高中数学教学设计大赛教学案例设计汇编

中学数学教学案例设计汇编（下部）19、正弦定理（2） 一、教学内容分析本节内容支配在《一般中学课程标准试验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等学问之后，明显是对三角学问的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的干脆延长，因而定理本身的应用又特别广泛。依据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次老师通过引导学生对实际问题的探究，并大胆提出猜想；其次层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最终进行简洁的应用。学生通过对随意三角形中正弦定理的探究、发觉和证明，感受“视察——试验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、擅长思索的品质和勇于求真的精神。二、学情分析对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等学问，有确定视察分析、解决问题的实力，但对前后学问间的联系、理解、应用有确定难度，因此思维敏捷性受到制约。依据以上特点，老师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后学问间的联系，带领学生干脆参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、设计思想：本节课采纳探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作沟通为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发觉和证明”为基本探究内容，为学生供应充分自由表达、质疑、探究、探讨问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在学问的形成、发展过程中绽开思维，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力。四、教学目标：1．让学生从已有的几何学问动身,通过对随意三角形边角关系的探究，共同探究在随意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过视察，试验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，驾驭正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。2．通过对实际问题的探究，培育学生视察问题、提出问题、分析问题、解决问题的实力，增加学生的协作实力和沟通实力，发展学生的创新意识，培育创建性思维的实力。3．通过学生自主探究、合作沟通，亲身体验数学规律的发觉，培育学生勇于探究、擅长发觉、不畏艰辛的创新品质，增加学习的胜利心理，激发学习数学的爱好。4．培育学生合情合理探究数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发觉与证明；正弦定理的简洁应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。教学打算：制作多媒体课件，学生打算计算器，直尺，量角器。六、教学过程：（一）结合实例，激发动机 师生活动： 老师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后接着向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，假如船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？学生：思索提出测量角A，C老师：若已知测得，，要计算A、B两地距离，你（图1）有方法解决吗？ 学生：思索沟通，画一个三角形，使得为6cm，，，量得距离约为4.9cm，利用三角形相像性质可知AB约为490m。老师：对，很好，在初中，我们学过相像三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？ 师生：共同回忆解直角三角形，=1\*GB3①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。=2\*GB3②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。。 老师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？ 学生：思索，沟通，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，老师板书。解：过作于（图2）在中，（图2），在中，老师：表示对学生赞许，那么刚才解决问题的过程中，若，，能否用、、表示呢？老师：引导学生再视察刚才解题过程。学生：发觉， 老师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发觉什么？学生：发觉即然有，那么也有，。老师：引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发觉，是否随意三角形都有这种边角关系呢？设计意图：爱好是最好的老师。假如一节课有良好的开头，那就意味着胜利的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个揣测性的结论——猜想，培育学生从特殊到一般思想意识，培育学生创建性思维实力。（二）数学试验，验证猜想老师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。（学生回答它们相等）（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：，对应角的正弦值分别为，，1；（学生回答它们相等）（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：：2，对应角的正弦值分别为，，1。（学生回答它们相等）（图3）（图3） 老师：对于呢？BaACBaACcb(图4)则有，，又,则SHAPE从而在直角三角形ABC中， 老师：那么随意三角形是否有呢？学生按事先支配分组，出示试验报告单，让学生阅读试验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（假如学生没有问题，老师让学生动手计算，附试验报告单。） 学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过试验数据计算，比较、、的近似值。 老师：借助多媒体演示随着三角形随意变换，、、值仍旧保持相等。 我们猜想：==设计意图：让学生体验数学试验，激起学生的新奇心和求知欲望。学生自己进行试验，体会到数学试验的归纳和演绎推理的两个侧面。（三）证明猜想，得出定理师生活动：老师：我们虽然经验了数学试验，多媒体技术支持，对随意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探究过程对我们有没有启发？学生分组探讨，每组派一个代表总结。（以下证明过程，依据学生回答状况进行叙述） 学生：思索得出=1\*GB3①在中，成立，如前面检验。=2\*GB3②在锐角三角形中，如图5设，，作：，垂足为在中，（图5）在中，（图5）同理，在中，=3\*GB3③在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，作交的延长线于（图6） 在中，（图6） 在中， 同锐角三角形证明可知 老师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即还有其它证明方法吗？学生：思索得出，分析图形（图7），对于随意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，而由图中可以看出：，，==等式中均除以后可得，即。老师边分析边引导学生，同时板书证明过程。(图7)AB(图7)ABCDEFbac（图7）在刚才的证明过程中大家是否发觉三角形高，三角形的面积：，能否得到新面积公式学生：得到三角形面积公式 老师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个究竟有没有什么特殊几何意义呢？（图8） 学生：在前面的检验中，中，，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。（图8）证明：连续并延长交圆于，在中，即同理可证：， 老师：从刚才的证明过程中,，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他学问来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为亲密的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？学生：思索（联系作高的思想）得出： 在锐角三角形中，，作单位向量垂直于，（图9） （图9） 即 同理： 对于钝角三角形，直角三角形的状况作简洁交代。 老师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有爱好的同学回家再探究。设计意图：经验证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学学问论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。（四）利用定理，解决引例师生活动：老师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。学生：立刻得出 在中， （五）了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成学问的完整性老师：一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的学问，新的定理，解决问题更便利，更简洁，激发学生不断探究新学问的欲望。（六）运用定理，解决例题师生活动：老师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。 学生：探讨正弦定理可以解决的问题类型： =1\*GB3①假如已知三角形的随意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如； =2\*GB3②假如已知三角形随意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。师生：例1的处理，先让学生思索回答解题思路，老师板书，让学生思索主要是突出主体，老师板书的目的是规范解题步骤。 例1：在中，已知，，，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。 例2：在中，已知，，，解三角形。例2的处理，目的是让学生驾驭分类探讨的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充沟通 学生：反馈练习（教科书第5页的练习） 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热忱和动力，使学生体验到胜利的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要探讨”的主动学习。（七）尝试小结：老师：提示引导学生总结本节课的主要内容。学生：思索沟通，归纳总结。师生：让学生尝试小结，老师刚好补充，要体现：（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（3）分类探讨的数学思想。设计意图：通过学生的总结，培育学生的归纳总结实力和语言表达实力。（八）作业设计作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。思索题：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，视察解的状况并说明出现一解，两解，无解的缘由。课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜寻，了解关于正弦定理的发展及应用（相关fayz）七、设计思路：本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在老师预设的思路中，学生主动主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“视察——试验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发觉并证明定理，让学生经验了学问形成的过程，感受到创新的欢乐，激发学生学习数学的爱好。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思索问题，去发觉问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。结合实例，激发动机数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的爱好，引导启发学生利用已有的学问解决新的问题，方法一通过相像三角形相像比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发觉新学问，提出猜想，使学生在视察、试验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。2、数学试验，验证猜想通过特例检验，让学生动手试验，提高了学生试验操作、分析思索和抽象概括的能，激发学生的新奇心和求知欲望，体会到数学试验的归纳和演绎推理的两个侧面。3、证明猜想，得出定理引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的学问，培育学生解决问题的实力，增加学习的爱好，爱好，在学问的形成、发展过程中绽开思维，培育推理的意识。附一：试验报告单组长: 组员：试验目的探讨三角形中各边和它对角的正弦值的比(，，)是否相等。试验器材计算器，直尺，量角器，硬纸板（由老师统一发）试验方法画一个随意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。试验内容三边：a= b= c=三角：A= B= C=计算：= = =（精确到小数点后两位）结论：福安一中陈桢仔林旭点评：本节定理教学课，老师把重点放在定理的发觉与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只留意结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发觉“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对随意三角形成立；接着证明白这个定理。在课堂上展示了定理的发觉过程，使学生感受到创新的欢乐，激发学生学习数学的爱好，同时让学生体验了“视察—试验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经验了学问形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相像三角形学问、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、协助以三角形外接圆、向量）等，都体现了“在已有学问体系的基础上去建构新的学问体系”的理念，加强了学问间的联系，培育了学生思维的敏捷性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间安排上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要留意条件更加明确干脆，以免产生歧义，冲淡主体，奢侈时间。总之，本节课有效地采纳了探究式教学，在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作沟通为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发觉和证明”为基本探究内容，为学生供应充分自由表达、质疑、探究、探讨问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“视察——试验——猜想——证明——应用”等环节，教学过程流畅，在学问的形成、发展过程中绽开思维，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力。20、正弦定理（3）一、教学内容分析“正弦定理”是《一般中学课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的干脆延拓，也是三角函数一般学问和平面对量等学问在三角形中的详细运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要探讨正弦定理？正弦定理是怎样发觉的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而的确又是学生所关切的问题。本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧学问，使学生驾驭新的有用的学问，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发觉和创建的历程，进而培育学生提出问题、解决问题等探讨性学习的实力。二、学生学习状况分析学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础学问和平面对量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面对量已形成初步的学问框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于随意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的爱好，也为学习正弦定理供应一种亲和力与认同感。三、设计思想培育学生学会学习、学会探究是全面发展学生实力的重要前提，是中学新课程改革的主要任务。如何培育学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“学问不是被动汲取的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：学问不是通过老师传授得到的，而是学生在确定的情境中，运用已有的学习阅历，并通过与他人（在老师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，老师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。四、教学目标1、学问与技能：通过对随意三角形的边与其对角的关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法。2、过程与方法：让学生从已有的学问动身,共同探究在随意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过视察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发觉和创建的历程。3、情感看法与价值观：在同等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的沟通、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。五、教学重点与难点重点：正弦定理的发觉和推导难点：正弦定理的推导六、教学过程设计（一）设置情境利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游的码头C处，请你确定转运方案。已知船在静水中的速度，水流速度。【设计意图】培育学生的“数学起源于生活，运用于生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为探讨正弦定理做铺垫。（二）提出问题师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。待各小组将问题交给老师后，老师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：1、船应开往B处还是C处？2、船从A开到B、C分别须要多少时间？3、船从A到B、C的距离分别是多少？4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？【设计意图】通过小组沟通，供应确定的探讨学习与情感沟通的时空，培育学生合作学习的实力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的爱好；问题通过老师的筛选，确定探讨的方向，体现老师的主导作用。师：谁能帮大家讲解，应当怎样解决上述问题？大家经过探讨达成如下共识：要回答问题1，须要解决问题2，要解决问题2，须要先解决问题3和4，问题3用直角三角形学问可解，所以重点是解决问题4，问题4与问题5是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。师：请同学们依据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。生1：船从A开往B的状况如图2，依据平行四边形的性质及解直角三角形的学问，可求得船在河水中的速度大小及与的夹角：，用计算器可求得船从A开往C的状况如图3，，，易求得，还需求及，我还不知道怎样解这两个问题。师：请大家思索，这两个问题的数学实质是什么？部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培育学生的数学意识。师：请大家探讨一下，如何解决这两个问题？生3：不知道。师：图2的情形大家都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同点？生4：图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图2中是直角三角形，而图3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可干脆利用边角的关系求解。师：图3的情形能否转化成直角三角形来解呢？【设计意图】通过老师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培育学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来探讨正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。生5：能，过点D作于点G（如图4），，师：很好！实行分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有很多三角形不是直角三角形，假如每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一样干脆利用边角关系求解呢？三角形中，随意两边与其对角之间有怎样的数量关系？【设计意图】通过老师对学生的确定评价，创建一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习爱好，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和老师的共同成长。（三）解决问题1、正弦定理的引入师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发觉解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中摸索一下。师：假如一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我们先探讨特例，请同学们对直角三角形进行探讨，找寻一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组共同探讨。（1）学生以小组为单位进行探讨；老师视察学生的探讨进展状况或参与学生的探讨。（2）展示学生探讨的结果。【设计意图】老师参与学生之间的探讨，增进师生之间的思维与情感的沟通，并通过老师的指导与视察，刚好驾驭学生探讨的状况，为展示学生的探讨结论做打算；同时通过展示探讨结论，强化学生学习的动机，增进学生的胜利感及学习的信念。师：请说出你探讨的结论？生7：师：你是怎样想出来的？生7：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边。师：有没有其它的探讨结论？（依据实际状况，引导学生进行分析推断结论正确与否，或留课后进一步深化探讨。）师：对一般三角形是否成立呢？众学生：不确定，可以先用详细例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想方法进行严格的证明。师：这是个好办法。那么对等边三角形是否成立呢？生9：成立。师：对随意三角形是否成立，现在让我们借助于《几何画板》做一个数学试验，……【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思索”——“提出问题”——“探讨特例”——“归纳猜想”——“试验探究”——“理论探究”——“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的实力。2、正弦定理的探究（1）试验探究正弦定理师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生视察三角形形态的变更与三个比值的变更状况。结论：对于随意三角形都成立。【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的相识从感性逐步上升到理性。师：利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一样。生10：（通过计算）与生5的结果相同。师：假如上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。”的问题就简洁多了。【设计意图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简洁应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。（2）点明课题：正弦定理（3）正弦定理的理论探究师：既然是定理，则须要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。探究方案：直角三角形——已验证；锐角三角形——课堂探究；钝角三角形——课后证明。【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证明思路？生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与生5的方法一样，如图5作BC边上的高AD，则，所以，同理可得师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件动身，构造等量关系从而达到证明的目的。留意：表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法！【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经探讨后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形外接圆直径不变。在老师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是的三条高。则有，，。证法三：如图7，设是外接圆的直径，则，同理可证：【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式及一并牵出，使学问的产生自然合理。师：前面我们学习了平面对量，能否运用向量的方法证明呢？师：随意中，三个向量、、间有什么关系？生12：师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由转化成数量关系？生13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。师：在两边同乘以向量,有,这里的向量可否随意？又如何选择向量?生14：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量与三个向量中的一个向量（如向量）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。师：还是先探讨锐角三角形的情形，按以上思路，请大家详细试一下，看还有什么问题？老师参与学生的小组探讨，同时引导学生留意两个向量的夹角，最终让学生通过小组代表作完成了如下证明。证法四：如图8，设非零向量与向量垂直。因为，所以即所以，同理可得师：能否简化证法四的过程？（留有确定的时间给学生思索）师：有什么几何意义？生15：把移项可得，由向量数量积的几何意义可知与在方向上的投影相等。生16：我还有一种证法师：请你到讲台来给大家讲一讲。（学生16上台板书自己的证明方法。）证法五：如图9，作，则与在方向上的投影相等,即故，同理可得师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明白正弦定理，方法特别简捷明白！【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不简洁立刻想出来，老师通过设计一些递进式的问题赐予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。（四）小结师：本节课我们是从实际问题动身，通过猜想、试验，归纳等思维方法，最终发觉了正弦定理，并从不同的角度证明白它。本节课，我们探讨问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学试验。我们不仅收获着结论，而且整个探究过程我们也驾驭了探讨问题的一般方法。（五）作业1、回顾本节课的整个探讨过程，体会学问的发生过程；2、思索：证法五与证法一有何联系？3、思索：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。【设计意图】为保证学生有足够的时间来完成视察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简洁，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的打算。七、教学反思为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为学问的“发觉者”和“创建者”，使教学过程成为学生主动获得学问、发展实力、体验数学的过程。我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，并依据上述精神，结合教学内容，详细做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于《一般中学课程标准数学教科书·数学（必修4）》（人教版）其次章习题B组其次题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题）；②启发、引导学生提出自己关切的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时须要运用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探究解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题须要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟识的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后运用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。总之，整个过程让学生通过自主探究、合作沟通，亲身经验了“情境思索”——“提出问题”——“探讨特例”——“归纳猜想”——“试验探究”——“理论探究”——“解决问题”——“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发觉者”和“创建者”，切身感受了创建的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。大田一中陈永民点评：本节课是典型合作探究课，老师先设计一个实际问题引导学生探讨问题解决方案，将方案数学化，归纳出一类数学问题“在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边”，顺当地引入新课，实现了从“现象”到“本质”的飞跃，培育了学生提出问题、分析问题、数学建模的实力。为寻求解决问题的普遍方法，对三角形的边角关系进行探究，在特殊状况（直角三角形）下得到正弦定理，又在等边三角形和一般三角形中验证，坚决了结论成立的猜想，最终通过严格证明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理问题迎仞而解。从而使学生亲身经验了“情境思索”—“提出问题”—“探讨特例”—“归纳猜想”—“试验探究”—“理论探究”—“解决问题”—“反思总结”的历程，学会探讨数学问题的方法，学生成为正弦定理的“发觉者”和“创建者”，切身感受了创建的苦和乐。在对详细的一般三角形验证成立的过程中，利用《几何画板》软件，不断变换三角形，视察上式成立，提高了效率，现代教化技术的运用恰到好处。21、余弦定理一、教学内容分析人教版《一般中学课程标准试验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元其次课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。二、学生学习状况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本学问和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的相识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有确定的学习基础和学习爱好。总体上学生应用数学学问的意识不强，创建力较弱，看待与分析问题不深化，学问的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有确定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生酷爱数学的思想感情；从详细问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去谛视，解决问题是学生学习的一大难点。三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探究，合作沟通，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发觉和创建的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思索，作出推断；同时要求老师从学问的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维实力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学学问的潜能。四、教学目标接着探究三角形的边长与角度间的详细量化关系、驾驭余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学学问的联系性，理解事物间的普遍联系性。五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发觉过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。六、教学过程：教学环节合作探究活动学情分析与设计意图学问回顾1、一般三角形全等的四种推断方法是什么？2、三角形的正弦定理内容，主要解决哪几类问题的三角形？回顾旧知，防止遗忘创设引入你能推断下列三角形的类型吗？1、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c边长吗？引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计推断。学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角度看待问题，用实践进行检验。提出问题你能够有更好的详细的量化方法吗？帮助学生从平面几何、三角函数、向量学问、坐标法等方面进行分析探讨，选择简洁的处理工具，引发学生的主动探讨。引导学生从相关学问入手，选择简洁的工具。合作探究ABABC如图：设，由三角形法则有同理，让学生利用相同方法推导，学生对向量学问可能遗忘，留意复习；在利用数量积时，角度可能出现错误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发觉问题，巩固向量学问，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知。归纳概括余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。学问归纳比较，发觉特征，加强识记结构分析视察余弦定理，指明白三边长与其中一角的详细关系，并发觉a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发觉三边长的平方在余弦定理中同时出现使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”问题学问联系余弦定理的推论：解决“边、边、边”问题方法应用怎样精确地解答引入中的两个问题？怎样利用已知条件推断三角形的形态？用精确的量化关系去解决问题，用边长去推断三角形形态，勾股定理是余弦定理特例。学问应用例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，求解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精确到1′）应用数学学问求解问题加强计算器的运算功能，同时，巩固好正弦定理，余弦定理学问，发觉两种学问方法在解三角形中的综合应用。学问深化例3：已知△ABC中求c边长分析：（1）用正弦定理分析引导（2）应用余弦定理构造关于C的方程求解。（3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。接着深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解问题优越于余弦定理。并让学生初步发觉“边、边、角”问题解法，为下节学习辅垫。练习检测1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他望见第一辆车与其次辆车的俯角差等于他望见其次辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与其次辆车的距离与其次辆车的距离之间关系为（）A：>B：=C：<D：大小不确定2、锐角△ABC中b＝1，c＝2，则a取值为（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在△ABC中若有，你能推断这个三角形的形态吗？若呢？用练习去巩固所学学问，使学生逐步形成良好的学问结构，加强数学学问应用实力的培育。课堂小结1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？2、从本课中你学到了哪些学问和方法？通过学问回顾，使学生各自体会收获。板书设计1、推导余弦定理及其推论2、例3、例43、练习指导4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解学问作业设计1、探讨余弦定理的其它解法设计思路。2、第11页A组3、4题巩固学问多角度看待问题七、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后学问的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧学问渐渐地融为一体，构建比较完整的学问系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面对量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后学问的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，相识数学与实际的联系，学会应用数学学问和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创建力不足、看待问题不深化，很大缘由在于学生的学问系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思索分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧学问与新学问进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好学问结构。福建漳平市第一中学李永彬点评：本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面对量、正弦定理的基础上而设置的教学内容，因此本课的教学有较多的处理方法。李老师从解三角形的问题动身，提出解题须要，引发认知冲突，激起学生的求知欲望，调动了学生的学习主动性；在定理证明的教学中，引导学生从平面几何、三角函数、向量学问、坐标法等方面进行分析探讨，留意分析思路，揭示蕴含在证明中的数学思想，最终引导学生用向量学问推导出公式，在给出余弦定理的三个等式和三个推论之后，又对学问进行了归纳比较，发觉特征，便于学生识记，同时也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了学生的思维层次。命题的应用是命题教学的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。所以，例题的精选、讲解是至关重要的。设计中的例1、例2是常规题，让学生应用数学学问求解问题，巩固正弦定理、余弦定理学问。例3是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通过比较分析，突出了正、余弦定理的联系，深化了对两个定理的理解，培育了解决问题的实力。但李老师在对例3解法的总结时，指出“能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。”这结论有点片面。本课在继承了传统数学教学模式优点，结合新课程的要求进行改进和发展，以发展学生的数学思维实力为主线，发挥老师的设计者，组织者作用，在使学生驾驭学问的同时，帮助学生摸索自己的学习方法。22、等差数列一、教学内容分析本节课是《一般中学课程标准试验教科书·数学5》（人教版）其次章数列其次节等差数列第一课时。数列是中学数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不行分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好打算。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的学问进一步深化和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列供应了“联想”、“类比”的思想方法。二、学生学习状况分析我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生学问阅历已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维实力和演绎推理实力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的爱好还不是很浓，所以我在授课时留意从详细的生活实例动身，留意引导、启发、探讨和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维实力的进一步发展。三、设计思想1．教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对学问进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和主动性，发挥其创建性。⑵分组探讨法：有利于学生进行沟通，刚好发觉问题，解决问题，调动学生的主动性。⑶讲练结合法：可以刚好巩固所学内容，抓住重点，突破难点。2．学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种实力的同学引导相识多元的推导思维方法。用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探究，同时激励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和须要解决的问题弄清。四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并驾驭等差数列的概念，能用定义推断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中敏捷应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培育学生视察、分析、归纳、推理的实力，在领悟函数与数列关系的前提下，把探讨函数的方法迁移来探讨数列，培育学生的学问、方法迁移实力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的实力。在解决问题的过程中培育学生主动探究、勇于发觉的求知精神；使学生相识事物的变更形态，养成细心视察、细致分析、擅长总结的良好思维习惯。并通过确定的实例激发同学们的民族骄傲感和爱国热忱。五、教学重点与难点重点：①等差数列的概念。②等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。②理解等差数列是一种函数模型。关键：等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。六、教学过程教学环节情境设计和学习任务学生活动设计意图创设情景上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教化贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都须要用到有关数列的学问来解决。今日我们就先学习一类特殊的数列。倾听课堂引入探究探讨由学生视察分析并得出答案：在现实生活中，我们常常这样数数，从0起先，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___,___,___,___,…2000年，在澳大利亚悉尼实行的奥运会上，女子举重被正式列为竞赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。假如一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从起先放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。依据单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%。那么依据单利，5年内各年末的本利和分别是：时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10072，10144，10216，10288，10360。视察分析，发表各自的看法引向课题发觉规律思索：同学们视察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③10072，10144，10216，10288，10360④看这些数列有什么共同特点呢？视察分析并得出答案:引导学生视察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。通过分析，激发学生学习的探究学问的爱好，引导揭示数列的共性特点。总结提高[等差数列的概念]对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们依据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。学生细致阅读课本相关概念，找出关键字。通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括实力，学会抓重点。提问：假如在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满意什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A所以就有让学生参与到学问的形成过程中，获得数学学习的成就感。由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q则深化探究，得到更一般化的结论引领学习更深化的探究，提高学生的学习水平。总结提高[等差数列的通项公式]对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。⑴、我们是通过探讨数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们依据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式：①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是②这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是③这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是④这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是学会发觉规律，并加以总结。⑵、那么，假如随意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？引导学生依据等差数列的定义进行归纳：所以……引导学生进行理性分析与推导，从而得出公式。总结提高思索：那么通项公式究竟如何表达呢？……进一步的分析。得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。思索，并发表各自的看法。让学生有自主思索的时空。应用巩固例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？假如是，是第几项？让两个学生分别对这两小题加以分析。让学生参与课堂。分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还须要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要推断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满意该数列的通项公式，并且须要留意的是，项数是否有意义。解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来推断所给的数是不是数列中的项，当推断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，假如不是正整数，那么它就不是数列中的项。倾听老师点评通过老师点评，提高学生对关键问题的认知水平。随堂练习：课本45页“练习”第1题；完成练习讲练结合，有利提高学生的学问应用水平例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。假如某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？解：依据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时须要支付车费答：须要支付车费23.2元。学以致用，将所学学问应用到详细生活中去，加深对概念的理解。例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简洁应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的学问解决实际问题。倾听老师点评通过老师点评，提高学生对关键问题的认知水平。随堂练习：课本45页“练习”第2题；完成练习讲练结合，有利提高学生的学问应用水平例3已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列确定是等差数列吗？分析思索，然后分组探讨，让两组学生代表发表自己的见解。培育学生分析问题的实力，在小组探讨中提高组长的组织与归纳组内成员想法的实力。分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数。解：取数列中的随意相邻两项（n＞1），求差得它是一个与n无关的数.所以是等差数列。课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项公差。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，确定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.例题评述：通过这个例题我们知道推断一个数列是否是等差数列的方法：假如一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。对所得结论进行更深化一步的探究，激发学生的学习爱好。探究探讨引导学生动手画图探讨完成以下探究：⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发觉了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是匀称分布的一群孤立点；⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发觉数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。学生动手画图，并进行学习小组探讨，发表见解。通过学生动手作图，并加以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。课堂小结本节主要内容为：①等差数列定义：即(n≥2)②等差数列通项公式：(n≥1)推导出公式：以学习小组为单位，在学习小组中，各自归纳自己对这堂课的收获，后由小组代表总结归纳。学生自己小结，使学生对自己所学学问有更深刻的相识。评价设计1、已知是等差数列.⑴是否成立？呢？为什么？⑵是否成立？据此你能得出什么结论？是否成立？据此你又能得出什么结论？2、已知等差数列的公差为d.求证：作业是课堂的持续，除了检验学生对本节课学问的理解程度，还在于引导学生对本课学问的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思索。七、教学反思本节课通过生活中一系列的实例让学生视察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培育了学生视察、分析、归纳、推理的实力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的相识过程，也使本节课的三维目标真正落到实处。福州金桥高级中学林岳水点评：本设计从生活中的数列模型，如举重级别、水库水位、储蓄的本息计算等问题引入，进而提出有待探究的问题，这有助于发挥学生学习的主动性。在探究的过程中，学生通过分析、视察，逐步抽象概括得出等差数列定义，强化了由详细到抽象，由特殊到一般的思维过程。本课各环节的设计环环相扣、简洁明白、重点突出，引导分析细致、到位、适度。如：推断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材；又如：把通项公式与一次函数发生联系，利用函数这一“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函数思想；还有让学生经验列表、画图象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的联系；此外，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等。学生在经验过程中，加深了对概念的理解和巩固。本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发觉式”的转变，以老师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充绽开教学，总结科学合理的学问体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所提倡的“培育学生主动主动，勇于探究的学习方式”。值得商讨的问题，在等差数列中，对于随意正整数，若则这一性质的在第一课时提出是否不合时宜，并且只是这样蜻蜒点水是否忽视了其重要性。23、等差数列的前n项和一、教学内容分析本节课教学内容是《一般中学课程标准试验教科书·数学（5）》（人教A版）中其次章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要探讨如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中常常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列探讨的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步驾驭从特殊到一般的探讨问题方法．二、学生学习状况分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学供应了基础；同时学生已有了函数学问，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有确定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．三、设计思想建构主义学习理论认为，学习是学生主动主动地建构学问的过程，因此，应当让学生在详细的问题情境中经验学问的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的学问与阅历，自主地在老师的引导下促进对新学问的建构．在教学过程中，依据教学内容，从介绍高斯的算法起先，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简洁到困难，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生绽开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思索、学会学习．同时依据我校的特点，为了促进成果优秀学生的发展，还设计了选做题和探究题，进一步培育优秀生用函数观点分析、解决问题的实力，达到了分层教学的目的．四、教学目标1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；驾驭并能娴熟运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的探讨方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培育学生视察、归纳、反思的实力；通过小组探讨学习，培育学生合作沟通、独立思索等良好的特性品质．五、教学重点和难点本节教学重点是探究并驾驭等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．六、教学过程设计（一）创设情景，唤起学生学问阅历的感悟和体验世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传闻陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？体展示三角形图案）[设计意图]情境学习理论认为：数学学习总是与确定的学问背景，即“情境”相联系．从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新学问的爱好，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．[学问链接]高斯，德国闻名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法快速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生供应充裕的时间和空间，让学生自己去视察、探究发觉这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟识的，知道采纳首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的相识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题．（二）由易到难，在自主探究与合作中学习问题1图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？该题组织学生分组探讨，在合作中学习，并把小组发觉的方法一一呈现．[学情预设]学生可能出现以下求法方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26以上方法事实上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，老师应进行充分确定与表扬．[设计意图]这是求奇数个项和的问题，若简洁地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．问题2：求图案中从第1层到第n层（1＜n＜100，n∈N*）共有多少颗宝石？[学情预设]学生通过激烈的探讨后，发觉n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的状况分别求解，老师如何引导学生避开探讨成为该环节的关键．[设计意图]从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领悟从特殊到一般的探讨方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进．启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．[设计意图]借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现供应了一个干脆的模型．通过以上启发学生再自主探究，信任简洁得出解法：∵1+2+3+…（n－1）+nn+（n－1）+（n－2）+…+2+1____________________________________________________________________(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)∴1+2+3+…+n=问题3：在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？由前面的大量铺垫，学生应简洁得出如下过程：∵Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n－1)d]Sn=an+(an－d)+（an－2d）+…+[an－(n－1)d]∴(公式1)组织学生探讨：在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式?即：（公式2）（三）设置典例，促进学生对公式的应用对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．老师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，依据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．例1为了参与冬季运动会的5000m长跑竞赛，某同学给自己制定了7天的训练支配（单位：m）如下表：5000550060006500700075008000问这个同学7天一共将跑多长的距离？[设计意图]该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以熬炼学生处理数据信息的实力和选用公式的实力。学生可以从首项、末项、项数动身，选用公式1；也可以从首项、公差、项数动身，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时留意选择适当的公式，以便于计算．例2已知等差数列5，4，3，…求(1)数列｛an｝的通项公式；(2)数列｛an｝的前几项和为？(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。[设计意图]通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，假如已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．[学问链接]（1）由若令可知当时，点是在常数项为0的二次函数图象上，可由二次函数的学问解决的最值问题；（2）若数列的前n项和（），则数列确定是等差数列；（3）由，可知，点在直线上；（4）在等差数列中，当时，最大，当时，最小。（四）反馈调控，实现学生对学问的驾驭练习1已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.练习2等差数列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，n=8，求公差d及前n项和Sn.选做题已知函数f（x）=，则f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值为[设计意图]分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得胜利的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教化理念．（五）回顾反思，深化学问组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间相互补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．1.从特殊到一般的探讨方法；2.体会倒序相加的算法，驾驭等差数列的两个求和公式，领悟方程（组）思想；3.前n项和公式的函数意义4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；[学问链接]（六）布置作业1.课本P52习题2．3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题2.探究题（1）数列{}的前n项和=+++…+，求；（2）若公差为d(d≠0）的等差数列{}中，=+++…+，你能否由题（1）的启发，得到的表达式？七、教学反思“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类探讨、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采纳了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过老师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．德化第一中学陈丽真点评本节课以故事引课，增加学生的新奇心，激发学生的学习欲望和热忱。以问题为纽带，通过三个问题组织学生探讨，由特殊（自然数的前51项和）到一般（自然数的前几项和），再到一类（等差数列前几项和），按部就班。通过类比Causs配对求和方法，借助几何直观，启发学生独立思索，探讨沟通，对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维角度驾驭了等差数列的前几项和公式，从中深刻领悟推导过程所蕴涵的逻辑推理方法和数学思维方法，培育了学生思维的深刻性、尖锐性和批判性。通过精选例题，分层次练习，使学生既巩固了学问又形成了技能。在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培育学生自主学习、合作学习的学习习惯，也培育了学生勇于探究、不断创新的思维品质。必需指出的是，在用Causs配对法得到前几项和公式后，如能对此方法做更深化分析，指出其实质是等差数列的重要性质——等距性（即∈N,m+n=k+l,则am+an=a+a）的应用，在作业中的探究题中如能加上：数列{an}是等差数列，求sn=a1a2+a2a3+…+anan+1则可得到一类问题（由等差连续项或连续项倒数）组成的数列求和问题的解决，深化学生对相关问题的理解。24、等比数列的前n项和一、教学内容分析本节课选自《一般中学课程标准数学教科书·数学（5）》（人教版）其次章第5节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类探讨、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。二、学生学习状况分析从学生的思维特点看，很简洁把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是主动因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊状况，学生往往简洁忽视，尤其是在后面运用的过程中简洁出错。教学对象是刚进入中学的学生，虽然具有确定的分析问题和解决问题的实力，逻辑思维实力也初步形成，但由于年龄的缘由，思维尽管活跃、灵敏，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。三、设计思想《新课程改革纲要》提出，要“变更课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，提倡学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培育学生搜集和处理信息实力、获得新学问的实力、分析和解决问题的实力以及沟通合作的实力”。对这一目标本人认为更加留意培育学生作为学习主体的能动性、独立性、创建性、发展性。心理学家探讨发觉，9~22岁的学生正处于创新思维的培育期，中学生正好处于这一关键年龄段，作为数学老师应因势力导，培育学生的创新思维实力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生沟通的过程中，体现对弱势学生更多的关切。四、教学目标理解并驾驭等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点