2023届长沙市重点中学中考数学模拟试题含解析

2023年中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，已知A5和CD是。O的两条等弦.OMLAB,ONLCD,垂足分别为点M、N,BA.OC的延长线交于点P,

联结OP.下列四个说法中：

®AB^CDi②OM=ON；③B4=PC；④NBPO=NDPO,正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺,

问木长几何。”大致意思是：“。用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问

木条长多少尺“，设绳子长x尺，木条长）'尺，根据题意所列方程组正确的是（）

x-y=4.5x+y=4.5x-y=4.5x-y=4.5

A.,1B.C.D.1।

y——x=\y--x=l-x-y=lx——v=1

[2[21212,

3.如图，AB//CD,E为。上一点，射线E尸经过点A,EC=EA.若NC4E=30。，贝叱氏4尸=（)

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对边相等

5.平面直角坐标系内一点P（-2,3）关于原点对称点的坐标是（）

A.（3,-2）B.（2,3）C.（-2,-3）D.（2,-3）

6.2017年，小榄镇GO尸总量约31600000000元，数据31600000000科学记数法表示为（）

A.0.316x101°B.0.316X1011C.3.16x101°D.3.16X1011

7.若（x-1）0=1成立，则x的取值范围是（）

A.x=-1B.x=lC.x#0D.x#l

8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45。方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位

于灯塔P的北偏东30。方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（）

B

A.60百nmileB.60^/2nmileC.30GnmileD.30^/2nmile

9.二次函数丫=（2x-l）2+2的顶点的坐标是（）

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-,2)D.(­-,-2)

22

10.如图，将△OAB绕O点逆时针旋转6（）。得到△OCD,若OA=4,ZAOB=35°,则下列结论错误的是（）

A.ZBDO=60°B.ZBOC=25°C.OC=4D.BD=4

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.若正六边形的边长为2,则此正六边形的边心距为.

12.■的相反数是____.

2

13.二次函数,丫=以2+以的图象如图，若一元二次方程办2+所+m=0有实数根，则m的最大值为一

14.若不等式组，一,的解集是xV4,则，"的取值范围是

1口＜口

15.如图，在R3ABC中，ZACB=90°,NABC=30。，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A，B，C,使得点A，恰好落

在AB上，则旋转角度为.

16.如图，四边形ABC。内接于。0,43是。。的直径，过点C作。。的切线交A5的延长线于点P,若NP=40。,

则NADC=°.

17.某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%,则该商品每件的进价为

元.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经

过A、B两点，并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧)，点P是抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)若点P在第二象限内，过点P作PDJ_轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时

PE等于多少？

(3)如果平行于x轴的动直线I与抛物线交于点Q,与直线AB交于点N,点M为OA的中点，那么是否存在这样的

直线1,使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理

19.（5分）先化简，再求值：二-11+/一］,其中x满足4x+l=0.

x-1VX-x）

20.（8分）如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30。，向前走60米到达D处,

在D处测得点A的仰角为45。，求建筑物AB的高度.

田

；

4

21.（10分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5,cosB=y,P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的。P与边

BC的另一个交点为D,联结PD、AD.

（1）求小ABC的面积；

（2）设PB=x,AAPD的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长.

22.（10分）如图，AB是。O的直径，ZBAC=90°,四边形EBOC是平行四边形，EB交。。于点D,连接CD并延

长交AB的延长线于点F.

（1）求证：CF是。O的切线；

（2）若NF=30。，EB=6,求图中阴影部分的面积.（结果保留根号和花）

23.（12分）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件，一

次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.

设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）.

⑴根据题意，填写下表：

一次复印页数（页）5102030・・・

甲复印店收费（元）0.52

乙复印店收费（元）0.62.4...

（2）设在甲复印店复印收费十元，在乙复印店复印收费y?元，分别写出yi,y2关于x的函数关系式；

⑶当x>70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由.

24.（14分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.

已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.

若苗圃园的面积为72平方米，求X；若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的

苗圃园

面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由;

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

如图连接OB、OD；

VAB=CD,

AB=CD＞故①正确

VOM±AB,ON±CD,

.*.AM=MB,CN=ND,

ABM=DN,

VOB=OD,

/.RtAOMB^RtAOND,

AOM=ON,故②正确，

VOP=OP,

/.RtAOPM^RtAOPN,

.*.PM=PN,ZOPB=ZOPD,故④正确，

VAM=CN,

APA=PC,故③正确，

故选D.

2、A

【解析】

本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-‘X绳长=1,据此列方程组即可求解.

2

【详解】

设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有

x-y=4.5

-1,­

y——x=i

I2

故选A.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组.

3、D

【解析】解："：EC=EA.ZCAE=30°,/.ZC=30°,/.ZAED=30°+30o=60°.,:AB"CD,：.ZBAF=ZAED=M0.故

选D.

点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键.

4、C

【解析】

试题分析：举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可.

解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；

平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线

互相平分；

...矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，

故选C.

5、D

【解析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,j),关于原点的对称点是(-X,-j),即关于原点的对称点，横纵坐标都变成

相反数”解答.

【详解】

解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

.•.点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3),故选D.

【点睛】

本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.

6、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中10a|＜lO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【详解】

31600000000=3.16x1.故选：C.

【点睛】

本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示.

7、D

【解析】

试题解析：由题意可知：x-1/O,

故选D.

8、B

【解析】

如图，作尸于E.

在RtAPAE中，,:ZPAE=45°,PA=60nmile,

J2

PE=AE=—―x60=30^2"mile,

在RtAPBE中，TNB=30。,

/.PB=2PE-60>/2nmile.

故选B.

9、C

【解析】

试题分析：二次函数丫=(2x-l)：+2即y=+2的顶点坐标为(：，2)

考点：二次函数

点评：本题考查二次函数的顶点坐标，考生要掌握二次函数的顶点式与其顶点坐标的关系

10、D

【解析】

由小OAB绕O点逆时针旋转60。得到△OCD知NAOC=NBOD=60。，AO=CO=4>BO=DO,据此可判断C；由4AOC>

△BOD是等边三角形可判断A选项；由NAOB=35。，NAOC=60。可判断B选项，据此可得答案.

【详解】

解：；AOAB绕O点逆时针旋转60。得到△OCD,

.••ZAOC=ZBOD=60°,AO=CO=4、BO=DO,故C选项正确；

贝！lAAOC、△80口是等边三角形，二/8。0=60。，故A选项正确；

VZAOB=35°,NAOC=60°,/.ZBOC=ZAOC-ZAOB=6()O-35O=25°,故B选项正确.

故选D.

【点睛】

本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、V3.

【解析】

连接OA、OB,根据正六边形的性质求出NAOB,得出等边三角形OAB,求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即

可.

【详解】

连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,

,正六边形ABCDEF,

.••ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZDOE=ZEOF=ZAOF,.*.ZAOB=60°,OA=OB,

/.△AOB是等边三角形，

.*.OA=OB=AB=2,VAB10M,.*.AM=BM=1,

在AOAM中，由勾股定理得：OM=&.

1

12、--.

2

【解析】

根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.

【详解】

工的相反数是-2.

22

故答案为-二.

【点睛】

本题考查的知识点是相反数，解题关键是熟记相反数的概念.

13、3

【解析】

试题解析:：•.•抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3,

.\a>l.

j2

--=-3,即b2=12a,

4a

•・・一元二次方程ax2+bx+m=l有实数根，

/.△=b2-4am>l,RP12a-4am>l,BP12-4m>l,解得m&3,

・・・m的最大值为3,

14、m>l.

【解析】

•••不等式组.--的解集是xVl,

1口<口

:.m>l,

故答案为，*1.

15、60°

【解析】

试题解析：VZACB=90°,NABC=30。，

.*.ZA=90°-30°=60°,

,/△ABC绕点C顺时针旋转至△ABC时点A，恰好落在AB上，

.*.AC=A,C,

/.△A-AC是等边三角形，

...NACA，=60。，

••・旋转角为60。.

故答案为600.

16、115°

【解析】

根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，NP=40。，可以求得NOCP和NOBC的度数，又根据圆内接四边形对角

互补，可以求得/D的度数，本题得以解决.

【详解】

：连接oc,如右图所示,

由题意可得，ZOCP=90°,ZP=40°,

.,.ZCOB=50°,

VOC=OB,

.,.ZOCB=ZOBC=65°,

•••四边形ABCD是圆内接四边形,

.•.ZD+ZABC=180°,

:.ZD=115°,

故答案为：115。.

【点睛】

本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

17、1

【解析】

试题分析：设该商品每件的进价为x元，则

150x80%-10-x=xxl0%,

解得x=l.

即该商品每件的进价为1元.

故答案为1.

点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到商品售价的等量关系.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)y=-x2-2x+l,C(1,0)(2)当t=-2时，线段PE的长度有最大值1,此时P(—2,6)(2)存在这样的

直线1,使得△MON为等腰三角形.所求Q点的坐标为

(2^1,2)或2)或2)或(土2)

2222

【解析】

解：(1),直线y=x+l与x轴、y轴分别交于A、B两点，；.A(―1,0),B(0,1).

,抛物线y=-x?+bx+c经过A、B两点，

-16-4b+c=0：b=-32

,，解得｛,.

c=4c=4

...抛物线解析式为y=-x2-2x+l.

令y=0,得一x2—2x+l=0,解得xi=-1,X2=L

AC(1,0).

设D(t,0).

VOA=OB,；.NBAO=15°.

AE(t,t+1),P(t,-t2-2t+l).

PE=yp—yE=_12_2t+l_t_1=_12_lt=—(t+2)2+l.

.•.当t=-2时，线段PE的长度有最大值1,此时P(—2,6).

(2)存在.如图2,过N点作NHJ_x轴于点H.

设OH=m(m>0),VOA^B,.,.ZBAO=15°.

.*.NH=AH=1—m,/.yQ=l—m.

又M为OA中点，.，.MH=2-m.

当AMON为等腰三角形时：

①若MN=ON,则H为底边OM的中点,

m=L••*yQ=l-m=2.

由一XQ2—2XQ+1=2,解得x0=

Q2

点Q坐标为(-3+而,2)或(土史，2).

22

②若MN=OM=2,则在RtAMNH中，

根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2,即22=(1-m)2+(2-m)2,

化简得n?—6m+8=0,解得：mi=2,mz=l(不合题意，舍去).

.*.yo=2,由一XQ2—2XQ+1=2,解得x0=3±VT7

Q2

•••点Q坐标为(二3+历,2)或(土姮，2).

22

③若ON=OM=2,则在RtANOH中，

根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2,即22=(1—m)2+m2,

化简得m?—lm+6=0,8<0,

...此时不存在这样的直线I,使得AMON为等腰三角形.

综上所述，存在这样的直线1,使得△MON为等腰三角形.所求Q点的坐标为

,-3+J13/—3-八一，-3+J17/-3-J17〜、

(-----------,2)或(--------,2)或(--------,2)或(--------,2).

2222

(1)首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标.

(2)求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t,则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值

的方法求出PE长度的最大值.

(2)根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线1的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别

式可知直线1是否存在，并求出相应Q点的坐标.“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON,MN=OM,

ON=OM,逐一讨论求解.

x

【解析】

原式括号中的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再与括号外的分式通分后利用同分母分式的加法法则计算,

约分得到最简结果，将Y—4x+l=0变形为V+l=4x,整体代入计算即可.

【详解】

解:原式=三-1)+1

x(x-l)x(x-l)

x2x2-X+1

x-\x(x-l)

_x3x2-x+l

~x(x-l)~x(x-l)

—4~X—1

x(x-1)

%2(x-1)+(x—1)

x(x-l)

x2+1

X

*•*x2—4x+1=0,

•**x2+1=4x,

原式=t=4

x

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

20、(30+306)米.

【解析】

解：设建筑物AB的高度为x米

在RtAABD中，ZADB=45°

，AB=DB=x

/.BC=DB+CD=x+60

在RSABC中，NACB=30°,

.,AB

・・tanNACB=-----

CB

x

：.tan30°=---------

x+60

.>/3_x

3x+60

x=30+30

建筑物AB的高度为(30+30)米

21、(1)12(2)y=--x2+—X(0<x<5)(3)—^―

2553232

【解析】

4

试题分析：(1)过点A作AHJ_BC于点H,根据cosB=不求得BH的长，从而根据已知可求得AH的长，BC的长,

再利用三角形的面积公式即可得；

(2)先证明△BPDS^BAC,得到5期0==/,再根据3皿=M，代入相关的量即可得；

253BPDHF

(3)分情况进行讨论即可得.

试题解析：(D过点A作AHLBC于点H,贝IJNAHB=9O。，，cosB=——，

AB

4

VcosB=-,AB=5,，BH=4,，AH=3,

5

VAB=AC,；.BC=2BH=8,

：AB=AC,；.NB=NC,.\ZC=ZPDB,

/.△BPD-^ABAC,

S.BPDJP町

S,BAC【AB/

即义跑=住］,

12⑸

解得SBP°=£X2,

•S、APO_AP

,•二一而‘

>'_5-x

I2x2x，

25

1212、

解得y=—2+yx(z0<x<5)；

(3)NAPDV90。，

7

过C作CELAB交BA延长线于E,可得cosNCAE=—,

25

①当NADP=90。时，

7

cosNAPD=cosNCAE=—，

25

解得x=—；

32

②当NPAD=90。时,

5-x_7

x25

〜125

解得x=——,

32

综上所述，PB=35S或1看25.

3232

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、底在同一直线上且高相等的三角形面积的关系等，结合图形及已知选

择恰当的知识进行解答是关键.

22、(1)证明见解析；(2)9V3-3TT

【解析】

试题分析：(1)、连接OD,根据平行四边形的性质得出NAOC=NOBE,ZCOD=ZODB,结合OB=OD得出

ZDOC=ZAOC,从而证明出△COD和ACOA全等，从而的得出答案；(2)、首先根据题意得出△OBD为等边三角形,

根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB,根据RtAAOC的勾股定理得出AC的长度，然后根据阴影部分的面积

等于两个^AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.

试题解析：(1)如图连接

•••四边形03EC是平行四边形，：.OC//BE,：.ZAOC=ZOBE,NCOD=NODB,

VOB=OD,:.NOBD=NODB,:.NDOC=NAOC,

'oc=oc

在ACO。和ACOA中，\ZC0D=ZC0A».,.△COD^ACOA,：.ZCDO=ZCAO=90°,

OD=OA

：.CF±OD,.'.C尸是。O的切线.

(2)TN尸=30°,NOD尸=90°,:.NDOF=NAOC=NCOD=60。,

'：OD=OB,.,.△080是等边三角形，，/4=60。，VZ4=ZF+Z1,AZl=Z2=30°,

'：EC//OB,/.Z£=180°-