2024届北京市海淀区九年级上册数学期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届北京市海淀区九上数学期末学业质量监测模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.已知坐标平面上有一直线L,其方程式为y+2=0,且L与二次函数y=3χ2+a的图形相交于A,B两点：与二次函数

y=-2χ2+b的图形相交于C,D两点，其中a、b为整数.若AB=2,CD=I.贝!∣a+b之值为何？()

A.1B.9C.16D.21

2.若点(χl,χ),(χ2,%)，(王，2)都是反比例函数y=出二ɪ的图象上的点，并且玉<0<工2<七，则下列各式中正

X

确的是(()

A.X<%<%B,必<〉3<凹C.>3<%<XD.X<%<为

3.若色=3,则空的值等于()

b2b

1555

A.—B.-C.—D.一

2234

4.二次函数y=0√+⅛r+c(α≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(LTa),点A(4,yJ是该抛物线上一点，

若点。(/，%)是抛物线上任意一点，有下列结论:

(D4«-2Z?+c>05

②若%>%，则Z>4；

③若0≤%244,则0≤%≤5α;

④若方程α(x+l)(x-3)=-1有两个实数根』和乙,且也<々，则T<X∣<X2<3∙

其中正确结论的个数是()

C.3个D.4个

5.如图，四边形A8C。是。。的内接四边形，若。。的半径为4,且/8=2/。，连接AC,则线段Ae的长为()

A.4√2B.46C.6D.8

6.如图，在菱形ABC。中，AB=4,ZABC=I20°,E是AD的中点，将ΔABE绕点A逆时针旋转至点B与点O

重合，此时点E旋转至尸处，则点B在旋转过程中形成的BD、线段。尸、点E在旋转过程中形成的环与线段EB所

围成的阴影部分的面积为（）

C.2%D.3万

7.方程X2-2x+3=0的根的情况是（

A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根

C.没有实数根D.有两个不相等的实数根

］一3%

8.在反比例函数y=-------的图象上有两点A（xι,y）,B（x,y2）,当O>x1>x2时，有yι>y2,则k的取值范围

X12

是（）

Illl

A.k≤-B.k<—C.k≥一D.k>—

3333

9.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边。。上，OE:£C=3:2,连接AE交60于点尸，则AW厂的面积与

ADEF的面积之比为（）

C.25:9D.3:1

10.下列说法中错误的是（）

A.成中心对称的两个图形全等

B.成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分

C.中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心

D.中心对称图形绕对称中心旋转180。后，都能与自身重合

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.如图，AABC与ADEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，贝!∣AD：BE的值为

12.关于X的一元二次方程χ2-mx-2=0的一个根为-1,则m的值为.

k

13.已知A（-4,yι）,B（-1,yz）是反比例函数y=・一（k>0）图象上的两个点，则yι与yz的大小关系为.

X

14.计算：（—2）0+卜3∣=.

15.若代数式/+,我+］是完全平方式，则团的值为.

16.如图，OM的半径为4,圆心M的坐标为（6,8）,点P是。M上的任意一点，PAVPB,且以、尸8与X轴分别

交于A、B两点，若点A、点8关于原点。对称，则A3的最小值为.

17.在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白色球3个，黑色球5个，黄色球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰

好是白色球的概率为g,则放入的黄色球数n=.

18.如图，AB是半圆O的直径，D是半圆。上一点，C是RD的中点，连结AC交BD于点E,连结AD,若BE=

4DE,CE=6,则AB的长为

iB

三、解答题（共66分）

k

19.(10分)如图，已知反比例函数y=-(x>O,k是常数)的图象经过点A(1,4),点B(m,n),其中m>LAM±x

X

轴，垂足为M,BNJ_y轴，垂足为N,AM与BN的交点为C.

(O写出反比例函数解析式；

(2)求证：ΔACB<^ΔNOM;

(3)若AACB与ANOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.

20.(6分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.

(I)把AABC绕着点C逆时针旋转9。。，画出旋转后对应的AAIBK;

(2)求aABC旋转到aAiBiC时线段AC扫过的面积.

y八

X

21.(6分)某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商

品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.

(1)为了使平均每月有IOOOO元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？

(2)当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？

22.(8分)已知ABC中，AB=AC,NBAC=90。，D、E分别是AB、AC的中点，将E绕点A按顺时

针方向旋转一个角度矶0°<«<90°)得到AD'E',连接BD'、CE',如图1

(1)求证3Z)'=CE',

BF

(2)如图2,当α=60°时，设AB与。¢,E',交于点R,求^一的值.

FA

D'

D'

23.（8分）计算：3tan30o-tan450+2sin60o

24.（8分）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完

成快递件数分别为5万件和5.832份万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同.

（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；

（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情

况下，能否完成今年9月份的投递任务？

25.（10分）超速行驶被称为“马路第一杀手”，为了让驾驶员自觉遵守交通规则，市公路检测中在一事故多发地段安

装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点A设在距离公路BC20米处，NB=45。，NC=30。，现测得一辆汽车从B

处行驶到C处所用时间为2.7秒.

（1）求B,C之间的距离（结果保留根号）；

（2）如果此地限速为80km∕h,那么这辆汽车是否超速？请说明理由.（参考数据：√3≈1.7,λ^≈1.4）

26.（10分）如图示，在ΔABC中，AC=S,NA=30°,NB=45°,求AABC的面积.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、A

【解析】分析：判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可;

详解：如图，

分别代入y=3x2+a,y=-2x2+b可得a=-5,b=6,

Λa+b=l>

故选A.

点睛：本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标

是解决问题的关键.

2、B

【详解】解：根据题意可得：一/一10

.∙.反比例函数处于二、四象限，则在每个象限内为增函数,

且当XVO时y>0,当x>0时，y<0,

3、B

【分析】将半整理成f+ι,即可求解.

bb

【详解】解：..∙f=a,

b2

故选：B.

【点睛】

本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键.

4、B

【分析】由抛物线对称轴为：直线x=l,得x=-2与x=4所对应的函数值相等，即可判断①；由由抛物线的对称性即可

判断②；由抛物线的顶点坐标为(1,-4。)，结合函数的图象，直接可判断③；由方程α(x+D(x-3)=-1有两个实数根

再和乙，且不<刍，得抛物线^=。5+1)0-3)与直线，=一1的交点的横坐标为王和々，进而即可判断④.

【详解】•••抛物线顶点坐标为(1,-40),

.∙.抛物线对称轴为：直线x=l,

.∙.x=-2与x=4所对应的函数值相等，即：yi=4a-2h+c>0,

二①正确；

由抛物线的对称性可知：若%>凹，则々>4或W<-2,

.∙.②错误；

V抛物线的顶点坐标为(1,-4。)，

.∙.0≤%2W4时，-4a≤y2≤5a,

.∙.③错误；

丫方程α(x+D(x-3)=-1有两个实数根%和%，且玉<七，

.∙.抛物线y=a(x+IxX-3)与直线y=-1的交点的横坐标为内和x2，

∙.∙抛物线丫=。0+1)(1-3)开口向上，与X轴的交点横坐标分别为：-1,3,

-1<x1<X2<3,

.∙.④正确.

故选B.

【点睛】

本题主要考查二次函数图象与系数得的关系，掌握二次函数系数的几何意义，是解题的关键.

5、B

【分析】连接04,OC,利用内接四边形的性质得出ND=60。，进而得出NAOC=120。，利用含30。的直角三角形的

性质解答即可.

【详解】连接04,OC,过。作。及LAC,

B

丫四边形ASCD是。。的内接四边形，ZB=2ZD,

，ZB+ZD=3ZD=180o,

解得：No=60。，

.∙.NAOC=120°,

在RtAAEO中，04=4,

ΛAE=2√3,

ΛAC=4√3,

故选：B.

【点睛】

此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出ZD=60°.

6,C

【分析】根据菱形的性质可得AD=AB=4,NDAB=I80。-NABe=60。，AE=LAD=2,然后根据旋转的性质可得:

2

SAABE=SAADF,NFAE=NDAB=60°,最后根据S阴影=SJS彩DAB+SAADF^-SAABE-S扇形FAE即可求出阴影部分的面积.

【详解】解：T在菱形ABCD中，AB=A,NA8C=120°,E是AD的中点，

ΛAD=AB=4,ZDAB=180o-ZABC=60o,AE=LAo=2,

2

•：ΔA6E绕点A逆时针旋转至点8与点。重合，此时点E旋转至F处，

.∙.SΔABE=SΔADF,NFAE=NDAB=60°

∙,∙S阴影=S点彩DAB+SΔΛDF-S∆ABE-S扇影FAE

=Sa®DAB_Sffl®FAE

_60%×4260万X22

360360

=2乃

故选：C.

【点睛】

此题考查的是菱形的性质、旋转的性质和扇形的面积公式，掌握菱形的性质定理、旋转的性质和扇形的面积公式是解

决此题的关键.

7、C

【解析】试题分析：利用根的判别式进行判断.

解：VΔ=(-2)2-4×l×3=-8<0

・•・此方程无实数根.

故选C.

8、D

【解析】根据题意可以得到l∙3kV0,从而可以求得k的取值范围，本题得以解决.

1-3⅛

【详解】:反比例函数y=--------的图象上有两点A(xι,yι),B(X2,y2),当O>x1>x2时，有yι>yz,

X

/.l-3k<0,

解得，k>-,

3

故选D.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

9,C

【分析】先求出。UOE,再根据平行四边形的性质可得AB〃CD,AB=CD,从而证出^BAFs∕∖DEF,

AB:DE^5;3,然后根据相似三角形的性质即可求出结论.

【详解】解：：02:^7=3:2

：,DE'.DC=3:5

：.DC:DE-5:3

•：四边形ABCD是平行四边形

ΛAB√CD,AB=CD

Λ∆BAF^∆DEF,AB.DE=5:3

.SABAF=AB=25=25.9

∙∙SADFFDE9

故选C.

【点睛】

此题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质、利用平行证相似和相似三角形

的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.

10、B

【解析】试题分析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明

这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图

形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误.

故选B.

考点：中心对称.

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、√3

【详解】连接OA、OD,

•.,△ABC与ADEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，

ΛAO±BC,DO±EF,ZEDO=30o,ZBAO=30o,

ΛOD:OE=OA:OB=√3：1,

TNDOE+NEOA=NBOA+NEOA,即NDOA=NEOB,

Λ∆DOA^∆EOB,

ΛOD:OE=OA:OB=ADsBE=√3：1=√3,

故答案为G

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质

12、1

【解析】试题分析：把X=-I代入方程得：（-1）2+,〃-2=0,

解得："2=1.

故答案为：1.

13、yι<yι

【分析】根据双曲线所在的象限，得出y随X的增大而增大，即可判断.

【详解】解：∙.∙k>0,.∙.-kVO,因此在每个象限内，y随X的增大而增大,

V-4<-1,

∙'∙yι<y∏

故答案为：yι<y>.

【点睛】

此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数在各象限的增减性.

14、4

【分析】直接利用零指数幕的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.

【详解】解：原式=1+3=4.

故答案为：4.

【点睛】

此题主要考查了零指数嘉的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键.

15、±2

【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值.

【详解】解：Y代数式χ2+mx+l是一个完全平方式，

：•m=±2,

故答案为：±2

【点睛】

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

16、1

【分析】由RtAAPB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则Po需取得最小值，连接OM,交。M于点P',当点P

位于P'位置时，OP'取得最小值，据此求解可得.

【详解】解：连接OP,

VPA±PB,

ΛZAPB=90",

VAO=BO,

ΛAB=2PO,

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM,交。M于点I”,当点P位于P'位置时，OP'取得最小值，

过点M作MQ_Lx轴于点Q,

则OQ=6、MQ=8,

ΛOM=10,

又YMP'=4,

ΛOPz=6,

ΛAB=2OP/=1,

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时

点P的位置.

17、1

【分析】根据口袋中装有白球3个，黑球5个，黄球n个，故球的总个数为3+5+n,再根据黄球的概率公式列式解

答即可.

【详解】V口袋中装有白球3个，黑球5个，黄球n个，

二球的总个数为3+5+n,

∙.∙从中随机摸出一个球，摸到白色球的概率为1,

即5

3+5+〃5

解得：n=l,

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

m

件A的概率P(A)=—.

n

18、4√10

【分析】如图，连接OC交BD于K.设DE=k.BE=4k,贝!∣DK=BK=2.5k,EK=1.5k,由AD〃CK,推出AE：

EC=DE:EK,可得AE=4,⅛∆ECK‹^∆EBC,⅛⅛EC2=EK∙EB,求出k即可解决问题.

【详解】解：如图，连接OC交BD于K.

C

•：CD=BC，

ΛOC±BD,

VBE=4DE,

,可以假设DE=k.BE=4k,贝!∣DK=BK=2.5k,EK=1.5k,

TAB是直径，

：.NADK=NDKC=NACB=90。，

.∙.AD"CK,

ΛAE:EC=DE:EK,

ΛAEs6=k：1.5k,

ΛAE=4,

∙.∙∆ECK‹^∆EBC,

ΛEC2=EK∙EB,

Λ36=1.5k×4k,

Vk>0,

∙*∙k=ʌ/ð>

:∙BC=√βE2-EC2=7%-36=2√15(

AB=√AC2+BC2=71θ2+(2V15)2=4√10.

故答案为：4√iθ.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三

角形解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题(共66分)

19、(1)y=-i(2)证明见解析；(3)I3,⅛y^--x+-,

Xk3√33

lζ

【解析】试题分析：(1)把A点坐标代入y=—可得k的值，进而得到函数解析式;

AC4一〃

(2)根据A、B两点坐标可得AC=4-n,BC=m-l,ON=n,OM=I,则F=——■,再根据反比例函数解析式可得

NOn

4.AC.HBCm-∖ACBC,

—=n,则π——=m-∖,而——=-----,可得——=——，再由NACB=NNOM=90。，可得

mONMO1NOMO

△ACB<^∆NOM;

(3)根据AACB与ANOM的相似比为2可得m-l=2,进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求

出AB的解析式即可.

k

试题解析：(I)Vy=-(x>0,k是常数)的图象经过点A(1,4),

4

反比例函数解析式为y=—；

(2)；点A(1,4),点B(m,n),

AC=4-n,BC=m-l,ON=n,OM=I,

.AC4-〃4,

••—=],

NOnn

4

VB(m,n)在y=一上，

­=∏τ

m

.AC_BC

••丽―丽'

YNACB=NNoM=90。，

Λ∆ACB^∆NOM;

(3)VAACB与ANOM的相似比为2,

.∖m-l=2,m=3,

4

，B(3,—),

3

设AB所在直线解析式为y=kx+b,

-^3k+b

Λ{l3,

4=4+力

解得，｛,;

3

416

.∙.AB的解析式为y=--x+—.

33

考点：反比例函数综合题.

20、（1）见解析；（2）2π

【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可;

（2）根据扇形的面积公式求解即可.

【详解】（1）如图所示，AAiBK即为所求；

22

<2）VCA=λ∕2+2=2√2»

.∙.S=上竺£=2，.

360

【点睛】

本题考查旋转作图的知识，难度不大，注意掌握旋转作图的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度.

21、（1）50元；（2）该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.

【分析】（I）设该商品的售价是每个X元，根据利润=每个的利润X销售量，即可列出关于X的方程，解方程即可求出

结果；

（2）设该商品的售价为每个X元，利润为y元，根据利润=每个的利润X销售量即可得出y关于X的函数关系式，然

后利用二次函数的性质解答即可.

【详解】解：（1）设该商品的售价是每个X元，

根据题意，得：（x-30）［600-IO（X—40）］=10000,

解之得：X1=50,ɪ=80（不合题意，舍去）.

答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元;

(2)设该商品的售价为每个X元，利润为y元，则

y=(x-30)[600-10(x-4。)]=-IOx2+1300x-30000=-iθ(χ-65)2+12250,

.∙.当x=65时，利润》最大，最大利润是12250元.

答：该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.

【点睛】

本题是一元二次方程和二次函数的应用题，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题关

键.

22、(1)见解析；(2)√3

【分析】(1)首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD'=AE,然后再利用SAS证明BD'A^..CE'A,再利用全等

三角形的性质即可得到答案；

(2)连接。D,先证明ADD'是等边三角形。然后再证ZXABD为直角三角形，再证,BECrSAFE,最后依据

相似三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：(1)证明VAB=AC,D,E分别是AB，AC的中点，

：.AD=BD=AE=EC

由旋转的性质可知：NDAD'=Z.EAE=a,AD'=AD,AE'=AE

：.AEfAE',

：.BDg_CE'A,

：.BD'=CE'

(2)连接DZy

,o

VZZMD=60,AD=AD'

：.ADD是等边三角形

.∙.ZADiy=ZAD'D=60o,Dly=DA=DB

：.ZDBD'=ZDD'B=30o,

.∙.ZBZx4=90°,

∙.∙ND'AE'=90°,

.∙.NfiAF=30。，

：.ABAE!=ZABIy

又T乙BFIy=ZAFE,

：..BFlySLAFE

BFBD'BD'

AFAE'AD'

BD'

在RtASO'中，tanZBAD'=y∣3,

=AF

【点睛】

本题是一道综合题，考查了全等的判定与性质和相似三角形的判定与性质，能够充分调动所学知识是解题的关键.

23、2√3-l

【分析】先计算出特殊的三角函数值，按照运算顺序计算即可.

【详解】解：原式=3x@—1+2x3

32

=√3-l+√3

=2√3-l∙

【点睛】

本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值.

24、(1)该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；(2)按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完

成今