，

可得（a+匕）='+忖+2a/=12,则4+4+2G〃=12，

则a/=2.判断错误；

ab21

H=丽=五T5，

又（a,h）G［0,兀］,则,酚=1.判断正确；

选项C：,-0=｛（a-b）=^|a|+|/?p-2a-/?=J4+4-4=2,

由2<26，可得卜-0<卜+目.判断正确；

选项D：在人上的投影向量为

答案第5页，共17页

（a-b\-ba-b-b22-41

，2-必=、-6=丁m=一不％.判断错误.

W442

故选：BC

11.AC

【分析】利用正弦定理变化角和三角恒等变换即可判断三角形的形状.

【详解】对于A,若，==3,则根据正弦定理得：

sinBsinA

S^n—=-=sin2A=sin28=（sinA+sinS）（sinA-sinB）=O,

sin3sinAv八7

VsinA+sinB^O,sinA=sin5,则a=b,B|JAABC为等腰三角形,故A正确;

对于B,若一%=一二，则根据正弦定理得：

cosBcosA

sinAsin8...“n.c..cn

-------=--------=>sinAcosA-sinncosB=>sin2A-sin28,

cosBcosA

・.・A、J?e（0,兀），A+Be（0,71）,・・・2A、2Be（0,2兀）且2A+28e（o,2TC）,

IT

，2A=2B或24+28=兀，即A=B或A+B=—,即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错

2

误；

对于C,若，二=一"，则根据正弦定理得：

cosAcosB

sinA=tanA=tanS,VA.Be（0,n）,A+BG（0,兀），：.A=Bf即aABC为等腰三

cosAcosB

角形，故c正确；

9.9

对于D,若，_=/一,则根据正弦定理得：

tanAtanB

..cosA.cosB....

sin2A--------=sm2Bn---------=>sinAcosA-sinBncosBn,

sinAsinB

则由B选项可知，此时△ABC为等腰或直角三角形，故D错误.

故选：AC.

12.BCD

【分析】A.若截面a为五边形，则截面a与正方体的5个面都相交，则必有两条交线平行,

与正五边形的性质矛盾.

B.作出截面a,分别求出两部分的体积，再求体积比.

C.作出截面a,再在线段A片上找出P,证明A尸〃8

D.分别从点E在线段AB,BC,CD,4。上去讨论|=21EF|是否成立.

答案第6页，共17页

【详解】A.若a截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面

上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五

边形，选项A错误.

B.如图，延长EF分别交于点G,/,连接RG,ZV分别交AACG于点”，J,

.••截面为五边形RHEE/,记正方体棱长为6,C/=AG=3,C/=AH=2,

截面RHEFJ下侧的体积为V=k』x9x9x6」xL3x3x2」xL3x3x2=81-3-3=75,

323232

另侧体积为：/方体-K=216-75=141,=75:141=25:47,故选项B正确.

C.截面a为图中等腰梯形E/词口，此时取Aq中点P,知AP〃四尸,

---71cl

Air~^7~~/Pi

I1•//

A------p-------B

4/><2平面。，片/<=平面&AAP//a,故选项C正确.

D.当E在C£>上时，设E»=x,C£>=2,

由|EQ|=2\EF\nj4+x2=2&2-，+1nx=。，故C£>上有一个点E；

当E在AD上时，=黑=孚<2,故AO上不存在这样的点E；

当E在BC上时，|样|皿、一向一丁"，故BC上也不存在；

答案第7页，共17页

当E在A3上时，设A£=y,:.j8+y2=25(2一+1=>y='二："，故A3上存在一个

点E,...共2个，选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】作截面的三种方法：

①直接法：截面的定点在几何体的棱上

②平行线法：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面

平行

③延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上

13.B

5

【分析】由〃工6,可得“0=0,再利用两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算

即可得出.

【详解】解：因为a=(l,2sin。)，6=［出,—51,1),0eR,a±b,

所以=0即sin，-?)+2sin0=°，所以sin0cosqicos6sin?+2sin0=°，即

—sin0-—cos0=O,所以tan6=^^

225

故答案为：见

5

【点睛】本题考查平面向量的数量积及同角三角函数的基本关系，属于基础题.

14.3

a+3i(a+3z)(l-2z)a+6+(3-2a}i

【分析】由丁丁=------——人是纯虚数求出。即可.

1+2/，(l+2款z)(l-2>z)<=5

a+3i(a+3i)(l-2i)a+6+(3-2a)i

【详解】因为用r局局=—1是纯虚数

所以a+6=0,即。=-6,所以苦1=3"所以其模为3

故答案为：3

15.1

【分析】由题意可得月=GR,得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半径，再由圆锥与圆

柱体积公式求解.

答案第8页，共17页

【详解】因为圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H=6R,

则圆锥的水面圆的直径为24=26R,

12

323

由匕=1X7tX(Xx/3/?=>/3rt/?,V2=7tRXy/3R=73TT/?,

v

所以V/=L,即/=1.

V2

故答案为：1

「9"

16.3y/3~'3v3

【分析】(1)根据面面平行的性质定理找平行线

(2)根据对称性知道中点最大，两边最小.

【详解】答题空1解：根据面面平行的性质定理得截面与平面BCGg的交线与MN平行，

又因为E为线段CG的中点，所以取BC的中点F，即交线为£尸，延长MN与的延长线

交于点。「又因为「OQNMA、N,即。Q=A"=1,连接。£与。G交于点。2,连接

NQ,QE,又因为EC.,即。Q1=EG=1，所以。2时AG的中点，再根据面

面平行的性质定理得截面与平面ABCD的交线与N。?平行，所以取AB的中点。”再连接

M0.,即截面为平面“NaEFO?,因为六边形"NOzEFO3为正六边形且边长为血，所以面

积S=6X"^X(A/^)=36.

O.

答题空2解：①当点E与C,重合时根据面面平行的性质定理得截面与平面BCC、B\的交线与

MV平行，即交线为CB,连接M8,NC1,即等腰梯形MNGB的面积为

答案第9页，共17页

②当点E与C重合时，延长MN与。"的延长线交于点。一连接QE与QC与£>Ci交于点。2,

延长NM与DA的延长线交于点。3,连接03c与AB交于点。』，则五边形MNOg为截面,

如图，则面积等于OCQ的面积减去2个。。2可的面积，并且NO02。。或，相似比

%，，“石知斗，3X/17c13岳7V17

为1:3,面积为：-...2x-x———.

2926

③当点E在线段CC,（不包括端点时），延长MN与。4的延长线交于点亿，再连接。也并延

长交AG于点Q,与OC的延长线交于点。5，延长交DA的延长线于点。3,再连接op,,

则六边形MNOzEF。,即为截面.根据正方体的对称性得当点£为cq的中点时面积最大，当点

E与G重合时面积最小，故取值范围为1,3«

答案第10页，共17页

QL

故答案为：/，-，3^3

17.(1)m=3；(2)机=4或/n=-12.

【分析】(1)可得出CA=(吁2,-2),CB=(-l,-3),从而得出|C4+C8|=J(m-3)2+25，从而可

得出ICA+CBI取最小值时机的值；

—771+8>/5

(2)根据题意即可得出一/万一L=W，然后解出机的值即可.

V(»?-2)2+4x7105

【详解】解：(1)由题意，CA=(m-2,-2),CB=(-l,-3)

于是CA+C8=(ZM-3,-5),

所以|G4+C3|=J(九一3y+25±5，

所以ICA+CBI的最小值为5,

此时机=3；

CACB一加+8

(2)由cos<CA,CB>=

\CA\-\CB\7(m-2)2+4xVio

,—m+8

得JO-2)2+4XVRJ5，

化简得机2+8机—48=0,解得根=4或m=—12.

【点睛】本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，向

量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.

18.(1)证明见解析

答案第II页，共17页

试

【分析】(1)先证明PO_L平面PEb,根据线面垂直的性质定理即可证明结论;

(2)根据棱锥的体积公式即可求得答案；

(3)作出二面角P-EF-D的平面角，解直角三角形即可求得答案.

【详解】(1)证明：因为在正方形A8C3中AO_LAE,COJLCF,

折叠后即有PD±PE,PDLPF,

又PEPF=P,PE,PFu平面PEF,

所以尸£＞上平面PEF,而EFu平面PEF,

故尸。_LEF；

(2)由题意知PE=PF=2,PE_LPF,故S阻=gxPExPF=2,

1I0

故匕曲=§xS.xPO=§x2x4=§；

(3)取线段EF的中点G,连接PGQG,

因为PE=PEOE=O厂,

所以有PGLEEDGLEF,PGu平面PE入。Gu平面。跖,

所以NPGO即为二面角P-E尸-。的平面角,

又由（1）得PD_L平面PEF,PGu平面PEF,

故尸DJ_PG,而EF=2&,PG=；EF=&DG=JPD?+PG。=次+电）2=372,

故8s4G°=恶=系1'

即二面角2-所-。的余弦值为;.

19.(1)详见解析;

答案第12页，共17页

(2)详见解析;

【分析】(1)利用线面平行判断判定定理即可证得EF〃平面PAD;

(2)先利用线面垂直判定定理证得PA，面PC。，进而证得平面平面尸DC；

(3)先求得直线E尸与平面ABCD所成角的正弦值，进而求得该角的大小.

【详解】(1)取Pn中点S,AE>中点T,连接ES,S7,TF,

又E,F分别为PC,6。的中点，

则ES//CD,£5=-CD,TF//AB,TF^-AB,

22

又AB//CD,AB=CD,则ES//TF,TF=ES,

则四边形ESTF为平行四边形，则EFHTS,

又EFu平面RW,75u平面PA。，则EF〃平面PAO.

(2)在小PAD中，PA=PD=^a,AD=a,

2

由可得R4J_P£>,

由面PAOJ_面ABCD,面PADc面ABCD=AD,

AD1CD,C£>u面A8CO,可得CZ)_L面PAD,

又B4u面尸4),^\CDLPA,

又PA'PD,CDPD=D,CD,PDu面PCD,

则PA_L面PC。，又PAu面ZVIB,

则平面平面PDC；

(3)连接PT,△PAD中，PA=PD,AT=DT,^\PTA.AD,

又面FAOJ•面ABC。，面R4£>c面A8C£>=4),尸Tu面PAD,

则PT_L面ABCD,则PT为点、P到面A8C£)的距离，

又E为PC的中点，则点E到面ABCD的距离为gPT,

又4PAD中，PA=PD=—a,AD=a,AT=DT,

2

则"=\PT=\a,则点E到面ABC3的距离为La,

2244

y.EF=ST=-PA=—a,

24

答案第13页，共17页

1

-arx

设直线EF与平面ABC。所成角为6,则sinO=-^L=^-

——a

4

Tt71

又0,-,则，

4

7T

则直线b与平面A58所成角的大小为I

⑵8-4石

【分析】(1)利用三角形内角和，正弦定理即可求出角8；

(2)利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出碇的取值范围，即可得到ABC的面积的

最大值.

【详解】(1)由题意，

在.ABC中，A^csinB=a-hcosC)

..abc.„

・----------------------,A+n+C=Jr

sinAsin3sinC

V3sinCsinB=sinA-sinBcosC,BP>/3sinCsinB=sin(B4-C)-sinBcosC,

/.sinB-cosBjsinC=0,

VsinC0,0<B<n

•••V3sinB-cosB=0,可得tan3=^^,解得：B=J.

36

(2)由题意及(1)得

在，ABC中，B=%DC=AD^BD=2,

o

力为边AC的中点，4|BD|2=4x22=16

答案第14页，共17页

ULIUUULILIU

**-2BD=BA+BC,

：.4(BO『=(84+8C)2=(网2+284.8C+(8C『，即

4阿1二研+2网,0际8+|时=16,

设〔BAbc,|BC|=67,则a2+c2+2accosa24-c2+\[?>ac=16>^2+y/i^ac,

所以X会=32-166,当且仅当a=c时，等号成立.

.•.S"c=gacsinB=(ac48-4拓，当且仅当。=c时，等号成立,

ABC的面积的最大值为8-46.

21.(1)表面积为叵匚％2,体积为2万/；(2)当oo，=色时，被挖去的圆柱的侧面积

4962

■>

最大值为‘二.

4

【分析】(1)根据圆锥，圆柱的侧面积，表面积和体积公式即可求出；

(2)设O0=x,用x的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出其最

大值.

【详解】。)设圆柱的底面半径为乙由三角形中位线定理可知‘，•=('圆柱母线长

而圆锥的母线长为/,所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为

圆锥的表面积加上圆柱的侧面积,

nnc(a逐八aa逐+2

即S=;rx—