专题4.2 应用导数研究函数的单调性 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）教师版

专题4.2应用导数研究函数的单调性练基础练基础1．（浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．2．（2020·重庆市第七中学校高三期中）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出的减区间，只需，，解不等式求出a的范围.【详解】解：，当，即时，有，即在上函数是减函数，从而，，即且，解得．所以实数a的取值范围是．故选：A.3．（2021·广东高三其他模拟）已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意画出函数大致图象，然后根据图象得出，再用表示出，根据所得关于的函数单调性可得结果．【详解】函数大致图象如下：则由图可得，而，故．，令，，．则在，上为单调增函数．，．故选：D4．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为．由于在区间上单调递增，则，所以，解得.因此，实数的取值范围是．故选：A.5．（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.【详解】解：∵，∴，∴函数关于对称，又，∵，∴，∴恒成立，则是增函数，∵，∴，∴，得，故选：A.6．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）如图是函数的部分图像，则的解析式可能是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由函数为偶函数，得到必为奇函数，排除B选项；根据时，，可排除D选项，对于A、C项，得出函数的解析式，结合三角函数的性质和导数，逐项判定，即可求解.【详解】由函数的图像关于轴对称，所以函数为偶函数，又由为奇函数，则函数必为奇函数，排除B选项；当时，，可得，排除D选项.对于A中，函数为偶函数，且当时，，当或时，可得，又由，当时，，所以函数在轴右侧先单调递增，且，所以函数在附近存在单调递减区间，选项A符合；对于C中，函数为偶函数，当时，，当或时，可得，又由，当时，，所以函数在轴右侧先单调递增，且，所以函数在附近存在单调递减区间，选项C符合.故选：AC.7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列结论正确的有（）

A． B．C． D．函数在上是减函数【答案】BC【解析】求出函数的导数，根据在与处取得极值以及函数的单调区间，结合韦达定理求出，，之间的关系，判断其符号，进而可得到结论．【详解】因为，所以，由图知的增区间是，，减区间是，所以的解集为，的解集为，所以，A错误；因为在与处取得极值，则，是方程的根，由韦达定理可知，B正确；由图可知，由韦达定理可知，故，故，C正确；因为的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，所以在上递减，在上递增，D错误，故选：BC．8．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】先解出.再由是的充分不必要条件即可得出答案.【详解】在上单调递增在上恒成立.即在上恒成立，所以：.又是的充分不必要条件，即.故答案为：.9.(2019年高考北京理)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.10．（2020·四川省内江市第六中学高三月考）已知，函数．（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求a，b的值；（2）设，若在上为增函数，求a的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）求出的导数，由题可得，，列出式子即可求出；（2）可得，求出导数，可得对任意，有恒成立，由此可求出a的取值范围.【详解】（1），，依题意有，且，可得，解得,或.（2）在上是增函数.可得，依题意有,对任意，有恒成立.由，则，可得.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数，，满足且，若，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先根据题中的条件得到，从而得到；再根据时得到，结合函数的单调性得到，从而得到.【详解】由得，————①由得，————②两式相加得，因为，，所以，又因为，所以；因为，，所以，即，所以；令，则，当时，，所以在内单调递增，即，所以，即，又令，则，当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.所以.故选：D.2.【多选题】（2021·山东济南市·高三其他模拟）数列{an}满足a1＝1，an＝an+1+ln（1+an+1）（），则（）A．存在n使an0 B．任意n使an0C．anan+1 D．anan+1【答案】BD【解析】构造函数，研究其单调性，然后根据单调性判断每一个选项.【详解】解：设f(x)＝x+ln（1+x），其定义域为（﹣1，+∞），则f′(x)＝1+＝在（﹣1，+∞）上大于0恒成立，故f(x)在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（0）＝0，若an0，则an+1+ln（1+an+1）0，即f（an+1）0，即f（an+1）f（0），则由f(x)的单调性可得an+10，即an0可得an+10，又由a1＝10可得：任意，使an0，故A错，B对，又由an﹣an+1＝ln（1+an+1）且an+10，故ln（1+an+1）0，∴an﹣an+10⇒anan+1，故C错，D对，故选：BD．3．（2021·辽宁高三其他模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________________【答案】【解析】先对函数进行求导，由导数在上恒成立即可求出实数的取值范围.【详解】，由题意知在上恒成立且不恒为0，显然时，恒成立，所以只需在上恒成立且不恒为0，即在上恒成立且不恒为0，所以只需当时，又当时，有，所以，即有最大值，所以，即.故答案为：.4．（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【答案】【解析】先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.【详解】由知，,时，是增函数，，又，∴在上恒成立，而，．故答案为：．5．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】根据函数奇偶性的定义，得到为奇函数，再根据导数求得函数为上单调递减函数，把不等式，转化为，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且满足，即，所以函数为奇函数，又由，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以函数为上单调递减函数，又因为，即，即，所以，即，解得，即不等式的解集为.故答案为：.6．（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考）已知函数，，，且对于任意实数x，恒有.（1）求函数的解析式；（2）已知函数在区间上单调，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由偶函数定义待定系数b即可；（2）函数在区间上单调转化为“在上恒成立”和“在上恒成立”两个问题分别求解.【详解】（1）由题设得：，，则，对于任意实数x都成立，，.（2），.要使在上单调，只需在上恒成立，或在上恒成立．则在上恒成立，或在上恒成立．即在上恒成立，或在上恒成立.设，则.要使在上恒成立，则，要使在上恒成立，则.或.7．（2021·全国高三专题练习（理））设函数.（Ⅰ）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（Ⅱ）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设切点为，求出切线方程并计算与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.（Ⅱ）由题设可得，利用参变分离可得的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时，，，设图象上任意一点，切线斜率为.过点的切线方程为.令，解得；令，解得.切线与坐标轴围成的三角形面积为.所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.（Ⅱ）由题意，函数的定义域为.因为在上单调递减，所以在上恒成立，即当，恒成立，所以因为当，，当且仅当时取等号.所以当时，所以.所以的取值范围为.8．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知函数.（1）求的最大值；（2）若，分析在上的单调性.【答案】（1）最大值为；（2）在上单调递减.【解析】(1)求导后，判断单调性进而求出最大值即可；(2)由题意可知，求导后表达式比较复杂，故因式分解后构造新的函数，通过二次求导来判断的正负号，进而判断出在上的单调性.【详解】(1)由条件知，令，得，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为.(2)由已知得，所以，当时，.令，则，当时，，所以，所以在上单调递减，所以，所以，从而，所以在上单调递减.9．（2021·全国高三专题练习）已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数对都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求出函数导数，分,讨论，当时，根据两根关系讨论，即可求出函数的单调区间；（2）不妨令，由恒成立可得在上为减函数，利用导数恒成立求解即可.【详解】（1）依题意有定义域为，当时，，，∴当时，为增函数，当时，，为减函数；当时，令，得，（i）当，，即当时，，则时，在，上均为增函数；在上为减函数；（ii）当，，即时，，上为增函数；(iii)当，，即时，则时，在，上均为增函数；在上为减函数.综上：当时，增区间为，，减区间为；当时，增区间为；当时，增区间为和，减区间为；当时，增区间为，减区间为.（2）不妨令，则，即，令，则在上为减函数.即对恒成立.令，当时，所以当时，∴故的取值范围为.10．（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高三月考（文））已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得到，求导，分别求得，写出切线方程；（2）设，易知在上单调递减，则，然后分，，讨论求解.【详解】（1）当时，，则，所以，所以，所求切线方程为，即.（2）设，则，所以在上单调递减，从而，即.（i）当时，，则，则，若在上单调递增，则对于任意的恒成立，即.因为，所以当时，，所以，又，此时的取值范围为（ii）当时，，则，则，若在上单调递增，则对于任意的恒成立，即.因为，所以当时，，所以，此时的取值范围为.（iii）当时，则存在唯一的，使得.当时，，即存在且，使得，从而，即，这与“在上为增函数”矛盾，此时不合题意.综上，实数的取值范围练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.2.（2018·全国高考真题（文））函数y=-x4A．B．C．D．【答案】D【解析】函数过定点0,2，排除A,B，求得函数的导数f'x由f'x>0得得x<-22或0<x<23．（2017·江苏高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________。【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．4．（2020·全国高考真题（文））已知函数．（1）讨论的单调性；【答案】（1）详见解析；(2).【解析】（1）由题，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增.5.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】（1）．令，得x=0或.若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=