高中数学 圆的方程

§8.3圆的方程

基础落实回扣基础知识训练基础题目

f知迟梳理

圆的定义与方程

定义平面内到定点的距离等于定员的点的轨迹叫做圆

标准圆心为（〃，b）

(x-a)2+(y—。)2=7^(r>0)

式半径为2

方充要条件：。2+E2-477>0

程圆心坐标：f~T，~1）

般x1+y2+Dx+Ey+F=0

式半径r=K/r)2+E2-4F

【概念方法微思考】

1.二元二次方程Ajr+Bxy+Cy+Dx+Ey+F^O表示圆的条件是什么？

A=CWO,

提示《2=0，

D2+E2~4AF>0.

2.点与圆的位置关系有几种？如何判断？

提示点和圆的位置关系有三种.

已知圆的标准方程（X—4）2+。-6）2=凡点M（xo,州），

⑴点在圆上：（Xo—a）2+（yo一切2=/；

⑵点在圆外：（刈一aA+So—>）2>凡

(3)点在圆内：(xo—"+3厂》)2<户.

r基昨测

题组一思考辨析

i.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(V)

⑵已知点A(X1，yi),B(X2,竺)，则以AB为直径的圆的方程是(x—X1)(X—龙2)+。-yi)(y—〉2)=0.(V)

(3)若点M(xo，yo)在圆x2+y2+£)x+Ey+尸=0外，则端+y8+£>xo+Eyo+QO.(V)

(4)方程。+。)2+3+勿2=产”6对表示圆心为(°,b),半径为/的圆.(X)

题组二教材改编

2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=lB.(x+1)2+&+lp=l

C.(x+1)2+8+1)2=2D.(x—lA+S—1)2=2

答案D

解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径厂=严彳=地，则该圆的方程为(X—1户+。―1)2=2.

3.以点(3,—1)为圆心，并且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是()

A.(尤一3)2+3+1产1

B.(X-3)2+(J-1)2=1

C.(X+3)2+(J-1)2=1

D.(尤+3)2+3+1>=1

答案A

4,圆C的圆心在x轴上，并且过点和8(1,3),则圆C的方程为.

答案(X-2)2+/=10

解析设圆心坐标为C(a,O),

•.,点4(-1,1)和2(1,3)在圆C上，：.CA=CB,

即y](a+1/+1=y/(a~1)2+9,解得。=2,

二圆心为C(2,0),

半径CA=yj(2+l)2+l=V10,

.•.圆C的方程为(x-2)2+y2=io.

题组三易错自纠

5.若方程f+V+wu—2y+3=。表示圆，则机的取值范围是（）

A.（一8,一低U（6，+oo）

B.（—8,一2吸）U（2吸，+8）

C.（一8,一小）U（小，+8）

D.（—8,一26）U（2小，+8）

答案B

由其表示圆可得片一2>0,解得m<—2书或m>2巾.

6.半径为3,圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为.

答案（x—3）2+（j—3）2=9或（x+3）2+（y+3）2=9

解析由题意知圆心坐标为（3,3）或（一3,—3）,故所求圆的方程为（x—3）2+。-3）2=9或（x+3>+（y+3）2=

9.

7.已知实数无，y满足方程f+丁一2x+4y=0,则x—2y的最大值是,最小值是.

答案100

解析原方程可化为(x—l)2+(y+2)2=5,表示以(1,—2)为圆心，小为半径的圆.设x—2》=。，即x—2y

—。=0,作出圆(x—1-+。+2)2=5与一组平行线x—2y—。=0,如图所示，当直线1—2y一8=0与圆相切

11—2X(—2)一例注

时，在y轴上的截距一与取得最大值或最小值，此时圆心到直线的距离』=g=S解骨b

=10或b=0,

所以x—2y的最大值为10,最小值为0.

圆的方程

1.(2019・西安模拟)已知圆C过点A(6,0),3(1,5),且圆心在直线I：2x—7y+8=0上，则圆C的方程为

答案(x—3)2+。-2)2=13

解析方法一(几何法)七5=^―7——1,

1—O

57

则AB的垂直平分线方程为y-l=x-j,

[x—y—1=0,q=3,

即X—y—1=0,联立方程c-八解得c

[2x-7y+8=0,ly=2,

r=^(6-3)2+(0-2)2=V13，

故圆C的方程为(x—3)2+。-2)2=13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心)

方法二(待定系数法)设所求圆的方程为(x—ap+G—勿2=广

(6—a)2+(0—fe)2=r2,〃=3,

由题意可得(1—a>+(5—6)2=/,解得<b=2,

2a—76+8=0,7=13,

故所求圆C的方程为(x—3)2+(y—2)2=13.

2.已知圆心在x轴上，半径为小的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2,则圆的方程为

答案(无一2小＞+产=5

解析根据题意，设圆的圆心坐标为(。,0)(。＞0),则圆的标准方程为(尤一。)2+产=53＞0),则圆心到直线x+

“介5|a+2X0|小

2y=0的距局d="2+2，=5。

又该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2,所以可得I?+偿，2=5,解得。=2小.故圆的方程为(x—2小了+

y2=5.

3.若不同的四点A(5,0),8(—1,0),C(—3,3),0m,3)共圆，则a的值是.

答案7

解析四点共圆，设圆的方程为1++.+与+/=0,

"25+0+5D+0+F=0,1"=-4,

则'l+0-D+0+F=Q,解得jE=一亍25，

.9+9—3D+3E+/=0,口__＜

所以圆的方程为d+y2-4x一年25y—5=0,

将£)(a,3)代入得。2—4“-21=0.

解得＜2=7或a=—3(舍).

思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

⑵待定系数法

①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,b,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,P的值.

与圆有关的轨迹问题

例1已知RtZXABC的斜边为A3,且4(一1,0)，2(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

解(1)方法一设C(x,y),因为A,B,C三点不共线，所以yWO.

因为ACL3C,且BC,AC斜率均存在，

所以kAc-k.Bc=11,

又k^c=士[，ksc——所以士[•~—1)

x+1x-3x+1x-3

化简得/+产一2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2—2x—3=0⑪/0).

方法二设AB的中点为，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知O)=1AB=2.由圆的定义知,

动点C的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(x—l)2+y2=4(yW0).

(2)设M(x,y),C(xo,yo),因为2(3,0),M是线段BC的中点，由中点坐标公式得工=吗^,>=吗2

所以xo=2尤-3,y0=2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为(x—l)2+y2=4CyW0),

将xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y>=4,

即(x—2)2+y2=l.

因此动点M的轨迹方程为(x—2)2+y2=l(jW0).

思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

②定义法：根据圆、直线等定义列方程.

③几何法：利用圆的几何性质列方程.

④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

跟踪训练1设定点/(—3,4),动点N在圆炉+9=4上运动，以ON为两边作平行四边形MONP,

求点尸的轨迹方程.

解如图，设尸(x,y),N(xo,州),

则线段OP的中点坐标为住号,

线段的中点坐标为

因为平行四边形的对角线互相平分,

所以尹x。一3yyo+4

2，2=2

xo=x+3,

整理得

jo—y—4,

12

又点N(XQ9yo)在圆x+y=4上，

所以(x+3)2+。-4)2=4.

所以点尸的轨迹是以(一3,4)为圆心，2为半径的圆,

直线与轨迹相交于两点-y,§),不符合题意，舍去,

21

所以点尸的轨迹为。+3)2+。-4)2=4,除去两点5

与圆有关的最值问题

例2(1)(2020・保定质检)已知A(0,2),点尸在直线x+y+2=0上，点。在圆C：^+产一4x—2y=0上，则

PA+PQ的最小值是.

答案2邓

解析因为圆C：f+y2—4x—2y=0,

故圆C是以C(2,l)为圆心，半径r=小的圆.

设点A(0,2)关于直线尤+y+2=0的对称点为A'(加，n),

"m+0,n+2,

―5-+-—+2=0,

225r\m_——.4,

故〈c解得c故A'(―4,-2).

n-21〃=一2,

、根—0L

连结A'。交圆。于Q,由对称性可知

PA+PQ=A'P+PQ^A'Q=ArC—r=24.

(2)已知实数x,y满足方程W+y2—4x+l=0,求*的最大值和最小值.

解原方程可化为(x—2>+y2=3,

表示以(2,0)为圆心，小为半径的圆.

*的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设*=上即y=Ax

当直线丫=履与圆相切时，斜率左取最大值和最小值,

此时吃秘=小，解得k=±^3.

所以*的最大值为小，最小值为一小.

本例(2)中，求y~x的最大值和最小值.

解y—x可看作是直线在y轴上的截距，当直线y=x+。与圆相切时，直线在y轴上的截距。取得

12—0+方

最大值和最小值，此时过=小,解得。=-2±^危所以y—尤的最大值为一2+加，最小值为一2一黄.

本例(2)中，求x?+y2的最大值和最小值.

解f+V表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取

得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为叱2—0)2+(0—0)2=2,

所以x?+y2的最大值是(2+小)2=7+4小，

x2+y2的最小值是(2—小了=7—45.

思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结

合求解.

(2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法.

①形如:型的最值问题,可转化为过点(a,6)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；②形如t—ax+by

型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如Q—d)2+。一型的最值问题，可转化为动点

到定点(a,6)的距离的平方的最值问题.

跟踪训练2已知M(x,y)为圆C：/+〉2一标-14》+45=0上任意一点，且点。(-2,3).

(1)求MQ的最大值和最小值；

⑵求评的最大值和最小值；

(3)求j—x的最大值和最小值.

解⑴由圆C：^十产一4%—14了+45=0,

可得(x—2)2+。-7)2=8,

.♦.圆心(7的坐标为(2,7),半径r=2，l

又如川(2+2)2+(7—3)2=4庐

MQmax=4^2+2y[2=6y]2,

“Qmin=4正—2也=2也.

y—3

（2）可知壬表示直线MQ的斜率k.

设直线MQ的方程为y—3=-尤+2),

即kx—y+2A+3=0.

•.•直线M。与圆C有交点，

”-7+2%+3]

W2班,

可得2—小WZ2+S，

.••那的最大值为2+小，最小值为2—小.

⑶设y—x=b,则%—y+Z?=O.

当直线与圆。相切时，截距。取到最值,

|2—7+Z?|I—.

••・1"（—1）2=2P，或b=L

・•・丁一%的最大值为9,最小值为1.

g基础保分练

1.圆M：/+廿+2尤+24y—5=0的圆心坐标为（

A.（1,小）B.（1,~y[3）

C.（-1,小）D.（-1,一小）

答案D

解析圆M的圆心坐标为X=—¥=—1.

Er-

y=_,=一$.故选D.

2.已知圆C：%2+^-2%+43；+1=0,那么与圆C有相同的圆心，且经过点(一2,2)的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y+2)2=5

B.(x—1)2+0+2)2=25

C.(x+lp+Cy—2＞=5

D.(尤+1)2+6-2)2=25

答案B

解析圆C的标准方程为(x—1尸+。+2)2=4,圆心C(l,-2),故排除C,D,代入(一2,2)点，只有B项经

过此点.也可以设出要求的圆的方程为(X—1)2+。+2)2=已再代入点(一2,2),可以求得圆的半径为5.故选

B.

3.已知圆C：x1+y2+Dx+Ey+F^O,贝U"£=歹=0且。＜0”是“圆C与y轴相切于原点”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析圆C与y轴相切于原点＜4圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a,0)),且半径厂=同..•.当£=歹=0且。＜0

时，圆心为(一号0),半径为黑圆C与y轴相切于原点；圆(x+l)2+y2=i与y轴相切于原点，但£)=2＞0,

故选A.

4.(2019•贵阳模拟)圆C与x轴相切于点7(1,0),与y轴正半轴交于A,8两点，且48=2,则圆C的标准

方程为()

A.(x-l)2+(y-V2)2=2

B.(x-1)2+52)2=2

C.(x+1)2+。+的2=4

D.(x-l)2+(y-V2)2=4

答案A

解析由题意得，圆C的半径为护力=正，圆心坐标为(1,g)，，圆C的标准方程为(X—1尸+。一,)2

=2,故选A.

5.已知圆Ci：(x+l)2+(y—1尸=4,圆C2与圆Ci关于直线x—y—1=0对称，则圆C2的方程为()

A.(x+2)2+(y—2>=4

B.(X-2)2+(J+2)2=4

C.(x+2)2+(y+2)2=4

D.(龙一2)2+3—2)2=4

答案B

解析根据题意，设圆C2的圆心为(a,b),

圆Ci：(x+1)2+。-1)2=4,其圆心为(一1,1),半径为2,

若圆。2与圆G关于直线x—y—1=0对称，则圆G与。2的圆心关于直线无-y—1=0对称，且圆。2的半径

p-1

-1,

a+14=2,

为2,则有v解得

a—1b+1b=-2,

~2~1=0,

则圆C2的方程为(x—2>+(y+2)2=4.

6.点P(4,—2)与圆f+V=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(尤一2)2+3+1)2=1

B.(A—2)2+(y+l)2=4

C.(X+4)2+(J—2尸4

D.(x+2)2+(y-l)2=l

答案A

解析设圆上任意一点为(%i,%),中点为(x,y),

X[=2x4,

即

,yi=2y+2.

代入x2+y2=4得(2x—4)2+(2y+2)2=4,

化简得(无-2)2+。+1)2=1.

7.(多选)设有一组圆C：(x—1)2+。一©2=S(4GN*),下列四个命题正确的是()

A.存在公使圆与x轴相切

B.存在一条直线与所有的圆均相交

C.存在一条直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

答案ABD

解析对于A,存在左，使圆与x轴相切Qk=F(AGN*)有正整数解=%=1,故A正确；

对于B,因为圆心(1,©恒在直线x=l上，故B正确；

对于C,当左取无穷大的正数时，半径产也无穷大，

因此所有直线与圆都相交，故C不正确；

对于D,将(0,0)代入得1+标=六，即1=出(标-1),

因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，

故方程恒不成立，故D正确.

故选ABD.

8.已知aGR,方程a2/+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是,半径是

答案(一2,-4)5

解析由已知方程表示圆，则/=。+2,

解得a=2或a——\.

当〃=2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.

当a=—\时，原方程为/+9+4%+8丁一5=0,

化为标准方程为。+2)2+&+4)2=25,

表示以(-2,—4)为圆心，5为半径的圆.

9.(2020・长沙模拟)圆2x—2y+l=0上的点到直线x—y=2的距离的最大值是.

答案1+小

解析将圆的方程化为(X—1)2+。-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线X—y=2的距离d

=/产=也，故圆上的点到直线X—y=2的距离的最大值为1+1=也+1.

10.如果圆(x—a)2+(j—a>=8上总存在到原点的距离为限的点，则实数a的取值范围是.

答案[-3,-1]U[1,3]

解析圆(无一—。)2=8的圆心(a,a)到原点的距离为半径厂=2寸^,由圆(x—a)~~\~(y—a)?=8上

总存在点到原点的距离为也，得2也一也也+也，.•.lW|a|W3,解得lWaW3或一3WaW-l.

二实数。的取值范围是[—3,-1]U[1,3].

11.已知点(尤，y)在圆(x—2)2+。+3)2=1上.

(1)求尤+y的最大值和最小值；

(2)求'f+尸+法一4y+5的最大值和最小值.

解(1)设/=x+y,则y=—x+r,/可视为直线y=—x+f在y轴上的截距，

•••x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y

轴上的截距.

由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，

即艮土旨3=1,解得/=也—1或：=—也—1.

:•x+y的最大值为也一1,最小值为一港一1.

(2)-\/x2+y2+2x—4y+5=-\/(x+l)2+(y—2)2,求它的最值可视为求点(x,y)到定点(一1,2)的距离的最值，可

转化为求圆心(2,—3)到定点(一1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(一1,2)的距离为强，

•*.yA+V+Zx—4y+5的最大值为^34+1,最小值为yf3A—1.

12.已知点A(—3,0),8(3,0),动点P满足B4=2PB

(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程；

⑵若点。在直线/i：x+y+3=0上，直线，2经过点。且与曲线C只有一个公共点M，求QW的最小值.

解(1)设点尸的坐标为(x,y),

则7(X+3)2+;/=2-\/(x—3)2+J2,

化简可得(x—5)2+y2=i6,此方程即为所求.

(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.

由题意知直线b是此圆的切线,

连结CQ,

则QM^C^-CM2

=、C°2—16,

当QM最小时，CQ最小，此时CQJJi,

|5+3|「

则的最小值为=32—16=4.

13.已知圆C：(X-3)2+(J-4)2=1,设点尸是圆C上的动点.记1=2序+出2,其中4(0,1),2(0,—1),

则d的最大值为.

答案74

解析设P(xo,yo),]=尸82+%2=意+。0+1)2+焉+。0—1)2=2(京+宛)+2.焉+M为圆上任一点到原点距离

的平方，.,.(焉+y3)max=(5+l)2=36,

,,"max-74.

14.(2019•大同模拟)已知点尸为圆C：一+产一4X一2》+1=0上任意一点，A,B为直线3尤+4y+5=0上的

两动点，且AB=2,则AABP的面积的取值范围是.

答案[1,5]

解析圆C的标准方程为(x—2)2+(y—1产=4,

圆心C(2,l),半径R=2,

|6+4+5|

圆心C到直线3x+4y+5=0的距离d=V?+45=3

设尸到直线42的距离为h,

则SAABP=1-AB-/I=/I,

•：d—RWhWd+R,・・・1★底5,

[1,5],

即△ABP的面积的取值范围为