2023-2024学年山东省济南市历下区燕山中学九年级（上）10月月考数学试卷含解析

2023-2024学年山东省济南市历下区燕山中学九年级（上）月考数学试

卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.2cm,3cm,4cm,6cmD.3cm,4cm,6cm99cm

2.已知5=加装0/片0）,下列变形错误的是（）

A.7=fB.2a=3bC.-=^D.3a=2b

b3a2

3.如图，力〃%〃b，直线a、b与k、%、分别相交于点4、B、C和点。、E、F,

若桨DE=4,则EF的长是（）

DLD

B-1

C.1

D.6

4.如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影84由8

到4走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m,CA=

0.8m,于是得出树的高度为（）

A.8mB.6.4mC.4.8mD.10m

5.如图，在口ABC。中，E为CD上一点,连接/E、皿且AE、B。交于点F,

S»DEF：S△力8尸=4：25,则。E：EC=（）

A.2：5B.2：3C.3：5D.3：2

6.现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片（除卡片正面的

内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均匀后从中随机一次抽取两张卡片，则恰好抽到写

有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是（）

7.关于x的一元二次方程%2+mx+jn=0有两个相等的实数根，则Tn的值是（）

A.不存在B.4C.0D.0或4

8.如图，在正方形网格中：△力BC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABS△EDF,则NABC+乙4cB

的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

9.晚上，小亮走在大街上时发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被仁Jf

两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m,左边的影子

长为1.5m,又知自己身高1.80巾,两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12m,」--------企4-一

则路灯的高为（）

A.6.6mB.6.7mC.6.8mD.6.9m

10.如图，△ABC-△力DE,^BAC=Z.DAE=90°,AB与DE交于点。，AB=4,AC=3,尸是DE的中点，

连接8。，BF,若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△力@^BOD-^EOA,③々FOB+

^FBE=90°,（4）BF=^AE,其中正确的是（）

A.①②B.③④C.②③D.②③④

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.如果£=?=，=2,且b+d+/=4,则a+c+e=。

12.在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后

发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有个.

13.如图，校园里一片小小的树叶，P为4B的黄金分割点（4P>PB）,如果48的长度为10cm,那么4P的长

度为cm.

14.如图，在RtZkABC中，44CB=90。,CO_L4B于点。，CO=3,BD=1,

则4c的长是

15.如图，在△4BC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点4开始沿48边

运动，速度为2cm/s,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P、

Q两动点同时运动，那么经过秒时△QBP与△ABC相似.

16.如图，在边长为7的正方形力BCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图

形，其中两顶点E,尸分别在边8C,4。上，则放入的四个小正方形的面积之和为

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题8.0分)

解方程：

(I)%2+2%-8=0；

(2)x(x—2)=x—2.

18.(本小题8.0分)

如图，nABCO中，E是CB延长线上一点，DE交4B于尸.求证：AD-AB=AF-CE.

19.(本小题8.0分)

“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，

某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示

“40-70分钟以内完成”，C表示“70-90分钟以内完成”，。表示“90分钟以上完成”.根据调查结果,

(1)这次调查的总人数是人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是。；C类扇形所占的百分比是

(2)在。类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图

或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.

20.(本小题8.0分)

如图，综合实践活动课中小明同学用自制的直角三角形模具DEF测量树的高度4B,他调整自己的位置，让

斜边OF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DE=0.4m,EF=0.3m,测得边DF离地面高度4c=1.7m,

CD=8m,求树高48.

21.(本小题8.0分)

在AABC中，AB=2y/~2,NB=45。，以点4为直角顶点作等腰Rt△4DE.点。在BC上，点E在AC上，点尸在

BC上，且NEFC=45°,

(1)求证△4BO-ADFE；

(2)若CE=厂，求CD的长.

22.(本小题8.0分)

材料：对于一个关于x的二次三项式a/+bx+c(a片0),除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,

爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求/+2x+5的最小值；

解：令/+2x+5=y,x2+2x+(5—y)=0,

zl=4—4x(5—y)>0,y>4,x2+2x+5的最小值为4.

请利用上述方法解决下列问题：如图，在△ABC中，BC=10,高4。=8,矩形EFPQ的一边QP在边上，E、

F两点分别在48、4c上，4。交EF于点

(1)若EF=2EQ,求矩形EFPQ的面积；

(2)设EQ=x求矩形EFPQ的面积最大值.

23.(本小题8.0分)

如图1,已知AABC和△4DE均为等腰直角三角形，点0、E分别在线段48、4C上，zC=AAED=90°.

(1)观察猜想：

如图2,将AaDE绕点A逆时针旋转，连接B。、CE,BD的延长线交CE于点F.当BD的延长线恰好经过点ED寸,

点E与点F重合，此时，

①詈的值为:

②NBFC的度数为度；

(2)类比探究：

如图3,继续旋转△力DE,点尸与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由.

(3)拓展延伸：

若4E=DE=C，AC=BC=当CE所在的直线垂直于40时，请你直接写出线段BD的长.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、•••1X4#2x3,•••四条线段不成比例，不符合题意；

8、：2x5#3x4,••.四条线段不成比例，不符合题意；

C、•••2x6=3x4,.•.四条线段成比例，符合题意；

。、•••3x9#4x6,.•.四条线段不成比例，不符合题意.

故选：C.

本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念.

根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案.

2.【答案】B

【解析】解：由：g得，3a=2b,

A,由比例性质可得：3a=2b,正确；

B、2a=3b与3a=2b不符合，错误；

C、由比例性质可得：3a=2b,正确；

。、3a=2b,正确.

故选：B.

本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积.

根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.

3.【答案】D

【解析】解：

ABDE2

/.---=----=—,

BCEF3

•JDE=4,

.—4=_一2«

EF3

EF=6,

故选：D.

根据平行线分线段成比例解答即可.

本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比

例式是解题的关键.求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即

可.

【解答】

解：如图，•••BC=3.2m,CA=0.8m,

AB=AC+BC=0.8+3.2=4cm,

・••小玲与大树都与地面垂直，

ACE^LABD,

._竺

‘丽=而'

即L6="

解得BD=8.

故选：A.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积

的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF〜△84F,再根据SME尸=4：25即可

得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：4B的值，由4B=CD即可得出结论.

【解答】

解：•.,四边形4BC。是平行四边形，

・・・AB//CD,

Z.EAB=Z.DEF,Z.AFB=Z.DFE,

DEF~ABAF,

■:S^DEF：S*BF=4：25,

・••DE：AB=2：5,

-AB=CD,

・••DE：EC=2：3.

故选8.

6.【答案】A

【解析】解：设“道路自信”为4“理论自信”为B,“制

度自信”为C,“文化自信”为D,

树状图如右图所示，

一共有12种等可能性，其中恰好抽到写有“文化自信”和

“理论自信”的卡片有2种可能性，

・•・恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片概率为之=:，

1ZO

故选：A.

根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率.

本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率.

7.【答案】D

【解析】解：・方程/+mx+m=0有两个相等的实数根，

•••△=m2-4m=0.

解得：m-0或m=4.

故选。.

根据方程有两个相等的实数根即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值.

本题考查了根的判别式，由方程有两个相等的实数根找出关于m的一元二次方程是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：•.•△4BCgEDF,

•••乙BAC=乙DEF=135°,

4ABC+Z.ACB=180°-135°=45°,

故选：B.

利用相似三角形的性质，证明NB4c=135。，可得结论.

本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明4BAC=135。.

9.【答案】A

【解析】解：设小亮离右边的路灯为xm,则离左边的路灯为(12-x)m,

再设路灯的高为/nn,

BFHK

-ABIBC,6/7IBC,EC1BC,

,MFHGfFCE,AKHG〜AKBA,

tGH_FHGH_KH

***'EC~~FCfAB~~KB"

FHKH

——=—,

FCKB

1.5_3

1.5+x-15-x

解得％=4米，九=6.6米，即路灯高6.6米.

故选：A.

首先根据已知条件求证出△FHG-ZiFCE,然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而

求出路灯CE的高度.

本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转

化为数学问题求解.

10.【答案】D

【解析】解：〜ZMDE,

・•・Z,ADO=乙OBE,

vZ.AOD=乙BOE,

AOD〜AEOB,

tOD__OA

‘乐=瓦’

'~OA=~OEf

乙BOD=4EOA,

•••△BOD-LEOA,故②正确，

AOD^LEOBt△BOD^LEOAt

・。・Z-ADO=乙EBO,Z-AEO=乙DBO,

•・,Z.ADO+乙4E。=90°,

・•・乙DBE=(DBO+乙EBO=90°,

・・•尸是DE的中点，则。尸=EF,

・•.FD=FB=FE,

・••乙FDB=乙FBD,

^FDB+Z.FBE=乙FBD+乙FBE=90。，故③正确,

在RMABC中，vAB=4,AC=3,

・・,BC=个32+42=5，

,/△ABC^^ADE,

DEBC5

:.—=—=—,

AEAC3

•・,BF=^DE,

.2BF5

A"AE=3?

/.BF=^AE,故④正确，

,:Z-ADO=乙OBE,

，Z.ADO。乙OBF,

无法判断^AOD-AFOB,故①错误.

故选。.

首先证明△40D/AE0B,推出△B0DsZiE04再证明NDBE=90。，可得②③正确，利用直角三角形斜

边中线的性质即可判断④正确.

本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用.

11.【答案】8

【解析】解：£=?=1=2,

a+c+eQ+c+e

由等比性质，得・=2,

b+d+f4

Q+c+e=8.

故答案为：8.

根据等比性质，可得答案.

本题考查了比例等性质，利用了等比性质.

12.【答案】12

【解析】解：设布袋中黄球有x个，

根据题意,得:余=030,

解得：%=12,

即布袋中黄球可能有12个,

故答案为：12.

利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3,然后根据概率公式计算即可.

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的

幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这

个事件的概率.

13.【答案】(5门一5)

【解析】解：：P为AB的黄金分割点(4P>PB),AB=10cm,

：.AP=话匚■AB=x10=-5)cm-

故答案为：(5，石—5).

直接利用黄金分割的定义计算出4P的长即可.

此题考查了黄金分割：把线段4B分成两条线段AC和BC(4C>BC),且使4c是AB和BC的比例中项(即4B：

AC=AC-.BC),叫做把线段黄金分割，点C叫做线段4B的黄金分割点.

14.【答案】3CU

【解析】解：在Rt/kABC中，44cB=90。，C014B于点。，

4B=4ACD,乙BDC=Z.CDA=90°,

・••△BCD~>CAD,

CD_AD

'~BD=~CD"

ACD2=BD-AD,

22

•••ADcoF=*39,

v乙B=乙B,乙BCD=乙4,

8cos△BAC,

tAC_AD

‘布=而'

VAC2=AB-AD=(BD+AD)-AD=(1+9)x9=90,

•-AC=3<l0.

故答案为：3/苗.

直接利用射影定理进行计算即可.

本题考查了射影定理，熟练掌握射影定理是解答本题的关键.

15.【答案】2或0.8

【解析】解：设经过£秒时，ZkQBP与/MBC相似，^iAP=2tcmfBP=(8—2t)c?n,BQ=4tcm,

v乙PBQ=Z-ABC,

・'・当瞽=尊时，"PQ—BAC,即警=[解得t=2；

DADLOIO

当喋=震时，ABPQfBCA,即吟=],解得t=0.8；

DCDAit)O

即经过2秒或0.8秒时，ZkQBP与AABC相似.

故答案为：2或0.8.

设经过t秒时，△QBP与44BC相似，则4P=2tcm,8P=(8-2t)cm,BQ=4tcm,利用两组对应边的

比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论，由相似三角形的性质列出方程可求解.

本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.利用时间表示相

应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键.

16.【答案】22

【解析】解：如图，过G作G//1BC于H,A-------『

则NHGE+Z-HEG=Z.HEG+乙MEN=90°,\

・•.(HGE=(MEN,：

•・・乙GHE=乙EMN=90°,；\\^J

:AGHE〜AEMN,BHEMC

.HE_HG_EG_1

‘•丽=丽=丽=Q

：・GH=2EM,HE=2MN,

设MN=x,则HE=2%,

・•・EM—7—4%,

・•・GH=2EM=2(7-4%),

・•・2(7—4x)+%=7,

解得：x=1,

:.EM=7—4%=3,

•••EN=VEM2+MN2=ATTU，

AGE=2EN=2<10，

J.四个小正方形的面积之和=2x/+/TUx2/IU=22,

故答案为：22.

作GH1BC,证明△G"E~AEMN,根据相似三角形的性质得到GH=2EM,HE=2MN,根据正方形的性

质列方程求出MN,根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.

本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、

正方形的性质是解题的关键.

17.【答案】解：(1)/+2%-8=0,

(x+4)(x-2)=0,

x+4=0或％—2=0,

解得：x1=-4,x2=2；

(2)x(x—2)=x—2,

x[x—2)一(x—2)=0,

(x-2)(x-1)=0,

x-2=0或x—1=0,

解得：X1=2,x2=1.

【解析】(1)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可：

(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可.

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开

平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

18.【答案】证明：

在口4"。中，因为AB〃DC,所以NCDE=WE=乙4/孙

又因为乙4=NC,所以AECDsA/MF,所以穿=答，

AFAD

又CD=AB,所以空=寞，故=4F-CE.

AFAD

【解析】根据已知条件很容易就可推出△ECDSADAF,求出对应边的比例式，根据CD=48,进行相关线

段的等量代换即可.

本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，本题的关键是证明AECD和△DAF相似，根据

平行四边形的性质找到相等关系，进行等量代换.

19.【答案】4010845%

【解析】解：(1)这次调查的总人数为6+15%=40(人)，

扇形统计图中，B类扇形的圆心角为角x360。=108°,

C类的学生人数为40-6-12-4=18(A),

・•・C类扇形所占的百分比为芸x100%=45%.

40

故答案为:40；108；45%.

(2)画树状图如下：

开始

/\/N/N/K

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，

•••所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为。=|.

(1)用4类学生人数除以所占百分比可得这次调查的总人数；用B类学生人数除以总人数再乘以360。，即可得

B类扇形的圆心角；先求出C类学生人数，进而可得C类扇形所占的百分比.

(2)画树状图得出所有等可能的结果数和所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率

公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法

与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

20.【答案】解：V4DEF=乙DCB=90°,乙EDF=4CDB,

DEFs〉DCBt

.曳_竺

~BC=DCf

vEF=0.3,DE=0.4,DC=8,

BC8

・•・BC=6m,

・•・AB=AC+BC=1.7-^-6=7.7(m),

答：树高AB为7.7TH.

【解析】利用RtADEF和RtABCD相似求得BC的长，加上小明同学的身高即可求得树高4B.

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证得△DEFfDCB.

21.【答案】(1)证明：•・•4EFD=45。，々B=45。，

AZ.B=乙EFD,

••・△ADE是等腰直角三角形，

，/.ADE=45°,

•・•Z.ADF=/-ADE+乙EDF=+匕BAD,

・•・乙BAD=乙EDF,

・••△ABD~ADFE；

(2)解：由(1)知△AB。〜

tAB__AD

A~DF='DE'

•・・△ADE是等腰直角三角形，

tAD_1

''DE-7T

tAB_1

*'DF=TT

-AB=2。，

・・・DF=4,

・・・△ADE是等腰直角三角形，

・・・/.AED=45°,

v乙EFD=45°,

・••乙DEC=乙EFC=180°-45°=135°,

又•・,Z.C=乙C,

・•・△DEC~>EFC,

ADC：EC=EC：CF,即EC2=尸。•(4+FC),

vEC=

・・・5=FC(4+FC),

・•.FC=1(负的已舍)，

•••CD=FC+FD=l+4=5.

【解析】(1)利用两角分别相等的两个三角形相似可证明出结论；

(2)利用〜△DFE,求出DF=4,再证〜△DEC,可求FC=1,进而解答即可.

本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键.

22.【答案】解：(1)・・・力。为高,

・•・AD1BC,

•••四边形EFPQ为矩形，

EF//PQ,匕FEQ=4EQP=9。。,

・・・四边形EQDH为矩形，

・•・HD=EQ,

vBC=10,AD=8,

^AH=AD-HD=8-EQf

•・•EF//BC,

•••△AEF^LABC,

.EF__AH

'丽二屈’

•.E*>F—_=8-E-Q-,

108

・・・EF=2EQ,

.2EQ_8-EQ

,•IF=8

口c40

EQ=百，

矩形EFPQ的面积=EFEQ=2EQ2=2x曙尸=鬻；

(2)由题意和(1)知：BC=10,AD=8,EQ=%,AH=8-x,SL^AEF-^ABC,

EFAHBnEF8-x

BCAD1108

in5

.・.EF=卷(8-%)=-江+10,

设矩形EFPQ的面积为S,

s5

-X4-

・•・5x2—40%+4S=0,

Z=(-40)2-4x5x4S20,

S<20,

矩形EFPQ的面积最大值为20.

【解析】(1)可证△力BC.从而得出第=黑，同时EF=2EQ,从而可求出EQ,进而求出矩形EFPQ的

DCAU

面积；

⑵易得四边形EQDH为矩形，则HD=EQ=x,所以4"=4。-HD=8-x,由⑴△AEFHABC,利用

相似比得到EF=—|%+10,设矩