福建省厦门一中2022-2023高二年级上册10月月考数学试卷及答案

厦门一中2022-2023高二上学期10月考试

数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知空间向量3）,心=（2”—"），若则实数"+〃=（）

33

A.—B.---C.9D.—9

22

2.已知直线/的方向向量〃=（0,1,1）,平面。的一个法向量〃=（1,0,-1）,则直线/与平面。所成角为

（）

兀7in„5兀it„2兀

A.-B.-C.—或一D.一或一

366633

3.已知直线/:二一+—上一=1与两坐标轴分别交于A,B两点，则以A8为直径的圆周长为（）

sin6cos0

717r一

A.—B.—C.兀D.2兀

42

4.已知A（l,2,0）,5（3,1,2）,C（2,0,4）,则点C到直线AB的距离为（）

A.2B.V5C.2>/3D.275

5.已知4,3两点分别在两条互相垂直的直线工一政=0和（3。-4）》+〉+。-2=0上，且AB中点坐标

为Ca-z）,则AB的长为（）

A.5B.V5C.2A/26D.V26

6.不论实数。取何值时，直线（2a—l）x+（—a+3）y—5=0,都过定点则直线2x—y+3=0关于点

M的对称直线方程为（）

A.x-2y-6=0B,x-2y=0C,2x-y-9=0D.2x-y-3=0

7.在平面直角坐标系内，A（l,0）,B（2,0）,动点C在直线）'上，若圆M过A，B,C三点，则圆

M面积的最小值为（）

71712兀

A.—B.—C.兀D.

24T

8.如图，在长方体ABCQ—A瓦GR中，AB=AD=3,44,=1,记M为棱8c的中点，若空间中动

点P满足NAPZ）=NCPM,则点P的轨迹与侧面CGA。相交所形成的曲线长为（）

A.0B.乌C.'D.三

2233

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，部分答对得2分，答错得0分，共20分.把答

案填在答题卡相应位置.

9.在空间直角坐标系中，。为坐标原点，点P的坐标为（1,一2,2）,则（）

A.点p关于x轴对称点的坐标（一1,一2,2）

B.点p关于平面。X），的对称点坐标为（1,一2,-2）

C.点p到原点。距离是3

D.直线OP与y轴所在直线夹角的余弦值为:

io.下列说法中正确是（）

A.已知｛a,b,c｝可构成空间向量的一组基底，那么｛a+2b,6-2c,a+4c｝也可以构成空间向量的一组基

底

B.将直线/：x+-2=0绕点A（2,0）逆时针旋转60°得到的直线与I关于“轴对称

C.过（2,3）且斜率不存在的直线方程是y=3

D.直线Ax+8y+C=0的一个方向向量是（氏—A）

11.直线（加一2）x—（3加+l）y+3机+8=0与两坐标轴围成三角形Q43的面积记为S=/（m）,则

（）

A.S的最小值是12

B.对于所有的风＞12,方程〃根）=So有4个不等实数解

3

C.存在唯一实数m,使S=—

2

D.S=/（〃2）的值域是（0,+“）

12.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为

几何问题加以解决，如：对于形如a)2+(y_+y代数式，可以转化为平面上点用(x,y)与

N(a,。)的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数/(x)=Jf-iOx+34-―2x+10,下列说法

正确的是()

A.y=/(x)的图象是轴对称图形

B.y=/(x)的值域是[0,4]

C.y=/(x)先递减后递增

D.方程/(/(%))=后一M有且仅有一个解

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.

13.直线/：x+gy-3=0与4：x—Gy+l=0夹角的大小为.

14.由曲线f+j?=2国+2可围成的图形的面积为.

15.在空间直角坐标系中，过点P(x”X，zJ且法向量为〃=(4,4C)的平面方程为

a(x-%)+0(y-X)+c(z-zJ=0；过点。(马,%，22)且方向向量为〃2=(",乂坟)("1m/0)的直线方

程为==口==.

UVW

根据上述知识，若直线/是平面x-2y+3=O与2y+3z+l=0的交线，则/的一个方向向量为

./与平面a:x+y+z+l=。所成角的正弦值为.

16.已知空间向量a，h>c两两夹角均为60°,且卜'=忖=1，卜|=2.若向量大,；满足

x-yx+a\^x-b,y-(y+a)=y-c,则卜一)1的最大值是.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在平面直角坐标系中，已知点4(—2,—3),5(1,-2).

(1)求以AB为直径的圆的方程；

(2)若直线/经过点A,且点8到直线/的距离为3,求直线/的一般式方程.

18.在」18。中，8C边上的高所在直线的方程为X一2丁+1=0,NA的平分线所在直线方程为y=。，

若点8的坐标为(1,2).

(1)求点。的坐标；

(2)求的面积.

19.如图，三棱锥O—ABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC=60'。4=2,OB=3,OC=4,E是

OC中点，OF=、OB.

3

(1)以｛AE,AF,AB｝为基底表示oc；

(2)求异面直线AC,3E所成角的余弦值.

20.如图，四边形A3CD为平行四边形，点E在A3上，AE=2EB=2,且DE1A5.，以。E为折痕

把VADE折起，使点A到达点尸的位置，且NEEB=60°.

(1)求证：平面8bl•平面BCD；

(2)若直线与平面BCD所成角的正弦值为姮，求点C到平面。£户的距离.

5

21.如图，在底面是菱形的四棱锥P—A3C。中，ZABC=60°,R4=AC=1,PB=PD=y[i，点、E

在线段PD上，且满足PE=2E£>.

(1)求平面E4C与平面n4c夹角的余弦值；

(2)在线段PC是否存在一点Q,使得BQ平面AEC,若存在，请指出点。位置，若不存在,请说

明理由.

22.已知圆C过点A（2,6）,3（—1,3）,且圆心在直线y=x+l上.

（1）求圆。的方程；

（2）设点。在圆上运动，点£（3,2）,记“为过。，E两点的弦的中点，求M的轨迹方程；

（3）在（2）的条件下，若直线与直线/：丁=”一2交于点N,证明：1“历卜|£乂|恒为定值.

厦门一中2022-2023学年（上）高二10月考试

数学

1.C

2.B

3.C

4.B

5.A

6.D

7.A

8.D

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.ACD

13.60°

14.8+4〃

15.①.（2,1,一g）（与此共线的向量都正确）；②.半

16.\/3H—

2

17.（1）由A（—2,—3）,2）知|/4用=,

故此圆以线段AB中点（一!，一与）为圆心，以眄=®为半径，

I22）22

其标准方程可写为+fV+-1=--

I2jI2）2

（2）因为直线/经过点A（—2,-3）,可设其为A（x+2）+3（y+3）=0,

\3A+B\

由点B到直线/距离为3,可知-!=3,

解得8=0或3A=45,

故直线/的一般式方程为x+2=0或4x+3y+17=0

18.(1)点A同时在8C边上的高与/A的平分线上，故其为此两直线的交点，

x-2y+l=01

联立《/，得：A(-1,O),由8C边上的高斜率为:，可知直线斜率为—2,

J=02

因为8(1,2),故直线的方程为y=-2x+4①，

2-0

=1及/4的平分线为丫=0,可知直线AC的斜率为-1,故其方程为y=-x-l

由AB斜率为1-(-1)

②,

由①②联立可知。(5,-6).

|2x(-l)+0-4|6

(2)由(1)可知，点A到直线8。的距离d=

物+R忑'

又忸q=J(_5_—_1)_2_+_(—_6___2)_2=4下,故S诋=I皇BCl々=12.

133/••\3!

19.(1)由0/=一。8可知，AO=AB+BO=AB+-BF=AB+-(AF-AB]=-AF一一AB,

322、,22

因此，OC=2O£=2(A£-AO)=2l+j=2A£-3AF+A5.

(2)依题意可知，QAO8=2X3XL=3,O8-OC=3X4X'=6,0c•QA=4x2x'=4,

222

1

又AC=OC-04，BE=OE-OB^-OC-OB,

2

J16+4-8=2>/3,忖⑷二-OC-OB|=,4+9—6=V7，

OC-OA^\^OC-OBI21

-OC——OCOA-OBOC+OAOB

所以cos〈AC,BE)=产j=_22

|A/叫“卜|阿

8-2-6+3_3__叵

26.币—2下).币—14'

因此，异面直线AC,BE所成角的余弦值为立I

14

20.(1)证明：因为。E1AB，所以DELE&DELE/7,

因为EB,EFu平面EF=E,所以£)£；_/,平面班F,

因为BEu平面3EF，所以DELBF，

因为AE=2£B=2,所以EF=2,E8=1,

因为NFEB=60°,

所以在/XBEF中，由余弦定理得8尸=VfF2+£S2-2EF-EB-cosZFEB=百-

所以成2=殖2+8尸2,所以由勾股定理逆定理得跖，石B，

因为。石,硝<=平面88,。£：'EB=E,所以防_L平面BCQ，

因为BEu平面3CR,所以平面BCFL平面BCD,

(2)以8为原点，84所在的直线为>轴，在平面ABCD过点8作A3的垂线为x轴，所在的直线

为Z轴，建立空间直线坐标系，如图所示，

设DE=a(a>0),则£)(a,1,0),E(0,1,0),产倒,0,百)，DF=(-<2,-1,矶

平面BCDE的一个法向量〃=(0,0,1),

由直线DF与平面BCOE所成角的正切值为理，可知cos〈〃,。尸〉=IM73J6

n||DFJ/+44

解之得。=2,二£。=(2,0,0),。尸=卜2,—1,6),。。=(0,—3,0),

设平面DEF的法向量〃z=(x,y,z),则

\l取z=l,得，"=0,6,1,

mDF=-2x-y+yj3z=0

\DC-m\3G

故点C到平面DEF的距离d=1।,1=+

IH2

21.(1)底面ABC。是菱形，NA5C=60。，.•.AB=AD=AC=1，：.PA2+AB2PB2>

由勾股定理逆定理知：PA±AB,同理，PA±AD,

AB,ADu平面ABC。，ABcAD=A，.•.A4_L平面ABCD,

以A为原点，AO为y轴，过点A且与AB垂直的线为x轴，建立如图的空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,Cd，。，P（（）,（M），0（0,1，。），：PE=2EO,•••《01，；

\/1

设平面E4c的一个法向量A=（x,y,z）,

21

n-AE=—y+—z=0

nlAE33

则《令x=l,得"=(1,一6,26b

nJ,ACn-AC-^-x+—y-0

22-

易知平面ZMC的一个法向量加=（0,0,1）,

..m-nJ3

•••cos(m,n)=,,=—,/.平面EAC与平面DAC所成角的余弦值是

22

Gi,

（2）设尸。=小。=(0</<1),Q----1,-1—t

22

(73in”八(乖1t-也t+i,

122ylI22

由(1)知，平面E4c的法向量〃=(1,一6,26),

当BQ平面A£C时，nlBQ,:.n-BQ=0,+2同7)=0，

・•・f=g，即。为PC中点时，BQIn,且6Q(Z平面AEC,满足BQ,平面AEC.

22.(1)圆心在y=x+l上，.,.可设圆心C(a,a+1),Q|AC|=|BC|,

7(«-2)2+(a+l-6)2=7(«+l)2+(«+l-3)2>解得：a=2,/.C(2,3),r=|AC|=3,

故圆。的方