安徽省宿州市省市示范高中2022-2023学年高一年级下册期中考试数学试卷

宿州市省、市示范高中2022-2023学年度第二学期期中考试

高一数学试卷（人教版）

（时间：120分钟，分值：150分）

命题：萧县中学张言贵校对：萧县中学王选

一、单选题

1.已知平面内作用于点°的三个力九力，力，且它们的合力为°,则三个力的分布图可能是（）

【解析】

【分析】由平行四边形法则判断即可.

【详解】因为+力=-力，所以.力与力的合力与力方向相反，长度相等，则由平行四边形法则

可知，只有D项满足.

故选：D

2.如图，VAO7?'是水平放置的AAOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知。为坐标原点，顶点

A'、均在坐标轴上，且AAOB的面积为12,则的长度为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】画出AAOB的原图，根据三角形AAOB的面积为12可得答案.

【详解】画出AAOB的原图为直角三角形，且。A=O'A'=6,

因为』OBxQA=12,所以08=4,

2

所以O'B'=LO3=2.

2

故选：B.

3.萧县皇藏峪国家森林公园位于萧县城区东南30公里，是中国历史文化遗产、中国最大古树群落、国家

AAA4级旅游景区、国家森林公园.皇藏峪有“天然氧吧”之称.皇藏峪，原名黄桑峪.汉高祖刘邦称帝前，曾因

避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景区内古树繁多，曲径通幽，庭院错落有致.一庭院顶部可以看成

一个正四棱锥，其底面四边形的对角线长是侧棱长的正倍，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比

为（）

A.—B.—C.立D.立

2423

【答案】B

【解析】

【分析】由己知条件和正四棱锥的定义，以及面积公式即可求解.

【详解】如图所示，

将庭院顶部可以看成一个正四棱锥P-A8CD,

P0是正四棱锥P-ABCD的高，

设底面边长为。，则底面四边形的对角线长为拒侧棱长为。，

则底面面积为E=〃2,侧面是正三角形，其面积邑=?"

由2

——a

.■c一4叵

"S,-a2V

故选：B.

4.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“3"+1=0”与

麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：=cos9+isin夕的一种特

兀.5孔.

—1—1

66

殊情况.根据欧拉公式，则e+e()

A.2B.1C.6D.昱

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模.

_奈生兀..兀5兀..5兀।।由1.61..

【详解】由题设，e6+e6=cos—+isin—+cos一+isin一=----F—i-------F—i=1.

6666112222

故选：B

5.已知｛无,处可以作为平面向量的一组基底，集合A=｛d|&=；ly,/leR｝,

8=｛引+则关于集合A8说法正确的是（）

A.BAB.Ac-BC.0eAD.A=B

【答案】B

【解析】

【分析】向量的共线定理：4=»7；向量基本定理：平面内一组基底向量可表示出该平面内所有向量,

a=zlq+%，根据上述向量性质进行判断两集合元素范围即可选出答案.

【详解】根据向量的共线充要条件可知，集合A=｛与y共线的所有向量｝,

根据平面向量基本定理可知：集合B=｛平面内所有向量｝,故集合4是集合8子集.

故选：B

1

6.己知一ABC的重心为。，若向量60=mAB+—AC,则机=（）

3

22cli

A.----B.-C.—D.一

3333

【答案】A

【解析】

【分析】由三角形法则和平行四边形法则求解即可.

【详解】由三角形法则和平行四边形法则可得

12712

8O=8A+AO=BA+±x-（AB+AC）=——AB+-AC,则利=一一.

23333

故选：A

7.已知向量a=（—,若a+26与2a-内垂直，则实数"?=（）

12727f1

A.或7B.—或-2C.或2D.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】确定a+»=（2加—1,4）,2a—〃=（—2—%3）,根据垂直得到（4+26卜（24—6）=0,代入数

据计算得到答案.

【详解】-1,2),8=(〃?/)，则a+2Z»=(2〃L1,4),2a-b=(-2-/n,3)>

d+2b与2a-b垂直，

则(a+20)-(2a-6)=(2加一1,4>(-2-加,3)=(2/M-l)(-2-m)+12=0,

7

解得加=2或加=——.

2

故选：C

8.将一直径为56cm的圆形木板，截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角a满足

3

cosa=g,则这块四边形木板周长的最大值为()

A.20cmB.20V3cmC.30gcmD.30cm

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦定理得|AC=2RsinO=5j^x[=4j^,进而由余弦定理结合基本不等式即可求解.

34

【详解】如图：不妨设a=/D,cosa=cosO=y，则sinO=1，由正弦定理可得

|AC|=2HsinO=56xm=46，

在三角形ACO中，由余弦定理可得

|AC|2=\ADf+\CDf-2\AD\-\CD\cosOn80=(\AD\+|CD|)2-y|AD|-|CD|,

由于IAOHCD区(|AD|：|CD|)，所以

2

(|AD|+|CD|)-8O=y|AZ)|-|C£>|<yx(1皿；1卬)^>|A£>|+|CD|<20，

当且仅当|叫=|。。=10时,等号成立，

3

在一ABC中，B-H-D,cos5=--,

由余弦定理可得|AC『=|AB|2+|CB|2-21/1B|•|CB|cosB80=(|>4B|+|CB|)2-11AB\•|Cfi|,

由于|A8|.|C8|«(W”卸，所以

2

八III\24,,II4(IABI+ICBI)IIII

(|AB|+|CB|)-80=-|AB|-|CB|<-X~~!<-=>|AB|+|CB|<IO>

当且仅当|AB|=|BC|=5时，等号成立，

故这块四边形的周长I阴+|。4+同回+忸。卜20+10=30,

所以这块四边形木板周长的最大值为30.

故选：D

二、多选题

9.在下面的四个命题中，正确的命题为（）

A.复数z=l-2i（i为虚数单位）的虚部为—2i

B.用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台

C.角人民。为_45。三个内角，则“sinA〉sin'是"cosA<cos3”的充要条件

D.在复平面内，若复数z=x+yi（x,y均为实数），则满足|z-i|<3的点z的集合表示的面积为9兀

【答案】CD

【解析】

【分析】由复数定义判断A,由圆锥与圆台的结构特征判断B,根据三角形性质，结合充分、必要性定义判

断C,由复数模的几何意义，数形结合法判断D.

【详解】A：复数z=l—2i的虚部为一2,错误；

B：用平行于底面的平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台，错误；

C：在三角形中，由sinA>sinb知：A>B,

TTIT

若5cAe—时则cosAvcosB,若3<—<4时则cosA<cos5,故充分性成立；

22

兀

若cosB>cosA>0时，则B<A<—,故sinA>sinB：

2

兀兀

若8sB>0>cosA时，则8<—<A,此时一>7T-A>5,故sin（兀-A）=sinA>sin5,

22

所以必要性成立，正确；

D：由|z_i|=Jx2+（y_i）2W3,故f+（y—i）2w9,所以点Z在以（0,1）为圆心，半径3的圆（含圆

内），其面积为9兀，正确.

故选：CD

10.唐朝诗人罗隐在《咏蜂》中写到：不论平地与大山，无限风光尽被占：采得百花成蜜后，为谁辛苦为

谁甜.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开

口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个

蜂巢的正六边形开口ABCDEE,且其边长为1.下列说法正确的是（）

3

A.AC-AE=BF^-AC+AE=-AD

C.ADAB^AB\2D.五边形ABCDE的外接圆面积为乃

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A利用向量减法运算结合图形即可判断，对B借

助图形和共线向量的定义即可判断，对C利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，由正六边形的

特点确定五边形ABCZ)E的外接圆的半径，进而判断D.

UUL1ULU1UUU

【详解】对A,AC-AE=EC'显然由图可得EC与8F为相反向量，故A错误；

对B,由图易得,目=|AC],直线平分角NE4C，

且/VICE为正三角形，根据平行四边形法则有AC+AE=2AH与AD共线且同方向，

易知-EDH,AE”均为含煮的直角三角形，故怛“卜网叫,卜〃卜码£咋3回，则

西=4附，

।_,,_..21AHi33

而2AH=6。”，故一―|^=-,故AC+AE=—A。，故B正确；

1111\AD\22

对CZC=ZABC=—=|sc|=\DC\,

ZBDC=ZDBC=-,则ZAB£)=工，又AD//BC.：.ZDAB^-,

623

|叫=2网，=网cos?=2网葭(=网2,故C正确；

对D,五边形的外接圆就是正六边形A6CD石厂的外接圆，其半径为

r=；,耳=1,则五边形ABCDE的外接圆面积为冗产=兀，故D正确；

故选：BCD

11.如图，在海岸上有两个观测点C,D,C在。的正西方向，距离为2km,在某天10:00观察到某航船在

A处，止匕时测得NA£>C=30。，5分钟后该船行驶至8处，此时测得乙4cB=60。，N8C£>=45。，

ZADB=60°,则()

A.当天10:00时，该船位于观测点C北偏西15。方向

B.当天10:00时，该船距离观测点Cgkm

C.当船行驶至8处时，该船距观测点C0km

D.该船在由A行驶至B的这5min内行驶了瓜km

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用方位角的概念判断A,利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD.

【详解】A选项中，Z/lC£>=ZACB+ZBCD=60o+45o=105o,因为C在力的正西方向，所以A在C的北偏

西15。方向，故A正确.

B选项中，在△AC。中，NAC£）=105。，/AOC=30。，则/C4O=45。.

CDsinZADC

由正弦定理，得AC=—5/2，

sin/CW

故B正确.

C选项中，在ABC。中，ZBCD=45°,ZCDB=ZADC+ZADB=30°+60°=90°,即NC8£)=45°,

贝|J8D=C£>=2,于是BC=2&,故C不正确.

D选项中，在△ABC中,由余弦定理，得

即43=而km,故D正确.

故选：ABD.

12.如图所示，一圆锥的底面半径为人母线长为/,SA为圆锥的一条母线，AB为底面圆的一条直径，

。为底面圆的圆心，设/!=/,则（）

A.过SA的圆锥的截面中，ASAB的面积最大

B.当4=,时，圆锥侧面的展开图的圆心角为不

2

C.当；1时，由A点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A点的细绳长度最小值为6r

D.当丸=；时，点C为底面圆周上一点，且4。=正厂，则三棱锥O—S4C的外接球的表面积为17万，

【答案】BD

【解析】

【分析】对于选项A,利用斜三角形面积公式即可判断；对于选项B,由于圆锥侧面的展开图为扇形，可利

用扇形圆心角公式进行计算；对于选项C,由于圆锥侧面的展开图为扇形，利用两点之间直线最短即可知，

由A点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角

所对的弦长；对于选项D,由三棱锥外接球的性质可知，此外接球的直径为外接长方体的体对角线.

【详解】对于选项A：设点。是底面圆上异于点5的任意一点，则SasA8=g/2sinNASB,

SAMCsin/ASC.且ZASB>ZASC.

当0<ZASB<90时，sinZASB>sinZASC,此时△SAB的面积最大；

当90<NAS8<180时，若NASC=90，则sinNASB<sinNASC,此时△SAB的面积不是最大;

故选项A错误.

11

对于选项B：当4=—时:r—=—,即/=2r.

2I2

圆锥侧面的展开图的圆心角为a=—

I2r

故选项B正确.

对于选项C：如图，由A点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图

得到的扇形的圆心角所对的弦长AA'.

1r1

当4=—时，一=—,即/=3八

3I3

2兀r2冗丫2

圆锥侧面的展开图的圆心角为==——=——=—"，

/3r3

此时的弦长为2人皿工=2・3/411工=3百r,

33

故选项C错误.

1y]

对于选项D：当4=—时，一=—,即/=4r.

4I4

当=•时，ZAOC=9().

因为SO=>JSA2-AO2=a一产=一产=后，,

所以三棱锥O-SAC的外接球的半径为《户十户+(、后厂)=姮厂,

~2~^rr

则三棱锥O—S4C的外接球的表面积为4717"

故选项D正确.

故选：BD.

【点睛】方法点睛：几何体内接于球的问题，解题时要认真分析图形，明确接点的位置，确定有关元素间

的数量关系。如长方体内接于球，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线长等于球的直径.

三、填空题

13.在JRC中，若命题p：二=二"=三，命题q：是等边三角形，则命题p是命题q的

条件(指充分必要性).

【答案】必要非充分

【解析】

【分析】根据正弦定理与充分条件、必要条件的概念进行正反推理，对充分性与必要性分别加以讨论，可得

由命题。不可以推出命题q成立，命题q可以推出命题。成立，可得答案.

【详解】解：先看充分性，当三=3=二成立时即满足正弦定理，ABC是任意三角形，即命题q

sinAsmBsmC

不成立，故充分性不成立；

再看必要性，若一ABC是等边三角形，则a=b=c且A=B=C=],

由此可得三=&=三成立，即命题，成立，故必要性成立.

smAsmBsmC

因此，命题〃是命题q的必要非充分条件.

故答案为：必要非充分.

14.在复平面内，复数2=(0051-5]叫+6亩2-852)](1为虚数单位)的共轨复数对应的点在第

__________象限.

【答案】三

【解析】

【分析】先由已知条件写出Z的共轨复数，再根据它所对应的点来判断所在象限即可.

[详解】由复数Z=(cosl-sinl)+(sin2-cos2)i,(i为虚数单位)的共轨复数为：

z=(cosl—sin!)—(sin2—cos2)i,

所以对应的点为((cosl-sinl),-(sin2-cos2)),

因为工<1〈二，

42

所以sinl>cosl,所以cosl-sinl<0,

TT

因为一<2<兀，

2

所以sin2>cos2,所以一(sin2—cos2)<0,

故复数z的共辗复数对应的点在第三象限，

故答案为：三.

rrr兀rr「i।

15.已知平面内非零向量a,"满足<a+"a>=§,|a|=2,|a+b|=l,则卜一叶=.

【答案】V13

【解析】

分析】由已知条件可求得由1=6，2。，=-6,将卜-同平方展开代入求值即可得答案.

【详解】解：因为<a+b,a>=：,|a|=2,|a+》|=l,

rri,

所以[(5+0)一』『=|A+bF+1a|2—21a+Z?|•|a|•cos=3,

所以|笳=退，

又因|。+口=1,两边平方得：|E『+|力|2+2=3=1,

解得2a-b=-6'

所以1一£(=杆+山2—25.3=4+3+6=13,

所以,_可=J曰.

故答案为：y/13

16.甲烷分子式为CH「其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置,

四个碳氢键长度相等，用C表示碳原子的位置，用“|‘“2，“3，”4表示四个氢原子的位置，设

a=(CH[,CH、,则cos2a=.

7

【答案】一§

【解析】

【分析】设正四面体的棱长为“，外接球半径为r,计算/•=逅&,根据余弦定理得到cosa=-L,再

43

利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】根据题意知三棱锥耳-42”3at为正四面体，。为正四面体外接球球心，

延长“C与平面相交于则M为△"2"3"4的中心，连接”4时，

设正四面体的棱长为。，外接球半径为r,则〃走ax2=@a，

4233

•平面％&“4，平面”244，故“附上凡用，

则cosa=r+r~a=I--4=1--=--,cos2a=2cos2=

2r22产339

7

故答案为：——

9

四、解答题

17.如图所示，在平面四边形48C。中，AB±AD,AB=BC=2,B^n（）,AD=2y/3.

(1)求tanNACD的值:

（2）将四边形ABC。绕着边AO所在的直线旋转一周所形成的几何体为。，求C的体积.

【答案】(1)tan/ACD=G

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）由余弦定理得出AC=4O,结合三角形ABC为正三角形得出tanNACD的值；

（2）几何体。为：上面一个圆锥，下面为一个圆台，根据体积公式求解即可.

【小问1详解】

连接AC，在三角形ABC中，由余弦定理知：AC=AB1+BC2-2AB-BC-cosZABC=2^>

易知/&4C=3O,ABLAD,

故ND4C=60.又AC=">,故三角形ABC为正三角形.所以tan/ACD=JL

【小问2详解】

几何体。为：上面一个圆锥，下面为一个圆台,

圆锥的底面的半径为2员与3，

故C的体积为V=兀x2?+71x3?+V971X4TTjxy/3+^nx32x='

18.萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的

考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状

况、时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对箫县白土寨窑址进行主动性考古

发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数

据：=34.64cm,AZ）=10cm,BE=14cm,A=B=m•（参考数据：取百=1.732）

（1）求三角形瓷器片另外两边的长；

（2）求两点之间的距离.

【答案】（1）两边的长皆为20cm

（2）14cm

【解析】

【分析】（1）根据数据，利用正弦定理求解；

（2）根据数据，利用余弦定理求解.

【小问1详解】

解：如图，

延长交于点C,

TT27r

因为A=8=±,所以C=上，

63

认ACBCAB

sinBsinAsinC

即另外两边的长皆为20cm；

【小问2详解】

27r

由题意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=—,

3

故OE=VCD2+CE2-2CD-CEcosC=7136+60=V196=14（cm）,

故两点之间距离为14cm.

19.平面内给定三个向量a=（2,2）1=（〃+l,4）,c=（A,3）,且（a+2c）〃伍—a）.

（1）求实数A关于〃的表达式；

（2）如图，在一ABC中，G为中线AM的中点，过点G的直线与边分别交于点P,Q（P,Q不

与A重合）.设向量4尸=（攵+3）4仇4。=加4（7,求2加+〃的最小值.

【答案】（1）Z=2〃—3

9

2X

I-

Z8

【解析】

【分析】（1）根据向量的坐标运算分别表示出a+2c和〃_“，利用平行的坐标表示可得答案；

1111

（2）利用向量运算得到AG=—AP+——AQ,结合三点共线得到一+—=1,再结合基本不等式可求

8〃4m8〃4m

答案.

【小问1详解】

因为a+2c=（2+2攵,8）,匕一“-1,2）,（a+2c）//{b-aj,

所以2（2+2攵）=8（〃-1）,即左=2〃一3.

【小问2详解】

由⑴可知，AP=（k+3）AB^2nAB,AQ=mAC,由题意可知6,〃>0.

因为AG=LAM=LAB+」AC,AB=—AP,AC=—AQ,

2442nm

-1.1

所以AG=—AP+——AQ；

8〃4m

因为P,G,Q三点共线，所以=1.

8〃4m

1rz肾5\9

〃-

->-2一+---

42-8

<m7

3

当且仅当m="=一时，取等号，

8

4-8-9

即AB^-AP,AC^-AQ时，2机+〃取最小值-.

338

20.在斜三角形A8C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

asinA+4加inCcos2A=bsinB+csinC.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2,且3c上的中线A£>长为百，求斜三角形ABC的面积.

【答案】（1）A=/

⑵上

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角A的大小；

（2）根据为A。为BC上的中线得AQ=g（A8+AC）,结合余弦定理求出权'=4,进而求出面积.

【小问1详解】

因为〃sirL4+4/?sinGcos2A=Z?sin3+csinC，

所以由正弦定理可得：a2-i-4hccos2A=h2+c2,

即4/7CCOS2A=h2+c2-a2^

所以2cos~A=----------=cosA，

2hc

711

又Aw—,所以cosA.——,

22

所以A=,

【小问2详解】

因为AO为8c上的中线，所以AO=g（A8+4C）,

21/\2

即AZ）=-^AB+ACj,

所以4仞2=

B|J12=c2+2bccosA+b2>

所以12=〃+%+。2①，

由余弦定理可得：a2-b2+c2-2Z?ccosA>

所以4=〃+c2—A②

①-②得：be=4,

所以SABc=g"csinA=6.

21.（1）证明：平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和；

（2）在平行四边形A8CO中，若AC?+3。2=20,求一ABC面积的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）-

2

【解析】

【分析】（1）由平面向量的四则运算即可证明；

（2）利用（1）中结论，并根据基本不等式和三角形面积公式计算可得.

【详解】（1）证明：由向量的加法和减法运算得：AC=AB+AD，BD=AD-AB'

所以有：AC+BD=（AB+AD）2+（A£）-A5）2=2AB+AD

即2（/32+4。2）=4。2+3。2,故平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和.

（2）由⑴的结论知：2（AB2+AD2）=AC2+BD2,由己知有：AC2+BD2=20,

所以+A02=8。-=]0,故由基本不等式有，

2

ABBC=ABAD<AB+AD=—=5,当且仅当A8=A£>=逐时，取等号，

22

所以SABC='A6-.sin/ABC<^\AB