自动控制原理第二章胡寿松

第二章控制系统的数学模型2021/10/10星期日1整理版课件本章主要内容：2-1拉普拉斯变换2-2控制系统的时域数学模型2-3控制系统的复域数学模型2-4控制系统结构图和信号流图2-5控制系统的传递函数2021/10/10星期日2整理版课件2—1拉普拉斯变换拉普拉斯（laplace）变换简称为拉氏变换，是一种用来简化常系数微分方程求解过程的运算方法。一、定义若将实变量t的函数f(t)，其中s=σ+jω，s是一个复变量，在0到∞之间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换，可用符号L[f(t)]表示。常称F(s)为f(t)的变换函数或象函数，而f(t)为F(s)的原函数。2021/10/10星期日3整理版课件例1、求单位阶跃函数的拉氏变换解：二、拉氏变换定理（1）线性定理。两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即：函数放大倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的倍，即：2021/10/10星期日4整理版课件（2）微分性质若:当：2021/10/10星期日5整理版课件（2）积分性质若:当初始条件为0，则有：2021/10/10星期日6整理版课件（4）位移定理若:（5）初值定理若:（6）终值定理若:2021/10/10星期日7整理版课件例2、求下列函数的拉氏变换。

（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2021/10/10星期日8整理版课件二、拉氏反变换2021/10/10星期日9整理版课件的形式，则和为F(S)的零点和极点。式子可以写成：2021/10/10星期日10整理版课件1、只包含互异极点的反变换。式中，为常数，2021/10/10星期日11整理版课件2021/10/10星期日12整理版课件2、包含重极点时的反变换。展开部分分式：2021/10/10星期日13整理版课件2021/10/10星期日14整理版课件2021/10/10星期日15整理版课件2021/10/10星期日16整理版课件2021/10/10星期日17整理版课件引言定义：描述控制系统输入和输出之间关系的数学表达式即为数学模型。用途：

1）分析控制系统2）设计控制系统2-2控制系统的时域数学模型

为什么要建立数学模型？对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。2021/10/10星期日18整理版课件■表达形式：线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图、信号流图频域：频率特性2021/10/10星期日19整理版课件分析法分析法是对组成系统各环节的运动机理进行分析，根据各环节所遵循的物理学定律、化学定律等来列写系统的微分方程。例如机械系统的牛顿定律、电气系统的基尔霍夫定律和热力学系统中的热力学定律等。

实验法实验法是根据实际系统的输入输出数据，用适当的数学模型去拟合这些数据，这种方法称为系统辨识。

建立控制系统数学模型的方法：2021/10/10星期日20整理版课件一、系统微分方程的建立步骤：1、确定系统的输入量与输出量2、为建立入—出的关系，寻找中间变量3、总变量数目为n,则需列写n-1个独立方程（根据物理规律列写）4、从n-1个独立方程中消去各中间变量，从而建立入-出的关系。2021/10/10星期日21整理版课件例1电学系统其中：电阻为R，电感为L，电容为C。解：系统的微分方程：+-)(tur)(tucRLCi+-1、确立入-出，入-Ur(t),出—Uc(t)；2、中间变量i(t)3、n=3，需列写n-1=2个独立方程4、消去中间变量i(t),整理后得：—线性定常二阶微分方程式2021/10/10星期日22整理版课件kF(t)mfy(t)例2、设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。解：1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)；2、根据牛顿定律，∑F=ma；2021/10/10星期日23整理版课件移项后，可得到：—线性定常二阶微分方程式对照比较：相似系统相似量：2021/10/10星期日24整理版课件二、线性系统的特性线性系统是由线性元件组成的系统，该系统的运动方程式可由线性微分方程描述，即：1、齐次性2、叠加性2021/10/10星期日25整理版课件三、线性定常微分方程的解例3、在例1中，若已知L＝1H，C＝IF，R＝lΩ，且电容上初始电压uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。解在例1中得网络微分方程为2021/10/10星期日26整理版课件对网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零状态响应；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应，它们统称为网络的单位阶跃响应。2021/10/10星期日27整理版课件用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。2021/10/10星期日28整理版课件四、非线性微分方程的线性化y=f(x)y0x0xy小偏差线性化示意图例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，则在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：2021/10/10星期日29整理版课件如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。2021/10/10星期日30整理版课件在处理线性化问题时，需要注意以下几点：

1.上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。

2.在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。

3.如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单值关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究。

4.线性化后的微分方程通常是增量方程，在实用上为了简便通常直接采用y和x来表示增量。2021/10/10星期日31整理版课件2-3控制系统的复域数学模型一、传递函数的定义和性质线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程为在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得：2021/10/10星期日32整理版课件根据传递函数的定义，该线性定常系统的传递函数为传递函数的性质：1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。2.传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即m≤n。且系数均为实数。3.传递函数与微分方程有相通性。4.传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。2021/10/10星期日33整理版课件例3、求网络的传递函数。解：引进中间变量：列写四个独立方程：2021/10/10星期日34整理版课件消去中间变量，可得：二、传递函数的零点和极点2021/10/10星期日35整理版课件二、典型环节的传递函数一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。1、比例环节式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数（或增）。比例环节的传递函数为：比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化，下图给出比例环节的实例。2021/10/10星期日36整理版课件结构图：KAi0R0R1i1uruc+-2021/10/10星期日37整理版课件2.惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为结构图：K/Ts+12021/10/10星期日38整理版课件RCuruc2021/10/10星期日39整理版课件3.积分环节积分环节的微分方程是而T称为积分时间常数。1/Ts2021/10/10星期日40整理版课件4.微分环节理想微分环节的微分方程为式中为微分时间常数。τsCARuruc+-2021/10/10星期日41整理版课件CARuruc+-RCuruc2021/10/10星期日42整理版课件5.振荡环节振荡环节的微分方程是式中T为时间常数，为阻尼比，对振荡环节有0≤<1当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏变换求得环节的输出响应，如右图所示c(t)10t2021/10/10星期日43整理版课件6.滞后环节当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间后，才能复现输入信号，在时间0到的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节。滞后环节的数学表达式为:)()()()()(==-=-sesRsCsGtrtctt传递函数为r(t)1t0tc(t)10

2021/10/10星期日44整理版课件上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：⑴系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型。⑵同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它却是一个积分环节。⑶在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。⑷典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。2021/10/10星期日45整理版课件

控制系统的结构图是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量所进行的数学运算和输入、输出之间的因果关系。采用结构图，不仅能方便地求取复杂系统的传递函数，而且能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。2-3控制系统的结构图与信号流图2021/10/10星期日46整理版课件一、结构图的基本组成1.信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。3.比较点：表示两个或多个信号在此代数相加。其中“+”号表示相加，“-”表示相减。2.信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。2021/10/10星期日47整理版课件4、方框（环节）：表示对信号进行数学变换。框内写入传递函数，方框的输出等于方框的输入与传递函数的乘积。G(s)二、结构图的绘制1、首先写出各个环节的传递函数；2、绘制各个环节的结构图；3、按照信号传递的方向把各个方框依次连接起来。2021/10/10星期日48整理版课件例1、绘制网络的结构图CR1R2解：引进中间变量：列写四个独立方程：1/R1Ur(s)Uc(s)I1(s)_I2(s)R1CsI1(s)I2(s)I1(s)I(s)R2I(s)Uc(s)2021/10/10星期日49整理版课件根据信号传递的方向，用信号线将各个方框依次连接起来：1/R1Ur(s)Uc(s)I1(s)_R1CsI2(s)I1(s)I(s)R2Uc(s)2021/10/10星期日50整理版课件例2、在如图滤波电路中，输入电压为ur，输出电压为uc，试画出其结构图。

urR1R2ucC2C1i1i22021/10/10星期日51整理版课件1/R1Ur(s)Uc1(s)I1(s)_1/c1s_I2(s)I1(s)Uc1(s)1/R2Uc1(s)Uc(s)I2(s)1/c2sI2(s)Uc(s)1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---2021/10/10星期日52整理版课件三、结构图的等效和简化结构图变换应按等效原理进行，所谓等效，就是对结构图的任一部分进行变换时，变换前、后其输入、输出总的数学关系应保持不变。2021/10/10星期日53整理版课件1、典型连接的等效传递函数（1）串联前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如下图所示，各环节的传递关系为：G1(s)G2(s)G3(s)R(s)C1(s)C2(s)C(s)串联连接的等效传递函数等于各个传递函数的乘积。写成一般形式为：2021/10/10星期日54整理版课件（2）并联输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示，三个环节的输入部分都为r(t)，而输出分别为G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+++C(s)R(s)C1(s)并联连接的等效传递函数等于各个传递函数的代数和。写成一般形式为：2021/10/10星期日55整理版课件（3）反馈连接如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接，如下图所示。G(s)H(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)闭环传递函数为：2021/10/10星期日56整理版课件G(s)H(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)开环传递函数为：前向通路：从输入到输出每个环节只经过一次的通路。前向通路经过各个环节传递函数的乘积，就称为前向通路传递函数。G(s)H(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)2021/10/10星期日57整理版课件例3、化简单回路系统解：2021/10/10星期日58整理版课件例4、化简单回路无交错系统G1G2G3G4G5G6--++R(s)C(s)G1G6R(s)-C(s)解：G1G2G3G4+G5G6R(s)--C(s)2021/10/10星期日59整理版课件G6R(s)C(s)-2021/10/10星期日60整理版课件2、变位变换（1）引出点前移要乘（2）引出点后移要除2021/10/10星期日61整理版课件（3）比较点前移要除（4）比较点后移要乘2021/10/10星期日62整理版课件R1(s)R2(s)R3(s)--C(s)R2(s)R1(s)R3(s)--C(s)R1(s)R3(s)R2(s)--C(s)（5）交换或合并比较点（6）负号在支路上的移动G(s)H(s)E(s)B(s)－R(s)C(s)G(s)H(s)E(s)B(s)＋R(s)C(s)－12021/10/10星期日63整理版课件例5、化简多回路有交错系统解：G1G2G3G4G5G6G7G1G2G3G4G5G6G71/G42021/10/10星期日64整理版课件G1G2G6G71/G4G1G72021/10/10星期日65整理版课件2021/10/10星期日66整理版课件负反馈时取“＋”，正反馈时取“－”。2021/10/10星期日67整理版课件例结构图化简2021/10/10星期日68整理版课件2021/10/10星期日69整理版课件例

结构图化简(1)结构图化简方案ⅠH1H2G1G2G3G4(-)(-)RYRH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)2021/10/10星期日70整理版课件(3)结构图化简方案Ⅲ(2)结构图化简方案ⅡH1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(-)RY(a)H2/G3G4RY(b)G1G2G3H1/G1G4RY(-)(a)G4G1G2G3YR(-)(b)2021/10/10星期日71整理版课件信号流图中常用的名词术语：

源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。

信号流图的基本性质：

1)

节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“O”表示；

2)

信号在支路上沿箭头单向传递；

3)

支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；

4)对一个给定系统，信号流图不是唯一的。1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)

R21/R1

x1信号流图及梅逊公式

信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。2021/10/10星期日72整理版课件混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。二、信号流图的绘制

1.由系统微分方程绘制信号流图1）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；2）每个变量指定一个节点；3）将方程按照变量的因果关系排列；4）连接各节点，并标明支路增益。

前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。

回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。

不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。2021/10/10星期日73整理版课件上式拉氏变换C1uiR1R2uoi1i例信号传递流程：Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C12021/10/10星期日74整理版课件1)用小圆圈标出传递的信号，得到节点。2)用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意信号流图的节点只表示变量的相加。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)结构图(节点)C(s)R(s)G(s)(节点)(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(s)D(s)V(s)11(b)信号流图2.由系统结构图绘制信号流图2021/10/10星期日75整理版课件例绘制结构图对应的信号流图(1)。Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)2021/10/10星期日76整理版课件例

绘制结构图对应的信号流图。2021/10/10星期日77整理版课件

特征式：

—所有单独回路增益之和；

—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；

—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。梅逊公式为：—余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的Δ值。三、梅逊增益公式其中：n—从输入节点到输出节点之前向通路总数。Pk—从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益。2021/10/10星期日78整理版课件前向通路有两条：，没有与之不接触的回路：，与所有回路不接触：

解：三个回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4例已知系统信号流图，求传递函数。回路相互均接触